四川省宜宾市叙州区第二中学2023-2024学年高三文科数学上学期开学考试试题（Word版附解析）

叙州区二中高2021级高三上学期开学考试

文科数学

第I卷  选择题（60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 若命题，，则为（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】D

【解析】

【分析】通过改量词否结论，将命题否定

【详解】因为命题，，

所以为，，

故选：D

2. 已知i为虚数单位，在复平面内，点A，B，C所对应的复数分别为，，，若，则点D对应的复数是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

设出的坐标，根据，结合向量相等的知识列方程组，解方程组求得的坐标，进而求得对应的复数.

【详解】∵点A，B，C对应的复数分别为，，，对应的复数为.设，

，，解得∴点D对应的复数.

故选：C.

【点睛】本小题主要考查复数对应坐标的运算，考查向量相等的坐标运算，属于基础题.

3. 某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图（如图①）、90后从事互联网行业岗位分布条形图（如图②），则下列结论中不一定正确的是

注：90后指1990年及以后出生，80后指1980~1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.

A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上

B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%

C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多

D. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多

【答案】D

【解析】

【分析】根据饼图中的数据结合岗位分布图中的数据，对选项进行一一分析，即可得答案；

【详解】对A，可知90后占了56%，故A正确；

对B，技术所占比例为39.65%，故B正确；

对C，可知90后明显比80前多，故C正确；

对D，因为技术所占比例，90后和80后不清楚，所以不一定多，故D错误.

故选：D.

【点睛】本题考查统计图的信息提取，考查数据处理能力，属于基础题.

4. 某校有高三学生1200名，现采用系统抽样法从中抽取200名学生进行核酸检测，用电脑对这1200名学生随机编号1，2，3，…，1200，已知随机抽取的一个学生编号为10，则抽取的学生最大编号为（     ）

A. 2004 B. 1198 C. 1192 D. 1086

【答案】B

【解析】

【分析】首先求出分段间隔，再根据系统抽样规则计算可得.

【详解】根据系统抽样法可知，分段间隔为，编号共分为段，编号属于第段，

所以最大编号在第段，号码为．

故选：B

5. “”是“”（    ）条件

A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要

【答案】B

【解析】

【分析】先化简条件“”为“”，再利用包含关系判断必要不充分条件即可.

【详解】解：因为，所以，

设，，则

所以“”是“”的必要不充分条件，

故选：B.

【点睛】本题考查求解一元二次不等式、判断两个集合之间的包含关系、利用集合的包含关系判断必要不充分条件，是基础题.

6. 若，满足，则的最大值是

A. 1 B. -1 C. 2 D. -2

【答案】C

【解析】

【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线在y轴上的截距最小值即可．

【详解】解：画出可行域（如图），

z＝x﹣2y⇒yxz，

由图可知，

当直线l经过点A（0，﹣1）时，z最大，且最大值为zmax＝0﹣2×（﹣1）＝2．

故选C．

【点睛】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力，以及利用几何意义求最值，属于基础题．

7. 若直线与圆相切，则实数b的值为（    ）

A. 或1 B. 或3 C. 0或2 D. 或1

【答案】B

【解析】

【分析】根据点到直线的距离等于半径，列出方程即可得答案；

【详解】圆的标准方程为，有，解得或3．

故选：B.

8. 刘徽是我国魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”，所谓“割圆术”，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆的面积并以此求取圆周率的方法.如图所示，正十二边形的中心为圆心，圆的半径为2.现随机向圆内投放粒豆子，其中有粒豆子落在正十二边形内（，），则圆周率的近似值是

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由正十二边形的面积与圆的面积公式，结合几何概型中的面积型得：，所以，即π，得解

【详解】解：由几何概型中的面积型可得：

，

所以，

即π，

故选B．

【点睛】本题考查了正十二边形的面积及几何概型中的面积型，考查计算能力，属中档题

9. 已知函数 是定义在 上的奇函数， 且 ， 当 时， ， 则 （    ）

A.

B

C.

D.

【答案】C

【解析】

【分析】结合已知条件，再结合奇偶性可以将的函数值转化为的函数值，从而求出函数值.

【详解】因为函数 是定义在 上的奇函数，所以

因为，

所以，

，

所以，又当时，，

所以，

故选：C.

