专题04+函数与不等式竞赛综合-【初中数学竞赛】50题真题专项训练（全国竞赛专用）

【初中数学竞赛】

专题04 函数与不等式竞赛综合-30题真题专项训练

（全国竞赛专用）

一、单选题

1．（2021·全国·九年级竞赛）若函数的图象与y轴交点的纵坐标为，则k的值是（    ）

A． B． C．或2 D．或

【答案】B

【详解】解  因时，代入函数关系得，即，所以或．故应选D．

注：本题中的函数可以是一次函数，也可以是二次函数．不能一开始就默认它是二次函数，约定，从而错误地选择了B．

2．（2021·全国·九年级竞赛）设，，是三边的长，二次函数在取最小值，则是（    ）

A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形

【答案】D

【详解】解  依题意可得是直角三角形．故应选D．

注：从前面的例题可以看出，解有关二次函数的最值问题，不仅要熟悉有关二次函数的性质，还要灵活运用相关的不等式知识、几何知识等，才能使问题得到顺利解决．

3．（2021·全国·九年级竞赛）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点P在上，轴于点C，交于点轴于点D，交于点B，则四边形的面积为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】．

设，则，所以．

故选：B．

4．（2021·全国·九年级竞赛）若，化简结果为（    ）．

A． B． C． D．0

【答案】C

【详解】依题意，所以．

故选：C．

5．（2021·全国·九年级竞赛）有两个四位数，它们的差是534，它们平方数的末四位数相同．则较大的四位数有（    ）种可能．

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【详解】理由：设较大的四位数为x，较小的四位数为y，则

，                                                           ①

且能被10000整除．

而，则能被5000整除．

令．                                             ②

由式①②解得

考虑到x，y均为四位数，于是，

解得．

k可取1，2或3．

从而，x可取的值有3个：2767，5267，7767．

6．（2021·全国·九年级竞赛）设为正整数，，，已知，则的值为（    ）．

A．1806 B．2005 C．3612 D．4100

【答案】A

【详解】，

，

，

同理．

故选：A．

7．（2021·全国·九年级竞赛）设的三个顶点，，均在抛物线上，并且斜边平行于x轴，若斜边上的高为h，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】解  设A的坐标为，点C的坐标为，则B点的坐标为．由勾股定理可得，

，

则，

于是，

即．

由于，所以，即斜边上的高（A的纵坐标）（C的纵坐标）．

注：（1）如图仅画出了的情形，在其他情形下，计算是完全相同的．

（2）设，利用勾股定理可得计算A与B的距离的公式为．

8．（2021·全国·九年级竞赛）若正数a，b，c满足不等式则a，b，c的大小关系是（    ）

A． B． C． D．不确定

【答案】B

【详解】解  由已知条件及加法的单调性得

，即

由①，②得 （传递性），所以．

由①，③得 （传递性），所以．

可见，a，b，c的大小关系是，故选B．

9．（2021·全国·九年级竞赛）设，则下列各式一定成立的是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】解：因，故

，

．

所以．

故选：D．

10．（2021·全国·九年级竞赛）设，且，则满足此等式的不同整数对有（    ）对．

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【详解】选C．理由：由，得．

又，故可将改写成

，

即．

因此，满足条件的整数对为．共有3对．

二、填空题

11．（2021·全国·九年级竞赛）已知，且满足 （表示不超过x的最大整数），则的值等于_______．

【答案】6

【详解】因，所以每一个等于0

或1．由题设知其中恰有18个等于1，

所以

于是，解得所以．故应填6．

12．（2021·全国·九年级竞赛）设正的边长为2，M是边上的中点，P是边上任意一点，的最大值和最小值分别记为s和t，则_______．

【答案】．

【详解】因为，，故当P处于边顶点C这一极端位置时，取最大值，最大值为．

如图4-1，作正，设为的中点，则由得，于是．

连，则，所以，故，并且当A、P、共线时等号成立，即的最小值为，因此，．故应填．

13．（2021·全国·九年级竞赛）已知，是正数，并且二次函数和的图象都与x轴相交，则的最小值是________．

【答案】20

【详解】解  因两条抛物线都与x轴相交，故其判别式及都不小于零，即．

因都是正数，所以

，及，

所以，即的最小值为20．故应填20．

注：本题中求最值的方法叫做放缩法，即根据题目条件，将各变量的值适当放缩为一个常数，从而求出其最值．

14．（2021·全国·九年级竞赛）代数式的最小值是_______．

【答案】

【详解】解  设，

则，

即．

关于x的方程有实根，所以

（因为），所以．

当且仅当时，y取最小值．

故应填．

15．（2021·全国·九年级竞赛）当x变化时，分式的最小值是_______．

【答案】4

【详解】解  令，去分母整理得

．

若，则①化为，矛盾．故．

因为作为x的方程①有实根x，故

，

即，解得．

而，所以．

代入①可得，故当时，y取最小值4．故应填4．

注：例中求最值的方法叫做判别式法．这是求函数最值的重要方法之一．但应该注意的是，化简整理为一个关于x的二次方程后（其余数是变量y的函数），对其二次项系数是否为零应进行讨论，只有在二次项系数不等于零的情形才能应用判别式法（若使二次项系数等于0的y的值存在，则这个值也是函数y可取到的值，在求最值时，应将这个值考虑在内进行讨论）．

