广东省深圳市福田区八校2023-2024学年上学期九年级开学联考数学试卷+

这是一份广东省深圳市福田区八校2023-2024学年上学期九年级开学联考数学试卷+，共17页。试卷主要包含了的值介于，以下调查中，适宜全面调查的是，下列命题不正确的是，下列结论等内容，欢迎下载使用。

福田区八校2023-2024学年第一学期九年级开学联考数学试卷

一．选择题（每题3分，共30分）
1．的值介于（　　）
A．25与30之间 B．30与35之间 C．35与40之间 D．40与45之间
2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．以下调查中，适宜全面调查的是（　　）
A．了解全班同学每周体育锻炼的时间
B．调查某批次汽车的抗撞击能力
C．调查春节联欢晚会的收视率
D．鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数
4．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x≠2 B．x≥0 C．x≥2 D．x≥0且x≠2
5．下列命题不正确的是（　　）
A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
B．负数的立方根是负数
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．五边形的外角和是360°
6．如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA'、BB'的中点，只要量出A'B'的长度，就可以知道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是（　　）

A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
D．两点之间线段最短
7．2020年﹣2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长至6.58万元，设人均可支配收入的平均增长率为x，下列方程正确的是（　　）
A．5.76（1+x）2＝6.58 B．5.76（1+x2）＝6.58
C．5.76（1+2x）＝6.58 D．5.76x2＝6.58
8．下列结论：
①若ab＞0，则a＞0，b＞0，
②数0.00314用科学记数法表示为3.14×10﹣4，
③若关于x的方程有增根，则m＝1，
④不是分数，
⑤若关于x的不等式x+5＜2a恰有2个正整数解，则a的最大值是4．
以上结论正确的个（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．小王同学从家出发，步行到离家a米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为（　　）

A．2.7分钟 B．2.8分钟 C．3分钟 D．3.2分钟
10．如图，平行四边形ABCD中，AB＝16，AD＝12，∠A＝60°，E是边AD上一点，且AE＝8，F是边AB上的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转60°，得到EG，连接BG、CG，则BG+CG的最小值是（　　）

A．4 B．4 C．4 D．4
二．填空题（每题3分，共15分）
11．计算：a4·(﹣a)3＝　 　．
12．如图，已知直线AB∥CD，EG平分∠BEF，∠1＝40°，则∠2的度数是_______．

13．若实数m满足（m﹣2023）2+（2024﹣m）2＝2025，则（m﹣2023）（2024﹣m）＝　 　．
14．数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算1+2+3+4+⋯+100时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到1+2+3+4+⋯+100＝．人们借助于这样的方法，得到1+2+3+4+⋯+n＝（n是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点Ai（xi，yi），其中i＝1，2，3，⋯，n，⋯，且xi，yi是整数．记an＝xn+yn，如A1（0，0），即a1＝0，A2（1，0），即a2＝1，A3（1，﹣1），即a3＝0，⋯，以此类推．则a2023＝_______．

15．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC边上一动点，且不与点A、点C重合，连接BD并延长，在BD延长线上取一点E，使AE＝AB＝AC，连接CE．过点A作AF⊥BE于点F，AF的延长线与EC的延长线交于点H，已知AB＝6，CH＝3，则EH＝_______．

三．解答题（共55分）
16．（6分）计算：
（1）；
（2）．
17．（8分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．
（1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元；
（2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？
18．（8分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上，O、M也在格点上．
（1）画出△ABC关于直线OM对称的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°后所得的△A2B2C2；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2组成的图形是轴对称图形吗？如果是轴对称图形，请画出对称轴．

19．（8分）2023年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某学校举行了校园安全知识竞赛活动．现从八、九年级中各随机抽取15名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，80分及以上为优秀，共分成四组，A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100），并给出下面部分信息：
八年级抽取的学生竞赛成绩在C组中的数据为：84，84，88
九年级抽取的学生竞赛成绩为：68，77，75，100，80，100，82，86，95，91，100，86，84，94，87．
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
优秀率
八
87
a
98
60%
九
87
86
b
c
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（2）该校八、九年级共500人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数．

