江西省九江市2023届高三数学（文）三模试题（Word版附解析）

九江市2023年第三次高考模拟统一考试

数学试题（文科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟.

考生注意：

1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名等内容填写在答题卡上.

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.

第Ⅰ卷（选择题60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】首先求解一元二次不等式则得到集合，再利用集合交并补的运算即可.

【详解】，，解得，

则，.

故选：A.

2. 已知复数z满足，则（    ）

A. 1 B.  C. 2 D.

【答案】B

【解析】

【分析】设，然后根据复数的四则运算求出，然后代入复数模的计算公式即可求解.

【详解】设，则，

即，

，解得，，.

故选：.

3. 已知，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】借助指数函数与对数函数的单调性将三个数，和中间量0与1来比较，即得大小关系.

【详解】解析：，，，

.

故选：C.

4. 为了强化节约意识，更好地开展“光盘行动”，某校组织社会实践小组对某块稻田的稻穗进行调研，小组随机抽取了20株稻穗，并统计了每株稻穗的粒数，整理得到如下茎叶图，则每穗粒数的中位数和平均数分别是（    ）

A. 174，175 B. 175，175 C. 175，174 D. 174，174

【答案】A

【解析】

【分析】根据中位数和平均数的定义进行计算即可.

【详解】从小到大排列，第10个和第11个数的平均数为中位数，即，故中位数为174，

先把每个数据减去174，

得到20个数据为，

此时，

从而求出平均数为.

故选：A.

5. 已知，且，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先根据，，求出，，再利用两角差的余弦公式求

【详解】解析：，，，

，，

，

故选：A.

6. 执行如图所示的算法框图，则输出的C的值为（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，由程序框图可得C是以3为周期的周期数列，即可得到结果.

【详解】由题意，输入，，，执行程序框图，

，，，，执行循环体；

，，，，执行循环体；

，，，，执行循环体；

，，，，执行循环体；

所以C是以3为周期周期数列，

当时，执行循环体，，，，，结束循环体，

所以输出的C的值为2.

故选:C.

7. 若数列满足（q为常数，且），则称为差等比数列，其中q为公差比.已知差等比数列中，，，且公差比为2，则（    ）

A. 1024 B. 1022 C. 2048 D. 2046

【答案】D

【解析】

【分析】由题意证明数列是以4为首项，2为公比的等比数列，并求出的通项，再用累加法求出的通项，从而得到.

【详解】，，，，

数列是以4为首项，2为公比的等比数列，，

当时，，

.

故选：D.

8. 已知椭圆的左右焦点分别为，，，为平面内异于，的两点.若的中点在上，且，，则（    ）

A. 4 B.  C. 8 D.

【答案】D

【解析】

【分析】连接，，依题意可得，分别是和的中位线，即可得到，，再根据椭圆的定义计算可得.

【详解】如图所示，连接，，，，

，分别为线段，的中点，

为的中点，

，分别是和的中位线，

，，

在上，，

故选：D.

9. 已知函数的部分图像如图所示.若，则的最大值为（    ）

A. 2 B.  C. 4 D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据图象先求出，然后根据函数过点和在单调递减得到，代入函数解析式，利用两角和与差的正弦公式即可求解.

【详解】由图可知，，，则，

，又，且在单调递减，

，，，，

又，，，

.

故的最大值为.

故选：D.

10. 已知定义在R上的函数在上单调递增，是奇函数，的图像关于直线对称，则（    ）

A. 在上单调递减 B. 在上单调递增

C. 在上单调递减 D. 在上单调递增

【答案】C

【解析】

【分析】根据是奇函数，得到的图象关于点对称，由图像关于直线对称可知为偶函数，结合函数在上单调递增，得到在上单调递减，再求出函数的周期性得到答案.

【详解】是奇函数，

，即的图象关于点对称，

又在上单调递增，

在上单调递增，即在上单调递增.

由，可得，

由图像关于直线对称可知为偶函数，

∴在上单调递减，

，

，

是周期函数，最小正周期为4，

∵，，

∴在上的单调性和在上的单调性相同，

在上单调递减.

故选：C.

