（3）函数——2023年中考数学真题专项汇编

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（3）函数——2023年中考数学真题专项汇编
1.【2023年天津】如图，要围一个矩形菜园ABCD，共中一边AD是墙，且AD的长不能超过26 m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40 m.有下列结论：
①AB的长可以为6 m；
②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为；
③菜园ABCD面积的最大值为.
其中，正确结论的个数是( )

A.0 B.1 C.2 D.3
2.【2023年河南】如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B.设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为( )

A.6 B.3 C. D.
3.【2023年安徽】下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是( )
A. B. C. D.
4.【2023年山西】已知,,都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系用“<”连接的结果是( )
A. B. C. D.
5.【2023年安徽】已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为( )

A. B.
C. D.
6.【2023年陕西】在平面直角坐标系中，二次函数（m为常数）的图像经过点，其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有( )
A.最大值5 B.最大值 C.最小值5 D.最小值
7.【2023年河北】如图是一种轨道示意图，其中和均为半圆，点M，A，C，N依次在同一直线上，且.现有两个机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为和.若移动时间为x，两个机器人之间距离为y，则y与x关系的图象大致是( )

A. B.
C. D.
8.【2023年河北】已知二次函数和（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为( )
A.2 B. C.4 D.
9.【2023年天津】若直线向上平移3个单位长度后经过点，则m的值为________.
10.【2023年安徽】如图，O是坐标原点，的直角顶点A在轴的正半轴上，，，反比例函数的图象经过斜边OB的中点C.

（1）__________；
（2）D为该反比例函数图象上的一点，若，则的值为____________.
11.【2023年陕西A】如图，在矩形OABC和正方形CDEF中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边BC上，，.若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是__________.

12.【2023年福建】已知抛物线经过,两点，若A,B分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则n的取值范围是_________.
13.【2023年北京】在平面直角坐标系xOy中，，是抛物线上任意两点.设抛物线的对称轴为.
（1）若对于，有，求t的值；
（2）若对于，，都有，求t的取值范围.
14.【2023年天津】已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离宿舍0.6 km，体育场离宿舍1.2 km，张强从宿舍出发，先用了10 min匀速跑步去体育场，在体育场锻炼了30 min，之后匀速步行了10 min到文具店买笔，在文具店停留10 min后，用了20 min匀速散步返回宿舍.下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离.图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系.

请根据相关信息，回答下列问题：
（1）①填表：
张强离开宿舍的时间/min
1
10
20
60
张强离宿舍的距离/km

1.2


②填空：张强从体育场到文具店的速度为________；
③当时，请直接写出张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式；
（2）当张强离开体育场15 min时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，如果李明的速度为，那么他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可）
15.【2023年河南】小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案.如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点B为顶点，分别作菱形AOCD和菱形OBEF，点D，E在x轴上，以点O为圆心，OA长为半径作，连接BF.

（1）求k的值；
（2）求扇形AOC的半径及圆心角的度数；
（3）请直接写出图中阴影部分面积之和.
16.【2023年江西】如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交反比例函数的图象于点C.

(1)求直线AB和反比例函数图象的表达式；
(2)求的面积.
17.【2023年天津】已知抛物线（b，c为常数，）的顶点为P，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，抛物线上的点M的横坐标为m，且，过点M作，垂足为N.
（1）若,.
①求点P和点A的坐标；
②当时，求点M的坐标；
（2）若点A的坐标为，且，当时，求点M的坐标.
18.【2023年重庆A】如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交x轴于点，B两点，交y轴于点C.

（1）求抛物线的表达式.
（2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作于点D，过点P作y轴的平行线交直线BC于点E，求周长的最大值及此时点P的坐标.
（3）在（2）中周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点.在平面内确定一点N，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程.
19.【2023年河南】小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析.
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离，，，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系.

（1）求点P的坐标和a的值.
（2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网.要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式.
20.【2023年安徽】在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线经过点，对称轴为直线.
（1）求a，b的值；
（2）已知点B，C在抛物线上，点的横坐标为t，点C的横坐标为.过点B作x轴的垂线交直线OA于点D，过点C作x轴的垂线交直线OA于点E.
（ⅰ）当时，求与的面积之和；
（ⅱ）在抛物线对称轴右侧，是否存在点，使得以B，C，D，E为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出B点的横坐标t的值；若不存在，请说明理由.
21.【2023年陕西A】某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案.现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：

方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高.其中，点N在x轴上，，.
方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高.其中，点在x轴上，，.
要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）.方案一中，矩形框架ABCD的面积记为，点A、D在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上．现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：
（1）求方案一中抛物线的函数表达式；
（2）在方案一中，当时，求矩形框架ABCD的面积并比较，的大小.
22.【2023年山西】综合与研究
如图，二次函数的图象与x轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点，与y轴交于点C.

（1）求直线AB的函数表达式及点C的坐标.
（2）点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作直线轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m.
①当时，求m的值.
②当点P在直线AB上方时，连接OP，过点B作轴于点Q，BQ与OP交于点F，连接DF.设四边形FQED的面积为S，求S关于m的函数表达式，并求出S的最大值.
23.【2023年河北】在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式：从点移动到点称为一次乙方式.
例：点P从原点O出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点；若都按乙方式，最终移动到点；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点.

