四川省宜宾市叙州区第二中学2022-2023学年高一数学下学期期中试题（Word版附解析）

叙州区第二中学2023年春期高一期中考试

数学试题

本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.

第I卷 选择题（60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知复数（是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数的值为（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由可解得结果.

【详解】依题意可得，解得.

故选：A.

2. 等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先利用诱导公式化简角，然后利用正弦的两角差公式即可得到答案.

【详解】

 故选：C.

【点睛】本题考查两角差的正弦公式和诱导公式的应用，属于基础题.

3. 函数的图象的一条对称轴方程是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】令，求出图像的对称轴，然后逐项代入求出，为整数即可解的答案.

【详解】解：由题意得：

 令，可得

当时，

当时，

当时，

当时，

故选：D．

4. 若点M是的重心，则下列各向量中与共线的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】，，由M是的重心可得，，即可选出答案.

【详解】，不与共线

，不与共线

因为点M是的重心，所以，，

所以，与共线

，不与共线

故选：C

【点睛】若点是的重心，则有

5. 已知，则

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用两角差的余弦可得的值，平方后得到的值.

【详解】因为，故即，

故即，故选A.

【点睛】三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.

6. 设向量，，则在上的投影的数量为（    ）

A. 1 B. 2 C. 1 D. 2

【答案】B

【解析】

【分析】利用平面向量数量积的几何意义直接求解即可

【详解】因为，，

所以在上的投影的数量为

，

故选：B

7. 已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积是底面积的2倍，则圆锥的体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】设圆锥的高为h，母线长为l，根据圆锥的侧面积公式求出，再利用勾股定理求出，最后根据体积公式计算可得；

【详解】解：设圆锥的高为h，母线长为l，则圆锥的侧面积，故，故圆锥的体积．

故选：C．

8. 如图，在中，，，是棱的中点，以为折痕把折叠，使点到达点的位置，则当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】在中，由余弦定理求得，再由当三棱锥体积最大，把三棱锥补形为一个长方体，结合长方体求得外接球的半径，利用球的表面积公式，即可求解.

【详解】在中，因为，，

由余弦定理可得

，所以，

当，即平面，三棱锥体积最大，

此时､､两两垂直，可把三棱锥补形为一个长方体，

且长方体长、宽、高分别为：，所以三棱锥的外接球半径为：

，

所以外接球的表面积为：.

故选：D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知复数的实部与虚部互为相反数，则的值可以为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据题目条件与余弦二倍角公式得到，,求出或，

结合，求出的值.

【详解】由条件知，，

∴，

∴或，

∵，

∴，或．

故选：ACD

10. 已知，，点P在直线AB上，且，求点P的坐标（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AB

【解析】

【分析】由向量的坐标表示分类讨论后计算即可.

【详解】设，因为，，且点P在直线AB上，故由可得以下两种情况：

，此时有，解得；

或，此时有，解得；

故选：AB

11. 已知，，则（    ）

A.

B.

C.

D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】切化弦后，由平方关系化为关于的方程，解方程可得，求出后由商数关系得，再由正切的二倍角公式得，由余弦的二倍角公式得，由两角和的正弦余弦公式化简后代入值可得．

【详解】对于选项A，∵，∴，∴，解得或（舍），故选项A正确；

对于选项B，∵，∴，，，故选项B正确；

对于选项C，，故选项C错误；

对于选项D，

，故选项D正确．

故选：ABD．

12. 已知函数的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A. 周期为

B. 直线是图像的一条对称轴

C. 点是图像的一个对称中心

D. 将的图像向左平移个单位长度后，可得到一个偶函数的图像

【答案】AC

【解析】

【分析】根据图像最高点得到，由周期得到，再将点代入函数解析式中求得，再根据正弦型函数的图像性质，对选项逐一判断即可得到结果.

【详解】由函数图像可知，，最小正周期为，

，将点代入函数解析式中，得：，

又，，

故．

对于选项A：函数的最小正周期为，故A正确；

对于选项B：令，即，因此其对称轴为，，无论取何值，，故B不正确；

对于选项C：令，所以，即的对称中心为，点是图像的一个对称中心，故C正确；

对于选项D：将的图像向左平移个单位长度后，得到的图像，该函数不是偶函数，故D不正确；

故选：AC.

第II卷 非选择题（90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 函数的最小正周期是，则的值＝_____________

【答案】

【解析】

【分析】根据题意，得到，求解，即可得出结果.

