山东省菏泽市2022-2023学年高二数学下学期2月质量检测试题（Word版附解析）

2022—2023学年度高二教学质量检测

数学试题

2023.2

注意事项：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置.

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 直线与两坐标轴所围成三角形的面积为（   ）

A. 6 B. 3 C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】结合题意，先求得直线与坐标轴的交点坐标, 然后求解三角形的面积即可.

【详解】直线 中, 令 可得: , 令 可得: ,

据此可得直线与坐标轴的交点坐标为: , 则所求三角形的面积为:

故选：B.

2. 已知空间直角坐标系中的三点，，，则点A到直线的距离为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由点A到直线的距离,向量在向量上的投影及勾股定理即可求.

【详解】已知，，，

所以 ，，

点A到直线的距离为.

故选：C.

3. 设双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据渐近线方程求出a与b的关系即可.

【详解】双曲线 的渐近线方程为： ，

又 ；

故选：A.

4. 点M与定点的距离和它到定直线的距离的比为，则点M的轨迹方程为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据轨迹方程的求解方法列方程求解.

【详解】设，

因为点M与定点的距离和它到定直线的距离的比为，

所以，即，

整理得，

故选:C.

5. 若等差数列和等比数列满足，则的公差为（    ）

A. 1 B.  C.  D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】根据等差等比数列的通项公式转化为首项与公比，公差的关系求解.

【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为

，又

又

，

故选：A

6. 已知圆，直线，则圆C上到直线l的距离等于的点的个数为（   ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】先确定圆的圆心坐标与半径, 再求出圆心到直线 的距离, 从而可得结论.

【详解】由题意, 圆心坐标为 , 半径为 , 圆心到直线 的距离为 ,

圆 与直线 相交,

且圆 上与直线 的距离等于的点共有 3 个.

故选: C.

7. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个“九儿问甲歌”问题：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第个儿子的年龄为，则

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】由题意得数列成等差数列，公差为-3，所以

选B.

8. 已知点F为椭圆的左焦点，经过原点O的直线l交椭圆于P，Q两点，点M是椭圆C上异于P，Q的一点，直线，的斜率分别为，，且，若，则（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据条件先求出a，b，c之间的关系，再由几何关系和余弦定理求解.

【详解】由于P，Q关于原点对称， 设 ， ，

则有 ，又 点都在椭圆上，

，

， ，

又 ，

设椭圆的右焦点为 ，连接 如下图：

因为原点O平分线段PQ和 ，所以四边形 是平行四边形，

依题意，设 ，则 ，又 ， ，在 中，

由余弦定理得 ，

；

故选：B.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列结论正确的有（   ）

A. 过点，的直线的倾斜角为

B. 若直线与直线垂直，则

C. 已知，及x轴上的动点P，则的最小值为5

D. 直线与直线之间的距离为

【答案】ABD

【解析】

【分析】求出直线斜率判断A；利用垂直关系求出a判断B；利用对称方法求出两点的距离判断C；求出平行间距离判断D作答.

【详解】对于A，直线的斜率，则直线的倾斜角为，A正确；

对于B，直线与直线垂直，则，解得，B正确；

对于C，关于x轴对称点，连接交x轴于点，在x轴上任取点，连接，如图，

，当且仅当点与重合时取等号，

因此，C错误；

对于D，直线与直线平行，直线化为，

管两条直线间距离为，D正确.

故选：ABD

10. 如图，在平行六面体中，与交于点，且，，.则下列结论正确的有（   ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AB

【解析】

【分析】由向量的分解和向量数量积公式、向量的求模公式即可判断.

【详解】如图，

由题意得，，

，

，

，

对于选项A，

所以，即.

故选项A正确.

对于选项B，

故选项B正确.

对于选项C，

所以即

故选项C错误.

对于选项D，

故选项D错误.

故选：AB

11. 已知正项数列的前n项和为，数列的前n项和为，且满足，若，则以下结论正确的有（   ）

A.  B.

C. 数列的通项公式为 D. 数列的通项公式为

【答案】AD

【解析】

【分析】由数列前n项和的递推公式，求出数列的通项公式，判断选项的正误.

