浙江省台州市2021年中考数学真题（含解析）

2021年浙江省初中毕业生学业考试（台州卷） 数学

亲爱的考生：

欢迎参加考试！请你认真审题，仔细答题，发挥最佳水平，答题时，请注意以下几点：

1.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．

2.答案必写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效．

3.答题前，请认真阅读答题纸上的“注意事项”，按规定答题．

4.本次考试不得使用计算器．

一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选多选、错选，均不给分）

1. 用五个相同的正方体搭成如图所示的立体图形，则该立体图形的主视图是（   ）

A.
 B.
 

C.
 D.
 

【答案】B

【解析】

【分析】从正面看所得到的图形即为主视图，因此选项B的图形符合题意．

【详解】解：根据主视图的意义可知，从正面看到四个正方形，

故选：B．

【点睛】考查简单组合体的三视图的画法，从不同方向对物体进行正投影所得到的图形分别为主视图、左视图、俯视图．

2. 小光准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45km，50km，51km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（   ）

A. 两点之间，线段最短 B. 垂线段最短

C. 三角形两边之和大于第三边 D. 两点确定一条直线

【答案】A

【解析】

【分析】根据线段的性质即可求解．

【详解】解：两地距离显示的是两点之间的线段，因为两点之间线段最短，所以导航的实际可选路线都比两地距离要长，

故选：A．

【点睛】本题考查线段的性质，掌握两点之间线段最短是解题的关键．

3. 大小在和之间的整数有（    ）

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

【答案】B

【解析】

【分析】先估算和的值，即可求解．

【详解】解：∵，，

∴在和之间的整数只有2，这一个数，

故选：B．

【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力，解决本题的关键是得到最接近无理数的两个有理数的值．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．

4. 下列运算中，正确的是（       ）

A. a2＋a＝a3 B. （ab）2＝ab2 C. a5÷a2＝a3 D. a5・a2＝a10

【答案】C

【解析】

【分析】根据合并同类项、积的乘方、同底数幂相除、同底数幂相乘的法则分别计算即可．

【详解】解：A．与a不是同类项，不能合并，故该项错误；

B．，故该项错误；

C．，该项正确；

D．，该项错误；

故选：C．

【点睛】本题考查整式的运算，掌握合并同类项、积的乘方、同底数幂相除、同底数幂相乘的法则是解题的关键．

5. 关于x的方程x24x＋m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（   ）

A. m＞2 B. m＜2 C. m＞4 D. m＜4

【答案】D

【解析】

【分析】根据方程x24x＋m＝0有两个不相等的实数根，可得，进而即可求解．

【详解】解：∵关于x的方程x24x＋m＝0有两个不相等的实数根，

∴，解得：m＜4，

故选D．

【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握ax2+bx＋c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，则判别式大于零，是解题的关键．

6. 超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，设货架上原有鸡蛋的质量（单位：g）平均数和方差分别为，s2，该顾客选购的鸡蛋的质量平均数和方差1，，则下列结论一定成立的是（   ）

A. 1 B. 1 C. s2＞ D. s2

【答案】C

【解析】

【分析】根据平均数和方差的意义，即可得到答案．

【详解】解：∵顾客从一批大小不一的鸡蛋中选购了部分大小均匀的鸡蛋，

∴＜s2，和1的大小关系不明确，

故选C

【点睛】本题主要考查平均数和方差的意义，掌握一组数据越稳定，方差越小，是解题的关键．

7. 一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝47°，则∠2＝（   ）

A. 40° B. 43° C. 45° D. 47°

【答案】B

【解析】

【分析】过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，根据平行线的性质即可求解．

【详解】解：如图，过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，

∵直尺的两边互相平行，

∴，

∴，

∴，

故选：B．

【点睛】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．

8. 已知（a＋b）2＝49，a2＋b2＝25，则ab＝（   ）

A. 24 B. 48 C. 12 D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】利用完全平方公式计算即可．

【详解】解：∵，，

∴，

故选：C．

【点睛】本题考查整体法求代数式的值，掌握完全平方公式是解题的关键．

9. 将x克含糖10的糖水与y克含糖30的糖水混合，混合后的糖水含糖（   ）

A. 20 B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先求出两份糖水中糖的重量，再除以混合之后的糖水总重，即可求解．

【详解】解：混合之后糖的含量：，

故选：D．

【点睛】本题考查列代数式，理解题意是解题的关键．

10. 如图，将长、宽分别为12cm，3cm的长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P．若∠α＝60°，则折叠后的图案（阴影部分）面积为（   ）

