2024高考数学第一轮复习：8.2 空间点、直线、平面之间的位置关系（原卷版）

8.2   空间点、直线、平面之间的位置关系

思维导图

知识点总结

1.与平面有关的基本事实及推论

(1)与平面有关的三个基本事实

基本事实1：过      的三个点，有且只有一个平面.

基本事实2：如果一条直线上的      在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.

基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有      过该点的公共直线.

(2)“三个”推论

推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.

推论2：经过两条      直线，有且只有一个平面.

推论3：经过两条      直线，有且只有一个平面.

2.空间点、直线、平面之间的位置关系

(1)空间中直线与直线的位置关系

(2)空间中直线与平面的位置关系

直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面      、直线与平面      三种情况.

(3)空间中平面与平面的位置关系

平面与平面的位置关系有      、      两种情况.

3.基本事实4和等角定理

(1)基本事实4：平行于同一条直线的两条直线      .

(2)等角定理：如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角      .

4.异面直线所成的角

(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a与b所成的角(或夹角).

(2)范围：      .

[常用结论]

1.证明点共线与线共点都需用到基本事实3；

2.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.

典型例题分析

考向一 　基本事实的应用

例1 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是AB，AA1的中点，连接D1F，CE.求证：

(1)E，C，D1，F四点共面；

(2)CE，D1F，DA三线共点.

感悟提升　共面、共线、共点问题的证明

(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内.

(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上.

(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.

考向二   空间两直线位置关系的判断

例2 (1)(多选)已知A，B是不在平面α内的任意两点，则(　　)

A.在平面α内存在直线与直线AB异面

B.在平面α内存在直线与直线AB相交

C.存在过直线AB的平面与平面α垂直

D.在平面α内存在直线与直线AB平行

(2)如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH，MN是异面直线的图形的序号为________.

感悟提升　空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定.异面直线的判定可采用直接法或反证法；平行直线的判定可利用三角形(梯形)中位线的性质、基本事实4及线面平行与面面平行的性质定理；垂直关系的判定往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决.

考向三   求异面直线所成的角

例3 (1)(2021·全国乙卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为(　　)

A.  B. 

C.  D.

(2) (1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　)

A.  B. 

C.  D.

感悟提升　综合法求异面直线所成角的步骤：

(1)作：通过作平行线得到相交直线；

(2)证：证明所作角为异面直线所成的角(或其补角)；

(3)求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.

基础题型训练

一、单选题

1．已知，，，则与两边方向相同的等于（    ）

A．60° B．60°或120° C．120° D．以上结论都不对

2．在正方体中，异面直线与所成角的大小为

A． B． C． D．

3．异面直线上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是(    )

A．20 B．9 C． D．

4．已知、是不同的直线，、是不同的平面，下列命题中真命题为（    ）

A．若∥，则∥ B．若∥，∥，则∥

C．若∥，，则∥ D．若∥，∥，则∥

5．平面的斜线l与平面交于点A，且斜线l与平面所成的角是，则与平面内所有不过点A的直线所成的角的范围是（    ）

A． B． C． D．

6．如图，在正四棱锥中，设直线与直线、平面所成的角分别为、，二面角的大小为，则（    ）

A． B．

C． D．

二、多选题

7．下列命题中正确的是（    ）

A．如果一个平面内有两条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行

B．如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行

C．分别在两个平行平面内的两条直线互相平行

D．过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面平行

8．已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ）

A．若，，则；

B．若，，，则；

C．若，，则；

D．若，，，则；

三、填空题

9．正方体中，异面直线与所成角的大小为________．

10．如图所示，正方形的边长为，已知， 将直角沿边折起，折起后点在平面上的射影为点，则翻折后的几何体中与所成角的正切值为_____．

11．下列命题正确的有______

①若直线与平面有两个公共点,则直线在平面内;

②若直线上有无数个点不在平面α内,则∥α;

③若直线与平面α相交,则与平面α内的任意直线都是异面直线;

④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行,则另一条直线一定与该平面相交;

⑤若直线与平面α平行,则与平面α内的直线平行或异面;

⑥若平面α∥平面β,直线aα,直线bβ,则直线a∥b.

12．三棱锥P－ABC中，二面角P－AB－C为120°，和均为边长为2的正三角形，则三棱锥P－ABC外接球的半径为______．

四、解答题

13．四条线段顺次首尾相接，所得的图形一定是平面图形吗？为什么？

14．在四面体中，，分别是，的中点，，分别是边，上的点，且．求证：

(1)，，，四点共面；

(2)直线，，相交于一点．

15．空间四边形中，，点分别为对角线、的中点.

（1）若直线与所成角为，求直线与所成角的大小；

（2）若直线与所成角为，求直线与所成角的大小.

16．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∠BAC=90°，AC=AB=AA1，E是BC的中点．

（1）求证：AE⊥B1C；

（2）求异面直线AE与A1C所成的角的大小；

（3）若G为C1C中点，求二面角C-AG-E的正切值．

提升题型训练

一、单选题

1．给出下列三个命题：

①若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点；

②若直线与平面所成角为，则经过有且只有一个平面与垂直；

③平行于同一条直线的两个平面平行.

其中正确命题的个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

2．设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

3．给出以下结论：

（1）直线∥平面，直线b⊂，则a∥b；   （2）若a⊂，b，则a、b无公共点；

（3）若a，则a∥或a与相交；       （4）若a∩＝A，则a.

正确的个数为（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4．如图，在长方体中，，且为的中点，则直线与所成角的大小为（    ）

A． B． C． D．

5．下列命题：

①若mα，则m与α内的任何直线平行；

②若α⊥β，bα，mβ，且b⊥m，则b⊥β；

③若mα，nα，且mβ，nβ，则αβ；

④若mα，nα，且a⊥m，a⊥n，则a⊥α；

⑤若l1∩l2=P，l2∩l3=Q，l3∩l1=S(P、Q、S是不同的三点)，则l1，l2，l3共面；

其中真命题的个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

6．如图，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB与CD所成角为，点E，F分别为BC，AD的中点，则直线AB与EF所成角为（    ）

A．或 B． C． D．或

二、多选题

7．给出以下说法,其中正确的是

A．不共面的四点中,其中任意三点不共线

B．若点共面,点共面,则点共面

C．若直线共面,直线共面,则直线共面

D．过直线外一点和直线上三点的三条直线共面

8．如图，在长方体中，，M，N分别为棱的中点，则下列说法正确的是（    ）

A．M，N，A，B四点共面 B．直线与平面相交

C．直线和所成的角为 D．平面和平面的夹角的正切值为2

三、填空题

9．设与的两边分别平行，若，则___________.

10．若向量，，，且共面，则____.

11．如图，在正方体中，，中点为P，则过P､A､C三点的截面面积为___________.

12．已知a、b是异面直线，M为空间一点，M∉a，M∉b．给出下列命题：①存在一个平面α，使得b⊂α，a∥α；②存在一个平面α，使得b⊂α，a⊥α；③存在一条直线l，使得M∈l，l⊥a，l⊥b；④存在一条直线l，使得M∈l，l与a、b都相交．其中真命题的序号是_____．（请将真命题的序号全部写上）

四、解答题

13．四条线段顺次首尾相接，所得的图形一定是平面图形吗？为什么？

14．空间四边形中，分别在上，且满足，．

求证：三线共点．

15．如图，在四面体中，，，．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求二面角的大小．

16．已知S是矩形所在平面外一点，，，与所成角大小为，与所成角大小为，，分别求直线与的距离及与的距离．