【详解】因，所以，，

两式相减，得，，

即，，

又因为，所以，即，，

所以，，

两式相减，得，即，，

由题，，即，因为，得，

，，得，

所以，，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以，，，故AD正确，BC错误.

故选：AD

12. 已知抛物线的焦点为F，过抛物线上任意一点P作圆的切线，A为切点，且直线交抛物线于另一点Q，则下列结论正确的有（   ）

A. 的最小值为

B. 的取值范围为

C. 三角形面积的最小值为

D. 连接，并延长，分别交抛物线于N，M两点，设直线和直线的斜率分别为，，则

【答案】ABD

【解析】

【分析】先求出圆C的圆心和半径，以及F点的坐标，再根据图中的几何关系逐项分析.

【详解】对于圆C，标准方程为 ，所以圆心 ，半径 ，

对于抛物线 ， ， ，

对于A，设 ，则有 ，

当时， 取得最小值 ，即 ，A正确；

对于B，设  ，则直线 的方程为：  ，

将 代入得： ， ，其中 ， ， ，

，

由基本不等式得 ，当且仅当 时等号成立，

，B正确；

对于C，采用水平底铅锤高计算 的面积，即   ，当且仅当 ，即 时成立，即最小值为 ，C错误；

对于D，原问题等价于从F点引2条斜率不等的直线分别与抛物线交于P，N和Q，M点，并且P，Q，C三点共线，

设 ，2两条直线的斜率分别为 （即 都存在），

则直线方程分别为： ，

联立方程 ，解得 ， ，

同理可得 ， 三点共线，即与共线，

， ，整理得： ，

依题意， ，

， ；

当 有1个不存在时（当 都不存在时，两条直线重合，不满足题意），

比如 不存在，则 垂直于x轴，此时 ，其余条件相同， ，D正确；

故选：ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知平面与平面是不重合的两个平面，若平面α的法向量为，且，，则平面与平面的位置关系是________.

【答案】平行

【解析】

【分析】分别计算，，可得，，从而可知，，平面，所以可得平面与平面平行.

【详解】平面α的法向量为，且，，

，，

所以，，平面，

平面的一个法向量为，

又因为平面与平面是不重合的两个平面

所以平面与平面平行.

故答案为：平行.

14. 已知等差数列，，公差，为前n项和，且.

（1）若，则________（用t表示）.

（2）若，则________（用t表示）.

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解即可.

【详解】（1），

由可得，

，

解得①，

又因为，所以，即②，

联立①②得，，解得.

（2）由，可得，

又因为，

所以，

消去同类项可得，

因为，所以③，

联立①③可得，得.

故答案为: ;.

15. 以点为圆心，3为半径的圆与直线相交于A，B两点，则的取值范围为________.

【答案】

【解析】

【分析】先求出直线l所过的定点，判断定点是否在圆内，再确定 的范围.

【详解】对于直线l： 有 ，

令 ，解得 ，所以直线l过定点 ，

又当 时， 不存在， 所以直线l不过圆心，

，所以点Q在圆P内，

当是A，B的中点时，最短，又圆的直径为6， .

故答案为： .

16. 已知数列（）的首项，前n项和为，设与k为常数，若对一切正整数n均有成立，则称此数列为“”数列，若数列是“”数列，且，则数列的通项公式为________.

【答案】

【解析】

【分析】由题可知，根据定义得，根据平方差公式化简得，求得，最后根据，即可求出数列的通项公式.

【详解】因为数列是“”数列，则，

所以，

因为，所以，所以

所以，

所以，

因为，所以，所以，

所以，所以，

所以，

则是以为首项，为公比的等比数列，所以.

所以，

所以.

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知双曲线的离心率为，且右焦点F与抛物线的焦点相同.

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）过点F直线l交双曲线C的右支于A，B两点，且，求直线l的方程.

【答案】（1）   

（2）或.

【解析】

【分析】（1）根据抛物线焦点得到，再根据离心率和关系即可得到答案；

（2）设直线，，，将直线方程与双曲线方程联立得

，再利用弦长公式即可求出值，则得到直线方程.

