浙江省杭州市六县九校2022-2023学年高二数学上学期期中试题（Word版附答案）

杭州“六县九校”联盟2022学年第一学期期中联考

高二年级数学学科试题

命题：萧山十中  富春高级中学

考生须知：

1. 本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；

2. 答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。

3. 所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；

4. 考试结束后，只需上交答题纸。

选择题部分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知直线的倾斜角是，则直线的斜率为（    ）

A. 1     B.     C.     D.

2. 某小区有500人自愿接种新冠疫苗，其中49~59岁的有140人，18~20岁的有40人，其余为符合接种条件的其他年龄段的居民. 在一项接种疫苗的追踪调查中，要用分层抽样的方法从该小区18~20岁的接种疫苗的人群中抽取4人，则样本容量为（    ）

A. 14 B. 18 C. 32 D. 50

3. 已知，则下列结论正确的是（    ）.

A.    B.    C.    D.

4. 直线经过第一、三、四象限，则（    ）

A.        B.

C.        D.

5. 如图所示是小王与小张二人参加某射击比赛的预赛的五次测试成绩的折线图，设小王与小张成绩的样本平均数分别为和，方差分别为和，则（    ）

A.       B.

C.       D.

6. 如图，直三棱柱中，为的中点，异面直线与所成角的余弦值是（    ）

A.     B.    C.    D.

7. 如图，在平行六面体中，. 点在上，且，则（    ）

A.       B.

C.       D.

8. 2022年北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受吉祥物爱好者的喜爱，“冰墩墩”和“雪容融”将中国文化符号和冰雪运动完美融合，承载了新时代中国的形象和梦想. 若某个吉祥物爱好者从装有3个“冰墩墩”和3个“雪容融”的6个盲盒的袋子中任取2个盲盒，则恰好抽到1个“冰墩墩”和1个“雪容融”的概率是（    ）

A.     B.     C.     D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9. 给出下列命题，其中正确的是（    ）

A. 任意向量满足

B. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点是

C. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底

D. 若为正四面体，为的重心，则

10. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，下列结论中正确的是（    ）

A. 该试验样本空间共有4个样本点   B.

C. 与为互斥事件      D. 与为相互独立事件

11. 某市教育局为了解疫情时期网络教学期间的学生学习情况，从该市随机抽取了1000名高中学生，对他们每天的平均学习时间进行问卷调查，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则（    ）

A. 估计该市高中学生每天的平均学习时间的平均值为8. 6小时

B. 估计该市高中学生每天的平均学习时间的众数为8小时

C. 估计该市高中学生每天的平均学习时间的分位数为9. 2小时

D. 这1000名高中学生每天的平均学习时间为小时的人数有100人

12. 如图，菱形边长为为边的中点，将沿折起，使到，连接，且，平面与平面的交线为，则下列结论中正确的是（    ）

A. 平面平面

B.

C. 二面角的余弦值为

D. 与平面所成角的余弦值为

非选择题部分

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知直线，若. 则的值为__________.

14. 甲、乙两名篮球运动员进行投篮比赛，甲投篮命中的概率为，乙投篮命中的概率为，在每次投篮中，甲和乙投篮是否命中相互没有影响. 甲乙各投篮一次，恰好有1人命中的概率为__________. （结果用分数表示）

15. 已知直线过定点，且为其一个方向向量，则点到直线的距离为__________.

16. 在棱长为1的正方体中，已知点是正方形内部（不含边界）的一个动点，若直线与平面所成角的正弦值和异面直线与所成角的余弦值相等，则线段长度的最小值是__________.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. （本题10分）在一个盒子里有3个球，红球、黄球、绿球，从中随机地取出一个球，观察其颜色后放回，然后再随机取出一个球。

（1）写出试验的样本空间；

（2）假设事件“两次取出的球颜色不同”，求事件的概率

18. （本题12分）

已知直线，直线过点，__________. 在①直线的斜率是直线的斜

率的2倍，②直线不过原点且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍这两个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并解答下列问题.

（1）求的一般式方程；

（2）若与在轴上的截距相等，求的值.

19. （本题12分）某高中为了解全校高一学生的身高，随机抽取40个学生，将学生的身高分成4组：，，，，进行统计，画出如图所示的频率分布直方图.

（1）求频率分布直方图中的值；

（2）求高一学生身高的平均数和中位数的估计值.

20. （本题12分）如图，空间四边形中，，，，点分别在上，且，.

（1）以为一组基底表示向量

（2）求的长度

21. （本题12分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和. 现安排甲组研

发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立.

（1）求至少有一种新产品研发成功的概率；

（2）若新产品A研发成功，预计企业可获利润100万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润120万元. 求该企业获得利润超过100万元的概率.

22. （本题12分）在三棱柱中，侧面正方形的中心为点平面，且，点满足.

（1）若，求证平面；

（2）求点到平面的距离；

（3）若平面与平面的夹角的正弦值为，求的值.

杭州“六县九校”联盟2022学年第一学期期中联考

高二年级数学学科参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.    14.    15. 2  16.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. （本题10分）

解：（1）该试验的样本空间可表示为

或

  ……………………5分

（2）

     ……………………10分

18. （本题12分）

（1）选择①. 由题意可设直线的方程为，

因为直线的斜率是直线的斜率的2倍，所以，

所以直线的方程为，即.   ……………………6分

选择②. 由题意可设直线的方程为，

因为直线过点，所以，解得.

所以直线的方程为，即.     ……………………6分

（2）由（1）可知直线的方程为，令，可得，

所以直线在轴上的截距为，所以直线在轴上的截距为.

故直线过点，代入，得.   ……………………12分

19. （本题12分）

解：（1）由图可知，，三组的频率分别为，

所以身高在内的频率，

所以；    ……………………4分

（2）平均数.  ……………………8分

设中位数，由

解得.      ……………………12分

20. （本题12分）

解：（1），

.   ……………………5分

（2）又，

所以，

所以

，

所以    ……………………12分

21. （本题12分）

解：（1）设事件A表示“甲组研发新产品A研发成功”，事件B表示“乙组研发新产品B研发成功”，

则，

所以至少有一种新产品研发成功的概率：  ……………………6分

（2）若新产品A研发成功，预计企业可获利润100万元，

若新产品B研发成功，预计企业可获利润120万元，

该企业可获利润的可能取值为0，100，120，220，

故利润超过100万元的概率   ……………………12分

22. （本题12分）

（1）因为点是的中点，

又是的中点

∴，面，面，

∴面.      ……………………3分

（2）在三棱柱中，面面，

所以点到平面的距离等于点到平面的距离.

又因为正方形，所以，且平面，

以为原点，的方向分别为轴正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系，

由题意知，

则，

设平面的法向量为，则，

令，可得法向量为，

又，

所以到平面的距离   ……………………8分

（3）因为，所以，

则，

设面的法向量为，

则，令，

可得法向量为，

所以，

因为平面与平面所成角的正弦值为，

所以，

可得，