20．（8分）如图，BD是矩形ABCD的对角线．
（1）作线段BD的垂直平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；
（2）设BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，连接BE，DF．
①判断四边形BEDF的形状，并说明理由；
②若AB＝5，BC＝10，求四边形BEDF的周长．

21．（8分）点P（x，y）是第一象限内一个动点，过点P分别作两坐标轴的垂线，垂足分别为M，N，已知矩形PMON的周长为8．
（1）求y关于x的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围；
（2）直线l与（1）中的函数图象交于A（1，a），与x轴交于点B（﹣1，0）．
①求直线l的解析式；
②已知点P不与点A重合，且△ABP的面积为，直接写出P点的坐标．

22．（9分）（1）用数学的眼光观察
如图①，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是AB的中点，N是DC的中点．求证：∠PMN＝∠PNM．
（2）用数学的思维思考
如图②，延长图①中的线段AD交MN的延长线于点E，延长线段BC交MN的延长线于点F．求证：∠AEM＝∠F．
（3）用数学的语言表达
如图③，在△ABC中，AC＜AB，点D在AC上，AD＝BC，M是AB的中点，N是DC的中点，连接MN并延长，与BC的延长线交于点G，连接GD．若∠ANM＝60°，试判断△CGD的形状，并进行证明．


参考答案与试题解析
一．选择题
1．的值介于（　　）
A．25与30之间 B．30与35之间 C．35与40之间 D．40与45之间
【解答】解：∵1600＜2023＜2025，
∴＜＜，
即40＜＜45，
故选：D．
2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A．＝2，和不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
B．和不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
C．＝2，和是同类二次根式，故本选项符合题意；
D．＝2，和不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
故选：C．
3．以下调查中，适宜全面调查的是（　　）
A．了解全班同学每周体育锻炼的时间
B．调查某批次汽车的抗撞击能力
C．调查春节联欢晚会的收视率
D．鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数
【解答】解：A．了解全班同学每周体育锻炼的时间，适合全面调查，故选项A符合题意；
B．调查某批次汽车的抗撞击能力，适合抽样调查，故选项B不符合题意；
C．调查春节联欢晚会的收视率，适合抽样调查，故选项C不符合题意；
D．鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数，适合抽样调查，故选项D不符合题意；
故选：A．
4．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x≠2 B．x≥0 C．x≥2 D．x≥0且x≠2
【解答】解：由题意得x≥0且x﹣2≠0，
解得x≥0且x≠2，
故选：D．
5．下列命题不正确的是（　　）
A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
B．负数的立方根是负数
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．五边形的外角和是360°
【解答】解：A、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；故A正确；
B、负数的立方根是负数；故B正确；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C错误；
D、五边形的外角和是360°，故D正确；
故选：C．
6．如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA'、BB'的中点，只要量出A'B'的长度，就可以知道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是（　　）

A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
D．两点之间线段最短
【解答】解：∵点O为AA'、BB'的中点，
∴OA＝OA'，OB＝OB'，
由对顶角相等得∠AOB＝∠A'OB'，
在△AOB和△A'OB'中，
，
∴△AOB≌△A'OB'（SAS），
∴AB＝A'B'，
即只要量出A'B'的长度，就可以知道该零件内径AB的长度，
故选：A．
7．2020年﹣2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长至6.58万元，设人均可支配收入的平均增长率为x，下列方程正确的是（　　）
A．5.76（1+x）2＝6.58 B．5.76（1+x2）＝6.58
C．5.76（1+2x）＝6.58 D．5.76x2＝6.58
【解答】解：由题意得：5.76（1+x）2＝6.58．
故选：A．
8．下列结论：
①若ab＞0，则a＞0，b＞0，
②数0.00314用科学记数法表示为3.14×10﹣4，
③若关于x的方程有增根，则m＝1，
④不是分数，
⑤若关于x的不等式x+5＜2a恰有2个正整数解，则a的最大值是4．
以上结论正确的个（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解：①ab＞0，说明a、b同号，即a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，原说法错误；
②数0.00314用科学记数法表示为3.14×10﹣3，原说法错误；
③去分母得：m＝1﹣x，∴x＝1﹣m，∵方程有增根，∴x＝2，∴m＝﹣1，原说法错误；
④是无理数，不是分数，原说法正确；
⑤∵x＜2a﹣5恰有2个正整数解，∴2＜2a﹣5≤3，∴3.5＜a≤4，∴a的最大值为4，原说法正确．
正确的个数是2个，
故选：C．
9．小王同学从家出发，步行到离家a米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为（　　）

