江苏省盐城市伍佑中学2022-2023学年高一数学上学期学情调研(一)试题（Word版附解析）

盐城市伍佑中学

2022/2023学年度秋学期高一年级学情调研（一）

数学试题

时间：120分钟    总分：150分

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 设全集，集合，，则（ ）.

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用补集和并集的概念计算即可.

【详解】∵全集，集合，，

∴，

∴．

故选：D．

2. “”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

根据充分条件、必要条件的概念判断即可.

详解】若，则成立，即必要性成立，反之若，则不成立，

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：B.

3. 若集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先对集合和集合进行化简，接着用交集运算即可得到答案

【详解】因为，，

所以.

故选：C.

4. 已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先求出命题为真时实数的取值范围，即可求出命题为假时实数的取值范围.

【详解】若“，”是真命题，

即判别式，解得：，

所以命题“，”是假命题，

则实数的取值范围为：.

故选：A.

5. 若正实数，满足，则下列说法中正确的是（    ）

A. 有最小值 B. 有最小值

C. 有最小值4 D. 有最小值

【答案】C

【解析】

【分析】由已知结合基本不等式及相关结论分别分析各选项即可判断．

【详解】对于A，因为正实数，满足，所以，当且仅当时取等号，所以，故有最大值，故A不正确；

对于B，，当且仅当时取等号，故，即有最大值，故B不正确；

对于C，，当且仅当时取等号，故有最小值4，故C正确；

对于D，，当且仅当时取等号，所以有最小值，故D不正确.

故选：C

6. 若函数的两个零点是2和3，则函数的零点是（    ）

A. 和 B. 1和 C. 和 D. 和

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数的两个零点是2和3，求得a，b，得到求解.

【详解】函数的两个零点是2和3，

，3是方程的两个根，

则，，

即，，

，

由，解得和，

故函数的零点是1和，

故选：B．

【点睛】本题主要考查函数零点的求法，属于基础题.

7. 设为实数，已知函数的两个零点在区间内，则的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据一元二次方程根分布情况，列出不等式，求解即可.

【详解】根据题意不妨设函数的两个零点为，

要满足题意，则，，

解得.

故选：.

8. 设，若恒成立，则的最大值为

A. 4 B. 2 C. 8 D. 1

【答案】C

【解析】

分析】

由题可知，求的最大值即为的最小值，将变形为，再用“1”的代换，利用基本不等式求解.

【详解】由题可知，的最大值即为的最小值.

又，

当且仅当，即时取等号，

故选：C.

【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 下列说法正确的是（    ）

A. 0∈∅ B. ∅⊆{0} C. 若a∈N，则-a∉N D. π∉Q

【答案】BD

【解析】

【分析】

利用集合与集合和元素与集合的关系，逐一判断四个选项的正误.

【详解】空集中没有元素，A错误；空集是任何集合的子集，B正确；若a＝0，0∈N，C错误；π不是有理数，D正确.

故选：BD

10. 下列说法正确的是（    ）

A 若且，则 B. 若且，则

C. 若，则 D. 若，，则

【答案】BD

【解析】

【分析】

举出反例判断A和C，利用不等式的性质判断B和D即可.

【详解】对于A：当，时，无法得到，故A错误；

对于B：若，则，，，又，

所以，所以，故B正确；

对于C：当，，时，，无法得到，故C错误；

对于D：若，则，又，所以，所以，故D正确.

故选：BD.

【点睛】方法点睛：不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果，（2）作商（常用于分数指数幂的代数式），（3）平方法，（4）有理化，（5）利用函数的单调性，（6）寻找中间量或放缩法，（7）图象法.

11. 下列结论不正确的是（    ）

A. “”是“”的充分不必要条件

B.  “，”是假命题

C. 内角，，的对边分别是，，，则“”是“是直角三角形”的充要条件

D. 命题“，”的否定是“，”

【答案】BC

【解析】

【分析】

利用充分条件与必要条件的定义判断AC；利用特例法判断B；利用全称量词命题的否定是存在量词命题判断D.

【详解】自然数一定是有理数，有理数不一定是自然数，所以“”是“”的充分不必要条件，A正确；

，所以“，”是真命题，B错误；

由，可得，是直角三角形，但是是直角三角形不一定意味着，所以“”是“是直角三角形”的充分不必要条件，C错误；

根据全称量词命题的否定是存在量词命题，可得命题“，”的否定是“，”，D正确.

故选：BC.

【点睛】方法点睛：断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.

12. 下列命题中，真命题的是（    ）

A. ，都有 B. ，使得

C. 任意非零实数，都有 D. ，都有

【答案】ABD

【解析】

【分析】恒成立可推导得到A正确；利用基本不等式可求得，可知B正确；由可知C错误；令，结合对勾函数单调性可知D正确.

