2023-2024学年黑龙江省大庆实验中学二部高二上学期开学考试数学试题含答案

2023-2024学年黑龙江省大庆实验中学二部高二上学期开学考试数学试题

一、单选题

1．设复数满足，则的共轭复数的虚部为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】D

【分析】根据复数的模及复数代数形式的除法运算化简复数，从而得到其共轭复数，即可判断.

【详解】因为，

所以，

所以，则的虚部为.

故选：D

2．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】结合诱导公式和二倍角的正切公式化简求值即可.

【详解】由，得，

则．

故选：B．

3．利用斜二测画法画出的直观图（如图），已知，轴，过作轴于，若的面积为4，则的长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据的面积计算出，再解直角三角形求得.

【详解】根据斜二测画法知，，

∴，

∴，∴.

故选：D

【点睛】本小题主要考查斜二测画法中线段长度的计算，属于基础题.

4．已知，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，则下列说法正确的是（    ）

A．若，，则

B．若，，则

C．若，，则，则

D．若，，，，则

【答案】C

【分析】根据线面、面面的位置关系，结合平面的基本性质及线面平行性质判断各项正误.

【详解】A：若，，则，错；

B：若，，则或，错；

C：由，，，根据线面平行的性质知，对；

D：如下图，，，，，有相交，错.

故选：C

5．已知函数，则下列说法中正确的是（    ）

A．函数的周期是

B．函数的最小值是

C．函数的图象的一条对称轴方程是

D．函数是偶函数

【答案】C

【分析】根据三角恒等变换将函数化简为，再结合正弦型函数与绝对值函数的性质逐项判断即可.

【详解】

函数的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故A不正确；

函数的值域为，所以函数的值域为，则函数的最小值是，故B不正确；

因为，所以函数的图象的一条对称轴方程是，故C正确；

又，故D不正确.

故选：C.

6．已知向量，满足，，，则（    ）

A． B． C． D．1

【答案】D

【分析】利用向量数量积的运算律求得，再由夹角公式求，进而求其正弦值即可.

【详解】由，则，

由，则，故.

故选：D

7．已知球O的半径为2，三棱锥底面上的三个顶点均在球O的球面上， ，，则三棱锥体积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出三棱锥的高，对于等价于BC边在外接圆上固定不动，A点在劣弧上运动，求三棱锥体积的最大值就是求面积的最大值.

【详解】记球O的半径为R，所在外接圆的半径为r，由，得，，设三棱锥的高为h，则，所以；

在中，如图：

等价于BC边在外接圆上固定不到，A点在劣弧上运动，显然当A点为的中点时，高AD最大，

AD的最大值，面积的最大值，

三棱锥体积的最大值；

故选：A.

8．位于灯塔处正西方向相距海里的处有一艘甲船燃油耗尽，需要海上加油．位于灯塔处北偏东30°方向有一艘乙船（在处），乙船与甲船（在处）相距海里，乙船为了尽快给甲船进行海上加油，则乙船航行的最佳方向是（    ）

A．西偏南15° B．西偏南30°

C．南偏西45° D．南偏西65°

【答案】A

【分析】运用正弦定理求出即可.

【详解】如图，

，由正弦定理得，

解得．因为，所以，因为，

所以乙船航行的最佳方向为西偏南.

故选：A.

二、多选题

9．已知i是虚数单位，z是复数，则下列叙述正确的是（    ）

A．若，则不可能是纯虚数

B．是关于x的方程的一个根

C．

D．若，则在复平面内z对应的点Z的集合确定的图形面积为

【答案】AC

【分析】由纯虚数定义列方程求解判断A；复数代入方程左侧化简判断B；根据共轭复数、模及乘法运算判断C；由复数模的几何意义判断对应点所成图形，进而求面积判断D.

【详解】A：若为纯虚数，则，显然无解，对；

B：代入方程得，错；

C：令且，则所以，对；

D：由易知：复平面内z对应的点Z在半径为1的圆内（含圆上），故图形面积为，错；

故选：AC

10．在棱长为2的正方体中，P，Q分别是棱BC，的中点，点M满足，，下列结论不正确的是（    ）

A．若，则平面MPQ

B．若，则过点M，P，Q的截面面积是

C．若，则点到平面MPQ的距离是

D．若，则AB与平面MPQ所成角的正切值为

【答案】AC

【分析】时有M与A重合，对于A选项，可以利用反证法判定；对于B选项，根据平面的性质计算即可；时，M为AB中点，对于CD选项，建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量处理即可.

