2024高考数学第一轮复习：4.5 简单的三角恒等变换（学生版）

4.5  简单的三角恒等变换

思维导图

知识点总结

  半角公式

 (由降幂公式可得)

证明 

由降幂公式得，则；

由降幂公式得，则；

.

解释

半角公式，利用表示了、、.

万能公式

(由倍角公式可得)

证明

解释

万能公式，利用表示了、和.

和化积公式

(由和差公式可得)

证明

4 积化和公式

(由和差公式可得)

证明

解释

积化和公式相当于和化积公式的逆运算.

典型例题分析

考向一  公式直接应用

例1  利用公式证明：

（1）；        （2）.

考向二 结合同角三角函数应用

例2  已知，，，是第三象限角，求的值.

考向三  三角恒等变换的综合应用

例3  利用和（差）角公式计算下列各式的值：

（1）；

（2）；

（3）.

考向四  二倍角公式与和差角公式

例4  已知，，求，，的值.

考向五  三角函数的证明问题

例5  求证：

（1）；

（2）.

考向六  三角函数的应用问题

例6  求下列函数的周期，最大值和最小值：

（1）；    （2）.

基础题型训练

一、单选题

1．（    ）

A． B． C． D．

2．在中，若，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

3．下列各数，，，中，最大的是（    ）

A． B． C． D．

4．下列化简结果正确的个数为（    ）

①        ②

③                    ④

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5．已知为第三象限角，且，则的值为（    ）

A． B． C． D．

6．已知函数，则函数的最小正周期和最大值分别为（    ）

A．和 B．和

C．和 D．和

二、多选题

7．将函数的图象向左平移个单位后，所得图象关于轴对称，则实数的值可能为（    ）

A． B． C． D．

8．若函数，则（    ）

A．的最大值是4

B．的最小正周期是

C．的图象关于直线对称

D．在区间上单调递减

三、填空题

9．____．

10．已知，则______

11．在平面直角坐标系中,已知角的顶点和点重合,始边与轴的非负半轴重合,终边上一点的坐标为，则__________．

12．已知，则______.（用含的式子表示）

四、解答题

13．已知函数.

（1）求函数的最小正周期和最大值；

（2）求函数的单调减区间.

14．已知，且.则______.

15．设函数

（1）求函数的对称中心；    

（2）求函数在上的单调递减区间．

16．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，锐角α、β的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，它们的终边与单位圆分别交于A、B两点，已知A、B两点的横坐标分别为和．

(1)求，的值．

(2)求，的值．

提升题型训练

一、单选题

1．已知，为锐角，，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知，，则=（　　）.

A． B． C． D．

3．设，若，则（    ）．

A． B． C． D．

4． （    ）

A．4 B． C． D．

5．已知，，则等于（    ）

A． B． C． D．

6．已知，则

A． B． C． D．

二、多选题

7．计算下列各式，结果为的是（    ）

A． B．

C． D．

8．函数的部分图象如图所示，则下列正确的是（    ）

A．θ的值可为

B．若，则k为奇数

C．若，则

D．若，则的最大值要大于

三、填空题

9．已知，，则______.

10．已知，则的值为________．

11．化简(tan10°－)·＝________.

12．函数的单调递增区间为__________．

四、解答题

13．证明下列各式.

（1）；

（2）.

14．已知函数的最大值是1.

（1）求常数a的值；

（2）求使成立的x的取值集合.

15．已知函数，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知．求：

(1)的最小正周期；

(2)在区间的取值范围．

16．在锐角中，．

（1）求角A的大小；

（2）求的最大值．