2021_2023年高考数学真题分类汇编专题14概率与统计解答题文

专题14概率与统计(解答题)（文）

近三年高考真题

知识点1：回归分析

1．（2022•乙卷（文））某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：和材积量（单位：，得到如下数据：

并计算得，，．

（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到；

（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．

附：相关系数，．

【解析】（1）设这种树木平均一棵的根部横截面积为，平均一棵的材积量为，

则根据题中数据得：，；

（2）由题可知，；

（3）设总根部面积和，总材积量为，则，故．

知识点2：频率分布直方图

2．（2023•新高考Ⅱ）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的人判定为阳性，小于或等于的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为（c）；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为（c）．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．

（1）当漏诊率（c）时，求临界值和误诊率（c）；

（2）设函数（c）（c）（c）．当，，求（c）的解析式，并求（c）在区间，的最小值．

【解析】（1）当漏诊率（c）时，

则，解得；

（c）；

（2）当，时，

（c）（c）（c），

当，时，（c）（c）（c），

故（c），

所以（c）的最小值为0.02．

知识点3：平均数、方差

3．（2023•乙卷（文））某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，，2，．试验结果如下：

记，2，，，记，，，的样本平均数为，样本方差为．

（1）求，；

（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高．（如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）

【解析】（1）根据表中数据，计算，2，，，填表如下：

计算平均数为，

方差为．

（2）由（1）知，，，

所以，认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高．

4．（2021•乙卷（文））某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．

（1）求，，，；

（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．

【解析】（1）由题中的数据可得，，

，

；

；

（2），，

因为，

所以，

故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．

知识点4：独立性检验

5．（2023•甲卷（文））一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：．试验结果如下：

对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为

 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1

 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2

试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为

 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2

20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5

（1）计算试验组的样本平均数；

（2）（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数，再分别统计两样本中小于与不小于的数据的个数，完成如下列联表；

（ⅱ）根据中的列联表，能否有的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？

附：，

【解析】（1）根据题意，计算试验组样本平均数为

．

（2）由题意知，这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排列后第20位与第21位数据的平均数，

因为原数据的第11位数据是18.8，后续依次为19.2，19.8，20.2，20.2，21.3，21.6，22.5，22.8，23.2，23.6，，

所以第20位为23.2，第21位数据为23.6，

所以这组数据的中位数是；

填写列联表如下：

根据列联表中数据，计算，

所以有的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异．

6．（2022•甲卷（文））甲、乙两城之间的长途客车均由和两家公司运营．为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：

（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；

（2）能否有的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？

附：．

【解析】（1）公司一共调查了260辆车，其中有240辆准点，故公司准点的概率为；

公司一共调查了240辆车，其中有210辆准点，故公司准点的概率为；

（2）由题设数据可知，准点班次数共450辆，未准点班次数共50辆，公司共260辆，公司共240辆，

，

有的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关．

7．（2021•甲卷（文））甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：

（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？

（2）能否有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？

附：．

【解析】（1）由题意可得，甲机床、乙机床生产总数均为200件，

因为甲的一级品的频数为150，所以甲的一级品的频率为；

因为乙的一级品的频数为120，所以乙的一级品的频率为；

（2）根据列联表，可得

．

所以有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．