A．2.7分钟 B．2.8分钟 C．3分钟 D．3.2分钟
【解答】解：由图象可得，
小王的速度为米/分钟，
爸爸的速度为：＝（米/分钟），
设小王出发m分钟两人第一次相遇，出发n分钟两人第二次相遇，
m＝（m﹣4）•，n+[n﹣4﹣（12﹣4）÷2]＝a，
解得m＝6，n＝9，
n﹣m＝9﹣6＝3，
故选：C．
10．如图，平行四边形ABCD中，AB＝16，AD＝12，∠A＝60°，E是边AD上一点，且AE＝8，F是边AB上的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转60°，得到EG，连接BG、CG，则BG+CG的最小值是（　　）

A．4 B．4 C．4 D．4
【解答】解：如图，取AB的中点N，连接EN，EC，GN，作EH⊥CD交CD的延长线于H，

由题意可得：AE＝8，DE＝4，
∵点N是AB的中点，
∴AN＝NB＝8，
∴AE＝AN，
∵∠A＝60°，
∴△AEN是等边三角形，
∴EA＝EN，∠AEN＝∠FEG＝60°，∠ANE＝60°，
∴∠AEF＝∠NEG，
∵EA＝EN，EF＝EG，
∴△AEF≌△NEG（SAS），
∴∠ENG＝∠A＝60°，
∴∠GNB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴点G的运动轨迹是射线NG，
∵BN＝EN，∠BNG＝∠ENG＝60°，NG＝NG，
∴△EGN≌△BGN（SAS），
∴GB＝GE，
∴GB+GC＝GE+GC≥EC，
在Rt△DEH中，∠H＝90°，DE＝4，∠EDH＝60°，
∴，
∴在Rt△ECH中，＝＝，
∴GB+GC≥，∴GB+GC的最小值为；故选C．
二．填空题
11．计算：a4·(﹣a)3＝　﹣a7　．
【解答】解：原式＝a4·(﹣a3)＝﹣a7．
故答案为：﹣a7．
12．如图，已知直线AB∥CD，EG平分∠BEF，∠1＝40°，则∠2的度数是_______．

【解答】解：∵∠1＝40°，
∴∠BEF＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°，
∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG＝∠FEG＝70°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠BEG＝70°．
13．若实数m满足（m﹣2023）2+（2024﹣m）2＝2025，则（m﹣2023）（2024﹣m）＝　﹣1012　．
【解答】解：（m﹣2023）2+（2024﹣m）2＝2025，
[（m﹣2023）+（2024﹣m）]2﹣2（m﹣2023）（2024﹣m）＝2025，
1﹣2（m﹣2023）（2024﹣m）＝2025，
1﹣2025＝2（m﹣2023）（2024﹣m），
（m﹣2023）（2024﹣m）＝﹣1012，
故答案为：﹣1012．
14．数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算1+2+3+4+⋯+100时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到1+2+3+4+⋯+100＝．人们借助于这样的方法，得到1+2+3+4+⋯+n＝（n是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点Ai（xi，yi），其中i＝1，2，3，⋯，n，⋯，且xi，yi是整数．记an＝xn+yn，如A1（0，0），即a1＝0，A2（1，0），即a2＝1，A3（1，﹣1），即a3＝0，⋯，以此类推．则a2023＝_______．