16．（2021·全国·九年级竞赛）如图所示，点都在函数的图象上，点都在x轴上，且使得,都是等边三角形，则点D的坐标是_______．

【答案】

【详解】解  如图所示，分别过作x轴垂线，垂足分别为．设，则，所以的坐标分别是，代入得

解得

因此，的坐标为．

三、解答题

17．（2021·全国·九年级竞赛）已知实数a，b，c满足，证明．

【答案】见解析

【详解】因，故a，b，c都不为零．又且，所以，于是．

18．（2021·全国·九年级竞赛）设正数a，b，c，x，y，x满足，证明； ．

【答案】见解析

【详解】因

．

又，所以．

19．（2021·全国·九年级竞赛）已知，证明： 中至少有一个不大于．

【答案】见解析

【详解】因，同理三式平方后相乘得

故中至少有一个不大于．

20．（2021·全国·九年级竞赛）证明：对任意实数x及任意正整数n有．

【答案】见解析

【详解】设，则，于是存在小于n的正整数r，使

故，

故当时，，

故

当时，，

故，

于是

①．

又因为，所以②．

由①及②便知要证等式成立．

21．（2021·全国·九年级竞赛）在40与100之间任取一个实数，如果，那么的概率是多少?这是表示不超过的最大整数（要求答案写成最简分数的形式）．

【答案】

【详解】因，故．而要使，即，故所求概率．

22．（2021·全国·九年级竞赛）求的最小值．

【答案】5

【详解】解  

．

当时，T取最小值5．

注：例中求最值的方法是常用的配方法．

23．（2021·全国·九年级竞赛）求时，的最小值．

【答案】7

【详解】解  ．

等号当且仅当，即时成立．

故时，y取最小值7．

注：本题中求最值的方法是利用已知的不等式，其中应用最多的是平均值不等式：．

24．（2021·全国·九年级竞赛）某学生为了描点作出函数的图象，取了自变量7个值：且，分别计算了的值列出下表：

但由于粗心算错了其中一个值，请指出算错的是哪一个值?正确值是多少?并说明理由．

【答案】549是被算错的值，应该是551，理由见解析

【详解】解  设对应的函数值为，

则

，

故

（常数）．

而由给出的数据可得下表：

可见被算错，故是被算错的值，应该是．

25．（2021·全国·九年级竞赛）已知x，y，z都是正数，证明：．

【答案】见解析

【详解】利用不等式得

①．

同理②．

③由①+②+③即得要证不等式．

26．（2021·全国·九年级竞赛）求证：对任意的实数x，y，．

【答案】见解析．

【详解】设，其中，m，n为整数．

（1）若，则．这时有

，

，

所以．

（2）若，则．这时有

，

．

所以．

（3）若（的情况类似），这时有，，这时有

，

．

综上所述，不论何种情况，都有

．

27．（2021·全国·九年级竞赛）整数满足条件：，，，…，，求的最小值．

【答案】的最小值为7．

【详解】由已知条件可得：，，…，，各式相加整理后得．

又，故有．

因为整数，故为奇数，又且，

所以．

当，，，，，，…，，时等号成立．

所以，的最小值为7．

28．（2021·全国·九年级竞赛）函数的图象与x轴的两个交点是否都在直线的右侧，若是，请说明理由；若不一定，请求出两个交点在直线的右侧时，k的取值范围．

【答案】不一定，

【详解】解  不一定，例如，当时，函数化为，它的图象与x轴的交点为和，不都在直线的右侧．

设函数图象与x轴交点的横坐标为和，则．

当且仅当满足条件，时，抛物线与x轴的交点都在直线的右侧．

而，

（，

故上述条件可写为．

所以当时，抛物线与x轴的交点都在直线的右侧．

29．（2021·全国·九年级竞赛）已知，，为实数，且满足，求的最小值．

【答案】14

【详解】解  由可得

于是．

当时，取最小值14．

30．（2021·全国·九年级竞赛）如图，在直角梯形中，，，两点的坐标分别是，，动点，分别从，两点同时出发，点P以每秒3个单位长的速度沿方向运动，点Q以每秒1个单位长的速度沿线段运动，线段与的交点为D，过D作交于E，射线交x轴于点F，设，运动的时间为t秒．

（1）当t为何值时，以为顶点的四边形是平行四边形，请写出推理过程．

（2）设以为顶点的图形面积为y，求y关于运动时间t的函数关系式，并求出y的最大值．

（3）当t为何值时，为等腰三角形？请写出推理过程．

【答案】（1）或，推理见解析；（2）当时，；当时，， y的最大值为；（3）当或或或时，是等腰三角形，推理见解析

【详解】解  （1）设，则或．

因，故当且仅当时，以为顶点的四边形是平行四边形，所以或，

解得，或．

（2）过点Q作轴于G，过点E作轴于H，则．

①当时，．又因为，所以，故．而，所以

．

②当时，，同①类似地易得，所以

．

由①，②知时，为其最大值．

（3）①若，则．而，，所以，即．

②若，而，

所以，解得或．

③若，而，

所以，解得或（舍去）．

综上可知，当或时，是等腰三角形．

注：本题中只限制Q在线段上运动，但没有限制P在线段上运动，故必须讨论的情形，这是解答本题易出错的地方．