【小问1详解】

抛物线的焦点为，可得，则；

由，可得，由得，

故双曲线的标准方程为；

【小问2详解】

当直线垂直于轴时，，不合题意；

当直线不垂直于轴时，可设过双曲线右焦点的直线，且与双曲线的交点为，，

由可得，则，

因为焦点在双曲线的内部，则直线斜率存在且时，直线与双曲线必有两交点，，

则，

则，

解得，即直线的方程为或.

18. 如图，在五面体中，平面，，，，且四面体的体积为.

（1）求的长度；

（2）求平面与平面所成角的余弦值.

【答案】（1）2    （2）.

【解析】

【分析】（1）先确定四面体 的底面和高，再根据几何关系以及条件求出CD；

（2）建立空间直角坐标系，运用空间向量数量积求解.

【小问1详解】

由平面，知，， ，

又，，，由此 ；

【小问2详解】

因为平面， 平面BCDE， 平面BCDE，所以 ，，且；

则如图以C为原点，分别以，，为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，

有，则，

设平面的一个法向量为，则 得，，令 得 ， ，

由题可知为平面的一个法向量，

记平面与平面所成角为，则，

故平面与平面所成角的余弦值为；

综上， ，平面与平面所成角的余弦值为.

19. 已知数列和等差数列，满足 ，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，求满足的最大整数n.

【答案】（1）   

（2）49

【解析】

【分析】(1)根据递推公式分别计算当 和 时， 与 的关系，再根据条件列方程求出 和 ，利用等差数列公式求解；

(2)运用裂项相消法求出 的前n项和，再解不等式即可.

【小问1详解】

由可得；由，，

则，，解得，， ，

由于是等差数列， ；

【小问2详解】

由（1）得，

则，

当时，，

即满足条件的最大整数.

20. 如图，圆锥的高，A，B为圆锥底面圆周上的两点，使得，且上的点C满足.

（1）求与平面所成角的正弦值；

（2）求点A到平面的距离.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1)建立空间直角坐标系，求出和平面的一个法向量，代入向量的夹角公式即可求与平面所成角的正弦值；

(2)求出和平面的法向量，代入点到面的距离公式即可求点A到平面的距离.

【小问1详解】

如图，以过且与垂直的直线为轴，，所在的直线为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则.

设，由得，，，即.

易知平面的一个法向量，且，

所以求与平面所成角的正弦值为.

【小问2详解】

设平面的法向量为，则

则，令，则，所以；

因为，所以点到平面的距离为.

21. 已知等比数列的前n项和为，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）如图，

…………………

数阵的第行是与之间插入n个数，由这个数所组成，且这个数成等差数列，记，求.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】第一问由题目所给的递推公式化简得，从而求出和，代入等比数列的通项公式即可.第二问由题意写出的表达式，再用错位相减法即可解出.

【小问1详解】

由，可知时，

两式相减可得，

所以 ，因为为等比数列，公比，

又得

所以；

小问2详解】

由题意可知：

，

则

，

令，

则；

两式相减得

，

所以

，

故.

22. 如图1，椭圆的左右焦点分别为，，点、分别为椭圆与轴负半轴、轴正半轴的交点，且椭圆上的点满足，.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）图2中矩形的四条边分别与椭圆相切，求矩形面积的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由已知可得出，利用斜率公式可得出，再将点的坐标代入椭圆的方程，可求得的值，结合已知条件可求得的值，进而可求得的值，由此可得出椭圆

的标准方程；

（2）当直线的斜率不存在或为时，直接求出矩形的面积；在直线的斜率存在且不为时，设直线的方程为，将直线的方程与椭圆的方程联立，由可得出，求出、，利用矩形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得矩形面积的取值范围.

【小问1详解】

解：由，可知，即得，

由于在椭圆上，则，解得，

由，解得，，

所以椭圆的标准方程.

【小问2详解】

解：当直线的斜率不存在或为时，矩形的面积为.

当直线的斜率存在且不为时，设直线的方程为.

联立方程，消去整理可得，

所以，解得，

则平行线、的方程分别为和，

由为矩形，则即为平行线、间的距离，

所以，同理可得，

所以矩形的面积，

令，所以，

又，所以，则，

当，即时，取得最大值为.

所以，所以

因此，矩形面积的取值范围是.

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：

（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；

（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.