2022-2023学年江苏省苏州市常熟市高一下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年江苏省苏州市常熟市高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．若复数满足，则的虚部是（    ）

A．3 B． C． D．

【答案】A

【分析】根据共轭复数及复数的概念判断即可.

【详解】因为，所以，所以的虚部是.

故选：A

2．已知向量，，则在上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用投影向量的定义即可得出答案.

【详解】设与的夹角为，

则在上的投影向量为: .

故选：B.

3．定义：，其中为向量与的夹角，若，，，则等于（    ）

A．8 B． C．8或 D．6

【答案】A

【分析】由向量数量积定义可求得，根据同角三角函数关系可得，代入定义式即可求得结果.

【详解】，，

又，，

.

故选：A.

4．在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据平面向量三点共线定理和平面向量基本定理，由对应系数相等列方程求解即可.

【详解】由题可知，

∵点F在BE上，

∴，

∴．

∴，．

∴．

故选：C．

5．在中，若，则的形状为（    ）

A．等腰三角形

B．直角三角形

C．等腰直角三角形

D．等腰三角形或直角三角形

【答案】D

【分析】利用诱导公式和两角和差的正弦公式、正弦的二倍角公式化简已知条件，再结合角的范围即可求解.

【详解】因为，

由可得：，

即，

所以，

所以，

所以或，

因为，，

所以或，

所以的形状为等腰三角形或直角三角形，

故选：D.

6．已知，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】利用两角和与差的正弦公式，诱导公式化简已知等式可得，进而利用诱导公式，二倍角公式化简所求即可求解．

【详解】因为

，

所以，

故选：D

7．在中，内角A，B，C，.若对于任意实数x，不等式恒成立，则实数t的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】设，则，并确定的取值范围，再由关于的一元二次不等式恒成立，，求出间的不等量关系，利用的取值范围，即可求出结果.

【详解】在中，，

记，则.因为，所以，从而，

所以可化为，

即，恒成立，所以依题有，

化简得，即得恒成立，又由，得或.

故选：A．

【点睛】本题以一元二次不等式恒成立为背景，考查同角间的三角函数关系，考查不等式的关系，属于较难题.

8．若，，平面内一点，满足，的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由条件可得，是角平分线，然后由角平分线的性质可得，设，则，然后，即可得出的最大值.

【详解】

由，可得

因为，所以，即是角平分线

所以由角平分线的性质可得

设，则，由可得

因为

当且仅当，即时等号成立，即的最小值为

所以的最大值是

故选：C

【点睛】本题考查了平面向量的数量积、余弦定理和利用基本不等式求最值，考查了学生的分析转化能力，属于中档题.

二、多选题

9．下列关于平面向量的说法中正确的是（    ）

A．已知均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得

B．已知非零向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是

C．若且，则

D．若点为的重心，则

【答案】AD

【分析】由向量共线定理可判断选项A；由向量夹角的的坐标表示可判断选项B；由数量积的运算性质可判断选项C；由三角形的重心性质即向量线性运算可判断选项D.

【详解】对于选项A： 由向量共线定理知选项A正确；

对于选项B：，若与的夹角为锐角，则

解得，当与共线时，，解得：，此时，，此时夹角为，不符合题意，所以实数的取值范围是，故选项B不正确；

对于选项C：若，则，因为，则或与垂直，

故选项C不正确；

对于选项D：若点G为的重心，延长与交于，则为的中点，所以，所以，故选项D正确.

故选：AD

【点睛】易错点睛：两个向量夹角为锐角数量积大于，但数量积大于向量夹角为锐角或，由向量夹角为锐角数量积大于，需要检验向量共线的情况. 两个向量夹角为钝角数量积小于，但数量积小于向量夹角为钝角或.

10．欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列选项中正确的是（    ）

A．对应的点位于第二象限 B．为纯虚数

C．的模长等于 D．的共轭复数为

【答案】ABC

【分析】根据欧拉公式结合复数在复平面内对应的点的特征、纯虚数的概念、复数的模长公式、以及共轭复数的概念逐项分析即可得出结论.