【详解】因为函数的最小正周期是，

所以，解得

故答案为

【点睛】本题主要考查三角函数的周期公式，熟记公式即可，属于基础题型.

14. 已知与是两个不共线的向量，，若三点共线，则实数_________．

【答案】或

【解析】

【分析】根据向量共线运算求解.

【详解】因为与是两个不共线的向量，

若三点共线，则，即，

可得，解得或.

故答案为：或.

15. 如图，若斜边长为的等腰直角（与重合）是水平放置的的直观图，则的面积为________．

【答案】

【解析】

【分析】还原原图，计算面积即可.

【详解】在斜二测直观图中， 由为等腰直角三角形，

，可得，．

还原原图形如图：

则，

则，

故答案为：.

16. 已知在中，，，，，，则的值为_________.

【答案】

【解析】

【详解】在中，，建立直角坐标系, ,,,依题意有D,E(2,0)得，得，故填.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 试分别解答下列两个小题：

（Ⅰ）已知点，，，，，若点在第四象限，求的取值范围；

（Ⅱ）已知和是两个非零向量，向量和向量垂直，且向量和向量垂直，试求和的夹角．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

【分析】（1）由向量线性运算的坐标表示求得点坐标，由点在第四象限可得参数范围；

（2）由垂直数量积为0求得与的关系，从而由数量积定义求得向量夹角．

【详解】（1）由已知，

，所以点坐标是，

在第四象限，则，解得；

（2）由已知，解得，

，，所以．

18. 已知函数．

（1）用五点法作出一个周期内的图象；

（2）若方程在区间上有解，请写出的取值范围，无需说明理由．

【答案】（1）答案见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）按照五点法，列表出表格、画出函数图形即可；

（2）问题转化为与在区间上有交点，数形结合，即可求出参数的取值范围.

【小问1详解】

列表

绘制图象如下：

【小问2详解】

方程，即与在区间上有交点．

结合函数图象可知，要使有解，则，所以，

故的取值范围是．

19. 已知，为锐角，，.

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）已知和的值，可求和的值，诱导公式化简后求值；

（2），展开后代入已知数据即可求值.

【小问1详解】

，为锐角，，∴，

，∴，则，

则

【小问2详解】

20. 如图，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD(CD所在的直线与地平面垂直)对于山坡的斜度为α，从A处向山顶前进l米到达B后，又测得CD对于山坡的斜度为β，山坡对于地平面的坡角为θ.

（1）求BC的长；

（2）若l＝24，α＝15°，β＝45°，θ＝30°，求建筑物CD的高度．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）结合图形不难得到，且米，接下来结合正弦定理即可表示出BC的长；

（2）结合已知＝15°，＝45°，代入（1）的结果计算可得的长度，在中求出的度数，再结合正弦定理得到，至此问题得到解决.

【小问1详解】

在中，，根据正弦定理得，

所以.

【小问2详解】

由（1）知米．

在中，，，

根据正弦定理得，即

所以．

21. 中，角、、所对的边分别是、、，若，，且.

（1）求；

（2）若，求的面积.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）由可得出，利用同角三角函数的平方关系可求出的值，利用正弦定理边角互化思想得出，再利用余弦定理可得出的值，从而可得出的值；

（2）由（1）得出，利用余弦定理可求出、的值，再利用三角形的面积公式可求出的面积.

【详解】（1），.

由同角三角函数的平方关系得.

，由正弦定理可得.

由余弦定理得，，

由正弦定理边角互化思想得；

（2）由（1）可知，由余弦定理得，

，则，，

由三角形面积公式可知，面积为.

【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积公式应用，要根据三角形已知元素的类型合理选择正弦、余弦定理解三角形，同时也考查充分利用边角互化思想的应用，简化计算，考查运算求解能力，属于中等题.

22. 如图，在四边形中，

（1）证明；

（2）设，求的最大值，并求取得最大值时的值为多少.

【答案】（1）证明见解析   

（2），0

【解析】

【分析】（1）由题中条件，结合向量的线性运算及数量积运算可得，即可得证；

（2）依题意，可知，，又，由平面向量基本定理可得的方程组，进而得出的解析式，利用二次函数的性质求最值即可.

【小问1详解】

，

即，

得，，

得，.

【小问2详解】

依题意，

，

由题可知.

，.

，

又不共线，即

，

.

当时，取得最大值，且最大值为，此时.