江西省宜春市上高县2022-2023学年高二数学下学期第二次月考（4月）试题（Word版附解析）

上高县高二下学期第二次月考数学试卷4.1

一、选择题(共8题)

1.  已知集合，，R，若，则(    )

A.  B. 2 C.  D. 1

2.  函数的图象大致形状是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  若实数a，b，c满足，其中，则下列结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  设a是函数的最大值，则二项式的展开式中含项的系数是(    )

A. 192 B. 182 C.  D.

5.  若，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  对于数列，定义为的“优值”．现已知某数列的“优值”，记数列的前n项和为，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知椭圆的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于不同的两点A，B，若P为线段AB的中点，O为坐标原点，直线OP的斜率为，则椭圆C的方程为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  设双曲线C：的左、右焦点分别为、，点P在C上，且满足若满足条件的点P只在C的左支上，则C的离心率的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题(共4题)

9.  函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，且是奇函数，则(    )

A.  B. 在区间上的最大值为
C.  D. 在区间上的最大值为

10.  已知i为虚数单位，复数z满足，则下列说法正确的是(    )

A. 复数z的模为 B. 复数z的共轭复数为
C. 复数z的虚部为 D. 复数z在复平面内对应的点在第一象限

11.  我校以大课程观为理论基础，以关键能力和核心素养的课程化为突破口，深入探索普通高中创新人才培养的校本化课程体系.本学期共开设了八大类校本课程，具体为学课拓展、体艺特长、实践创新、生涯找划、国际视野、公民素养、大学先修、PBL项目课程八大类，假期里决定继续开设这八大类课程，每天开设一类且不重复，连续开设八天，则(    )

A. 某学生从中选3类，共有56种选法
B. 课程“X”、“T”排在不相邻两天，共有种排法
C. 课程中“S”、“C”、“T”排在相邻三天，且“C”只能排在“S”与“T”的中间，共有720种排法
D. 课程“T”不排在第一天，课程“G”不排在最后一天，共有种排法

12.  如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，D是棱的中点，P是AD的延长线与的延长线的交点.若点Q在直线上，则下列结论错误的是.(    )

 

A. 当Q为线段的中点时，平面
B. 当Q为线段的三等分点时，平面
C. 在线段的延长线上，存在一点Q，使得平面
D. 不存在点Q，使DQ与平面垂直

三、填空题(共4题)

13.  随机变量X的概率分布规律为，，2，3，4，其中c是常数，则的值为__________.

14.  已知是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，，都有成立． 数列满足，且则数列的通项公式__________.

15.  已知圆C：，从点发出的光线，经直线反射后，恰好经过圆心C，则入射光线的斜率为__________.

16.  已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆C交于M，N两点，若且，则椭圆C的离心率为__________.

四、解答题(共6题)

17.  已知圆

若直线过定点，且与圆C相切，求直线的方程;

若圆D的半径为3，圆心在直线上，且与圆C外切，求圆D的方程.

18.  已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
求角A的大小；
若AD平分，交BC于点D，且，，求的面积.






 

19.  新高考改革是中央部署全面深化改革的重大举措之一，为了了解学生对于选择物理学科的倾向，某中学在一次大型考试后，对本年级学生物理成绩进行分析，随机抽取了300名同学的物理成绩均在分之间，将抽取的成绩分组为得到如图所示的频率分布直方图．

求这300名同学物理平均成绩与标准差s的估计值同一组中的数据用该组区间的中点值为代表结果精确到
已知全年级同学的物理成绩服从正态分布，其中，分别取中的，现从全年级随机选取一名同学的物理成绩，求该成绩在区间的概率．结果精确到
根据的条件，用频率估计概率，现从全年级随机选取n名同学的物理成绩，若他们的成绩都在的概率不低于，求n的最大值．为整数
附：，
若，则，






 

20.  如图所示的几何体由等高的个圆柱和个圆柱拼接而成，点G为弧的中点，且C、E、D、G四点共面.
证明：平面
若直线DF与平面AFB所成角为，求平面BDF与平面ABG所成锐二面角的余弦值.

21.  设是正数组成的数列，其前n项和为，并且对于所有的，都有

写出数列的前3项； 

求数列的通项公式写出推证过程；

设是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m的值.

22.  已知椭圆M：的左、右焦点分别为，，，右顶点，点B为椭圆上一动点，且的面积的最大值为，O为坐标原点．

求椭圆M的方程；

设直线AB的斜率为，直线AB交y轴于点C，D为AB的中点，是否存在定点E，对于任意的都有若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题主要考查了集合的相等，集合元素的互异性，属于中档题.
由题意可知， 或，，分别求解a，b的值，然后验证，从而得出结果.

【解答】

解：由题意，，
当时，，解得，，
此时，舍去，
当时，，解得，
此时，符合题意，
则
故选

2.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查函数的奇偶性及函数图象的作法，属于中档题.
判断函数的奇偶性及函数在时的单调性，进行排除即可选出答案．

【解答】

解：，且，
由题意，，
所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B、D；

时，是单调递减函数，排除

故选：

3.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查指数函数、对数函数单调性的运用，比较大小.
由题意，首先明确a，b，c的范围，然后根据指数函数，对数函数的性质分析解答.

