山东省“学情空间”区域教研共同体2022-2023学年高一数学上学期12月联考试题（B）（Word版附解析）

“学情空间”区域教研共同体高一12月份联考

数学试题（B）

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

第Ⅰ卷（选择题）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 命题“，”的否定为（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】D

【解析】

【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可求解.

【详解】命题“，”的否定为

，.

故选：D

2. 设集合，则集合A的子集个数为（    ）

A. 16 B. 32 C. 15 D. 31

【答案】B

【解析】

【分析】先化简集合A，再利用集合的子集概念.

【详解】因为集合，

所以集合A的子集个数为，

故选：B

3. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列命题正确的是（    ）

A 若且，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若且，则

【答案】B

【解析】

【分析】

利用不等式性质，结合特殊值法，即可判断选项的正误.

【详解】A中，有，错误；

B中，时，成立，正确；

C中，时，，错误；

D中，由题设，当时，，错误；

故选：B

4. 若是第三象限角，则下列各式中成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据所在象限，确定的三角函数值的正负，然后逐一判断选项的正误即可.

【详解】因为是第三象限角

，

，A正确；

，B错误；

，C错误；

，D错误.

故选：A.

5. 函数的零点所在的区间是（    ）

A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)

【答案】B

【解析】

【分析】易知函数是上的增函数,,结合零点存在性定理可判断出函数零点所在区间.

【详解】函数是上的增函数,是上的增函数,

故函数是上的增函数.

,,

则时,;时,,

因为,所以函数在区间上存在零点.

故选:B.

【点睛】本题考查了函数零点所在区间,利用函数的单调性与零点存在性定理是解决本题的关键,属于基础题.

6. 如图所示，函数的图象是（    ）

A.    B.  

C.    D.  

【答案】B

【解析】

【分析】将原函数变形为分段函数，根据及时的函数值即可得解.

【详解】∵，

∴时，，

当时，函数为上的单调递增函数，且，

当时，函数为上的单调递减函数，且，

故选：B

7. 已知函数，满足对任意x1≠x2，都有0成立，则a的取值范围是（　　）

A. a∈(0,1) B. a∈[,1) C. a∈(0,] D. a∈[,2)

【答案】C

【解析】

【分析】根据条件知在R上单调递减，从而得出，求a的范围即可．

【详解】∵满足对任意x1≠x2，都有0成立，

∴在R上是减函数，

∴，解得，

∴a的取值范围是．

故选：C．

8. Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（    ）（ln19≈3）

A. 60 B. 63 C. 66 D. 69

【答案】C

【解析】

【分析】将代入函数结合求得即可得解.

【详解】，所以，则，

所以，，解得.

故选：C.

【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 若－1＜x＜4是－3＜x＜a的充分不必要条件，则实数a的值可能是（    ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

【答案】BCD

【解析】

【分析】由必要条件、充分条件的定义即可得出结果．

【详解】∵－1＜x＜4是－3＜x＜a的充分不必要条件，

∴{x|－1＜x＜4}{x|－3＜x＜a}，∴a≥4，

∴实数a的值可以是4，5，6．

故选：BCD．

10. 已知正数满足，则下列选项正确的是（    ）

A. 的最小值是2 B. 的最大值是1

C. 的最小值是4 D. 的最大值是

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据题设条件和基本不等式，逐项判定，即可求解.

【详解】因为正数满足，

由，

当且仅当时，即时，等号成立，所以A正确；

由，可得，即，当且仅当时成立，所以B正确；

由，当且仅当时成立，所以C错误；

由正数满足，可得，

则，当且仅当时，

即时，等号成立，即的最大值是，所以D正确.

故选：ABD

11. 下列说法正确的是（    ）

A. ，

B. 若不等式的解集为或，则

C. （且）的图象恒过定点

D. 函数的单调减区间为

【答案】AB

【解析】

【分析】根据特例可判断A的正误，根据一元二次不等式的解集可判断B的正误，根据指数函数的性质可判断C的正误，根据“同增异减”的原则可判断D的正误.

【详解】对于A，取，则成立，故A正确；

对于B，因为的解集为或，

故为方程的根，故即，故B正确；

对于C，，故的图象恒过，故C错误；

对于D，由可得，

因为为减函数，故若求的减区间，

即求在上的增区间，

而在上为增函数，在上为减函数，

当时，；当时，；

且在上为增函数，故的增区间为，

故的减区间为，故D错误.

故选：AB.

12. 已知实数满足，则下列关系式中可能成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据，令，，，在同一坐标系作出函数图象求解.

【详解】因为，

令，，，

记与交点纵坐标为m，与交点纵坐标为t，

当y＝t时，A正确；

当y＝m时，B错误；

当t ＜y＜m时，C正确

当y＜t时，D正确

故选：ACD

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 函数的定义域是____________．

【答案】

【解析】

【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.

【详解】由题意得，

故答案为：

【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.

14. 函数在区间上的最大值是_________．

【答案】

【解析】

【分析】将函数化成，再利用换元法令，将函数的最大值，转化为求二次函数的最大值.

【详解】因为，令，

所以，对称轴，

所以当时，.

故答案为：

【点睛】本题考查二次函数的最大值，考查转化与化归思想的运用，考查运算求解能力，利用换元法求解时，注意新元取值范围的确定，考能保证问题的等价性.