A. （36）cm2 B. （36）cm2 C. 24 cm2 D. 36 cm2

【答案】A

【解析】

【分析】过点C作，过点B作，根据折叠的性质求出，，分别解直角三角形求出AB和AC的长度，即可求解．

【详解】解：如图，过点C作，过点B作，

∵长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P，

∴，

∴，

∴，，，

∴，

∴，

故选：A．

【点睛】本题考查折叠的性质、解直角三角形，掌握折叠的性质是解题的关键．

二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）

11. 因式分解：xyy2＝_____．

【答案】y(x-y)

【解析】

【分析】根据提取公因式法，即可分解因式．

【详解】解：原式= y(x-y)，

故答案是：y(x-y)．

【点睛】本题主要考查分解因式，掌握提取公因式法分解因式，是解题的关键．

12. 一个不透明布袋中有2个红球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机模出一个小球，该小球是红色的概率为_____．

【答案】

【解析】

【分析】直接利用概率公式即可求解．

【详解】解：，

故答案为：．

【点睛】本题考查求概率，掌握概率公式是解题的关键．

13. 如图，将线段AB绕点A顺时针旋转30°，得到线段AC．若AB＝12，则点B经过的路径长度为_____．（结果保留π）

【答案】

【解析】

【分析】直接利用弧长公式即可求解．

详解】解：，

故答案为：．

【点睛】本题考查弧长公式，掌握弧长公式是解题的关键．

14. 如图，点E， F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG．若AB＝5，AE＝DG＝1，则BF＝_____．

【答案】

【解析】

【分析】先证明，得到，进而即可求解．

【详解】∵在正方形ABCD中，AF⊥EG，

∴∠AGE+∠GAM =90°，∠FAB+∠GAM=90°，

∴∠FAB =∠AGE，

又∵∠ABF=∠GAE=90°，

∴，

∴，即：，

∴BF=．

故答案是：．

【点睛】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，证明，是解题的关键．

15. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．若BC＝3，则△AFH的周长为_____．

【答案】6

【解析】

【分析】根据作图可得DF垂直平分线段AB，利用线段垂直平分线的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得△AFH的周长，即可求解．

【详解】解：由作图可得DF垂直平分线段AB，

∴，

∵以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，

∴，

∴

∵，

∴，

∴△AFH的周长，

故答案为：6．

【点睛】本题考查尺规作图—线段垂直平分线、等腰三角形的判定与性质，掌握上述基本性质定理是解题的关键．

16. 以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt4.9t2，现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2（如图2）．若h1＝2h2，则t1：t2＝_____．

【答案】

【解析】

【分析】根据函数图像分别求出两个函数解析式，表示出，，，，结合h1＝2h2，即可求解．

【详解】解：由题意得，图1中的函数图像解析式为：h＝v1t4.9t2，令h=0，或（舍去），，

图2中的函数解析式为：h＝v2t4.9t2， 或（舍去），，

∵h1＝2h2，

∴=2，即：=或=-（舍去），

∴t1：t2=：=，

故答案是：．

【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的图像和性质，二次函数的顶点坐标公式，是解题的关键．

三、解答题（本题有8小题，第17~20题每题8分，第21题10分，第22，23题每题12分，第24分14分，共80分）

17. 计算：|2|＋．

【答案】2+

【解析】

【分析】先算绝对值，化简二次根式，再算加减法，即可求解．

【详解】解：原式=2＋

=2+．

【点睛】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的性质以及合并同类二次根式法则，是解题的关键．

18. 解方程组：

【答案】.

【解析】

【分析】观察方程组中同一未知数的系数特点：x的系数存在倍数关系，而y的系数互为相反数，因此将两方程相加，消去y求出x，再求出y的值，可得到方程组的解.

【详解】解：①+②得：3x=3，  

即x=1，

把x=1代入①得：y=2，

则方程组的解为 .

【点睛】此题考查解二元一次方程组，解题关键在于利用加减消元法.