【解答】解：第1圈有1个点，即A1（0，0），这时a1＝0；
第2圈有8个点，即A2到A9（1，1），这时a9＝1+1＝2；
第3圈有16个点，即A10到A25（2，2），这时a25＝2+2＝4；
……，
依次类推，第n圈，A（2n﹣1）2（n﹣1，n﹣1）；
由规律可知：A2023是在第23圈上，且A2025（22，22），则A2023（20，22），即a2023＝20+22＝42．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC边上一动点，且不与点A、点C重合，连接BD并延长，在BD延长线上取一点E，使AE＝AB＝AC，连接CE．过点A作AF⊥BE于点F，AF的延长线与EC的延长线交于点H，已知AB＝6，CH＝3，则EH＝_______．

【解答】如图，过点C作CG⊥AH于G，

∵∠AEC﹣∠AED＝45°，
∴∠FEH＝45°，
∵AH⊥BE，
∴∠FHE＝∠FEH＝45°，
∴EF＝FH，
又∵∠EFH＝90°，
∴EH＝EF，
∵∠FHE＝45°，CG⊥FH，
∴∠GCH＝∠FHE＝45°，
∴GC＝GH，
∴CH＝CG，
∵∠BAC＝∠CGA＝90°，
∴∠BAF+∠CAG＝90°，∠CAG+∠ACG＝90°，
∴∠BAF＝∠ACG，
又AB＝AC，∠AFB＝∠AGC，
∴△AFB≌△CGA（AAS）
∴AF＝CG，
∴CH＝AF，
在Rt△AEF中，AE2＝AF2+EF2，
∴（AF）2+（EF）2＝2AE2，
∴EH2+CH2＝2AB2．
∵AB＝6，CH＝3，则EH＝3．
三．解答题（共55分）
16．计算：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）
＝2023+1﹣6+4
＝2022；
（2）
＝
＝
＝．
17．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．
（1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元；
（2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？
【解答】解：（1）设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：甲种书的单价是35元，乙种书的单价是30元；
（2）设该校购买甲种书m本，则购买乙种书（100﹣m）本，
根据题意得：35m+30（100﹣m）≤3200，
解得：m≤40，
∴m的最大值为40．
答：该校最多可以购买甲种书40本．
18．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上，O、M也在格点上．
（1）画出△ABC关于直线OM对称的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°后所得的△A2B2C2；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2组成的图形是轴对称图形吗？如果是轴对称图形，请画出对称轴．

【解答】解：（1）如图所示，对称图形正确给2分；

（2）如图所示，旋转正确给2分；

（3）如图所示，对称轴每一条正确给1分，共2分．

19．2023年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某学校举行了校园安全知识竞赛活动．现从八、九年级中各随机抽取15名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，80分及以上为优秀，共分成四组，A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100），并给出下面部分信息：
八年级抽取的学生竞赛成绩在C组中的数据为：84，84，88
九年级抽取的学生竞赛成绩为：68，77，75，100，80，100，82，86，95，91，100，86，84，94，87．
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
优秀率
八
87
a
98
60%
九
87
86
b
c
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝　84　，b＝　100　，c＝　80%　；
（2）该校八、九年级共500人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数．

【解答】解：（1）八年级的竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的一个数是84，因此中位数是84，即a＝84；
九年级的竞赛成绩出现次数最多的是100，共出现3次，因此众数是100，即b＝100；
九年级的竞赛成绩中80分及以上的共有12人，因此优秀率为×100%＝80%，即c＝80%；
故答案为：84，100，80%；
（2）500×＝200（人），
答：估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数约200人．
20．如图，BD是矩形ABCD的对角线．
（1）作线段BD的垂直平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；
（2）设BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，连接BE，DF．
①判断四边形BEDF的形状，并说明理由；
②若AB＝5，BC＝10，求四边形BEDF的周长．