【详解】如图所示，时有M与A重合，

对于A，延长PQ交BB1于L，连接AL，易得平面平面MPQ=AL，

若平面MPQ，则，显然，且B、L不重合，矛盾，故A错误；

对于B，连接AD1、D1Q，易知平面APQD1即该截面，显然该截面为等腰梯形，

易得，，故B正确；

如图所示，时，M为AB中点，以D为中心建立空间直角坐标系，

则，

，

设平面MPQ的法向量为，则，

令，则，故；

对于C，设点到平面MPQ的距离为，则，即C错误；

对于D，设AB与平面MPQ所成角为，则，

所以，即D正确.

故选：AC

11．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题为真命题的是（    ）

A．，，，有两解

B．面积S满足，则

C．，，，则BC边上的高为

D．若，，则的值为

【答案】BCD

【分析】A由正弦定理判断三角形的解；B根据三角形面积公式、余弦定理整理化简得；C由余弦定理可得，进而求得，再求高；D应用正余弦边角关系整理化简已知等量关系求.

【详解】A：由，故无解，错；

B：由，而，则，

即，，则，对；

C：，故，即，而，则，

所以，故BC边上的高为，对；

D：由，即，

所以，则，而，

所以，即的值为，对.

故选：BCD

12．已知三棱柱为正三棱柱，且A，D是的中点，点P是线段上的动点，则下列结论正确的是（    ）

A．四面体外接球的表面积为20π

B．若直线PB与底面ABC所成角为θ，则sinθ的取值范围为

C．若，则异面直线AP与所成的角为

D．若过BC且与AP垂直的截面α与AP交于点E，则三棱锥P－BCE的体积的最小值

【答案】ABD

【分析】可求得底面外接圆的半径，再构造直角三角形求得外接球的半径，从而判断A；

取的中点，连接，，，，由正三棱柱的性质可求得，，从而判断B；

将正三棱柱补成如图所示的直四棱柱，从而判断C；

由知，要使三棱锥的体积最小，则三棱锥的体积最大，从而判断D．

【详解】四面体外接球即为正三棱柱外接球，

因为外接圆的半径，且，设正三棱柱外接球的半径为，设正三棱柱的高为h＝，

则由得，故其表面积为，故A正确；

取的中点，连接，，，，由正三棱柱的性质可知平面平面，所以当点与重合时，最小为∠，，

当点与重合时，最大为，sin，

所以，，故B正确；

将正三棱柱补成如图所示的直四棱柱，则(或其补角)为异面直线与所成的角，，，

∵，∴，∴，

所以，即，故C错；

因，故要使三棱锥的体积最小，则三棱锥的体积最大，设的中点为，作出截面如图所示，

∵，∴AP⊥EF，∴点在以为直径的圆上，

∴点到底面距离的最大值为，

∴三棱锥的体积的最小值为，故D正确；

故选：ABD．

【点睛】本题为立体几何的综合题，研究空间点、线、面的位置关系，需要良好的空间想象能力和作图能力.C选项的关键在于把三棱柱补成四棱柱，从而构造出要求的异面直线夹角；D选项的关键是把三棱锥看成是三棱锥的一部分，利用割补思想求解.

三、填空题

13．设平面向量，满足，，则在方向上的投影向量的坐标为      .

【答案】

【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解作答.

【详解】由，得，因此

所以在方向上的投影向量的坐标为.

故答案为：

14．如图正三棱锥，其中，，点分别为校的中点，则四面体的体积为      ；

【答案】

【解析】通过分析判断出，由此求得四面体的体积.

【详解】由于分别为棱的中点，所以三角形的面积是三角形的面积的四分之一，而到平面的距离是到平面的距离的一半，所以.正三角形的外接圆半径为，所以正三棱锥的高为，所以，所以.

故答案为：

【点睛】本小题主要考查锥体体积计算，考查分析、思考与解决问题的能力，属于基础题.

15．在中，点D在边上（不含端点），，，，的最小值为           .

【答案】

【分析】法一：作出辅助线，求出，，设出，从而得到，变形后利用基本不等式求出答案；

法二：利用余弦定理得到，由基本不等式求出答案.

【详解】法一：过点D作，交延长线于点E.

令，

因为，，所以，，，

故，.

故，

当且仅当，即时，等号成立.

法二：令，则，

.

故，

当且仅当时，等号成立.

故答案为：

16．已知直三棱柱，，，点为此直三棱柱表面上一动点，且，当取最小值时，的值为          .

【答案】/

【分析】首先由可得是在以为球心半径为4的球面上，进而得到其在平面的交线，故取值最小时，，，三点共线，利用平面几何的运算可计算出在上的投影，进而得到答案.

【详解】由可得是在以为球心半径为4的球面上，

由于，，

取值最小时，其在平面内，

其在平面的交线为如图所示的圆弧.

