河北省保定市2021-2022学年高三上学期期末调研考试数学试题（Word版含答案）

保定市 学年第一学期高三期末调研考试

数学

注意事项：

1. 答题前， 考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
   黑。如需改动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号。回答非选择题时， 将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回。
4. 本试卷主要考试内容： 高考全部内容。

一、选择题： 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分． 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合 题目要求的．

1. 
   A．
   B．
   C．
   D．
2. 若向量 ， 则
   A．
   B．
   C．
   D．
3. 设集合 均为非空集合．
   A． 若 ， 则
   B． 若 ， 则
   C． 若 ， 则
   D． 若 ， 则
4. 若 为圆 的弦 的中点， 则直线 的方程为
   A．
   B．
   C．
   D．
5. 已知 为偶函数， 且函数 在 上单调递减， 则不等式 的解集为
   A．
   B．
   C．
   D．
6. 为了增强大学生的环保意识， 加强对“碳中和”概念的宣传， 某公益组织分别在 两所大学 随机选取 10 名学生进行环保问题测试 (满分 100 分)， 这 20 名学生得分的散点图如图所示， 关于这两所学校被选取的学生的得分， 下列结论错误的是

A． 校学生分数的平均分大于 校学生分数的平均分
B． 校学生分数的众数大于 校学生分数的众数
C． 校学生分数的中位数等于 校学生分数的中位数
D． 校学生分数的方差大于 校学生分数的方

7. 已知函数 ， 则
   A． 的最小正周期为
   B．
   C． 的图象关于点 对称
   D．
8. 为了更好地研究双曲线， 某校高二年级的一位数学老师制作了一个如图所示的双曲线模型． 已知该模型左、右两侧的两段曲线 (曲线 与曲线 ) 为某双曲线 (离心率为 2) 的一部分， 曲线 与曲线 中间最窄处间的距离为 ， 点 与点 ， 点 与点 均关于该双曲 线的对称中心对称， 且 ， 则

A．
B．
C．
D．

二、选择题： 本题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分． 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求． 全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分， 有选错的得 0 分．

9. 若 ， 则 的值可能为
   A．
   B．
   C．
   D．
10. 如图， 为正方体中所在棱的中点， 过 两点作正方体的截面， 则截面的形状可能为

A． 三角形
B． 四边形
C． 五边形
D． 六边形

11. 已知 为曲线 上一动点， 则
    A． 的最小值为 1
    B． 存在一个定点和一条定直线， 使得 到定点的距离等于 到定直线的距离
    C． 到直线 的距离的最小值小于
    D． 的最小值为 6
12. 对于正整数 是小于或等于 的正整数中与 互质的数的数目． 函数 以其首名研 究者欧拉命名， 称为欧拉函数， 例如 ， 则
    A．
    B． 数列 为等比数列
    C． 数列 单调递增
    D数列 的前 项和恒小于 4

三、填空题： 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 把答案填在答题卡中的横线上．

13. 的最小值为________．
14. 函数 ．  的图象在点 处的切线的斜率为________．
15. 某体育赛事组织者招募到 8 名志愿者， 其中 3 名女性， 5 名男性， 体育馆共有 三个人 口， 每个人口需要分配不少于 2 个且不多于 3 个志愿者， 每名志愿者都要被分配， 则 3 名女 志愿者被分在同一个人口的概率为________， 每个人口都有女志愿者的分配方案共有________种． (本题第一空 3 分， 第二空 2 分)
16. 如图， 是边长为 4 的等边三角形 的中位线， 将 沿 折起， 使得点 与 重合， 平面 平面 ， 则四棱雉 外接球的表面积是________．

四、解答题： 本题共 6 小题，共 70 分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步叕．

17. (10 分)
    如图，测量河对岸的塔高 时， 可以选取与塔底 在同一水平面内的两个测量基点 与 ． 现测得 ． 在点 测得塔顶 的仰角为 ．

(1) 求 与 两点间的距离 (结果精确到 )；
(2)求塔高 (结果精确到 )．

18. （12 分）
    在数列 中， ， 且数列 是公差为 2 的等差数列．
    (1) 求 的通项公式；
    (2) 设 ， 求数列 的前 项和 ．
19. （12 分）
    如图， 在四棱锥 中， 底面 为平行四边形， 平面 底面 ， 且 ．

(1) 证明： ．
(2) 若 ． ， 求二面角 的余弦值．

20. (12 分)
    某车间打算购买 2 台设备， 该设备有一个易损零件， 在购买设备时可以额外购买这种易损零 件作为备件， 价格为每个 100 元． 在设备使用期间， 零件损坏， 备件不足再临时购买该零件， 价格为． 在使用期间， 每台设备需要更换的零件个数 的分布列为

表示 2 台设备使用期间需更换的零件数， 代表购买 2 台设备的同时购买易损零件的个数．

(1)求 的分布列；
(2) 以购买易损零件所需费用的期望为决策依据， 试问在 和 中， 应选哪一个?

21. (12 分)
    已知函数 ．
    (1) 若 ， 讨论 在 上的单调性；
    (2) 若函数 在 上的最大值小于 ， 求 的取值范围．
22.  (12 分)
    已知椭圆 经过 四个点中的三个．
    (1) 求 的方程．
    (2)若 为 上不同的两点， 为坐标原点， 且 与 垂直， 试问 上是否 存在点 (异于点 )， 使得 ? 若存在， 求点 的坐标； 若不存在， 说明理由．