2024高考数学第一轮复习：专题2.1 函数及其表示（原卷版）

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知识点总结
(1)集合A,B及其对应关系f:A→B构成的函数中,函数的值域C不是集合B,而是C⊆B.
(2)两个函数的值域和对应关系相同,但两个函数不一定相同,例如,函数f(x)=2x2,x∈[0,2]与函数f(x)=2x2,x∈[-2,0].
2.函数的表示法
表示函数的常用方法有 、 和 .
3.分段函数
若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.
分段函数是一个函数,而不是几个函数,分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.
与x轴垂直的直线与一个函数的图象至多有一个公共点.
典型例题分析
考向一 函数的定义域
典例一
1.函数f(x)=+ln(2x-x2)的定义域为( B )
A.(2,+∞)B.(1,2)
C.(0,2)D.[1,2]
2.已知函数f(x)=的定义域是R,则实数a的取值范围是( B )
A.(-12,0)B.(-12,0]
C.(,+∞)D.(-∞,]
3.已知函数f(x)=(1-x+(2x-1)0,则f(x)的定义域为 .
解题分析与总结
(1)若函数的解析式是由多个基本初等函数通过四则运算构成,则函数的定义域是使构成解析式的各部分都有意义的集合的交集.
(2)求抽象函数的定义域
①若y=f(x)的定义域为(a,b),则解不等式a②若y=f(g(x))的定义域为(a,b),则求出g(x)在(a,b)上的值域即得f(x)的定义域.
注意:1.求函数定义域时,对函数解析式先不要化简.
2.求出定义域后,一定要将其写成集合或区间的形式.若用区间表示,不能用“或”连接,而应该用并集符号“∪”连接.
考向二 求函数的解析式
典例二
1.已知f(x)满足2f(x)+f()=3x,则f(x)= .
2.已知在定义域内单调递增的一次函数f(x)满足f(f(x))=4x+6,则f(x)的解析式为 .
解题分析与总结
1.已知f(g(x))的解析式,求f(x)的解析式,常用换元法或配凑法或两种方法并用,换元法更具有一般性,在使用时一定要注意新元的取值范围.
2.换元法的一般方法是:令t=g(x),从中求出x=(t),然后代入表达式求出f(t),再将t换成x,得到f(x)的解析式,要注意新元的取值
范围.
考向三 分段函数及其应用
微考点1 分段函数求值
已知f(x)=则f[f()]+f(-)的值等于 .
解题分析与总结
求分段函数的函数值的策略
(1)求分段函数的函数值时,要先确定要求值的自变量属于哪一区间,然后代入该区间对应的解析式求值.
(2)当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值.
微考点2 分段函数与方程
已知函数f(x)=若f(a)=2,则实数a=( )
A.-1或2B.2或4
C.-2或4D.-1或4
解题分析与总结
根据分段函数的函数值求自变量的值或解方程时,应根据分段函数各段的定义域分类讨论,结合各段的函数解析式求解,要注意求出的自变量的值应满足解析式对应的自变量的区域.
微考点3 分段函数与不等式
函数f(x)=则满足f(x)+f(x-)>1的x的取值范围是 .
解题分析与总结
求解与分段函数有关的不等式问题,应在定义域的限制之下,结合函数解析式分别解不等式,最后取各不等式的并集.
微考点4 分段函数的值域
设函数f(x)=若F(x)=f(x)+x,x∈R,则F(x)的值域为( )
A.(-∞,1]
B.[2,+∞)
C.(-∞,1]∪[2,+∞)
D.(-∞,1)∪(2,+∞)
解题分析与总结
分段函数的值域是各段函数值域的并集.
基础题型训练
一、单选题
1．下列各组函数中，是相等函数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
2．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．与B．与
C．，D．，
3．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（ ）
A．B．
C．D．
4．函数的值域为（ ）．
A．B．C．D．
5．若函数在上的最大值为4，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．下列各函数中，表示相等函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与(且)
二、多选题
7．若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数，与函数，就是“同族函数”.下列可用来构造同族函数的有（ ）
A．B．
C．D．
8．下列函数中，表示同一个函数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
三、填空题
9．已知为一个确定的区间，则a的取值范围是________.
10．值域：与的值____的的值的集合.
11．表示不超过的最大整数，如，，，若，则的值域为___________.
12．函数的定义域为，则的定义域为________.
四、解答题
13．设函数
(1)求函数的定义域；
(2)求.
14．（1）已知函数，求的解析式；
（2）已知为二次函数，且，，求的解析式.
15．已知函数.
（1）求，的值；
（2）求证是定值；
（3）求：的值.
16．已知函数.
（1）求的值；
（2）当时，求的值域.
提升题型训练
一、单选题
1．已知，则的值为（ ）
A．4B．C．16D．
2．函数的最大值是
A．-1B．1C．-2D．2
3．二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系下中的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
4．定义：若函数的图象经过变换后所得的图象对应的函数与的值域相同，则称变换是的同值变换，下面给出了四个函数与对应的变换：
①将函数的图象关于轴对称；
②将函数的图象关于轴对称；
③将函数的图象关于点对称.
④将函数的图象关于点对称.
其中是的同值变换的有（ ）
A．①②B．①③④C．①④②D．①③
5．定义区间，，，的长度均为，用表示不超过的最大整数，例如，，记，设，，若用表示不等式解集区间的长度，则当时有（ ）
A．B．C．D．
6．函数=，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是
A．（－，1）B．（－，1]
C．（0，1）D．[0，+）
二、多选题
7．具有性质：的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数满足“倒负”变换的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
8．设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的值可以是（ ）．
A．B．1C．D．2
三、填空题
9．设函数，则__________．
10．函数在区间上的值域是______.
11．定义，若，则使不等式成立的的取值范围是____
12．函数的定义域为，则实数a的取值范围是___________.
四、解答题
13．若函数.
（1）求、；
（2）求函数的定义域.
14．给定函数，，.
(1)在所给坐标系（1）中画出函数，的大致图象；（不需列表，直接画出.）
(2)，用表示，中的较小者，记为，请分别用解析法和图象法表示函数.（的图象画在坐标系（2）中）
(3)直接写出函数的值域.
15．已知函数的定义域为集合，集合，.
(1)求集合和；
(2)若，求实数的取值范围.
16．设是定义在上的函数，满足，当时，．
（）求的值，试证明是偶函数．
（）证明在上单调递减．
（）若，，求的取值范围．