2022-2023学年河北省高碑店市崇德实验中学高二下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年河北省高碑店市崇德实验中学高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合则（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】因为,,所以

故选A.

2．在下列各图中的两个变量具有线性相关关系的图是（    ）

A．①② B．①③ C．②③ D．②④

【答案】C

【分析】当散点图中的点集中在一条直线的附近时，说明两个变量具有线性相关关系，由此进行判断即可

【详解】解：由图可知，②③中的点集中在一条直线的附近，所以图②③中的两个变量具有线性相关关系，

故选：C

3．设随机变量，则（    ）

A．10 B．30 C．15 D．5

【答案】A

【分析】根据二项分布的方差公式进行计算即可.

【详解】由随机变量满足二项分布，

所以，

所以.

故选：A.

4．求的展开式的常数项是（    ）

A．15 B．-15 C．17 D．-17

【答案】C

【分析】利用二项式定理得到的展开式的通项公式，求出常数项和的系数，从而分别和2，的系数相乘，再相加，求出常数项.

【详解】的展开式的通项公式：，

分别令r−6=0，r−6=−2，解得：r=6，r=4.

∴的展开式的常数项是.

故选：C.

5．某班联欢会原定3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个节目，如果将这2个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用插空法结合排列组合计数方法求解.

【详解】这2个新节目插入节目单中，

若2个新节目相邻，则在原定3个节目已排成节目单产生的4个空位中，

选1个位置安排2个新节目，且两个新节目顺序可变，

此时有种插法，

若2个新节目不相邻，则在原定3个节目已排成节目单产生的4个空位中，

选2个位置安排2个新节目，且两个新节目顺序可变，

此时有种插法，

所以共有种插法，

故选:B.

6．下列说法中，正确的命题的是（    ）

A．一台晩会有6个节目，其中有2个小品，如果2个小品不连续演出，共有不同的演出顺序240种

B．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和0.3

C．若事件与事件互斥，则事件与事件独立

D．若样本数据，，…的方差为2，则数据，，…，的方差为16

【答案】B

【分析】根据插空法即可判断选项A，由计算可判断选项B，根据互斥事件和独立事件的概念可以判断选项C，由方差的计算公式可以判断选项D.

【详解】A：先把其余4个节目排列，共有5个空，再将2个小品插入5个空，

所以共有种不同的方法，故A错误；

B：设，求得线性回归方程为，则，故的值分别是和，故B正确；

C：若事件A与事件B互斥，则事件A与事件B不独立，故C错误；

D：若样本数据的方差为2，

则数据的方差为8，故D错误.

故选：B.

7．已知曲线在点处的切线方程为，则（    ）

A．－1 B．－2 C．－3 D．0

【答案】C

【分析】根据导数的几何意义可知切线斜率为，可得，计算出切点代入切线方程即可得.

【详解】由题意可得，

根据导数的几何意义可知，在点处的切线斜率为，解得；

所以切点为，代入切线方程可得，解得.

故选：C

8．三个数的大小顺序为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用幂函数的单调性可判断三者的大小关系，注意利用中间数．

【详解】，由于，所以，

所以，即，

而，，

所以，所以，即，所以.

故选：D．

二、多选题

9．已知随机变量的分布列为

则（　　）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】根据题意，利用期望和方差的公式，准确计算，即可求解.

【详解】由题意，可得随机变量的期望为：,

所以方差为.

故选：AC.

10．甲罐中有5个红球，3个白球，乙罐中有4个红球，2个白球．整个取球过程分两步，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用，表示由甲罐取出的球是红球，白球的事件；再从乙罐中随机取出两球，分别用B，C表示第二步由乙罐取出的球是“两球都为红球”，“两球为一红一白”的事件，则下列结论中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】在各自新的样本空间中求出，判断A，B；利用全概率公式计算，判断C，D作答.

【详解】在事件发生的条件下，乙罐中有5红2白7个球，则，A不正确；

在事件发生的条件下，乙罐中有4红3白7个球，则，B正确；

因，，，

则，C正确；

因，，

则，D正确.

故选：BCD

11．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.

【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究

对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；

对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；

若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.

故选：BC.

[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.

由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC.

故选：BC.