【解答】解：（1）如图，直线MN就是线段BD的垂直平分线，

（2）①四边形BEDF是菱形，理由如下：
∵EF垂直平分BD，
∴BE＝DE，∠DEF＝∠BEF，
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠BFE，
∵∠BEF＝∠BFE，
∴BE＝BF，
∴BF＝DF，
∴BE＝ED＝DF＝BF，
∴四边形BEDF是菱形；
②∵四边形ABCD是矩形，BC＝10，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝10，
由①可设BE＝ED＝x，则AE＝10﹣x，
∵AB＝5，
∴AB2+AE2＝BE2，即25+（10﹣x）2＝x2，
解得x＝6.25，
∴四边形BEDF的周长为：6.25×4＝25．
21．点P（x，y）是第一象限内一个动点，过点P分别作两坐标轴的垂线，垂足分别为M，N，已知矩形PMON的周长为8．
（1）求y关于x的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围；
（2）直线l与（1）中的函数图象交于A（1，a），与x轴交于点B（﹣1，0）．
①求直线l的解析式；
②已知点P不与点A重合，且△ABP的面积为，直接写出P点的坐标．

【解答】解：（1）由题意可知，2（x+y）＝8，
∴y＝4﹣x（0＜x＜4）．
（2）∵直线l与（1）中的函数图象交于A（1，a），
∴a＝4﹣1＝3
∴A（1，3），
①设直线l的解析式为y＝kx+b，
把A（1，3），B（﹣1，0）代入得，解得，
∴直线l的解析式为y＝x+；
②如图，∵P（x，y）的横坐标和纵坐标的关系式为y＝4﹣x，
∴S△ABP＝S△ABE﹣S△PBE＝﹣（x+1）•（4﹣x）＝或S△ABP＝S△PBE﹣S△ABE＝（x+1）•（4﹣x）﹣＝
解得x＝或x＝，
∴P（，）或（，）．

22．（1）用数学的眼光观察
如图①，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是AB的中点，N是DC的中点．求证：∠PMN＝∠PNM．
（2）用数学的思维思考
如图②，延长图①中的线段AD交MN的延长线于点E，延长线段BC交MN的延长线于点F．求证：∠AEM＝∠F．
（3）用数学的语言表达
如图③，在△ABC中，AC＜AB，点D在AC上，AD＝BC，M是AB的中点，N是DC的中点，连接MN并延长，与BC的延长线交于点G，连接GD．若∠ANM＝60°，试判断△CGD的形状，并进行证明．

【解答】（1）证明：∵P是BD的中点，N是DC的中点，
∴PN是△BCD的中位线，PM是△ABD的中位线，∴PN＝BC，PM＝AD，
∵AD＝BC，∴PM＝PN，∴∠PMN＝∠PNM；
（2）证明：由（1）知，PN是△BDC的中位线，PM是△ABD的中位线，
∴PN∥BC，PM∥AD，
∴∠PNM＝∠F，∠PMN＝∠AEM，
∵∠PNM＝∠PMN，∴∠AEM＝∠F；
（3）解：△CGD是直角三角形，理由如下：
如图③，连接BD，取BD的中点P，连接PM、PN，
∵N是CD的中点，M是AB的中点，
∴PN是△BCD的中位线，PM是△ABD的中位线，
∴PN∥BC，PN＝BC，PM∥AD，PM＝AD，
∵AD＝BC，∴PM＝PN，∴∠PNM＝∠PMN，
∵PM∥AD，∴∠PMN＝∠ANM＝60°，∴∠PNM＝∠PMN＝60°，
∵PN∥BC，∴∠CGN＝∠PNM＝60°，
又∵∠CNG＝∠ANM＝60°，∴△CGN是等边三角形．∴CN＝GN，
又∵CN＝DN，∴DN＝GN，∴∠NDG＝∠NGD＝CNG＝30°，
∴∠CGD＝∠CGN+∠NGD＝90°，∴△CGD是直角三角形．