2024高考数学第一轮复习：8.5 空间向量及其应用（原卷版）

8.5 空间向量及其应用

思维导图

知识点总结

1.空间向量的有关概念

2.空间向量的有关定理

(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝   .

(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使p＝   .

(3)空间向量基本定理：如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝   .

3.空间向量的数量积

(1)两向量的数量积：设两个空间非零向量a，b，把|a||b|cos〈a，b〉叫作a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝   .

(2)空间向量的坐标表示及其应用

设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2).

4.空间位置关系的向量表示

[常用结论]

1.在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点.

2.在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点.

3.向量的数量积满足交换律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但不满足结合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立.

4.在利用＝x＋y证明MN∥平面ABC时，必须说明M点或N点不在平面ABC内.

典型例题分析

考向一 　空间向量的线性运算及共线、共面定理

1 (1)(多选)已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，则下列四式中正确的有(　　)

A.－＝ B.＝＋＋

C.＝ D.＋＋＋＝

(2)(多选)下列说法中正确的是(　　)

A.|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件

B.若，共线，则AB∥CD

C.A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点共面

D.若P，A，B，C为空间四点，且有＝λ＋μ(，不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件

感悟提升　1.(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求.

(2)解题时应结合已知和所求观察图形，正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，灵活运用三角形法则及平行四边形法则，就近表示所需向量.

2.(1)对空间任一点O，＝x＋y，若x＋y＝1，则点P，A，B共线.

(2)证明空间四点P，M，A，B共面的方法.

①＝x＋y.

②对空间任一点O，＝＋x＋y或＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)即可.

考向二  　空间向量的数量积及应用

2 如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设＝a，＝b，＝c，试采用向量法解决下列问题：

(1)求的模长；

(2)求，的夹角.

感悟提升　由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和

〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确.

3. 如图所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.

(1)求AC1的长；

(2)求BD1与AC夹角的余弦值.

4.(教材改编)如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且MN＝ON，AP＝AN，则＝________(用向量，，表示).

考向三   利用空间向量证明(判断)平行与垂直

5. 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点.证明：

(1)BE⊥DC；

(2)BE∥平面PAD；

(3)平面PCD⊥平面PAD.

感悟提升　1.利用向量法证明(判断)平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素).

2.向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理.

6.(2021·浙江卷)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，则(　　)

A.直线A1D与直线D1B垂直，直线MN∥平面ABCD

B.直线A1D与直线D1B平行，直线MN⊥平面BDD1B1

C.直线A1D与直线D1B相交，直线MN∥平面ABCD

D.直线A1D与直线D1B异面，直线MN⊥平面BDD1B1

基础题型训练

一、单选题

1．若向量，，且与的夹角的余弦值为，则实数等于（    ）

A．1 B． C．1或 D．0或

2．已知点，，，，若，，，四点共面，则（    ）

A． B． C． D．

3．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ）

A． B．

C． D．

4．平面α的法向量为＝(1,2，－2)，平面β的法向量＝(－2，h，k)，若α∥β，则h＋k的值为(　　)

A．－2 B．－8 C．0 D．－6

5．如图所示，已知，，三点不共线，为平面内一定点，为平面外任一点，则下列能表示向量的为（    ）.

A． B． C． D．

6．如图，棱长为的正四面体的三个顶点分别在空间直角坐标系的坐标轴上，则定点的坐标为

A． B． C． D．

二、多选题

7．给出下列命题，其中正确的命题是（　　　）

A．若 ，则 或

B．若向量 是向量 的相反向量，则

C．在正方体 中，

D．若空间向量 ， ， 满足 ， ，则

8．已知，，是空间的三个单位向量，下列说法正确的是（    ）

A．若，，则

B．若，，两两共面，则，，共面

C．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底

D．对于空间的任意一个向量，总存在实数，，，使得

三、填空题

9．在正方体中，给出以下向量表达式：

①；        ②；

③；        ④.

其中能够化简为向量的是______________（填序号）.

10．已知向量，若，则______.

11．在空间直角坐标系中，轴上有一点到已知点和点的距离相等，则点的坐标是______．

12．已知空间三点坐标分别为，，，点在平面内，则实数的值为________．

四、解答题

13．已知，求证：四边形为平行四边形．

14．已知空间两个动点，，求的最小值．

15．已知平行四边形ABCD从平面AC外一点O引向量．，＝k，＝k．求证：四点E，F，G，H共面.

16．如图，三棱柱中，，，平面ABC，，，D，E分别是AC，的中点.

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求DE与平面夹角的正弦值.

提升题型训练

一、单选题

1．如图，空间四边形OABC中，，点M是OA的中点，点N在BC上，且，设，则x，y，z的值为（    ）

A． B． C． D．

2．若构成空间的一个基底，则一定可以与向量，构成空间的另一个基底的是（    ）

A． B． C． D．以上都不行

3．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(　　)

A．1 B． C． D．

4．如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，，则下列数量积最大的是（    ）

A． B． C． D．

5．已知、、、为空间中不共面的四点，且，若、、、四点共面，则实数的值是（    ）

A． B． C． D．

6．已知四面体ABCD中，AB，AC，AD两两互相垂直，则下列结论中，不一定成立的是（    ）

A．

B．

C．

D．

二、多选题

7．已知为正方体，则下列说法正确的有（    ）

A．；

B．；

C．与的夹角为；

D．在面对角线中与直线所成的角为的有8条

8．下列关于空间向量的命题中，正确的是（    ）

A．若非零向量，，满足，，则有

B．若，，是空间的一组基底，且，则 四点共面

C．任意向量，，满足

D．已知向量，，若，则为锐角

三、填空题

9．是空间四点，有以下条件：

①；    ②；

③；    ④，

能使四点一定共面的条件是______

10．已知向量，，是三个不共面的非零向量，且，，，若向量，，共面，则______．

11．已知在四面体ABCD中，，，则______．

12．如图，在平行六面体中，与交于点，在底面的射影为点，与底面所成的角为，，，则对角线的长为___________________．

四、解答题

13．空间向量，，不共面是否可以推出其中任意两个向量均不平行？

14．判断下列点P是否在直线l上：

(1)点，直线l经过和两点；

(2)点，直线l经过和两点．

15．如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，．点在侧棱上，且．

（1）求证：平面；

（2）设为的中点，求六面体体积．

16．已知在平行六面体中，，，，∠ BAD=90°，∠BAA＇=∠DAA＇=60°，求BD＇的长．