2023-2024学年山西省运城市康杰中学高二上学期暑假检验数学试题含答案

2023-2024学年山西省运城市康杰中学高二上学期暑假检验数学试题

一、单选题

1．已知集合，且，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意得出或，求出实数的值后，并代入集合，检验集合是否满足元素的互异性，由此可得出实数的值.

【详解】集合，且，或，

解得或.

当时，，集合不满足互异性；

当时，，，集合满足互异性.

因此，实数.

故选：C.

【点睛】本题考查利用有限集中的元素求参数的值，在求出参数值之后，还应对有限集的元素是否满足互异性进行检验，考查运算求解能力，属于基础题.

2．命题“，使得”的否定形式是

A．，使得 B．，使得

C．，使得 D．，使得

【答案】D

【详解】试题分析：的否定是，的否定是，的否定是．故选D．

【解析】全称命题与特称命题的否定．

【方法点睛】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作： ①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定．

3．若函数f(x)=值域为，则实数的取值范围是

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】函数y的值域是[0，+∞）⇔当x∈R时，min＝0．⇔方程＝0在实数集范围内有解，解出即可．

【详解】∵函数y的值域是[0，+∞），

∴当x∈R时，min＝0⇔方程＝0在实数集范围内有解．⇔△=m2﹣＝m2﹣24≥0，解得m∈（﹣∞，]∪[，+∞）．

故选D．

【点睛】本题考查了根式与二次函数的复合函数的值域问题，考查了判别式的应用，对已知问题等价转化是解题的关键，属于中档题．

4．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由奇函数定义可求解

【详解】

故选：D

5．当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】令，转化为当与时，y的值恒小于或等于0，列出不等式即可求解.

【详解】令，由题意知当与时，y的值恒小于或等于0，

即且，

所以且，所以．

故选：C．

6．已知，且是第一象限角，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意，结合诱导公式与同角的三角函数关系，即可求解.

【详解】根据题意，得，即，

∵是第一象限角，∴，

故.

故选：A.

7．函数的部分图象如图所示，若把的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则m的值可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先根据图像求出参数值，进而得到和的解析式，然后根据图像的平移求解出含有m的的解析式，根据诱导公式求解m取值，结合选项确定答案.

【详解】由图可知，，因为图像过，，所以，

解得，则，

根据图像可知且，解得，

所以，；

把的图象向左平移个单位长度后得到函数，

根据诱导公式可得，

解得，当时，.

故选：C.

8．函数的大致图象为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】首先判断函数的奇偶性，排除选项，再代入特殊值计算，即可判断选项.

【详解】由题意得的定义域为R，，所以为奇函数，其图象关于原点对称，排除选项B，D．

又，排除选项C.

故选：A．

二、多选题

9．下列各组函数中，与不是同一函数的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】ACD

【分析】根据函数定义域和对应关系，对每个选项进行逐一分析即可判断和选择.

【详解】A：定义域为定义域为，则与不是同一函数；

：与定义域都是且对应关系一样，则与是同一函数；

C：定义域为定义域为，则与不是同一函数；

D：与的对应关系不一样，则与不是同一函数.

故选：.

10．关于函数，下列说法正确的是（    ）

A．有且仅有一个零点 B．在，上单调递减

C．的定义域为 D．的图像关于点对称

【答案】ABC

【分析】利用函数零点的定义即可判断A选项，利用反比例函数的单调性即可判断B选项，由函数定义域的定义即可判断C选项，由反比例函数的对称性及函数图像变换，即可判断D选项.

【详解】令，即，解得，所以有且仅有一个零点，故A正确；

函数，因为在，上单调递减，所以函数在，上单调递减，故B正确；

函数的定义域为，故C正确；

因为函数关于点对称，所以函数关于点对称，故D错误.

故选：ABC.

11．已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结论正确的是（    ）

A．点的坐标为 B．

C．的最大值为 D．的最小值为

【答案】ABC

【分析】利用复数的几何意义可判断A选项；利用共轭复数的定义可判断B选项；利用复数模的三角不等式可判断CD选项.

【详解】对于A选项，因为，则，A对；

对于B选项，由共轭复数的定义可得，B对；

对于C选项，，则，

，

当且仅当时，等号成立，即的最大值为，C对；

对于D选项，，

当且仅当时，等号成立，即的最小值为，D错.

故选：ABC.

12．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．的面积为6

【答案】AD

【分析】利用余弦定理，结合题意，可求得的值，根据，利用正弦定理边化角，可求得的值，利用正弦定理及面积公式，可求得b的值及的面积，即可得答案.

【详解】因为，

所以，

所以，故A正确；

因为，利用正弦定理可得，

因为，所以，

所以，

即

因为，所以，

所以，又，

所以，故B不正确；

因为，

所以，

所以，

因为，

所以，故C错误；

，故D正确；

故选：AD

三、填空题

13．若复数满足（是虚数单位），则          .

【答案】

【分析】根据复数的运算法则计算即可.

【详解】因为，

所以.

故答案为：.

