第1章 三角形的初步认识（知识清单）

第1章 三角形的初步认识知识清单

一、三角形的定义

由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．

要点：

（1）三角形的基本元素：

①三角形的边：即组成三角形的线段；

②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；

③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.

（2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.

（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．

二、三角形的内角和

三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．

要点：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：

①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；

②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；

③求一个三角形中各角之间的关系．

三、三角形的分类

1.按角分类：

要点：

①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;

②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.

四、三角形的三边关系

定理：三角形任意两边之和大于第三边.

要点：

（1）理论依据：两点之间线段最短.

（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．

（3）证明线段之间的不等关系．

五、三角形的三条重要线段

三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：

六、定义、命题、基本事实与定理
1.定义

一般地，能清楚的规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义.

2.命题

一般地，判断某一件事情的句子叫命题．正确的命题叫做真命题；不正确的命题叫做假命题．

命题通常由条件、结论两个部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项得到的事项.通常命题可以写成“如果……那么……”的形式，其中以“如果“开始的部分是条件，”那么“后面的部分是结论.

要点：
    命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以．

3.基本事实

人们经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据，也可称为公理.

4.定理

用推理的方法判断为正确的命题.定理也可以作为判断其他命题真假的依据.

要点：

满足以下两个条件的真命题称为定理：

（1）其正确性可通过公理或其它真命题逻辑推理而得到.

（2）其又可作为判断其它命题真假的依据.

七、证明

1.证明

    从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明．

2.证明表述格式

证明几何命题时，表述格式一般如下：

（1）按题意画出图形；

（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；

（3）在“证明”中写出推理过程.

要点：

在解决几何问题时，有时需要添加辅助线，添辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常要画出虚线.

八、三角形外角的性质

三角形一个外角等于与它不相邻两个内角的和。

九、全等形

形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.

要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.

十、全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.

十一、对应顶点，对应边，对应角

1. 对应顶点，对应边，对应角定义

两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.

要点诠释：

在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.

2. 找对应边、对应角的方法

（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；

（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；

（3）有公共边的，公共边是对应边；

（4）有公共角的，公共角是对应角；

（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；

（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.

十二、全等三角形的性质
　　全等三角形的对应边相等；

全等三角形的对应角相等；

要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.

十三、全等三角形判定1——“边角边”

1. 全等三角形判定1——“边角边”

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.

要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.

2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.

如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.

十四、全等三角形判定2——“角边角”

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.

要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.

十五、全等三角形判定3——“角角边”

1.全等三角形判定3——“角角边”

两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）

要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.

2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.

如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.

十六、全等三角形判定4——“边边边”

全等三角形判定4——“边边边”

三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.

要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△.

十七、判定方法的选择

1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：

2.如何选择三角形证全等

（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；

（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；

（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；

（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.

十八、线段的垂直平分线
定义

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．

线段垂直平分线的尺规作图

求做线段AB的垂直平分线

作法：

   （1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；

   （2）作直线CD，CD即为所求直线．

要点诠释：

作弧时的半径必须大于AB的长，否则就不能得到交点了．

十九、线段的垂直平分线定理
线段的垂直平分线定理

线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等．
　　要点诠释：
    线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件．

二十、线段的垂直平分线逆定理

线段的垂直平分线逆定理
　　和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

要点诠释：

到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线，也就是线段的垂直平分线可以看做是和这条线段两个端点的距离相等的点的集合．

三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心．

二十一、角的平分线的性质

　　角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
要点诠释：
用符号语言表示角的平分线的性质定理：
若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.
 

二十二、角的平分线的逆定理

　 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.

要点诠释：
用符号语言表示角的平分线的判定：
若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB
 

二十三、角的平分线的尺规作图

角平分线的尺规作图
 

（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.
　　（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
　　（3）画射线OC.

射线OC即为所求.

二十四、用尺规作三角形

1、已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形

已知：线段a，c和∠α，如图4－4－16所示．

图4－4－16

求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α.

作法：(1)作一条线段BC＝a(如图4－4－17)；

图4－4－17

(2)以B为顶点，以BC为一边，作∠DBC＝∠α(如图4－4－18)；

图4－4－18

(3)在射线BD上截取线段BA＝c(如图4－4－19)；

图4－4－19

　　　图4－4－20

(4)连接AC(如图4－4－20)．△ABC就是所求作的三角形．

[点析] 我们这样作出的三角形是唯一的，依据是两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．

2、已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形

已知：∠α，∠β和线段c，如图4－4－21所示．

图4－4－21

求作：△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，AB＝c.

作法：(1)作∠DAF＝∠α；

图4－4－22

　　　图4－4－23

(2)在射线AF上截取线段AB＝c；

图4－4－24

(3)以B为顶点，以BA为一边，在AB的同侧作∠ABE＝∠β，BE交AD于点C.△ABC就是所求作的三角形．

[点析] 我们这样作出的三角形是唯一的，依据是两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．

3、已知三角形的三条边，求作这个三角形

已知：线段a，b，c，如图4－4－25所示．

图4－4－25

求作：△ABC，使AB＝c，AC＝b，BC＝a.

作法：(1)作一条线段BC＝a；

图4－4－26

(2)分别以B，C为圆心，以c，b为半径在BC的同侧画弧，两弧交于A点；

图4－4－27

(3)连接AB，AC，则△ABC就是所求作的三角形．

图4－4－28

　[点析] 我们这样作出的三角形是唯一的，依据是三边分别相等的两个三角形全等