10. 若，a＞0且b＞0，则a+b的最小值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据已知条件，，等号左右两边同时除以，然后再运用1的应用，利用基本不等式求出最小值.

【详解】

当且仅当时等号成立，所以最小值为

故选：D

11. 对任意的，不等式都成立，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】分离参数得对任意的恒成立，则求出即可.

【详解】因为对任意的，都有恒成立，

∴对任意的恒成立．

设，

，，

当，即时，，

∴实数a的取值范围是.

故选：D.

12. ，是：上两个动点，且，，到直线：的距离分别为，，则的最大值是

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

【答案】C

【解析】

【分析】由题设,其中，先利用两点间的距离公式求出，再利用三角恒等变换知识化简，再利用三角函数的图像和性质求最值得解.

【详解】由题设,其中.可以由题得

≤5，此时.

故选C

【点睛】本题主要考查圆的方程，考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.

第II卷  非选择题（90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 曲线在点处的切线方程为____________．

【答案】

【解析】

【分析】利用导数的几何意义求解.

【详解】因为，所，

所以曲线在处切线方程为

，即．

故答案为：

14. 已知经过点和点的直线l1与经过点和点的直线互相垂直，则实数_____.

【答案】

【解析】

【分析】分别求出两条直线的斜率，再利用两条直线相互垂直的性质即可得解．

【详解】因为，，所以，

因为两条直线相互垂直，所以直线的斜率必然存在，

又，，则，，

又所以，解得．

所以．

故答案为：.

15. 已知函数，对于任意都有恒成立，则实数的取值范围为__________．

【答案】

【解析】

【分析】令，将已知不等式转化为，则只需在上单调递增，即恒成立即可；令，分别在、和三种情况下，根据一次函数单调性得到最小值，由此可求得的范围.

【详解】由得：

，

令，则恒成立，

在上单调递增，在上恒成立，

令，在上恒成立，

当时，恒成立，满足题意；

当时，，解得：，；

当时，，解得：，

；

综上所述：.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数解决函数中的恒成立问题，解题关键是能够将已知等式进行变形，从而构造出新的函数，将问题转化为在上单调递增来进行求解.

16. 在三棱锥S-ABC中，∠ABC=90°，AC中点为点O，AC=2，SO⊥平面ABC，SO=，则三棱锥外接球的表面积为__________．

【答案】

【解析】

【分析】

【详解】由AC中点为点O，AC=2，SO⊥平面ABC，SO=，易知：△SAC为等边三角形，

外接球的球心应该是等边三角形的中心，故R= ，

故外接球的表面积为.

点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法

(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．

(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分.

17 设函数，

（1）求、的值；

（2）求在上的最值．

【答案】（1），   

（2），

【解析】

【分析】（1）求出函数的导函数，令求出，再令求出；

（2）由（1）可得，利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的极值，再由区间端点的函数值，即可得解.

【小问1详解】

因为，

所以，取，则有，即；

所以，取，则有，即．

故，．

【小问2详解】

由（1）知，，

则，

所以、与，的关系如下表：

故，．

18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面平面，与交于点.

(1)求证:；

(2)若为的中点，平面，求三棱锥的体积.

【答案】(1)见证明；(2)

【解析】

【分析】(1)先证明平面，即证；（2）先证明是四棱锥的高，

再利用求三棱锥的体积.

【详解】(1)证明：过点作，垂足为

因为平面平面，且交线为

平面，

又平面，

底面是正方形，

又，平面

平面，

(2) 平面， 平面 ，

，又的中点为

由平面，

可得，

又，

平面.