[方法三]：

因为，均为偶函数，

所以即，，

所以，，则，故C正确；

函数，的图象分别关于直线对称，

又，且函数可导，

所以，

所以，所以，

所以，，故B正确，D错误；

若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.

故选：BC.

【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；

方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．

12．下列说法中正确的是（    ）

A．将4个相同的小球放入3个不同的盒子中，要求不出现空盒，共有3种放法

B．被7除后的余数为2

C．若，则

D．抛掷两枚骰子，取其中一个的点数为点P的横坐标，另一个的点数为点P的纵坐标，连续抛掷这两枚骰子三次，则点P在圆内的次数的均值为

【答案】ACD

【分析】根据组合数的计算即可判断A,根据二项式定理即可判断B，根据赋值法即可判断C，根据古典概型求解概率，由独立重复事件的均值计算即可判断D.

【详解】对于A：选一个盒子放两个球，另外两个盒子放一个球，共有种放法，故A正确；

对于B,

，展开式中只有最后一项-2不是7的倍数，所以被7除后的余数为5，故B错误；

对于C：在中，

令，得，

令，得，，

两式相加除以2，得，故C正确；

对于D：在一次抛掷两枚骰子的过程中，点P共有36种情况，其中在圆内的有，共8种，所以掷这两枚骰子一次，点P在圆内的概率为．因为，所以的均值为，故D正确，

故选:ACD

三、填空题

13．若，且，则          ．

【答案】或6

【分析】根据分段函数的定义域，分，，两种情况讨论求解.

【详解】若，由，得，所以（舍去）或，

若，由，得.

故答案为：或6

【点睛】本题主要考查分段函数求函数值，还考查了分类讨论的思想和运算求解问题的能力，属于基础题.

14．已知变量X，Y的一组样本数据如下表所示，其中有一个数据丢失，用a表示．若根据这组样本利用最小二乘法求得的Y关于X的回归直线方程为，则         ．

【答案】17

【分析】根据回归直线必过样本点中心即可解出．

【详解】因为，，所以

，解得．

故答案为：17．

15．已知随机变量 服从正态分布，若，则      ．

【答案】0.2

【分析】利用正态曲线的对称性即可得到答案.

【详解】因为，所以.

故答案为：0.2.

16．接种流感疫苗能有效降低流行感冒的感染率，某学校的学生接种了流感疫苗，已知在流感高发时期，未接种疫苗的感染率为，而接种了疫苗的感染率为.现有一名学生确诊了流感，则该名学生未接种疫苗的概率为          

【答案】

【分析】根据条件概率公式求解即可.

【详解】设事件“感染流行感冒”，事件“未接种疫苗”，

则，，

故.

故答案为：．

四、解答题

17．设命题实数满足，；命题实数满足.

（1）若，，均为真命题，求的取值范围；

（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】解一元二次不等式求出，均为真命题时的取值范围.

（1）将代入，根据交集运算求解即可；

（2）根据题意，是的充分不必要条件，只需，解不等式即可求解.

【详解】解：由题意得，当为真命题时，；

当为真命题时，

（1）若时，若，均为真命题，则解得，

所以的取值范围为.

（2）若是的充分不必要条件，则得，

所以实数的取值范围为.

【点睛】根据充分、必要条件求参数范围的方法：

（1）解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解；

（2）求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.

18．现有大小相同的8个球，其中4个不同的黑球，2个不同的红球，2个不同的黄球.

(1)将这8个球排成一列，要求黑球排在一起，2个红球相邻，2个黄球不相邻，求排法种数；

(2)从这8个球中取出4个球，要求各种颜色的球都取到，求取法种数；

(3)将这8个球分成三堆，每堆至少2个球，求分堆种数.

【答案】(1)576

(2)40

(3)490

【分析】（1）排列问题，相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法；

（2）按照分类分步计数原理，结合组合数公式计算；

（3）由每堆球数，分类计数，每类再分步完成.

【详解】（1）先将4个不同的黑球全排列，有种方法；再将2个不同的红球全排列，有种方法；

接着将4个黑球看成是1个元素连同整体红球共2个元素全排列，有种方法；

最后将2个黄球排在2个大元素形成的三个空位上，有种方法.