19. 图1是放置在水平地面上的落地式话筒架实物图，图2是其示意图．支撑杆AB垂直于地l，活动杆CD固定在支撑杆上的点E处，若∠AED＝48°，BE＝110 cm，DE＝80 cm，求活动杆端点D离地面的高度DF．（结果精确到1cm，参考数据：sin48°≈0.74， cos48°≈0.67， tan48°≈1. 11）

【答案】

【解析】

【分析】过点E作，易得四边形EBFM是矩形，即，再通过解直角三角形可得，即可求解．

【详解】解：过点E作，

∵，，，

∴，

∴四边形EBFM是矩形，

∴，

∵∠AED＝48°，

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，做出合适的辅助线构造直角三角形是解题的关键．

20. 小华输液前发现瓶中药液共250毫升，输液器包装袋上标有“15滴/毫升”．输液开始时，药液流速为75滴/分钟．小华感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速，输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升．

（1）求输液10分钟时瓶中的药液余量；

（2）求小华从输液开始到结束所需的时间．

【答案】（1）输液10分钟时瓶中的药液余量为200毫升；（2）小华从输液开始到结束所需的时间为60分钟．

【解析】

【分析】（1）先求出每分钟输液多少毫升，进而即可求解；

（2）先求出输液10分钟时调整后的药液流速，进而即可求解．

【详解】（1）解：75÷15=5（毫升/分钟），

250-5×10=200（毫升），

答：输液10分钟时瓶中的药液余量为200毫升；

（2）（200-160）÷10=4（毫升/分钟），

160÷4+20=60（分钟），

答：小华从输液开始到结束所需的时间为60分钟．

【点睛】本题主要考查有理数运算的实际应用，明确时间，流速，输液量三者之间的数量关系，是解题的关键．

21. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝20，BC＝DC＝10

（1）求证：△ABC≌△ADC；

（2）当∠BCA＝45°时，求∠BAD的度数．

【答案】（1）见详解；（2）60°

【解析】

【分析】（1）通过SSS证明△ABC≌△ADC，即可；

（2）先证明AC垂直平分BD，从而得是等腰直角三角形，求出BO= 10，从而得BD=20，是等边三角形，进而即可求解．

【详解】（1）证明：在△ABC和△ADC中，

∵

∴△ABC≌△ADC（SSS），

（2）连接BD，交AC于点O，

∵△ABC≌△ADC，

∴AB=AD，BC=DC，

∴AC垂直平分BD，即：∠AOB=∠BOC=90°，

又∵∠BCA＝45°，

∴是等腰直角三角形，

∴BO=BC÷=10÷=10，

∴BD=2BO=20，

∵AB＝AD＝20，

∴是等边三角形，

∴∠BAD=60°．

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，掌握垂直平分线的判定定理，是解题的关键．

22. 杨梅果实成熟期正值梅雨季节，雨水过量会导致杨梅树大量落果，给果农造成损失．为此，市农科所开展了用防雨布保护杨梅果实的实验研究．在某杨梅果园随机选择40棵杨梅树，其中20棵加装防雨布（甲组），另外20棵不加装防雨布（乙组）．在杨梅成熟期，统计了甲、乙两组中每一棵杨梅树的落果率（落地的杨梅颗数占树上原有杨梅颗数的百分比），绘制成如下统计图表（数据分组包含左端值不包含右端值）．

甲组杨梅树落果率频数分布表

乙组杨梅树落果率频数分布直方图
 

（1）甲、乙两组分别有几棵杨梅树的落果率低于20%？

（2）请用落果率的中位数或平均数，评价市农科所“用防雨布保护杨梅果实”的实际效果；

（3）若该果园的杨梅树全部加装这种防雨布，落果率可降低多少？说出你的推断依据．

【答案】（1）甲、乙两组分别有16棵和2棵杨梅树落果率低于20%；（2）“用防雨布保护杨梅果实”大大降低了杨梅树的落果率，理由见详解；（3）该果园的杨梅树全部加装这种防雨布，落果率可降低21%．

【解析】

【分析】（1）根据频数直方图和频数统计表，直接求解即可；

（2）分别求出甲乙两组杨梅树落果率的组中值的中位数，即可得到结论；

（3）分别求出甲乙两组杨梅的落果率的平均数，即可得到答案．

【详解】解：（1）12+4=16（棵），1+1=2（棵），

答：甲、乙两组分别有16棵和2棵杨梅树的落果率低于20%；

（2）∵甲组杨梅树落果率的组中值从小到大排列：5%，5%，5%，5%，5%，5%，5%，5%，5%，5%，5%，5%，15%，15%，15%，15%，25%，25%，35%，45%，

