江苏省无锡市南菁高级中学2023-2024学年高一数学上学期新生开学检测试题（Word版附解析）

江苏省南菁高级中学2023级高一开学检测 数学试题

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知x，y满足，则的平方根为（    ）

A. 2 B. ±2 C. 4 D. ±4

【答案】B

【解析】

【分析】由平方和绝对值的性质得到方程组，求出的值，进而求出的值，得到平方根.

【详解】由题意可知：，，

联立可得：，解之得：，

∴，

∵4的平方根为，

∴的平方根为．

故选：B．

2. 若能用完全平方公式因式分解，则的值为（    ）

A.  B.  C. 或 D. 或

【答案】C

【解析】

【分析】由题意可知，关于的方程有两个相等的实根，可得出，即可求得实数的值.

【详解】由题意可知，关于的方程有两个相等的实根，

则，解得或.

故选：C.

3. 如图，下列图形都是由同样大小的圆按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个圆，第②个图形中一共有8个圆，第③个图形中一共有14个圆，第④个图形中一共有22个圆，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中圆的个数是（    ）

A. 100 B. 92 C. 90 D. 81

【答案】B

【解析】

【分析】根据图形找出规律，得出第个图形为，第9个代入计算即可．

【详解】第①个图形中一共有个圆，

第②个图形中一共有个圆，

第③个图形中一共有个圆，

第④个图形中一共有个圆，

，

按此规律排列下去，

第⑨个图形中圆的个数是个圆．

故选：B．

4. 若关于x的不等式组无解，且一次函数的图象不经过第一象限，则符合条件的所有整数a的和是（       ）

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

【答案】C

【解析】

【分析】先解不等式组求出的取值范围，再根据一次函数的图象不经过第一象限求出的取值范围，从而可得符合条件的所有整数，然后求和即可得．

【详解】，

解不等式①得：，

解不等式②得：，

此不等式组无解，

，解得，

一次函数的图象不经过第一象限，

，

解得，

，综上

所以符合条件的所有整数的和是，

故选：C．

5. 已知，则一定有，“”中应填的符号是（       ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用不等式的性质进行判断，即可得出答案．

【详解】因为，不等式两边同时减去1，可得，

不等式两边同时乘以，可得.

故选：D.

6. 一次越野跑中，前a秒钟小明跑了1600m，小刚跑了1450m．小明、小刚此后所跑的总路程y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，则图中b的值是（    ）

A. 3050 B. 2250 C. 2050 D. 2890

【答案】C

【解析】

【分析】设小明从1600处到终点的速度为 m 米/秒，小刚从1450米处到终点的速度为 n米/秒，由题可得小明跑(a+100)秒与小刚跑(a+100)秒，两人跑的距离相等，小明跑了a秒后还需要200秒到达终点，而小刚跑了a秒后还需要100秒到达终点，据此列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题．

【详解】设小明从1600处到终点的速度为 m 米/秒，小刚从1450米处到终点的速度为 n 米/秒，根据题意，得

，

解得：，

故这次越野跑的全程为：（米），

即米．

故选：C．

7. 若实数，且a，b满足，，则代数式的值为（    ）

A. 2 B. －20 C. 2或－20 D. 2或20

【答案】B

【解析】

【分析】

利用韦达定理可求的值.

【详解】因为，，故为方程的两个根，

故.

又

，

故选：B.

【点睛】本题考查一元二次方程的解、韦达定理，注意利用同构的思想来构建方程，另外注意将代数式整合成与两根和、两根积有关的代数式，本题属于基础题.

8. 一元二次方程有两个不相等的实数根,则的取值范围是（      ）

A.  B. 且 C.  D. 且

【答案】B

【解析】

【分析】根据一元二次方程判别式列不等式组，解不等式组求得的取值范围.

【详解】由于一元二次方程有两个不相等的实数根，所以，解得且.

故选：B.

【点睛】本小题主要考查一元二次方程根的个数问题，属于基础题.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

9. 如图，数轴上点表示的数为，化简__________．

【答案】

【解析】

【分析】根据的范围以及绝对值、根式的运算求得正确答案.

