浙江省台州市玉环市玉城中学2023-2024学年高一数学上学期开学考试试题（Word版附答案）

2023级高一新生入学考试试卷（数学）

一．选择题（10×3′，共30分）

1．下列计算正确的是（　　）

A. x2+x3=x5    B.   C.（x2）3=x6    D.（2x）3= 6x3

2.三个大小一样的正方体按如图摆放，它的主视图是（　　）

A．B．C． D．

3．如图，点 ， ， ， 均在以点 为圆心的圆 上，连接 ， 及顺次连接 ， ， ， 得到四边形 ，若 ， ，则 的度数为（　 　） 

   A．20°   B．25°    C．30°  D．35°

4．如果，那么下列式子中一定成立的是（ 　　）

A．  B．  C．  D．

5. 已知集合U= ，，，则=（　　）

A．  B．   C．    D．

6．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，△DEF的面积等于3，则此正方形ABCD的面积等于（　　 ） 

A．6   B．12   C．16   D．18

7．如图，的直角顶点O为坐标原点，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，交y轴于点C，则k的值为（　　）

A．     B．     C．     D．

8．使不等式（2x+1）（x-3）≥0成立的一个充分不必要条件是（     ）

A．x≥0   B．x<0或x>2    C．X∈  D．

9．若关于的一元二次不等式的解集为，则实数的取值范围是（　　）

A．或 B．

C．或 D．

10．如图，正方形的边长为，点P，Q同时从点A出发，速度均为，若点P沿向点C运动，点Q沿向点C运动，则的面积与运动时间之间函数关系的大致图象是（　  　）

A． B． C． D．

二．填空题（6×3′，共18分）

11．二次函数y=2x²-3x+5在-2≤x≤2上的最大值是　     　.

12．如图，在正方形中，，点，分别在边，上，．若将四边形沿折叠，点恰好落在边上点处，则的长度为　     　

13．如果三角形的一个外角等于与它相邻的内角的4倍，等于与它不相邻的一个内角的2倍，则此三角形最小内角的度数是　     　.

14．关于x的方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是　        　.

15．如图，正方形的边长为1，的平分线交于点E.若点P，Q分别是和上的动点，则的最小值是　     　.

16．已知，则的最小值是　     　．

三．解答题

17．（9′）（1）计算（a+b）(a²-ab+b²）-（a+b）²

（2）分解因式①     ②2ax-10ay+5by-bx

18．（8′）某校随机抽取部分学生的体重为样本绘制如图所示的频数分布直方图（每组数据含最小值，不含最大值），已知从左至右前四组的频率依次为0.05，0.10，0.25，0.35，结合该图提供的信息回答下列问题：

（1）抽取的学生人数共有　     　人，体重不低于58千克的学生有　     　人；

（2）这部分学生体重的中位数落在第　     　组；

（3）在这次抽样测试中，第一组学生的体重分别记录如下：40，40，41，42，43．如果要从这组学生中随机抽取2人，求被抽到的2人体重都不低于41千克的概率．

19.（7′）判断函数f（x）=在区间（1，+∞）上的单调性，并用单调性定义证明.

20．（9′）如图，是的直径，点C在上，且．

（1）尺规作图：过点O作的垂线，交劣弧于点D，连接（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）所作的图形中，求点O到的距离及的值．

21. （9′）如图1，抛物线 与 轴交于点 、点 ，与 轴交于点 ，顶点 的横坐标为1，对称轴交 轴交于点 ，交 与点 .

（1）求顶点 的坐标；

（2）如图2所示，过点 的直线交直线 于点 ，交抛物线于点 .

    ①若直线 将 分成的两部分面积之比为 ，求点 的坐标；

    ②若 ，求点 的坐标.

22．（10′）如图

（1）【问题发现】如图1，P是半径为2的⊙O上一点，直线m是⊙O外一直线，圆心O到直线m的距离为3，PQ⊥m于点Q，则PQ的最大值为　     　；

（2）【问题探究】如图2，将两个含有30°角的直角三角板的60°角的顶点重合（其中∠A==30°，∠C=∠C'=90°），绕点B旋转，当旋转至CC′=4时，求的长；

（3）【问题解决】如图3，点O为等腰RtABC的斜边AB的中点，AC=BC=5，OE=2，连接BE，作RtΔBEF，其中∠BEF=90°，tan∠EBF=，连接AF，求四边形ACBF的面积的最大值．

数学答案

一．（10×3′）选择1----------5  CBCAA             6---------10  DBCBC

二．填空 （6×3′）

11.   19             12.  2          13.  36      

14. -1≤k<2且k≠   15.          16.  6

三．解答题

17.（9分，）

（1）   （3分）

（2）（x+4）（2x+3）     （3分）

（3）（x-5y）（2a-b）     （3分）

18（8分）

（1）100   25       （2分）

 （2）四                    （2分）

  （3）列表法或树状图或列举   概率为     （4分）

19（7分）单调递减 （过程略）

20（9分）解：分别以 为圆心， 的长为半径画弧，连接两弧交点，与圆的交点即为D，则即为的垂线，连接，下图即为所求；

            （3分）

（2）

证是的中位线，

，∴点O到的距离是3    （3分）

∴，

∴，

∴，

∴点O到的距离是3，的值为．  （3分）

21（9分）（1）函数解析式       （3分）

（2）解：①由（1）得

当y=0时，x1=-1，x2=3，

∴B（3，0），即BO=3，

如图，取 的三等分点 ，过点 分别作x轴，y轴的平行线分别交DE、x轴于点G、H、P、Q，

则可得△DGM1∽△DHM2∽△DEB，△BQM2∽△BPM1∽△BED，且相似比为1：2：3，

∴

同理可得：

∴点 的坐标为： ，            （3分）

②

取线段 的中点 ，作直线GM，

∵点B（3，0），点C（0，3）

∴中点G的坐标为

∵ ，点G为线段 的中点，

∴GM⊥BC，

∴设直线GM为y=x+m

将 代入得m=0，

∴①

设直线BD为y=kx+n

将 坐标代入得k=-2，n=6，

∴②

联立①②可得

∴

设直线MC为y=k2x+n2

将 坐标代入得k2= ，n2=3，

∴③

联立③与 可得

∴

故 的坐标为 .                        （3分）

22（10分）

（1）5     （2分）

  （2）证   再求出AA’ =8  （3分）

（3）过O作OM垂直于AB,使得OM/OB=3/4,可证△FMB相似于EOB

则F点在以M为中心，半径为5/2为的圆上，OM=15/4

当O,M,F在同一直线上时OF的最大值是25/4

四边形ACBF的面积的最大值=      （5分）