14．已知，，若，则         .

【答案】/

【分析】根据题意，利用，结合向量的数量积的运算，列出方程，即可求解.

【详解】由，且，

因为，可得

，

整理得，解得.

故答案为：.

15．已知函数在定义域上是偶函数，在上单调递减，并且，则的取值范围是      .

【答案】.

【分析】根据函数定义域的对称性求出,再利用函数的单调性及偶函数得到不等式，求解即可.

【详解】因为函数在定义域上是偶函数，

所以，解得，

所以可得

又在上单调递减，

所以在上单调递增,

因为，

所以由可得，

解得.

故的取值范围是.

【点睛】本题主要考查了偶函数的定义域，偶函数的单调性，不等式的解法，属于难题.

16．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，H为EF的中点，沿AE，EF，FA将正方形折起，使B，C，D重合于点O，构成四面体，则在四面体中，下列说法不正确的序号是              .①平面EOF；②⊥平面EOF；③；④；⑤平面平面AOF.

【答案】②

【分析】对于①，利用线线垂直证明线面垂直；对于②，在①的基础上可证明；对于③，在①的基础上证明线面垂直；对于④ ，在①基础上证明出平面，④正确；对于⑤，在④基础上证明面面垂直可判断⑤.

【详解】对于①，依题意，得，，，平面，

平面，故①正确，

对于②，由①可知平面，又，故与平面不垂直，②错误.

对于③，由①知，平面EOF，又平面EOF，，故③正确.

对于④，由①可得，又，，平面，

平面，又平面AOF，，故④正确.

对于⑤，由④知平面，又平面AOE，得平面平面AOF，故⑤正确.

故答案为：②.

四、解答题

17．平面给定三个向量，，

(1)若，求的值；

(2)若向量与向量共线，求实数k的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）运用向量加、减、数乘运算即可求得结果.

（2）运用向量共线的坐标公式计算即可.

【详解】（1）由题知，，

所以，

又因为，

所以，解得，

所以.

（2）由题知，，

又因为与共线，

所以，解得：.

18．已知函数图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为.

（1）求和的值；

（2）求函数在，上的单调递减区间.

【答案】（1），；（2）单调递减区间为，.

【分析】（1）由最高点坐标求得，由周期求得；

（2）利用正弦函数的单调性求减区间．

【详解】解：（1）函数图象上最高点的纵坐标为2，

，.

且图象上相邻两个最高点的距离为，，.

（2）对于，令，

求得，故函数的单调减区间为，，，

再结合，，

可得函数在，上的单调递减区间为，.

19．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．

(1)求的面积；

(2)若，求b．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；

（2）由正弦定理得，即可求解.

【详解】（1）由题意得，则，

即，由余弦定理得，整理得，则，又，

则，，则；

（2）由正弦定理得：，则，则，.

20．在三棱锥中，点D在以AB为直径的半圆弧上，且平面平面ABC，，．

(1)证明：平面BCD；

(2)当三棱锥的体积取得最大值时，求三棱锥的表面积．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可得平面ABD，再利用线面垂直的性质定理和判定定理分析证明；

（2）根据面面垂直分析可得当点O为AB的中点时，三棱锥的体积取得最大值，进而根据垂直关系求相应的边长和表面积.

【详解】（1）因为平面平面ABC，平面平面，，平面，

所以平面ABD．

且平面ABD，所以．

又因为点D在以AB为直径的半圆弧上，则．

且，平面BCD，

所以平面BCD．

（2）过点D作AB的垂线DO交AB于点O，

因为平面平面ABC，平面平面，平面，

所以平面ABC，

所以当点O为AB的中点时，三棱锥的体积取得最大值，则，

因为平面ABD，平面ABD，所以，

在中，，

由（1）知平面BCD，平面BCD，则．

可得：，，

，，

所以此时三棱锥的表面积为．

21．某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．

(1)当漏诊率％时，求临界值c和误诊率；

(2)设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值．

【答案】(1)，；

(2)，最小值为．

【分析】（1）根据题意由第一个图可先求出，再根据第二个图求出的矩形面积即可解出；

（2）根据题意确定分段点，即可得出的解析式，再根据分段函数的最值求法即可解出．

【详解】（1）依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为，所以，

所以，解得：，

．

（2）当时，

；

当时，

,

故，

所以在区间的最小值为．

22．如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．

(1)证明：；

(2)点F满足，求二面角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析；

(2)．

【分析】（1）根据题意易证平面，从而证得；

（2）由题可证平面，所以以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，再求出平面的一个法向量，根据二面角的向量公式以及同角三角函数关系即可解出．

【详解】（1）连接，因为E为BC中点，，所以①，

因为，，所以与均为等边三角形，

，从而②，由①②，，平面，

所以，平面，而平面，所以．

（2）不妨设，，．

，，又，平面平面．

以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

设，

设平面与平面的一个法向量分别为，

二面角平面角为,而，

因为，所以，即有，

，取，所以；

，取，所以，

所以，，从而．

所以二面角的正弦值为．