2023届山东省潍坊市临朐县第一中学高三上学期9月月考数学试题含解析

2023届山东省潍坊市临朐县第一中学高三上学期9月月考数学试题

一、单选题

1．已知，均为的子集，且，则下面选项中一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由，可得，由此可得结论

【详解】解：因为，均为的子集，且，

所以，

所以，

故选：C

2．若的展开式中项的系数是，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据二项式的通项及特定项系数求参数值.

【详解】二项展开式的通项为，

令，解得，

则，，

解得，

故选：A.

3．象棋，亦作“象暮”､中国象棋，中国传统棋类益智游戏，在中国有着悠久的历史，属于二人对抗性游戏的一种.由于用具简单，趣味性强，象棋成为流行极为广泛的棋艺活动.中国象棋是中国棋文化也是中华民族的文化瑰宝.某棋局的一部分如图所示，若不考虑这部分以外棋子的影响，且“马”和“炮”不动，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，从“兵”“吃掉”“马”的最短路线中随机选择一条路线，则该路线能顺带“吃掉”“炮”的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由图知，“兵”“吃掉”“马”的最短路线中，横走三步，竖走两步，得到路线的种数，其中能顺带“吃掉”“炮”的路线，第一步，从横横竖中选一路线，第二步，从横竖”中选一路线，得到路线的种数，再利用古典概型的概率求解.

【详解】由题意可知，“兵”“吃掉”“马”的最短路线中，横走三步，竖走两步，

相当于“横横横竖竖”五个汉字排成一列，有条路线.

其中能顺带“吃掉”“炮”的路线，分两步，第一步，“横横竖”三个汉字排成一列；

第二步，“横竖”两个汉字排成一列，共有条路线.

故所求概率为.

故选：C

4．给出下面四个命题：

①函数在(3，5)内存在零点；

②函数的最小值是2；

③若则；

④命题的“”否定是“”

其中真命题个数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】对选项进行判断得解

【详解】①函数在(3，5)内存在零点；

，所以①正确

②函数的最小值是2；

当且仅当时等号成立，此时无解

所以②不正确

③若则；

由不等式性质知③不正确

④命题的“”否定是“”故④不正确

故选：A

5．已知是定义在上的奇函数，，当时，，则（    ）

A． B．是的一个周期

C．当时， D．的解集为

【答案】D

【分析】由是定义在上的奇函数、可得的最小正周期是4，即可判断A、B的正误，然后可得时，，然后结合条件可判断C、D的正误.

【详解】因为是定义在上的奇函数，所以

所以，所以

所以的最小正周期是4，故B错误

，故A错误

因为当时，，是定义在上的奇函数

所以当时，，

当时，，，故C错误

因为当时，，的最小正周期是4，

所以的解集为，故D正确

故选：D

6．已知四棱锥的侧棱均相等，其各个顶点都在球的球面上，，，，，三棱锥的体积为，则球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由四点共圆，可得出，进而求出截面圆的直径，再根据体积可求出四棱锥的高，然后根据勾股定理，可求出外接球的半径，最后直接套表面积公式，可求得答案.

【详解】

如图，F为AC中点，由题意可知PF为四棱锥的高，

∵各个顶点都在球的球面上，，

∴四点共圆，且为直径，

∴，

又∵，，∴

在，解得，同理可得.

∵三棱锥的体积为,

∴，解得，

设，则，在中，，解得.

球的表面积为.

故选：A

7．学校有，两个餐厅，如果王同学早餐在餐厅用餐，那么他午餐也在餐厅用餐的概率是，如果他早餐在餐厅用餐，那么他午餐在餐厅用餐的概率是，若王同学早餐在餐厅用餐的概率是，那么他午餐在餐厅用餐的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设表示早餐去A餐厅用餐，表示早餐去B餐厅用餐，表示午餐去A餐厅用餐，然后依次求出相关概率，结合全概率公式即可直接求解.

【详解】设表示早餐去A餐厅用餐，表示早餐去B餐厅用餐，表示午餐去A餐厅用餐，且，根据题意得,

由全概率公式可得

，

故选：A.

8．设是定义域为的奇函数，且，当时，，.将函数的正零点从小到大排序，则的第4个正零点为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据奇偶性，先求出参数的值，结合周期性与对称性，作出函数的图象，观察图象可得结果.

【详解】∵是定义域为的奇函数，且，

∴又，∴，

∴ ，∴，即，

由可得，

故，即函数的周期为4，且图象关于直线轴对称，

作出的图象：

先求第二个正零点，令，∴，

∴第四个正零点为.