【详解】对于A：，

在复平面内对应的点为位于第二象限，故A正确；

对于B：，为纯虚数，故B正确；

对于C：，

所以，故C正确；

对于D：，所以的共轭复数为，故D错误.

故选：ABC.

11．将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则（    ）

A．在上是减函数

B．由可得是的整数倍

C．是奇函数

D．函数在区间上有个零点

【答案】AC

【分析】对于A，确定的取值范围，根据正弦函数的单调性即可判断；对于B，举反例即可判断；对于C，根据三角函数的图象的平移变换确定的解析式，再判断奇偶性即可；对于D，求出函数在一个周期内的零点个数，即可判断.

【详解】由题意知，

对于A.当时，，

因为在上单调递减，

所以在上是减函数，A正确

对于B.当，时，，但不是的整数倍，B错误

对于C.由题意，得，故是奇函数，C正确

对于D.由，可得.

当时，，

令或，则或，

因此在上有两个零点，而含有个周期，

因此在区间上有个零点，D错误.

故选：AC.

12．奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车()的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．若是锐角内的一点，是的三个内角，且点满足，则（    ）

A．为的垂心 B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】利用数量积的运算律可整理得到，同理，，知A正确；

推导得到，由此可证得B正确；

由数量积的定义和B的结论可求得，同理得，，作比可得到结果，知C错误；

利用三角形面积公式和B的结论表示出，同理得到，作比后代入C中推导的结论可得，由此证得D正确.

【详解】对于A，，，即，

同理可证得：，，是的垂心，A正确；

对于B，延长交于两点，

由A可知：，，，，

，又，，B正确；

对于C，由B可得：，

同理可得：，，

，

，C错误；

对于D，由B可得：，

同理可得：，，

，

由C可得：，

又，，D正确.

故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量在三角形中的应用，涉及到垂心的向量表示、向量数量积的定义等知识；解题关键是能够通过数量积的定义和运算律，将所证内容进行转化，得到三角形面积或向量模长与角的正余弦值之间的关系.

三、填空题

13．若是虚数单位，，则           .

【答案】/

【分析】根据复数的运算性质与复数的模长公式计算即可.

【详解】化简原式，可得，

所以，所以.

故答案为：

14．已知空间向量，满足，，且，的夹角为，若，则实数等于      .

【答案】

【分析】运用平面向量数量积乘法分配律计算.

【详解】依题意有 ，即 ，

由条件知 ，

，  ；

故答案为：  .

15．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为           m．

【答案】

【分析】根据已知的边和角，在中，由正弦定理解得，在中，由余弦定理得.

【详解】因为，，所以，，所以，

又因为，所以，，

在中，由正弦定理得，即，解得，

在中，由余弦定理得，

所以，解得．

故答案为：

四、双空题

16．如图，中，，，，为重心，为线段上一点，则的最大值为          ，若、分别是边、的中点，则的取值范围是          ．

【答案】     20    

【分析】利用向量求得的表达式，由此求得的最大值. 利用向量求得的表达式，由此求得的取值范围.

【详解】由余弦定理，，

由于，所以.

设是中点，则共线，如图，

，

.

，

.

因为的最大值为，

所以的最大值为.

，

其中，即，

所以，故.

即的取值范围是.

故答案为：；

【点睛】关键点睛：本题的关键在于利用向量数量积运算得到，从而转化为求的范围即可，同理得到，再代入相关数据转化为求的范围即可.

五、解答题

17．（1）已知复数z在复平面内对应的点在第二象限，，且，求z；

（2）已知复数为纯虚数，求实数m的值.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）根据模长公式以及复数的加法运算，结合对应的象限得出z；

（2）根据复数的四则运算以及纯虚数的定义得出m的值.

【详解】解：（1）设，由题意每，

解得，，

∵复数z在复平面内对应的点在第二象限，∴，∴.

（2）

，

由题意得，解得

18．已知平面直角坐标系内三点、、在一条直线上，满足，，，且，其中为坐标原点.