15. 已知是定义在上偶函数，且在区间上是减函数，若，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【解析】

【分析】由的单调性与奇偶性转化后求解，

【详解】函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，

故等价于，解得.

故答案为：

16. 如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为，大正方形的面积是1，小正方形的面积是.

①的值为__________；②的值为__________.

【答案】    ①. ##    ②.

【解析】

【分析】根据直角三角形的内角及斜边长表示出两直角边长，作差即可得出小正方形边长，再由同角三角函数的基本关系求解.

【详解】因为大正方形的面积是1，所以大正方形边长为1，

则直角三角形中较短直角边长为，较长的直角边为，

所以小正方形的边长为，又小正方形的面积是，所以小正方形边长为，故；

因为，所以，

又，，

所以，

所以.

故答案为：；

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 已知集合，.求：

（1）当时，求，，；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1），，   

（2）

【解析】

【分析】（1）解分式不等式得到，进而求解交集和并集，以及补集；

（2）由得到，从而得到.

【小问1详解】

等价于，解得，

故，

而时，，故，

，故.

【小问2详解】

因为，所以，

又，，

故.

18. 已知函数.

（1）求的最小正周期；

（2）当时，求的最小值和最大值.

【答案】（1）   

（2）最小值为0，最大值为

【解析】

【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式计算可得；

（2）由的取值范围求出的范围，再根据正弦函数的性质计算可得.

【小问1详解】

由题意，，

所以的最小正周期；

【小问2详解】

当时，，

可知，

即，

故的最小值为，最大值为.

19. 已知对数函数，并且它的图象过点.

（1）求的解析式；

（2）若，，求的值域.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用待定系数法，结合对数的运算性质进行求解即可；

（2）利用换元法，结合二次函数的性质和对数的单调性进行求解即可.

【小问1详解】

设（，且）

的图像过点，，即，

，即，；

【小问2详解】

令，，

函数转化为函数，

该函数图象开口朝上，对称轴为，

当时，有最小值，，

当时，有最大值，，

的值域为

20. 已知定义域为的函数是奇函数．

（1）求、的值；

（2）证明在上为减函数；

（3）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围．

【答案】（1）   

（2）证明见解析    （3）

【解析】

【分析】（1）由奇函数的性质可得，可求得的值，再利用奇函数的定义可求得的值；

（2）根据函数单调性的定义即可证明结论成立；

（3）利用函数的奇偶性和单调性将恒成立，转化为对任意的都成立，结合可求得实数的取值范围.

【小问1详解】

解：因为函数在上为奇函数，则，解得，

由奇函数的定义可得，

所以，，即，则，可得.

【小问2详解】

证明：由（1）得 ，

任取、，且，则，

则，

，即，所以函数在上为减函数.

【小问3详解】

解：根据 （1）（2）知，函数奇函数且在上为减函数.

不等式恒成立，

即恒成立，

也就是对任意的都成立，

即对任意的都成立，则，解得，

即的范围是.

21. 我国某企业自主研发了一款具有自主知识产权的平板电脑，并从2021年起全面发售.经测算，生产该平板电脑每年需投入固定成本1350万元，每生产 （千台）电脑需要另投成本万元，且另外每台平板电脑售价为0.6万元，假设每年生产的平板电脑能够全部售出.已知2021年共售出10000台平板电脑，企业获得年利润为1650万元.

（1）求该企业获得年利润（万元）关于年产量 （千台）的函数关系式;

（2）当年产量为多少千台时，该企业所获年利润最大?并求最大年利润.

【答案】（1）   

（2）100千台，最大年利润为5 900万元.

【解析】

【分析】（1）由已知的条件知道该函数为一个分段函数，所以分两种情况把表达式分别求出来即可

（2）由（1）知当时，为二次函数，利用二次函数的性质求它在该区间上的最大值，当时，利用基本不等式性质求最大值.

【小问1详解】

解：10 000台=10千台,则，根据题意得：，解得，

当时，，

当时，

，

综上所述.

【小问2详解】

当时，

当时， 取得最大值；

当时，

，

当且仅当时，

因为，

故当年产量为100千台时,该企业所获年利润最大,最大年利润为5 900万元.

22. 已知定义在R上的函数满足且，．

（1）求的解析式；

（2）若不等式恒成立，求实数a取值范围；

（3）设，若对任意的，存在，使得，求实数m取值范围．

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据，代入计算可得；

（2）根据单调性得，分离参数求最值即可.

（3）因为对任意的，存在，使得，等价于，先求的最小值，再分类讨论对称轴与区间的位置关系，使的最小值满足小于等于1的条件，求解即可.

【小问1详解】

由题意知，，

即，所以，

故.

【小问2详解】

由（1）知，，

所以在R上单调递增，

所以不等式恒成立等价于，

即恒成立.

设，则，，当且仅当，即时取等号，

所以，

故实数a的取值范围是.

【小问3详解】

因为对任意的，存在，使得，

所以在上的最小值不小于在上的最小值，

因为在上单调递增，

所以当时，，

又的对称轴为，，

当时，在上单调递增，，解得，

所以；

当时，在上单调递减，在上单调递增，

，解得，所以；

当时，在上单调递减，，解得，

所以，