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    2024高考数学第一轮复习:7.2 基本不等式(原卷版)

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    这是一份2024高考数学第一轮复习:7.2 基本不等式(原卷版),共11页。试卷主要包含了基本不等式,两个重要的不等式,利用基本不等式求最值等内容,欢迎下载使用。

    7.2  基本不等式

    思维导图

     

     

    知识点总结

    1.基本不等式

    (1)如果ab是正数,那么     (当且仅当ab时等号成立).

    我们把不等式(ab0)称为基本不等式.

    (2)abR时,ab    (当且仅当ab时等号成立)ab    (当且仅当ab时等号成立).

    2.两个重要的不等式

    (1)a2b22ab(abR),当且仅当ab时取等号.

    (2)ab(abR),当且仅当ab时取等号.

    3.利用基本不等式求最值

    对于正数ab,在运用基本不等式时应注意:

    (1)ab为定值时,积ab最大值;积ab为定值时,和ab最小值.

    (2)取等号的条件.

    [常用结论]

    1.ab.要根据两数积、两数和、两数平方和选择合适的形式.

    2.在利用不等式求最值时,一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用,则一定要保证它们等号成立的条件一致.

     

    典型例题分析

    考向一  利用基本不等式求最值

    角度1 配凑法

    1 (1)x,则f(x)3x1(  )

    A.最大值0   B.最小值9

    C.最大值-3   D.最小值-3

     

     

     

     

     

    (2)已知0x,则x的最大值为________.

     

     

     

     

     

    (3)(2023·天津模拟)函数y(x>-1)的最小值为________.

     

     

     

     

     

    角度2 常数代换法

    2 (1)(2023·石家庄模拟)已知x0y0,且x2y2,则2x4y的最小值为________的最小值为________.

     

     

     

     

     

    (2)(2022·深圳二模)已知0x1,则的最小值是________.

     

     

     

     

     

    角度3 消元法

    3 (2023·湖南省级示范校检测)设正实数xyz满足x23xy4y2z0,则当取得最大值时,的最大值为________.

     

     

     

     

     

    角度4 构建不等式法

    4 已知x>0y>0x3yxy9,则x3y的最小值为________.

     

     

     

     

     

    感悟提升 1.利用配凑法求最值,主要是配凑成和为常数积为常数的形式.

    2.常数代换法,主要解决形如已知xyt(t为常数),求的最值的问题,先将转化为·,再用基本不等式求最值.

    3.当所求最值的代数式中的变量比较多时,通常考虑利用已知条件消去部分变量后,凑出和为常数积为常数的形式,最后利用基本不等式求最值.

    4.构建目标式的不等式求最值,在既含有和式又含有积式的等式中,对和式或积式利用基本不等式,构造目标式的不等式求解.

     

    考向二  利用基本不等式求参数或范围

    5 (1)(2022·威海期末)关于x的不等式ax2|x|2a0的解集是R,则实数a的取值范围为________.

     

     

     

     

    (2)已知不等式(xy)9对任意正实数xy恒成立,则正实数a的最小值为________.

     

     

     

    感悟提升 1.对于不等式恒成立问题可利用分离参数法,把问题转化为利用基本不等式求最值;

    2.利用基本不等式确定等号成立的条件,也可得到参数的值或范围.

     

    考向三  利用基本不等式解决实际问题

    6 为了美化校园环境,园艺师在花园中规划出一个平行四边形,建成一个小花圃,如图,计划以相距6米的MN两点为AMBN一组相对的顶点,当AMBN的周长恒为20米时,小花圃占地面积(单位:平方米)最大为(  )

    A.6   B.12 

    C.18   D.24

     

     

     

     

    感悟提升 利用基本不等式解决实际应用问题的思路

    (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.

    (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需利用基本不等式求得函数的最值.

    (3)在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.

    训练3 某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x________.

    答案 20

    解析 该公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,则需要购买次,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,一年的总运费与总存储费用之和为万元,·44x160,当且仅当4x,即x20吨时,一年的总运费与总存储费用之和最小.

     

    考向四 重要不等式链

     a0b0,则.

    其中分别叫做ab的调和平均数和平方平均数.要根据题目需要选择合适的形式.

    一、利用不等式链求最值

    1 (多选)设正实数ab满足ab1,则(  )

    A.有最大值 B.有最小值3

    C.a2b2有最小值 D.有最大值

     

     

     

     

    二、利用基本不等式链证明不等式

    2 已知abc都是非负实数,求证:(abc).

     

     

     

     

    训练 当-x时,函数y的最大值为________.

     

     

     

     

    基础题型训练

     

    一、单选题

    1.已知正数满足,则的最大值为(    

    A B C1 D2

    2.已知,则的最小值是

    A B C D

    3.设,则(    

    A B

    C D

    4.若a1,则的最小值是(    

    A2 Ba

    C  D3

    5.已知,且,若有解,则实数m的取值范围为(    

    A.(19+∞ B.(91 C[91] D.(19

    6.已知,全集为R,集合,则有( )

    A B

    C D

     

    二、多选题

    7.在下列函数中,最小值是2的函数有(  )

    A B

    C D

    8,则下列结论正确的是(    

    A B

    C D

     

    三、填空题

    9.已知正数ab满足a+b= 1,则a·b的最大值为_____

    10.已知x0,则的最大值等于________

    11.已知a>0b>0,且a+2b=2,则的最小值为______

    12.设是不等于的正数,则的取值范围是____________.

     

    四、解答题

    13.设,求函数的最大值.

    14.(1)当时,求函数的最小值.

    2)当时,求函数的最大值.

    15.(1)若,求的最小值;

    2)若,比较的大小.

    16.定义:个实数中的最小值,记个实数中的最大值,例如:.

    1)求证:

    2)已知,求的最小值;

    3)若,求的最小值.

     

     

     

    提升题型训练

     

    一、单选题

    1.若命题对任意的恒成立为假命题,则m的取值范围为(    

    A B C D

    2.若点在线段上运动,且,设,则

    A有最大值2 B有最小值1 C有最大值1 D没有最大值和最小值

    3,则的最小值为

    A8 B6 C4 D2

    4.若,则的(    .

    A.必要不充分条件 B.充分不必要条件

    C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

    5.已知,则的最小值是(    

    A1 B2 C3 D4

    6.已知,则的最小值为(    

    A B C D

     

    二、多选题

    7.下列说法中正确的是(    

    A.不等式恒成立 B.当时,的最小值是2

    C.设,且,则的最小值是 D,使得不等式成立

    8.已知,且,则下列说法正确的是(    

    A B

    C的最小值为 D

     

    三、填空题

    9.已知,比较两数的大小:______9

    10.某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层.某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层,据当年的物价,每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元.根据建筑公司的前期研究得到,该建筑物30年间每年的能源消耗费用N(单位:万元)与隔热层的厚度h(单位:厘米)满足关系:.经测算知道,如果不建造隔热层,那么30年间每年的能源消耗费用为10万元.设为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和,那么使达到最小值的隔热层的厚度h______厘米.

    11.已知,, 恒成立,则实数的取值范围是 .当 取到最大值时

    12.若实数xy满足,则的最小值为______.

     

    四、解答题

    13.已知,求的最小值,并说明x为何值时y取得最小值.

    14.若,且,求的最小值.

    15.已知满足,求的解析式.

    16.选修4-5:不等式选讲

    1)已知函数的定义域为,求实数的取值范围;

    2)若正实数满足,求的取值范围.

     


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