（1）求实数，的值；

（2）设的重心为，且，求的值.

【答案】（1），或.（2）

【分析】（１）依据题设运用向量的垂直与平行建立方程组求解；（２）借助题设及向量的数量积公式分析求解：

【详解】解：（1）因为三点，，在一条直线上，所以，

又，，所以，①

因为 ，所以，即，②

由①、②解得，或.

（2）因为为的重心，且，所以点为线段的中点，

所以，.

所以，，

因此.

19．已知向量，，且函数.

（1）若，且，求的值；

（2）若将函数的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将所得图像向左平移个单位，得到的图像，求函数在的值域.

【答案】（1）（2）.

【分析】（1）先根据已知条件求出函数解析式，再根据条件以及角的范围即可求出结论；

（2）先求出的解析式，再根据三角函数的单调性即可求解．

【详解】（1）由条件可得：；

；

．因为，

，

．

（2）函数的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，

得，

再将所得图像向左平移个单位，

得；

当时，．

当时，；当时，，

所以函数在的值域是．

【点睛】本题考查数量积运算性质、三角函数的性质及图像变换，考查逻辑推理能力与运算求解能力，求函数的值域时注意整体思想的运用．

20．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工且，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用，明朝科学家徐光启所著《农政全书》中描绘了筒车的工作原理.如图，一个半径为3m的筒车，按逆时针方向转一周的时长为2min，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5m.筒车上均匀分布了12个盛水筒，设筒车上的某个盛水筒Р到水面的距离为y（单位：m）（在水面下则y为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则y与时间t（单位：min）之间的关系为.

（1）求，，，的值；

（2）盛水筒出水后至少经过多少时间就可以到达最高点；

（3）在筒车运行的过程中，求相邻两个盛水筒距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求出高度差的最大值.

【答案】（1），，；（2）；（3）h，，最大值为.

【分析】（1）直接由题意求出，，，的值；

（2）求出函数解析式，由函数最大值为，可得，即，取得答案；

（3）设两个相邻的盛水筒分别用和表示（不妨设领先于，则，分别求出经过相邻两个盛水筒距离水面的高度，作差后利用三角函数求最值．

【详解】解：（1）由题知，得，

由题意得，，.

（2）由，得，

所以，即，

当时，盛水筒出水后第一次到达最高点，此时.

（3）设两个相邻的盛水筒分别用A和B表示（A领先于B），则经过相邻两个盛水筒距离水面的高度分别和，

所以，，

所以的最大值为.

21．在三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.

在中，角的对边分别为，为的面积，且选条件：

(1)求

(2)作使得四边形满足，，求的取值范围.

【答案】(1)条件选择见解析，

(2)

【分析】（1）根据所选条件，采用正余弦定理或者三角形面积公式一一计算即可

（2）设，根据题意，利用正弦定理将表示成关于的代数表达式，通过表达式的值域从而确定的取值范围

【详解】（1）选①： ，由正弦定理可得：

，整理得：

即 ，

选②： ，由正弦定理可得：

，整理得：

即 ，

选③：

， ，

综上，无论选择哪个条件，

（2）设，则

在中，由正弦定理得

可得

在中，由正弦定理得

可得

，

当时，即，可得

当时，即，可得

的取值范围是

22．对于函数，，任意，，且，，，都有，，是一个三角形的三边长，则称函数为上的“完美三角形函数”．

(1)设，，若函数是上的“完美三角形函数”，求实数的取值范围

(2)在满足且的条件下，令函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)用数量积公式求出g(x)的解析式，由辅助角公式化简，分类讨论求出范围.

(2)将h(x)展开并换元，由已知条件转化为求最值.

【详解】（1）因为，

所以，

因为，所以，

当时，，由题意，得，解得；

当时，，由题意，得，解得；

当时，，满足题目要求         

综上可得

所以实数k的取值范围为

（2），

令，则．

故   

因为任意的，总存在，使得成立，

所以

所以，即，所以

故实数的取值范围为