故选：C

二、多选题

9．某公司经营四种产业，为应对市场变化，在三年前进行产业结构调整，优化后的产业结构使公司总利润不断增长，今年总利润比三年前增加一倍，调整前后的各产业利润与总利润的占比如下图所示：

则下列结论中正确的有（    ）

A．调整后房地产业的利润有所下降 B．调整后医疗器械的利润增长量最大

C．调整后生物制药的利润增长率最高 D．调整后金融产业的利润占比最低

【答案】BCD

【分析】根据题目条件结合扇形图逐一分析各个选项即可得出答案.

【详解】解：设三年前的总利润为a，则今年的总利润为2a，

对于A，调整前房地产业的利润为，调整后房地产业的利润为，

所以调整后房地产业的利润有所上升，故A错误；

对于B，调整后医疗器械的利润增长量为，

调整后房地产业的利润增长量为，

调整后金融产业的利润增长量为，

调整后生物制药的利润增长量为，

所以调整后医疗器械的利润增长量最大，故B正确；

对于C，调整后生物制药的利润增长率为，

调整后金融产业的利润增长率为，

调整后房地产业的利润增长率为，

调整后医疗器械的利润增长率为，

所以调整后生物制药的利润增长率最高，故C正确；

对于D，根据调整后的扇形图可知调整后金融产业的利润占比最低，故D正确.

故选：BCD.

10．若二项式展开式中二项式系数之和为，展开式的各项系数之和为，各项系数的绝对值之和为，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．存在，使得

C．的最小值为2

D．

【答案】AB

【分析】依题意可得，，，即可判断A、D，再利用作商法判断B，利用基本不等式判断C；

【详解】解：依题意可得，，，

因为，所以A正确.

因为，所以B正确.

因为在上单调递增且在定义域上单调递增，所以在上单调递增，所以，当且仅当时取等号，所以不正确.

因为，当时，，所以D不正确.

故选：AB

11．如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是（     ）

A．圆锥SO的侧面积为

B．三棱锥体积的最大值为

C．的取值范围是

D．若，E为线段AB上的动点，则的最小值为

【答案】ABD

【分析】先求出圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式判断选项A；当时，的面积最大，此时体积也最大，利用圆锥体积公式求解即可判断选项B；先用取极限的思想求出的范围，再利用，求范围即可判断选项C；将以为轴旋转到与共面，得到，则，利用已知条件求解即可判断选项D.

【详解】在中，，

则圆锥的母线长，半径，

对于选项A：圆锥的侧面积为：，故选项A正确；

对于选项B：当时，的面积最大，

此时，

则三棱锥体积的最大值为：，故选项B正确；

对于选项C：当点与点重合时，为最小角，当点与点重合时，，达到最大值，又因为与不重合，则，

又，可得，

故选项C不正确；

对于选项D：由，

得，又，

则为等边三角形，则，

将以为轴旋转到与共面，得到，

则为等边三角形，，

如图：

则，

因为，

则，

故选项D正确；

故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：本题考查了圆锥的侧面面积以及体积，取极限是解决本题角的范围问题的关键；利用将以为轴旋转到与共面是解决求的最小值的关键.

12．已知奇函数的定义域为，若对，有，且当时，，则下列四个结论中正确的是（    ）

A．周期为

B．函数在区间上为增函数

C．函数在上的零点个数为

D．对，

【答案】ACD

【分析】对于A，利用周期的定义判断即可；对于B，画出函数的图像结合周期判断；对于C，根据函数的图像断；对于D，有对称性可知：关于对称，从而求值即可

【详解】对于选项A，函数的定义域为，又，令，可得，解得，所以，所以，故函数是周期为2的周期函数，故A正确．

对于选项B，画出的图象(如图)可知，函数在区间上为减函数，所以函数在区间上为增函数，故B错误．

对于选项C，由图象知函数在上的零点个数为6，故C正确；

对于选项D，对，有对称性可知：关于对称，

所以，

所以，

故D正确．

故选：ACD．

三、填空题

13．命题“，”为假命题，则实数的取值范围为           ；

【答案】

【分析】命题“，”为，则：，.由为假命题可知为真命题，即，恒成立，由分离变量法可得结果.

【详解】设命题“，”为，则：，.

由为假命题可知为真命题，即，恒成立，

，所以.

又，，当且仅当时，，

所以，即的取值范围是.

故答案为：.

14．已知函数，则         .

