中考数学一轮复习考点复习专题30 平行四边形【考点精讲】（含解析）

考点1：平行四边形的性质

1．平行四边形：两组对边分别平行的四边形.

2．平行四边形的性质

（1）平行四边形的对边平行; 

（2）平行四边形的对边相等; 

（3）平行四边形的对角相等; 

（4）平行四边形的对角线互相平分. 

【例1】（2021·贵州）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　）

A．OB＝OD B．AB＝BC C．AC⊥BD D．∠ABD＝∠CBD

【答案】A

【分析】

根据平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分进行判断即可．

【详解】

解：平行四边形对角线互相平分，A正确，符合题意；
平行四边形邻边不一定相等，B错误，不符合题意；
平行四边形对角线不一定互相垂直，C错误，不符合题意；
平行四边形对角线不一定平分内角，D错误，不符合题意．
故选：A．

在解答平行四边形的题型中，往往涉及到三角形的全等证明，在对学生的综合考查方面有一定要求

1．（2021·湖北）如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设，那么（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

延长EG交AB于H，根据平行四边形与三角板的性质，，DC//AB，得到∠DEH=∠BHE=60°，再由平角的定义，计算出结果．

【详解】

解：如图，延长EG交AB于H，

∵∠BMF=∠BGE=90°，

∴MF//EH，

∴∠BFM=∠BHE，

∵，

∴∠BFM=∠BHE=60°，

∵在平行四边形ABCD中，DC//AB，

∴∠DEH=∠BHE=60°，

∵∠GEN=45°，

∴，

故选：C．

2．（2021·贵州）如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，若，则的长是（    ）

A．1 B．2 C．2.5 D．3

【答案】B

【分析】

根据平行四边形的性质证明DF＝CD，AE＝AB，进而可得AF和ED的长，然后可得答案．

【详解】

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥CB，AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，

∴∠DFC＝∠FCB，

又∵CF平分∠BCD，

∴∠DCF＝∠FCB，

∴∠DFC＝∠DCF，

∴DF＝DC＝3，

同理可证：AE＝AB＝3，

∵AD＝4，

∴AF＝4−3＝1，DE＝4−3＝1，

∴EF＝4−1−1＝2．

故选：B．

3．（2021·江苏）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，其中点A在x轴正半轴上．若，则点A的坐标是__________．

【答案】（3，0）

【分析】

根据平行四边形的性质，可知：OA=BC=3，进而即可求解．

【详解】

解：∵四边形是平行四边形，

∴OA=BC=3，

∴点A的坐标是（3，0），

故答案是：（3，0）．

4．（2021·广西）如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，EF过点O，交AB于点E，交CD于点F．

（1）求证：∠1＝∠2；

（2）求证：△DOF≌△BOE．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【分析】

（1）根据平行四边形的性质可得AB//CD，根据平行线的性质即可得结论；

（2）由（1）可知∠1=∠2，根据中点的性质可得OD=OB，利用AAS即可证明△DOF≌△BOE．

【详解】

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB//CD，

∴∠1＝∠2．

（2）∵点O是对角线BD的中点，

∴OD=OB，

在△DOF和△BOE中，，

∴△DOF≌△BOE．

考点2：平行四边形的判定

（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形;

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形; 

（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形; 

（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形; 

（5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

【例2】（2021·四川资阳市）下列命题正确的是（    ）

A．每个内角都相等的多边形是正多边形

B．对角线互相平分的四边形是平行四边形

C．过线段中点的直线是线段的垂直平分线

D．三角形的中位线将三角形的面积分成1∶2两部分

【答案】B

【分析】

分别根据正多边形的判定、平行四边形的判定、线段垂直平分线的判定以及三角形中线的性质逐项进行判断即可得到结论．

【详解】

解：A.每个内角都相等，各边都相等的多边形是正多边形，故选项A的说法错误，不符合题意；

B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形,说法正确，故选项B符合题意；

C. 过线段中点且垂直这条线段的直线是线段的垂直平分线，故选项C的说法错误，不符合题意；

D. 三角形的中位线将三角形的面积分成1∶3两部分，故选项D的说法错误，不符合题意．

故选：B．

【例3】（2021·湖南）如图，点在矩形的对角线所在的直线上，，则四边形是（    ）

A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形

【答案】A

【分析】

利用三角形全等的性质得，对应边相等及对应角相等，得出一组对边平行且相等，即可判断出形状．

【详解】

解：由题意：

，

，

又，

，

，

，

四边形为平行四边形，

故选：A．

（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形；

（5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

1．（2021·湖南）如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，．

（1）求证：．

（2）判断四边形的形状，并证明．

【答案】（1）见详解；（2）四边形是平行四边形，理由见详解

【分析】

（1）由平行线的性质可得∠A=∠B，再证明AC=BD，根据SAS即可得到结论；

（2）由得∠ACE=∠BDF，DF=CE，根据平行四边形的判定定理，即可得到结论．

【详解】

（1）证明：∵，

∴∠A=∠B，

∵，

∴，即：AC=BD，

在和中，

∵，

∴；

（2）四边形是平行四边形，理由如下：

∵，

∴∠ACE=∠BDF，DF=CE，

∴DF∥CE，

∴四边形是平行四边形．

2．（2021·新疆中考真题）如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且．

求证：（1）；

（2）四边形AEFD是平行四边形．

【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析．

【分析】

（1）根据矩形的性质可得AB=DC，∠B=∠DCF=90°，根据全等三角形的判定即可得到；

（2）根据矩形的性质可得AD∥BC，AD=BC，根据可得AD=EF，根据平行四边形的判定即可得到四边形AEFD是平行四边形．

【详解】

证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=DC，∠B=∠DCB=90°，

∴∠DCF=90°，

在△ABE和△DCF中，

，

∴（SAS）．

（2）∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD=BC，

即AD=BE+EC，

∵BE=CF，

∴AD=CF+EC，

即AD=EF，

∵点F在BC的延长线上，

∴AD∥EF，

∴四边形AEFD是平行四边形．

3．（2021·湖北中考真题）如图，在中，点、分别在边、上，且．

（1）探究四边形的形状，并说明理由；

（2）连接，分别交、于点、，连接交于点．若，，求的长．

【答案】（1）平行四边形，见解析；（2）16

【分析】

（1）利用平行四边形的判定定理，两组对边分别平行是平行四边形即可证明；

（2）根据，找到边与边的等量关系，再利用三角形相似，建立等式进行求解即可．

【详解】

（1）四边形为平行四边形．

理由如下：

∵四边形为平行四边形

∴

∵

∴

∵四边形为平行四边形

∴

∴

∴

∵

∴四边形为平行四边形

（2）设，∵

∴，

∵四边形为平行四边形

∴，，

∵

，

∴

∴

∵

∴．