11. 榫卯是一种中国传统建筑、家具的主要结构方式，它凝聚了中华文明的智慧.它利用材料本身特点自然连接，既符合力学原理，又重视实用和美观，达到了实用性和功能性的完美统一.下图是榫卯结构中的一种，当其合并在一起后，可形成一个正四棱柱.将合并后的榫卯对应拿开（如图1所示），已知榫的俯视图如图2所示，则卯的主视图为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，由榫与卯为互补结构结合对应的视图，再由排除法即可得到结果.

【详解】由题可知，榫与卯为互补结构，合并为一个正四棱柱，故卯需要有两个通透的长方形通道，由于四棱柱摆放角度为直角边正对我们，故主视图必须有一条居中的实线代表棱，故A错误；

然后对榫的结构分析并与卯互补可得，卯的两边通道中间并不会连通，故不存在居中的虚线，故BD错误，

综上所述，只有C满足要求.

故选:C

12. 从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过另外一个焦点.如图所示，已知双曲线（）的左右焦点分别为，，从右焦点发出的两条方向相反的光线经双曲线上两点A，B反射后，其中反射光线BC垂直于AB，反射光线AD满足，则该双曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】连接，，在中，设，则，，由双曲线定义可知，，解出，在中用表示出，最后求出离心率.

【详解】如图，连接，，由双曲线的光学性质可知，，，

设，则，，

由双曲线定义可知，，

，，，，

，，.

故选：B.

第Ⅱ卷（非选择题90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，学生根据要求作答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 中，，，D为BC的中点，则______.

【答案】2

【解析】

【分析】利用平面向量的数量积和直角三角形中余弦的定义求解即可.

【详解】解析：如图，.

故答案为：2.

14. 中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知，，则的面积为______.

【答案】

【解析】

【分析】利用正弦定理可得，再用余弦定理得，求出，最后使用面积公式即得.

【详解】解析：由及正弦定理，得，

，由余弦定理知，

，，.

故答案为：.

15. 已知函数有两个极值点，，且，则______.

【答案】

【解析】

【分析】根据函数有两个极值点得到是方程的两个不相等的实数根，然后分离变量，构造函数，对函数求导，利用函数的单调性即可求解.

【详解】，是的两个零点，

即是方程的两个不相等的实数根，

， 是方程的两个不相等的实数根.

令，则.

当或时，；

当时，，

在和上单调递减，在上单调递增，

且当时，；当时，.

，且.

由，得，

，，由，即.

故答案为：.

16. 如图，棱长为2的正方体中，P，Q为四边形内的点（包括边界），且点P到AB的距离等于到平面的距离，点Q到的距离等于到平面ABCD的距离，则的最小值为______.

【答案】

【解析】

【分析】根据抛物线定义得到P，Q的轨迹，结合图像，即可求解.

【详解】当P，Q在线段上时，由P到AB的距离等于到平面的距离知，P到点B的距离等于到的距离，故点P在以B为焦点，为准线的抛物线上；同理，点Q在以为焦点，BC为准线的抛物线上.设这两条抛物线与的交点即分别为点，（如图1）.

则P，Q的轨迹分别为四边形内过点，且平行于AB的线段（如图2）.则的最小值即为.

如图3所示，建立平面直角坐标系，则的坐标为，，所在的抛物线方程为，，联立方程且，得，

，，即的最小值为.

故答案为：.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 已知数列的前n项和为，且满足，.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前n项和.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由与的关系证得是等差数列，求出，再求；

（2）使用裂项求和即可.

【小问1详解】

当时，，

当时，，，即，

，，，

是首项为2，公差为1的等差数列，

，，

，

综上，

【小问2详解】

，,（）,，

记数列的前n项和为，

.

18. 直三棱柱中，，D为的中点，.

（1）求证：平面平面ABD；

（2）若，求三棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）先证平面，得到①，再借助三角形相似证明②，最后证出平面平面；

（2）等体积法求即可.

【小问1详解】

为直三棱柱，，

又，，平面

平面，①

设，则，，

，，

，，故②

由①②，，，且，知平面ABD

又平面，平面平面ABD

【小问2详解】

由，得，解得

的面积

由（1）知平面，三棱锥的体积

三棱锥的体积

19. 2023年，国家不断加大对科技创新的支持力度，极大鼓舞了企业投入研发的信心，增强了企业的创新动能.某企业在国家一系列优惠政策的大力扶持下，通过技术革新和能力提升，极大提升了企业的影响力和市场知名度，订单数量节节攀升，右表为该企业今年1~4月份接到的订单数量.