【答案】

【分析】根据当时，，将化为，再根据分段函数解析可求出结果》

【详解】因为时，，

所以

.

故答案为：

15．已知正三棱锥的底面边长为侧棱长为，其内切球与两侧面分别切于点，则的长度为           .

【答案】

【分析】根据正三棱锥的性质结合图形，利用比例关系求出内切圆的半径，再求出侧面切点所在圆的半径，即可求出

【详解】如图，

设正三棱锥内切球的半径为，为内切球与侧面的切点，为侧面上切点所在小圆的圆心，半径为，

为等边三角形，

, ,,

,

,

, 即

,

，解得，

,

由正三棱锥的定义知，内切圆与三个侧面相切，切点构成的三角形为等边三角形，故,

由余弦定理可得，

所以

故答案为：

【点睛】关键点点睛：根据正棱锥性质、正三角形的性质，利用相似三角形，求出内切球的半径，是解决问题的关键，属于中档题.

16．如果两地的距离是600公里，驾车走完这600公里耗时6小时，那么在某一时刻，车速必定会达到平均速度100公里/小时.上述问题转换成数学语言：是距离关于时间的函数，那么一定存在：就是时刻的瞬时速度.前提条件是函数在上连续，在内可导，且.也就是在曲线的两点间作一条割线，割线的斜率就是是与割线平行的一条切线的斜率，切线与曲线相切于点.已知对任意实数，且，不等式恒成立，若函数，则实数的取值范围为          .

【答案】

【分析】根据题意可得在上恒成立，即可得到在上恒成立，构造函数，利用函数的单调性，即可求得答案.

【详解】因为对任意实数，且，不等式恒成立，

故，即在上恒成立；

由，可得，

故在上恒成立，即在上恒成立，

而，

令，则令，

由于，即在上单调递增，

故，即，

所以

故答案为：

【点睛】关键点睛：解答本题的关键是理解题中导数的几何意义，从而可得不等式恒成立问题，再利用函数的单调性即可解决问题.

四、解答题

17．已知函数．

（1）若，求不等式的解集；

（2）若，使得，求的取值范围．

【答案】（1）或}；（2）答案见解析.

【分析】（1）分，，三种情况讨论求解即可；

（2）先求，使得时，的取值范围，再求补集即可.

【详解】解：（1）当时，．

当时，，所以；

当时，，不成立；

当时，，所以，

所以，综上可知，所求解集为或}．

（2）要求，使得时，的取值范围，

可先求，使得时，的取值范围，

，，

当时，恒成立；

当时，，

综上，，使得时，的取值范围为，

故，使得时，的取值范围为．

18．某企业创新形式推进党史学习教育走深走实，举行两轮制的党史知识竞赛初赛，每部门派出两个小组参赛，两轮都通过的小组才具备参与决赛的资格，该企业某部门派出甲、乙两个小组，若第一轮比赛时两组通过的概率分别是，，第二轮比赛时两组通过的概率分别是，，两轮比赛过程相互独立．

（1）若将该部门获得决赛资格的小组数记为，求的分布列与数学期望；

（2）比赛规定：参与决赛的小组由4人组成，每人必须答题且只答题一次（与答题顺序无关），若4人全部答对就给予奖金，若没有全部答对但至少2人答对就被评为“优秀小组"．该部门对通过初赛的某一小组进行党史知识培训，使得每个成员答对每题的概率均为（）且相互独立，设该参赛小组被评为“优秀小组”的概率为，当时，最大，试求的值．

【答案】（1）分布列见解析；期望为1；（2）．

【分析】（1）先计算甲，乙两组各自通过初赛的概率，确定的可能取值为0,1,2，求出相应概率，列出分布列，并计算数学期望即可；

（2）根据题意，列出“优秀小组”的概率的计算公式，通过求导数，确定在上的单调性；即可得到取最大时， 的值.

【详解】（1）设甲乙通过两轮制的初赛分别为事件，．则

，．

由题意的取值可能为0，1，2，则

，

，

．

那么的分布列为：

．

（2）由题意，小组中2人答对的概率为，3人答对的概率，

则．

，

令得，，，

所以在上，单调递增，在上，单调递减．

故时，最大．

19．已知函数.

(1)若在时取到极值,求的值及的图象在处的切线方程;

(2)若在时恒成立,求的取值范围.

【答案】(1) (2).

【详解】试题分析：（1）对求导，由在时取到极值，可求得的值，再根据导数的几何意义，即可求出切线方程；（2）由定义域可得，再对进行分类讨论，分别求出不同情况时的单调性及最小值，即可求出的取值范围.