（1）设直线经过上例中的点M，N，求的解析式；并直接写出将向上平移9个单位长度得到的直线的解析式；
（2）点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点.其中，按甲方式移动了m次.
①用含m的式子分别表示x，y；
②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上.设这条直线为，在图中直接画出的图象；
（3）在（1）和（2）中的直线，，上分别有一个动点A，B，C，横坐标依次为a，b，c，若A，B，C三点始终在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式.
答案以及解析
1.答案：C
解析：设，则.由题意知，解得，AB的长不可以为6 m，故结论①不正确..令，整理，得，解得，，经检验，这两个根都符合题意，故结论②正确.，，当时，最大，最大值为200，故结论③正确.故选C.
2.答案：A
解析：当时，，此时，点P在线段BC的垂直平分线上运动.设点P运动的第一段路线的终点为O，如图，连接OC，则，.由函数图象可知，，，点O为等边三角形ABC的外心，，.过点O作于点F，则，，.故选A.

3.答案：D
解析：逐项分析如下.故选D.
选项
分析
是否符合题意
A
抛物线开口向上，当时，y随x增大而减小；当时，y随x增大而增大.
否
B
抛物线开口向下，当时，y随x增大而增大；当时，y随x增大而减小.
否
C
，y随x增大而增大.
否
D
，y随x增大而减小.
是
4.答案：D
解析：，反比例函数的图象位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大.，，，.
5.答案：A
解析：由反比例函数的图象可知，，故函数的图象与y轴交于正半轴，由此排除选项B，C.观察选项A，D，可知二者的一个区别在于当时y值的正负，此时.由题图可知，当时，反比例函数与一次函数的函数值相等，即，，对于函数，当时，、.故选A.
6.答案：D
解析：因为二次函数经过点，所以，解得，.因为该抛物线的对称轴在y轴的左侧，所以，所以.故该二次函数的表达式为.因为，所以该二次函数有最小值.
7.答案：D
解析：当两个机器人分别沿和沿运动时，y随x的增大而减小；当两个机器人分别沿和沿运动时，y等于圆的直径；当两个机器人分别沿和沿运动时，y随x的增大而增大.故选D.
8.答案：A
解析：对于函数，当时，，，抛物线与x轴的交点坐标分别为，，其对称轴为直线.对于函数，当时，，，抛物线与x轴的交点坐标分别为，，其对称轴为直线.这两个函数的图象与x轴都有两个交点，.当时，这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，，解得（舍去），，这两个函数图象对称轴之间的距离为2.当时，同理可求得这两个函数图象对称轴之间的距离也为2.
9.答案：5
解析：平移后的直线的解析式为，将代入，得.
10.答案：（1）
（2）4
解析：（1）在中，，，则，，.点C是OB的中点，，.
（2）由（1）可知，结合，利用待定系数法计算可得直线AC的解析式为.，，直线BD可看成是直线AC向上平移2个单位长度得到的，直线BD的解析式为.联立直线BD与反比例函数的解析式，得，整理，得，解得，，，，.
11.答案：
解析：设，则点，点，点B，E在同一个反比例函数的图象上，，.，该反比例函数的表达式为.
12.答案：
解析：（第一步：求出抛物线的对称轴.）
对于抛物线，对称轴为直线.
（第二步：分两种情况讨论.）
若点A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，则分点A在对称轴左侧，点B在对称轴右侧和点A在对称轴右侧，点B在对称轴左侧两种情况讨论.当点A在对称轴左侧，点B在对称轴右侧时，，，此时n不存在.当点A在对称轴右侧，点B在对称轴左侧时，，，此时.由可知，点B到抛物线的对称轴的距离更远，，，.
（第三步：归纳总结.）
综上，n的取值范围为.
13.答案：(1)
(2)
解析：(1)当，时，，
抛物线的对称轴为直线，
.
(2)，抛物线开口向上，
抛物线上离对称轴越远的点纵坐标越大.
又，抛物线的对称轴为直线，
点M到直线的距离小于点N到直线的距离.
由题意知点M在点N左侧.
连接MN，则MN中点的横坐标为.
由可知MN的中点在直线的右侧，.
，，，，
.
14.答案：（1）①从左到右依次填：0.12 1.2 0.6
②0.06
③当时，；
当时，.
（2）0.3 km
解析：（1）略
（2）由题意可知，当时，李明离开体育场，
当时，李明回到宿舍.
当时，设李明离开宿舍的距离与时间x的函数关系式为，
将，分别代入，可求得，，
.
由题意易知李明在回宿舍的途中遇到张强时，.
令，解得.当时，，
李明在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是0.3 km.
15.答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）点在反比例函数的图象上，.
（2）如图，连接AC交OD于点G.