【解答】

解：实数a，b，c满足，，
，，，，
，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确.
故选

4.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查二项式定理的应用，涉及三角函数的性质与恒等变形，属于中档题．
根据题意，由三角恒等变换可得，即可得a的值，再由二项式定理可得二项式的展开式的通项，令，解可得，将代入通项即可得答案．

【解答】

解：根据题意，函数，其最大值为2，则，
则二项式，
其展开式的通项为，
令，解可得，
则有，
即其展开式中含项的系数是；
故选

5.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查了二项式定理及其通项，属中档题
令，得，令，得，即可求.

【解答】

解：
令，则①，
令，则②，
①-②可得，，
则
故选：

6.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查等差数列的通项公式，数列的新定义问题，考查计算能力，属于中档题．
由的“优值”的定义可知，
当时，，则求得，则，
由数列的单调性可知当或9时，的前n项和 取最小值.

【解答】

解：由题意可知：，
则，
当时，，

当时，，
两式相减得：，
，当时成立，
，当时，，
故当或9时，的前n项和取最小值，
最小值为
故选

7.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查了椭圆的简单性质，中点弦问题，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.
设，，利用点差法，结合中点坐标公式和斜率公式可得，①，再根据，②，即可求解．

【解答】

解：设，，
则，，
两式相减可得，
为线段AB的中点，
，，
，
又，
，
，①，
由椭圆的左焦点在直线上，
，
即，②，
由①②可得，，
椭圆C的方程为，
故选

8.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考查了圆锥曲线中双曲线的相关性质，考查双曲线的离心率的取值范围，考查双曲线的长轴、短轴以及焦距之间的关系，考查推理能力，是中档题.

本题需要分类讨论，首先需要讨论“P在双曲线的右支上”这种情况，然后讨论“P在双曲线的左支上”这种情况，然后根据题意，即可得出结果.

【解答】

解：若P在双曲线的右支上，根据双曲线的相关性质可知，此时的最小值为，

因为满足题意的点P在双曲线的左支，所以，即，所以，①

若P在双曲线的左支上，根据双曲线的相关性质可知，此时的最小值为，

想要满足题意的点P在双曲线的左支上，则需要满足，即，所以，②

由①②得，
故选C。

9.【答案】AD 

【解析】

【分析】

本题考查函数的图象与性质，是中档题．
根据题意求得，然后根据图象平移法则及函数的奇偶性可写出函数的解析式，再根据三角函数的性质即可求得最值．

【解答】

解：因为函数的最小正周期为，所以
又是奇函数，
所以，化简得，
因为，所以，所以，
当时，，所以，故A，D正确，B，C错误.

10.【答案】CD 

【解析】

【分析】

本题考查复数的运算，考查共轭复数、虚部、复数的代数表示及其几何意义，属于基础题.
由复数的运算得出，再由共轭复数、虚部、复数的代数表示及其几何意义判断即可.

【解答】

解：，则，
，故A错误；

复数z的共轭复数为，故B错误；

复数z的虚部为，故C正确；

复数z在复平面内对应的点为，在第一象限，故D正确.

故选

11.【答案】ABD 

【解析】

【分析】

本题考查排列、组合的综合应用以及两个计数原理的综合应用 ，考查分析问题、解决问题的能力，属于难题.
利用排列、组合的的方法对选项逐一求解判断即可.

【解答】

解：对于A，八类中选3类共有种，故A正确;
对于B，课程“X”、“T”排在不相邻两天，使用插空法，共有种排法，故B正确;
对于C，课程“S”、“C”、“T”排在相邻三天，且“C”只能排在“S”与“T”的中间，共有种排法，故C错误;
对于D，课程“T”不排在第一天，课程“G”不排在最后一天，先分类：第一类当把G排在第一天时：有  排法；第二类当G不排在第一天时：所以共有种排法，故D正确.
故选：

12.【答案】ABC 

【解析】

【分析】

本题考查由空间向量法证明线面垂直，空间向量的探究问题，难度较大，属于较难题.
以为坐标原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，由空间向量法进行判断即可.

【解答】

解：以为坐标原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
 

则由，，，，

，，所以，

，，

设平面的一个法向量为，

则，取，则，，

所以平面的一个法向量为

假设平面，且，

则

因为也是平面的法向量，

所以与共线，

所以成立，

但此方程关于无解.

因此不存在点Q，使DQ与平面垂直，

故选：

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查离散型随机变量的分布列性质及概率分布，属于基础题.
根据所给的概率分布规律，写出四个变量对应的概率，根据分布列的性质，写出四个概率之和是1，解出c的值，要求的变量的概率包括两个变量的概率，相加得到结果.