所以总的排法数为；

（2）从这8个球中取出4个球，要求各种点色的球都取到，取球的方式是1，1，2，

所以取法种数为；

（3）将这8个球分成三堆，每堆至少2个球，有两类：2，2，4；2，3，3；

所以分堆种数为.

19．已知的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，求的展开式中：

(1)所有二项式系数之和．

(2)系数绝对值最大的项．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据二项式系数相等关系可求得，根据二项式系数和的结论可直接求得结果；

（2）根据展开式通项公式，设第项的系数的绝对值最大，采用不等式法可求得的取值，代入展开式通项公式即可求得结果.

【详解】（1）因为的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，

所以且，解得，

所以展开式的二项式系数之和为；

（2）展开式的通项为，

设展开式第项的系数的绝对值最大，

则，解得，

又因，所以，

所以展开式中，系数绝对值最大的项为．

20．某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：

(1)根据所给数据完成上表，依据的独立性检验，能否认为该校学生喜欢足球与性别有关？

(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门.已知这两名男生进球的概率均为，这名女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望.

附：

【答案】(1)有的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关；

(2)分布列见解析，数学期望为.

【分析】（1）完善列联表，计算的观测值，再与临界值表比对作答.

（2）求出的可能值，求出各个值对应的概率，列出分布列并求出期望作答.

【详解】（1）依题意，列联表如下：

零假设：该校学生喜欢足球与性别无关，

的观测值为，

根据小概率值的独立性检验，推断不成立，

所以有的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关.

（2）依题意，的可能值为，

，，

，，

所以的分布列为：

数学期望.

21．2021年是中国共产党百年华诞.中国站在“两个一百年”的历史交汇点，全面建设社会主义现代化国家新征程即将开启.2021年3月23日，中宣部介绍中国共产党成立100周年庆祝活动八项主要内容，其中第一项是结合巩固深化“不忘初心､牢记使命”主题教育成果，在全体党员中开展党史学习教育.这次学习教育贯穿2021年全年，总的要求是学史明理､学史增信､学史崇德､学史力行，教育引导党员干部学党史､悟思想､办实事，开新局.为了配合这次学党史活动，某地组织全体党员干部参加党史知识竞赛，现从参加人员中随机抽取100人，并对他们的分数进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）现从这100人中随机抽取2人，记其中得分不低于80分的人数为，试求随机变量的分布列及期望；

（2）由频率分布直方图，可以认为该地参加党史知识竞赛人员的分数服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，经计算.现从所有参加党史知识竞赛的人员中随机抽取500人，且参加党史知识竞赛的人员的分数相互独立，试问这500名参赛者的分数不低于82.3的人数最有可能是多少？

参考数据：，，，.

【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望：；（2）人数最有可能是79.

【分析】（1）可得得分不低于80分的有20人，可能的取值为0，1，2，即可求得取不同值的概率，即可得出分布列，求出期望；

（2）由题求出，根据题意可得，即可求解.

【详解】解：（1）100人中得分不低于80分的人数为，

随机变量可能的取值为0，1，2.

又，，，

则的分布列为：

.

（2）.

，

，

每位参赛者分数不低于82.3的概率为0.15865，记500位参赛者中分数不低于82.3的人数为随机变量，则，其中，

所以恰好有个参赛者的分数不低于82.3的概率为，，1，2，…，500.

由，

得.

所以当时，，

当时，

由此可知，在这500名参赛者中分数不低于82.3的人数最有可能是79.

22．函数，.

（1）若，求函数的最大值；

（2）若在恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据题意，代入，求导利用导数研究函数单调性，进而求最值.

（2）根据题意，则在恒成立，提取参数转化成在恒成立问题，设，对函数设求导，分析函数单调性，进而求解函数最值，即可求解参数取值范围.

【详解】（1），故.

由得，；由得，.

∴在递增，在递减.∴.

（2）∵在恒成立

∴在恒成立.

设，则.

当时，，且，，∴，∴.

当时，，设，.

∴在递增，又，.

∴，使得.

∴当时，；当时，.

∴当时，；当时，.

∴函数在递增，在递减，在递增.

由得，且.

∴

∵，∴，又

则当时，，则的取值范围是.

【点睛】本题考查（1）利用导数研究函数最值问题（2）利用导数研究函数恒成立问题求解参数范围，考查转化与化归思想，考查计算能力，综合性较强，属于难题.