四边形AOCD为菱形，，.
点A的坐标为，，，
，，
，.
综上，扇形AOC的半径为2，圆心角的度数为60°.
（3）设OE，BF交于点N，四边形OBEF是菱形，
，，.
又，
.
16.答案：(1)直线AB的表达式为，反比例函数图象的表达式为
(2)
解析：(1)直线与反比例函数的图象交于点，
，，
，，
直线AB的表达式为，反比例函数图象的表达式为.
(2)易得.
轴，
C点的纵坐标为1，BC与x轴的距离为1.
令，得，.
如图，过点A作于点D，

则，
.
17.答案：（1）①；②
（2）
解析：（1）①由，，得抛物线的解析式为。
，点P的坐标为.
当时，，解得，.
又点A在点B的左侧，点A得坐标为.
②过点M作轴于点E，与直线AC相交于点F.易得点.
又点，，在中，，
在中，.
抛物线上的点M的横坐标为m，其中，
点，点，
，，
.
在中，易得，.
又，，即，解得，（舍去），
点M的坐标为.
（2）点在抛物线上，其中，
，得，抛物线的解析式为，
点，其中.
，
顶点P的坐标为，对称轴为直线.
过点M作于点Q，则，点.
由，得，于是，
，
整理，得，解得，（舍去），
点.
同（1），过点M作轴于点E，与直线AC相交于点F，
则点，点.
，
，
即，解得，（舍去），
点M的坐标为.
18.答案：（1）
（2）
（3）见解析
（1）把，分别代入中，
得解得
故该抛物线的表达式为.
（2）由（1）易得，，，，.
根据直线BC过点，，易得直线BC的表达式为.
轴，.又，，
，，，.
设，，则，
，
，当时，PE有最大值2，
周长的最大值是，
此时点P的坐标为.
（3）满足条件的点N的坐标为，或.
抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，即抛物线向右平移2个单位长度，向下平移1个单位长度，
平移后的抛物线的对称轴为直线.
设，，
①当AP为菱形的对角线时，
由题意得，即，
解得，，，，
，，.
②当AP为菱形的边时，若，则，
解得，，，，
，，或.
若，则，此方程无解.
（注：写出点N的一种情况的求解过程即可）

19.答案：（1）-0.4
（2）选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近
解析：（1）依题意知，点P为直线与y轴的交点.
当时，，点P的坐标为.
抛物线经过点P，，解得.
（2），，.
若选择扣球，当时，得，解得，
此时，球的落地点到C点的距离为.
若选择吊球，由（1）知，.
当时，得，解得，（舍），
此时球的落地点到C点的距离为.
，应选择吊球.
20.答案：（1），
（2）（ⅰ）2
（ⅱ）存在，
解析：（1）抛物线的对称轴为直线，，.
将代入，得，
解得，.
（2）（ⅰ）如图（1），易知直线OA的解析式为.

由题意可知，，，，
，，
，
，
.
（ⅱ）存在.
过点D作于点H，则.
分以下2种情况讨论.
①当时，如图（2），易知四边形DCEB为梯形，
此时，，，
.
令，解得.

②当时，如图（3），易知四边形DBCE为梯形，

此时，，，
.
令，解得（舍），（舍）.
综上所述，t的值为.
21.答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意知，方案一中抛物线的顶点为，
设，且该抛物线经过点，
解得，.
（2）令，则，
解得，，，

，而，.
22.答案：（1）（2）①2，3或；②
解析：（1）对于，当时，，
解得，.
点A在x轴正半轴上，点A的坐标为.
设直线AB的函数表达式为.
将A，B两点的坐标，分别代入，
得解得直线AB的函数表达式为.
将代入，得，点C的坐标为.
（2）①点P在第一象限内二次函数的图象上，
且轴于点E，与直线AB交于点D，其横坐标为m，
点P，D的坐标分别为，，
，，.
点C的坐标为，.
，.
如图（1），当点P在直线AB上方时，
.
，，解得，.

如图（2），当点P在直线AB下方时，
.
，，解得.
，.
综上所述，m的值为2，3或.
②如图（3），由①得，，，.

轴于点Q，交OP与点F，点B的坐标为，
，.
点P在直线AB上方，.
轴于点E，.，
，，，
，，四边形FQED为平行四边形.
又轴，四边形FQED为矩形，
，即.
，，，
当时，S取最大值，最大值为.
23.答案：（1）直线的解析式为；将直线向上平移9个单位长度得到的直线的解析式为
（2）①，
②见解析
（3）
解析：（1）设直线的解析式为，
把，分别代入，
得解得
直线的解析式为.
将直线向上平移9个单位长度得到的直线的解析式为.
（2）①点P从原点O出发连续移动10次，按照甲方式移动了m次，
点P按照乙方式移动了次，
，.
②由①知，，，
，，
无论m怎么变化，点Q都在直线上.
直线的图象如图所示.

（3）a，b，c之间的关系式为.
解析：点A，B，C的横坐标分别为a，b，c，且分别在直线，，上，
，，.
设直线AB的解析式为，
把点A，B的坐标分别代入，
得
解得
直线AB的解析式为.
A，B，C三点始终在一条直线上，
，
整理，得.