试题解析：(1),

∵在时取到极值,∴,解得

故在处的切线方程为:

(2)由定义域知:对于恒成立,可得

①当时,在上,恒成立,所以此时在递减

注意到,故此时不恒成立

②当时,在区间上,恒成立,所以此时在递增

,故此时恒成立

③当时,的单调减区间为,单调增区间为

在处取得最小值,只需恒成立

设

设,

,在递减,又

所以即,解得

综上可知,若恒成立,只需的取值范围是.

点睛：本题主要考查了函数性质的综合应用问题，其中解答中涉及到利用到时研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值与最值，以及不等关系的证明，同时着重考查了分类讨论思想的应用，合理构造新函数，正确利用导数研究函数的性质是解答的关键．

20．如图，四边形是边长为的正方形，将三角形沿折起使平面平面.

（1）若为上一点，且满足，求证：；

（2）若二面角的余弦值为，求的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）先由面面垂直得到然后证明面从而得到；

（2）取中点，以为坐标原点，分别以方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，用向量法求AP.

【详解】解：证明：因为面面面面面

所以面

又面

所以

又，

所以面

又面

所以；

取中点，连结OP,因为所以.

又平面平面，所以平面.

以为坐标原点，分别以方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

设则有，

可得，

设为平面的一个法向量

则有即

不妨令，则，

设为平面的一个法向量，

则有即

不妨令，则，

因为

可得

解得，

所以.

【点睛】立体几何解答题的基本结构：

(1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；

(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算．

21．击鼓传花，也称传彩球，是中国民间游戏，数人或几十人围成圆圈坐下，其中一人拿花（或一小物件）；另有一人背着大家或蒙眼击鼓（桌子、黑板或其他能发出声音的物体），鼓响时众人开始传花（顺序不定），至鼓停止为止．此时花在谁手中（或其座位前），谁就上台表演节目，某单位组织团建活动，9人一组，共10组，玩击鼓传花，（前五组）组号与组内女性人数统计结果如表：

（Ⅰ）女性人数与组号（组号变量依次为1，2，3，4，5，…）具有线性相关关系，请预测从第几组开始女性人数不低于男性人数；

参考公式：

（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，从10组中随机抽取3组，求若3组中女性人数不低于5人的有组，求的分布列与期望；

（Ⅲ）游戏开始后，若传给相邻的人得1分，间隔人传得2分，每击一次鼓传一次花，得1分的概率为0.2，得2分的概率为0.8．记鼓声停止后得分恰为分的概率为，求．

【答案】（Ⅰ）从第8组开始女性人数不低于男性人数；（Ⅱ）分布列见解析，；（Ⅲ）.

【分析】（Ⅰ）根据题中表格结合参考公式即可求解；（Ⅱ）先写出的所有可能取值，再求出对应的概率，即可求解；（Ⅲ）根据对立事件列出关系式，再利用等比数列的定义和通项公式即可求解．

【详解】（Ⅰ）由题可得，

，

．

则，

，

∴，

当时，，

∴预测从第8组开始女性人数不低于男性人数．

（Ⅱ）由题可知的所有可能取值为0，1，2，3，

，

，

，

，

则的分布列为

∴.

（Ⅲ）在得分为分的基础上再传一次，则得分可能为分或分，记“合计得分”为事件，“合计得分”为事件，事件与为对立事件．

∵，，

∴，

∴．

22．已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）若且，证明：，．

【答案】（1）单调递增区间为和；单调递减区间为；（2）证明见解析.

【分析】（1）首先求函数的导数，，比较导数的零点，求解函数的单调区间；（2）利用二次导数，可转化为证明恒成立，再利用，可证明，只需证，化简后，构造函数，证明不等式.

【详解】解：（1）函数的定义域为，

∵，∴

∴由得或

由得；

∴的单调递增区间为和；单调递减区间为．

（2）欲证，，即证，，

令，，则，

令，则，

因为，所以，所以在上单调递增，所以，

所以，所以在上单调递增，

所以，

所以欲证，，只需证，①

因为，所以，

即，②

令，则，当时，

所以在上单调递增，所以，即，

所以，故②式可等价变形为：

所以，欲证①式成立，只需证成立

所以仅需证，

令，（），则，

∴在上单调递增，

故，即，

∴结论得证．

【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数证明不等式恒成立，本题的关键是利用，变形，计算求得，从而转化为证明成立.