而平面，

又由(1)可知，

平面，即是四棱锥的高，

故

【点睛】本题主要考查空间几何元素垂直关系的证明，考查几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

19. 近年来，国际环境和局势日趋严峻，高精尖科技围堵和竞争更加激烈，国家号召各类高科技企业汇聚科研力量，加强科技创新，大力增加研发资金，以突破我国在各个领域的“卡脖子”关键技术．某市为了解本市高科技企业的科研投入和产出方面的情况，抽查了本市8家半导体企业2018年至2022年的研发投资额x（单位：百亿元）和因此投入而产生的收入附加额y（单位：百亿元），对研发投资额和收入附加额进行整理，得到相关数据，并发现投资额x和收入附加额y成线性相关．

（1）求收入的附加额y与研发投资额x的线性回归方程（保留三位小数）；

（2）现从这8家企业且投资额不少于5百亿元的企业中，任意抽取3家企业，求抽取的3家企业中恰有1家企业的收入附加额大于投资额的概率．

参考数据：．

附：在线性回归方程，．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）直接根据线性回归方程的公式计算即可；

（2）根据题意列出基本事件，再得出抽中的3家企业中恰有1家企业的收入附加额大于投资额的事件数，根据古典概型计算公式计算即可．

【小问1详解】

由，得：

，

由得，

所以年收入的附加额与投资额的线性回归方程为．

【小问2详解】

已知这8家企业中投资额不少于5百亿元的企业有5家，

其中收入附加额大于投资额的企业有2家，编号为，；余下3家编号为，，，现从中5家中任选3家，基本事件总数为10，情况如下：

，

，，

其中抽取的3家企业中恰有1家企业的收入附加额大于投资额的情况共有6种，情况如下：，

故抽取的3家企业中恰有1家企业的收入附加额大于投资额的概率．

20. 已知函数

（1）讨论的单调性；

（2）若函数，都有，求a的取值范围．

【答案】（1）答案见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）求导，分和两种情况讨论即可；

（2），分离参数可得，构造函数，利用导数求出函数的最大值即可得解.

【小问1详解】

，

当时，，所以函数在上单调递增，

当时，时，，时，，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

综上所述，当时，函数在上单调递增；

当时，函数在上单调递减，在上单调递增；

【小问2详解】

，即，

即，

令，则，

当时，，当时，，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

所以，

所以.

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：

（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；

（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

21. 已知椭圆E的中心在原点，周长为8的的顶点，为椭圆E的左焦点，顶点B，C在E上，且边BC过E的右焦点.

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）椭圆E的上、下顶点分别为M，N，点若直线 ， 与椭圆E的另一个交点分别为点S，T，证明：直线ST过定点，并求该定点坐标.

【答案】（1）   

（2）证明见解析，

【解析】

【分析】（1）根据椭圆定义直接求解即可；

（2）设出直线 方程，与椭圆方程联立，求出点S、T的坐标，写出直线 方程即可求出定点坐标.

【小问1详解】

由题意知，椭圆E的焦点在x轴上，

所以设椭圆方程为 ，焦距为，

所以周长为 ，即 ， ，

因为左焦点，所以，，

所以 ，

所以椭圆E的标准方程为 .

【小问2详解】

由题意知， , ，直线斜率均存在，

所以直线，与椭圆方程联立得 ，

对恒成立，

则 ，即 ，则 ，

同理 ， ，

所以 ，

所以直线 方程为： ，

所以直线过定点，定点坐标为 .

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．

（选修4-4 极坐标与参数方程）

22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），．以为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求的直角坐标方程；

（2）已知点，设与的交点为，．当时，求的极坐标方程．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据将极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）将曲线参数方程代入的直角坐标方程，根据的几何意义可设，，列出韦达定理，由求出，即可求出的普通方程与极坐标方程.

【小问1详解】

因为曲线的极坐标方程为，即，

因为，所以，

所以的直角坐标方程为.

【小问2详解】

将曲线的参数方程为（为参数）代入的直角坐标方程，

整理得，

由的几何意义可设，，

因为点在内，所以方程必有两个实数根，

所以，，

因为，

所以，

因为，所以，即，所以的普通方程为，

则的极坐标方程为.

（选修4-5 不等式选讲）

23 已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若关于x的不等式恒成立，求m的取值范围．

【答案】（1）或   

（2）．

【解析】

【分析】（1）分区间讨论求解不等式即可得解；

（2）利用绝对值三角不等式求出的最小值，由不等式恒成立求解.

【小问1详解】

当时，令，得，所以；

当时，令，得，无解；

当时，令，得，所以．

综上，原不等式的解集为或．

【小问2详解】

，

当且仅当时，取得最小值，

，在时取得最大值．

又因为关于x的不等式恒成立，

所以，

即，所以m的取值范围为．