【详解】对于A，对任意恒成立，对任意恒成立，即，都有，A正确；

对于B，当时，，

（当且仅当时取等号），

，，使得，B正确；

对于C，当时，，C错误；

对于D，当时，，令，

在上单调递增，，

对于任意恒成立，D正确.

故选：ABD.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 高一某班共有15人参加数学课外活动，其中7人参加了数学建模，9人参加了计算机编程，两种活动都参加了的有3人，问这两种活动都没参加的有______人.

【答案】2

【解析】

【分析】根据题意分析只参加了数学建模与只参加了计算机编程的人数再求解即可.

【详解】因为7人参加了数学建模且两种活动都参加了的有3人,故只参加了数学建模的人数为 人,又9人参加了计算机编程,故只参加了计算机编程的人数为 人.

故参加了活动的人数有人.故两种活动都没参加的有人.

故答案为：2

【点睛】本题主要考查了集合中元素的计算,属于基础题.

14. “，”是假命题，则实数的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】先写出命题的否定，由原命题为假命题，则其否定为真命题，再结合恒成立利用函数最值求解即可.

【详解】由题意，命题，是假命题，

则其否定命题，是真命题，

即对于恒成立，只需要即可，

令，对称轴为，

故函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，即，即，

所以实数的取值范围是.

故答案为：.

15. 已知实数，，且，则的最小值为______．

【答案】

【解析】

【分析】

根据题中条件，得到，由展开后，根据基本不等式，即可求出结果.

【详解】因为，，且，

所以，故，

当且仅当时取等号，

则的最小值为16.

故答案为：.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

16. 若函数在区间上有零点，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意可得，解出即可.

【详解】函数的对称轴为，

则要使函数在区间上有零点，

需满足，解得.

故答案为：.

【点睛】本题考查根据函数在给定区间有零点求参数范围，属于基础题.

四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 设全集，，.求，，，

【答案】或，，，或

【解析】

【分析】依据补集定义求得，再依据交集定义求得；依据交集定义求得，再依据补集定义求得.

【详解】，，，

则或，则

，则或

18. 已知集合，，且.

（1）求集合的所有非空子集；

（2）求实数的值组成的集合.

【答案】（1），，   

（2）

【解析】

【分析】（1）直接求出集合，列举非空子集；

（2）由得，分和两种情况讨论，求出m.

【小问1详解】

，

所以集合的所有非空子集组成的集合，，.

【小问2详解】

由得，

①若，则，满足条件.

②若，当时，得；

当时，得.

故所求的集合为.

19. 命题：“，”，命题：“，”，若，都为真命题时，求实数的取值范围．

【答案】

【解析】

【分析】根据任意性、存在性的定义，结合二次函数的性质、一元二次方程根的判别式进行求解即可.

【详解】由，当时，二次函数单调递增，所以有，

因为为真命题，所以有；

因为为真命题，所以方程有实数根，

因此有，或，
因此要想，都为真命题，只有，或，解得，或，

所以实数的取值范围为.

20. 解下列问题

（1）比较与的大小;

（2）设正实数,,满足,求的最小值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1) 取两式的差和0比较大小即可得出结果;

(2)根据,将化为,化简为,再对用“1”的代换即可求出最小值,注意用基本不等式时等号成立的条件.

【小问1详解】

解:由题知取两式的差可得:

,

;

【小问2详解】

由题知,且,均为正实数,

,

当且仅当,即时取等,

.

21. 已知集合，集合，集合.

（1）求的子集的个数；

（2）若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围．

【答案】（1）8    （2）

【解析】

【分析】（1）先用列举法表示出集合，再求，然后根据的元素个数确定子集的个数；（2）命题“，都有”是真命题说明，讨论集合是否为空集即可求出实数的取值范围．

【小问1详解】

又

,元素个数为3，则子集个数为：个.

【小问2详解】

命题“，都有”是真命题,,

若

若

综上所述：

22. 某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（）.

（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？

（2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围.

【答案】（1）4米；    （2）.

【解析】

【分析】（1）由题意得出甲工程队报价元关于左右两侧墙的长度的函数，利用均值不等式求最小值即可；

（2）由题意得不等式恒成立，分离参数后，利用均值不等式求最小值即可得解.

【小问1详解】

因为屋子的左右两侧墙的长度均为米（），底面积为12平方米，

所以屋子的前面墙的长度均为米（），

设甲工程队报价为元，

所以（元），

因为，

当且仅当，即时等号成立，

所以当左右两面墙的长度为米时，甲工程队报价最低为元.

【小问2详解】

根据题意可知对任意的恒成立，

即对任意的恒成立，

所以对任意的恒成立，

因为，，

当且仅当，即时等号成立，

所以，

故当时，无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竟标成功.