四川省成都市石室中学2023-2024学年高三上学期开学考试文科数学试题

成都石室中学2023-2024年度上期高2024届入学考试

数学试题（文 ）

（总分：150分，时间：120分钟 ）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）

1.已知集合，，则（    ）

A．            B．            C．            D．

2.若复数满足，则(　 　)

A． B．1 C． D．2

3.函数的图象大致是(　 　)

A         B               C    D

4.已知实数满足，则下列关系式恒成立的是（   ）

A．    B．    C．    D．  

5.若，则的最小值为（   ）

A.8                  B.6            C.4             D.2

6.已知命题若则；命题 在中，是的必要不充分条件，则下列命题为真命题的是（   ）

A．    B.       C.    D.

7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（    ）

A．          B.         C. 1        D.2

8.已知函数的图象与轴交点的坐标为，且图象关于直线对称，将图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，则在区间上的最大值为(　 　)

A． B． C． D．

9.已知中，若，，的面积为，为边的中点，则的长度是（    ）

A.           B.                 C. 1               D.2

10.已知，则，，的大小关系为（     ）

A．  B． C． D．

11.已知圆过双曲线的左右焦点,曲线与曲线在第一象限交点为，则双曲线的离心率为（   ）

．     ．      ．      ．

12.已知函数，若方程有三个不同的根， ， ，则（     ）

A.4        B. 3          C. 2           D.

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）

13.已知倾斜角为的直线与直线垂直，则=       .

14.设，满足约束条件，则的最大值是_________.

15.直线与抛物线交于两点，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，则       .

16.已知三棱锥中,,,当三棱锥体积最大时,的值为          .

三、解答题（本题共6道小题，17题10分，其余各题12分，共70分）

17．（本小题满分12分）

已知数列满足， ，数列满足， .

（1）证明： 是等比数列；

（2）数列满足，求数列的前项的和.

18．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中， 四边形ABCD为正方形，平面ADP⊥底面ABCD，AP=DP，且AP⊥DP，设E，F分别为CP，BD的中点，．

（1）求证：AP⊥CP；

（2）求三棱锥P-ADE的体积．

19．（本小题满分12分）

已知某绿豆新品种发芽的适宜温度在6℃~22℃之间，一农学实验室研究人员为研究温度x（℃）与绿豆新品种发芽数y（颗）之间的关系，每组选取了成熟种子50颗，分别在对应的8℃~14℃的温度环境下进行实验，得到如下散点图：

其中,，．

（1）运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合与的关系？

（2）若求出关于的线性回归方程，并预测在19℃的温度下，种子的发芽的颗数．

参考公式：相关系数，回归直线方程，其中，．参考数据：．

20．（本小题满分12分）

已知椭圆：（）左、右焦点分别为,，且为抛物线的焦点， 为椭圆上一点.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知，为椭圆上不同两点，且都在轴上方，满足.

（ⅰ）若，求直线的斜率；

（ⅱ）若直线与抛物线无交点，求四边形面积的取值范围.

21．（本小题满分12分）

设．

（1）证明：的图象与直线有且只有一个横坐标为的公共点，且；

（2）求所有的实数，使得直线与函数的图象相切；

（3）设（其中由（1）给出），且，，求g2(a)+ g2(b)+ g2(c)的最大值．

22．（本小题满分10分）

在直角坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为（为参数），点，分别在直线和曲线上运动，的最小值为.

(1)求的值；

(2)以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线与曲线交于不同的两点与直线交于点，若，求的值.