故取值最小时，，，三点共线，

通过点往作垂线，垂足为，则，

则，故，

代入解得，从而，

因此

.

故答案为：.

关键点点睛：本题考查立体几何中点的轨迹问题，解题关键是找到点在平面的运动轨迹．进而得到取值最小时，，，三点共线，然后通过点往作垂线，垂足为，进而可计算出在上的投影，进而得到答案.

四、解答题

17．已知的内角A、B，C所对的边分别为a、b、c，且．

（Ⅰ）求角A的值．

（Ⅱ）若的面积为，且，求a的值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【分析】（I）由三角形内角和为去掉,二倍角公式化简可得,从而求出；（Ⅱ）代入三角形面积公式可得，结合条件解出，，余弦定理求.

【详解】解：（I）由，得，即，

∵，∴，

又，∴，故．

（Ⅱ）由面积，得，

又，

∴，，

由余弦定理，

∴．

18．已知函数的部分图象如图所示，其中，．

(1)求的解析式；

(2)设函数，，求的值域．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据图象上点,之间差个周期，求出，进而求出，代入点，求出即可；

（2）由的范围，求出的范围，根据三角函数图象的性质即可求出.

【详解】（1）依题意，，解得，

故，故，

因为，所以，

因为，故，则．

（2），

若，， ，

故，则，

即的值域为．

19．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，E为PB的中点.

（1）证明：平面平面PBC；

（2）求直线PD与平面AEC所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）可先证明，，从而平面PBC，由此能证明平面平面PBC；

（2）推导出,以C为原点，在平面ABCD中过C作CD的垂线为x轴，CD为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法直线PD与平面AEC所成角的正弦值

【详解】（1）证明：由平面ABCD，故.

又，，，

所以.

故，.

又，所以平面PBC，又平面

所以平面平面PBC.

（2）平面ABCD，故.

又，.

如图建立坐标系，

，，，，，.

∴， ， .

设平面ACE的一个法量为，

由，得，取，则

故，

设直线PD与平面AEC所成角为，

则.

【点睛】本题主要考查了面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等，属于中档题.

20．如图，四棱锥P－ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AB，，∠DAB=90°，PA=AD，DC=2AB，E为PC中点.

(1)求证：直线//平面PAD；

(2)当AP=AB时，求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取PD中点，连接EF，AF，证明四边形ABEF为平行四边形，再利用线面平行的判定定理证明；

（2）以点A为坐标原点，分别以AP，AB，AD所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，易知平面PAD的一个法向量为，再求得平面PBC的一个法向量，由求解.

【详解】（1）证明：如图所示：

取PD中点，连接EF，AF，由为PC中点，

∴，又，

∴，故四边形ABEF为平行四边形.

∴，又平面，平面PAD，

∴//平面PAD.

（2）设，则.

由平面平面ABCD，平面平面，又，∴平面ABCD，

如图，以点A为坐标原点，分别以AP，AB，AD所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系：

则平面PAD的一个法向量为，，

则，，

设是平面PBC的一个法向量，

则－x＋y=0且－x＋2y＋z=0，

令x=1.则y=1，z=－1，，

所以当时，平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为.

21．如图，在正方体中，棱长为2，为的中点.

(1)求到平面的距离.

(2)若面，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，求出平面平面的法向量，将到平面的距离转化为到平面的距离，即可求得答案；

（2）将转化为，即可求得答案.

【详解】（1）如图，以A为坐标原点， 分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

则 ,

因为正方体中，平面,

所以平面,则到平面的距离即为到平面的距离，

而 ，

设平面的法向量为 ，则 ,

即 ，令 ，则 ，

故，故到平面的距离 ，

即到平面的距离为；

（2） ,

由题意可得.

22．如图，设中角A，，所对的边分别为a，b，c，为的中点，已知，．

(1)若，求；

(2)点，分别为边，上的动点，线段交于，且，，，求的最小值．

【答案】(1)60°

(2)

【分析】（1）根据三角形得面积公式可求得边，再根据结合数量积得运算律即可得出答案；

（2）分别将，用表示，再根据求得，设，，根据平面向量共线定理及推论将用表示，从而可求得，再根据分析运算从而可得出答案.

【详解】（1）解：由，，

∵为的中点，

，

，

，

∴，

又，

所以；

（2）解：由（1）可知：，

，

∵，为的中点，

∴，

，

解得，

设，，

则，

设，

，

则，解得，

故，

，

，

令，

，

当且仅当时取等号，

所以的最小值为.

【点睛】本题考查了三角形的面积公式，考查了平面向量共线定理及推论和平面向量基本定理，考查了数量积的运算律，综合性较强，有一定的计算量，有一定的难度.