附：相关系数，

回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为

，，.

（1）试根据样本相关系数r的值判断订单数量y与月份t的线性相关性强弱（，则认为y与t的线性相关性较强，，则认为y与t的线性相关性较弱）.（结果保留两位小数）

（2）建立y关于t的线性回归方程，并预测该企业5月份接到的订单数量.

【答案】（1）0.96，订单数量y与月份t的线性相关性较强   

（2），6.05万件

【解析】

【分析】（1）根据公式求出，即可得出结论；

（2）利用最小二乘法求出回归方程，再令，即可得解.

【小问1详解】

，，

，

，

，

，

订单数量y与月份t的线性相关性较强；

【小问2详解】

，

，

线性回归方程为，

令，（万件），

即该企业5月份接到订单数量预计为6.05万件.

20. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为F，A，B为E上两点，且点A的纵坐标为，F恰好是的重心.

（1）求E的方程；

（2）若，P，Q为抛物线上相异的两个动点，且，求的最小值.

【答案】（1）   

（2）11

【解析】

【分析】（1）根据点A的坐标及重心F的坐标表示点B，将B的坐标代入抛物线方程可求出，可得抛物线的方程；

（2）设直线PQ的方程为，，，联立直线PQ与抛物线方程，根据韦达定理和，求出，再根据抛物线的定义求出，结合二次函数知识可求出结果.

【小问1详解】

由已知可得，，设

F恰好是的重心，，解得，

将代入，得，

，解得，

E的方程为；

【小问2详解】

设直线PQ的方程为，，，

由方程组，得

，即，且，，

，，

，，

，即，

，

，或，

若，直线PQ过N点，不合题意，舍去，

，此时，，

则，

当时，有最小值为11.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；

（5）代入韦达定理求解.

21. 已知函数）在处的切线斜率为.

（1）求a的值；

（2）若，，求实数m的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求得答案;

（2）由，变形为，从而令，求得其导数，结合端点处函数值以及导数值情况，判断出m的范围，并加以证明，即可得答案.

【小问1详解】

，

，

，，，.

【小问2详解】

由（1）可知，，

由，得，

令，则，

，且，存在，使得当时，，

，即；

下面证明当时，，

，且，

，

设，，

当时，；当时，；

可知在上单调递减，在上单调递增，

，，，

；

当时，令，则，

设，则，且为单调递增函数，

由于，故，仅在是取等号，

故在上单调递增，，故，即，

则在上单调递增，而，

当时，递增的幅度远大于递增的幅度，，

故必存在，使得，则时，，

故在上单调递减，则，与题意不符；

综上，实数m的取值范围为.

【点睛】关键点睛：根据不等式恒成立求解参数范围时，关键是要根据端点处函数值以及导数值的情况推出m的范围，再加以证明.

请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

选修4-4：坐标系与参数方程

22. 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为（t为参数）.以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，其中α为倾斜角，且.

（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

（2）设l与曲线C相交于P，Q两点，直线OP，OQ的斜率为，，求的取值范围.

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）参数方程和普通方程的转化，极坐标方程和直角坐标方程的转化；

（2）直线的参数方程应用，根与系数关系求得斜率和范围.

【小问1详解】

曲线C的普通方程为，

由，

得，

即，，

所以，又，故，即，

,所以.

【小问2详解】

设，，

将代入直线l方程中，得，

则，，

，

，，

.

选修4-5：不等式选讲

23. 设a，b，c均为正数，已知函数的最小值为4.

（1）求的最小值；

（2）证明：.

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）应用绝对值三角不等式及基本不等式求目标式最小值，注意取值条件，

（2）利用基本不等式证明不等式即可.

【小问1详解】

，

，则，

，仅当时等号成立，

，仅当时等号成立，

，仅当时等号成立，

，

，即，仅当时取等号，

故的最小值为.

【小问2详解】

，仅当时等号成立，

，仅当时等号成立，

，仅当时等号成立，

，

又，仅当时等号成立，

同理，仅当时等号成立，，仅当时等号成立，

，当且仅当时等号成立，

即.