∴甲组杨梅树落果率的组中值的中位数为：5%，

∵乙组杨梅树落果率的组中值从小到大排列：5%，15%， 25%，25%，25%，35%，35%，35%，35%，35%，35%，35%，35%，35%，35%，45%，45%，45%，45%，45%，

∴乙组杨梅树落果率的组中值的中位数为：35%，

∴“用防雨布保护杨梅果实”的落果率的中位数低于“不加装防雨布”的落果率的中位数，

∴“用防雨布保护杨梅果实”大大降低了杨梅树的落果率；

（3）（12×5%+4×15%+2×25%+1×35%+1×45%）÷20=12.5%，

（1×5%+1×15%+3×25%+10×35%+5×45%）÷20=33.5%，

33.5%-12.5%=21%，

答：该果园的杨梅树全部加装这种防雨布，落果率可降低21%．

【点睛】本题主要考查频数直方图和频数统计表，中位数和平均数，准确从统计图表中找出数据，求出中位数和平均数，是解题的关键．

23. 电子体重科读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）可变电阻R1， R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1＝km＋b（其中k，b为常数，0≤m≤120），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0 ，该读数可以换算为人的质量m，

温馨提示：

①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I＝；

②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．

（1）求k，b的值；

（2）求R1关于U0的函数解析式；

（3）用含U0的代数式表示m；

（4）若电压表量程为0~6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量．

【答案】（1）；（2）；I（3）；（4）该电子体重秤可称的最大质量为460千克．

【解析】

【分析】（1）根据待定系数法，即可求解；

（2）根据“串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压”，列出等式，进而即可求解；

（3）由R1＝m＋240，，即可得到答案；

（4）把时，代入，进而即可得到答案．

【详解】解：（1）把（0，240），（120，0）代入R1＝km＋b，得，解得：；

（2）∵，

∴；

（3）由（1）可知：，

∴R1＝m＋240，

又∵，

∴=m＋240，即：；

（4）∵电压表量程为0~6伏，

∴当时，

答：该电子体重秤可称的最大质量为460千克．

【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的实际应用，熟练掌握待定系数法，是解题的关键．

24. 如图，BD是半径为3的⊙O的一条弦，BD＝4，点A是⊙O上的一个动点（不与点B，D重合），以A，B，D为顶点作平行四边形ABCD．

（1）如图2，若点A是劣弧的中点．

①求证：平行四边形ABCD是菱形；

②求平行四边形ABCD的面积．

（2）若点A运动到优弧上，且平行四边形ABCD有一边与⊙O相切．

①求AB长；

②直接写出平行四边形ABCD对角线所夹锐角正切值．

【答案】①证明见解析；②；（2）①AB的长为或；②

【解析】

【分析】（1）①利用等弧所对的弦相等可得，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得证；②连接AO，交BD于点E，连接OD，根据垂径定理可得，利用勾股定理求出OE的长，即可求解；

（2）①分情况讨论当CD与相切时、当BC与相切时，利用垂径定理即可求解；②根据等面积法求出AH的长度，利用勾股定理求出DH的长度，根据正切的定义即可求解．

【详解】解：（1）①∵点A是劣弧的中点，

∴，

∴，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴平行四边形ABCD是菱形；

②连接AO，交BD于点E，连接OD，

，

∵点A是劣弧的中点，OA为半径，

∴，OA平分BD，

∴，

∵平行四边形ABCD是菱形，

∴E为两对角线的交点，

在中，,

∴，

∴；

（2）①如图，当CD与相切时，连接DO并延长，交AB于点F，

∵CD与相切，

∴，

∴，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴，

∴，

在中，，

在中，，

∴，解得，

∴，

∴；

如图，当BC与相切时，连接BO并延长，交AD于点G，

同理可得，，

所以,

综上所述，AB的长为或；

②过点A作，

，

由（2）得：

根据等面积法可得，

解得，

在在中，，

∴，

∴．

【点睛】本题考查垂径定理、平行四边形的判定与性质、解直角三角形等内容，掌握分类讨论的思想是解题的关键．