【解答】

解：，，2，3，4，
，
，
故答案为

14.【答案】 

【解析】

【分析】

此题主要考查了利用函数的特征求数列的通项公式，等差数列的判断，等差数列的通项公式.
可根据，，令，得到递推关系式，然后两边同除以可构造出数列是以为首项，公差为1的等差数列，即可求解．

【解答】

解：由于则且
对于任意的x，，都有
令，则
两边同除，
数列是以为首项，公差为1的等差数列，
，
故答案为：

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查光线的反射定律的运用，注意运用点关于直线对称，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
求得圆心C的坐标，过C作直线的对称点，设，由两直线垂直的条件和中点坐标公式，解方程可得的坐标，再由两点的斜率公式计算的斜率可得所求．

【解答】

解：圆C：的圆心，
如图过C作直线的对称点，设，
由，，解得，，
即，

连接，可得光线的入射光线，
则入射光线的斜率为，
故答案为：

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了椭圆的定义与标准方程及其性质、三角形面积计算公式、勾股定理、等腰三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
如图所示，作，垂足为由，可得，E点为的中点．，由，可得利用勾股定理即可得出．

【解答】

解：如图所示，
，
作，垂足为
，
，点为的中点．
，
，
，
，
化简可得：，
，，
解得
故答案为 

17.【答案】解：圆

化为标准方程为，

所以圆C的圆心为，半径为

①若直线的斜率不存在，即直线为，符合题意.

②若直线的斜率存在，设直线的方程为即

由题意知，圆心到已知直线的距离等于半径2，

所以，即，

解得，所以直线方程为

综上，所求直线的方程为或

依题意，设

又已知圆C的圆心为，半径为2，

由两圆外切，可知，

所以，

解得或所以或，

所以所求圆D的方程为或

【解析】本题考查圆的方程，直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系，属于中档题．

先求出圆心和半径，然后分成直线斜率存在或不存在两种情况，利用圆心到直线的距离等于半径列方程可求得直线的方程.

设出圆D圆心坐标，利用两圆外切，连心线等于两圆半径的和列方程，可求得a的值，从而求得圆D的方程.

18.【答案】解：由，则，
整理得：
在中，由余弦定理得：，而，
在中，AD平分，交BC于点D，
则，而
显然有，
即，
则，整理得：
又，由知，，即，
而，解得，
的面积 

【解析】本题考查利用余弦定理解三角形，三角形面积公式，属于中档题.
变形给定的等式，再利用余弦定理求解；
根据给定条件，结合，利用求得，进而求出bc计算作答.
 

19.【答案】解：；
，
则
由知，，，
因为全年级同学的物理成绩服从正态分布，
所以，，
所以，
所以该成绩在区间的概率约为
由可知成绩位于的概率为，所以，
所以，
所以n的最大值为 

【解析】本题考查正态分布的实际应用、频率分布直方图、平均数、方差、利用指数函数的单调性解不等式、对数运算的实际应用，属于中档题．
结合频率分布直方图，利用公式分别计算、s，即可得出这300名同学物理平均成绩与标准差s的估计值．
根据计算，即可求出该成绩在区间的概率．
根据题意可得，利用对数的性质即可得出n的最大值．
 

20.【答案】证明：取弧AB的中点H，连结BH，GH，则，
所以，
因为，所以四边形BCGH为平行四边形，，
又因为平面ABF，所以，平面BCG，
平面BCG，，
所以平面
解：以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
设，因为直线DF与平面AFB所成角为，
则，，，，
设平面BDF的法向量为，
由可得：，令，则，
同理可得：平面ABG的法向量为，
则，
故平面BDF与平面ABG所成锐二面角的余弦值为
 

【解析】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
取弧AB的中点H，连结BH，GH，证明，推出，结合平面ABF，证明，即可证明平面
以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，求解平面BDF的法向量，平面ABG的法向量，利用空间向量的数量积求解平面BDF与平面ABG所成锐二面角的余弦值即可．
 

21.【答案】解：由题设，时  ，
时，，，

时， ，

 ，，

两式相减得：  ，即，

也即，

 ，即是首项为2，公差为4的等差数列，

 对所有都成立，  即， 故最小正整数m的值是

【解析】本题主要考查根据数列的递推公式求通项公式，裂项相消法，属于基础题.
由递推关系分别令，2，3求得数列前3项；
把等式中n换成，两式相减，得到数列的递推式，由等差数列的通项公式求得通项；
由，利用裂项相消法求和即可.
 

22.【答案】解：由题意得又，可得

当的面积最大时，点B是短轴端点，所以

又解得所以椭圆M的方程为

直线AB：

令，则，所以

联立整理得

设，则，所以，

则，即

设，因为D为AB的中点，

所以，，

所以

设存在点，则

因为，所以，

即对任意的都成立，

所以所以，，

所以存在使得

【解析】本题考查椭圆的概念和标准方程，直线与椭圆的位置关系以及圆锥曲线中的定点问题，属于中档题．
根据题意可知，进而求出a，b的值，于是可得出椭圆M的标准方程;
设直线AB：，联立直线与椭圆方程，借助韦达定理求出，的坐标，设存在点，则，由列方程求解即可.