【详解】根据数轴可知，所以，

所以

.

故答案为：

10. 已知，则代数式的值为_________.

【答案】##

【解析】

【分析】化简所求代数式，结合已知条件求得正确答案.

【详解】由得.

所以.

故答案为：

11. 化简：（1）______；（2）______；（3）______；（4）______.

【答案】    ①.     ②.     ③.     ④.

【解析】

【分析】采用配方法、立方差公式、分母有理化等运算进行化简即可.

【详解】（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

12. 将函数图象先向左平移一个单位，再向上平移两个单位，可以得到函数______的图象.

【答案】

【解析】

【分析】根据函数图象平移变换原则直接求解即可.

【详解】的图象向左平移一个单位可得：；

的图象向上平移两个单位可得：.

故答案为：.

三、解答题：本题共10小题，共90分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

13. 分解下列因式：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

【答案】（1）   

（2）   

（3）   

（4）   

（5）

【解析】

【分析】利用十字相乘法、分组分解法、提公因式法、公式法等知识进行因式分解.

【小问1详解】

.

【小问2详解】

.

【小问3详解】

注意到，

所以

.

【小问4详解】

.

【小问5详解】

14. 解下列方程组：

（1）

（2）

【答案】（1），，，    

（2）或

【解析】

【分析】（1）先因式分解，由此将原方程中转化为二元一次方程组的形式，从而求得方程组的解.

（2）利用加减消元法和代入消元法求得方程组的解.

【小问1详解】

∵，，

∴原方程组可以化为：，，，，

解这些方程组可得：，，， ，

∴原方程组解为：，，， .

【小问2详解】

两式相减得，

则，，

所以原方程组的解是或.

15. 先化简，再求值：，其中．

【答案】，1

【解析】

【分析】利用通分，约分，合并同类项等化简后，再代入求值.

【详解】原式

．

当时，原式

16. 解下列不等式：

（1）

（2）

（3）

（4）

【答案】（1）或   

（2）   

（3）   

（4）或

【解析】

【分析】根据一元二次不等式的求法直接求解即可.

【小问1详解】

由得：，解得：或，

不等式的解集为或.

【小问2详解】

，，

不等式的解集为.

【小问3详解】

由得：，解得：，

不等式的解集为.

【小问4详解】

由得：，解得：或，

不等式的解集为或.

17. 在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下的定义：点的横坐标差的绝对值和它们的纵坐标差的绝对值中较小的一个（若它们相等，则取其中任意一个）称为两点的“近距”，记为．即：若，则；若，则.

（1）请你直接写出，的“近距”______﹔

（2）在条件（1）下，将线段向右平移个单位至线段，其中点分别对应点．若在坐标轴上存在点，使，请求出点的坐标.

【答案】（1）   

（2）或或或

【解析】

【分析】（1）根据的定义直接求解即可；

（2）分别假设或，由可求得的值，由此可得结果.

【小问1详解】

，，又，.

【小问2详解】

如图所示：

，，

当点在轴上时，设，

，，或；

当点在轴上时，设，

，，或；

或或或．

18. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．

（1）求取值范围；

（2）若此方程两实数根满足，求的值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用判别式列不等式，由此求得的取值范围.

（2）利用根与系数关系列方程，化简求得的值.

【小问1详解】

关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，

，

解得．

【小问2详解】

根据题意得，，．

，

，

即，

解得或，

又，

．

19. 求关于的二次函数在上的最小值．

【答案】

【解析】

【分析】对进行分类讨论，由此求得函数在上的最小值.

【详解】二次函数的开口向上，对称轴为，

当时，二次函数上单调递增，

所以.

当时，.

当时，二次函数在上单调递减，

所以

综上所述，.

20. 如图，已知在中，以为圆心，为半径的圆交斜边于，求.

【答案】

【解析】

【分析】解法一：利用割线定理求解；

解法二：利用垂径定理和直角三角形的性质求解.

【详解】解法一:

过作圆的切线，为切点，

,

设

根据切割线定理：，

即，解得.

解法二:

过 作于点，

因为过圆心，所以，

因为所以，

因为

所以，

所以，

在中，，