三年(2020年-2022年)中考数学真题分项汇编：专题21 与二次函数有关的压轴题（含答案详解）

这是一份三年(2020年-2022年)中考数学真题分项汇编：专题21 与二次函数有关的压轴题（含答案详解），共151页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题21 与二次函数有关的压轴题
一、单选题
1．（2022·四川凉山）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0）和点（0，－3），且对称轴在y轴的左侧，则下列结论错误的是（       ）
A．a＞0
B．a＋b＝3
C．抛物线经过点（－1，0）
D．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1有两个不相等的实数根
【答案】C
【解析】
【分析】
根据抛物线的图像与性质，根据各个选项的描述逐项判定即可得出结论．
【详解】
解：A、根据抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0）和点（0，－3），且对称轴在y轴的左侧可知，该说法正确，故该选项不符合题意；
B、由抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0）和点（0，－3）可知，解得，该说法正确，故该选项不符合题意；
C、由抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0），对称轴在y轴的左侧，则抛物线不经过（－1，0），该说法错误，故该选项符合题意；
D、关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1根的情况，可以转化为抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≤0）与直线的交点情况，根据抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0）和点（0，－3），，结合抛物线开口向上，且对称轴在y轴的左侧可知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≤0）与直线的有两个不同的交点，该说法正确，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的图像与性质，涉及到开口方向的判定、二次函数系数之间的关系、方程的根与函数图像交点的关系等知识点，根据题中条件得到抛物线草图是解决问题的关键．
2．（2022·四川成都）如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（       ）

A． B．当时，的值随值的增大而增大
C．点的坐标为 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
结合二次函数图像与性质，根据条件与图像，逐项判定即可．
【详解】
解：A、根据图像可知抛物线开口向下，即，故该选项不符合题意；
B、根据图像开口向下，对称轴为，当，随的增大而减小；当，随的增大而增大，故当时，随的增大而增大；当，随的增大而减小，故该选项不符合题意；
C、根据二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，可得对称轴，解得，即，故该选项不符合题意；
D、根据可知，当时，，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数的图像与性质，根据图像得到抛物线开口向下，根据对称轴以及抛物线与轴交点得到是解决问题的关键．
3．（2021·山东济南）新定义：在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足时，；时，，则称点是点的限变点．例如：点的限变点是，点的限变点是．若点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，当时，的图象向下平移4个单位，当时，，的图象关于轴对称，据此即可求得其限变点的纵坐标的取值范围，作出函数图像，直观的观察可得到的取值范围
【详解】
点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的图像即为图中虚线部分，如图，

当时，的图象向下平移4个单位，当时，的图象关于轴对称，
从图可知函数的最大值是当时，取得最大值3，
最小值是当时，取得最小值，
．
故选D．
【点睛】
本题考查了新定义，二次函数的最值问题，分段讨论函数的最值，可以通过函数图像辅助求解，理解新定义，画出函数图像是解题的关键．
4．（2021·辽宁盘锦）如图，四边形ABCD是菱形，BC＝2，∠ABC＝60°，对角线AC与BD相交于点O，线段BD沿射线AD方向平移，平移后的线段记为PQ，射线PQ与射线AC交于点M，连结PC，设OM长为，△PMC面积为．下列图象能正确反映出与的函数关系的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由四边形ABCD是菱形，BC＝2，∠ABC＝60°，可求出AC、AO、OC的长，再设OM＝x，利用解直角三角形表示出PM，分点M在线段OC上（不含点O）时和当点在线段OC延长线上时两种情况分别表示出y再结合函数图象即可判断出正确答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC＝2，∠BAD＝180°−∠ABC＝120°，
∴∠DAO＝∠BAD＝60°，
∴△DAC是等边三角形，
∴AD＝AC＝2，
∴AO＝CO＝AC＝1，
设OM＝x，
∵AC⊥BD，PQ为BD平移而来，
∴∠AOD＝∠AMP＝90°，
∴△AMP为直角三角形，
∴PM＝AM•tan∠PAM＝（1＋x），
①当点M在线段OC上（不含点O）时，
即0≤x＜1，此时CM＝1−x，
则y＝（1−x）×（1＋x）＝−，
∴0≤x＜1，函数图象开口应朝下，
故B、C不符合题意，
②当点在线段OC延长线上时，即x＞1，如图所示：

此时C＝x−1，
则y＝（x−1）×(x＋1)＝，
∴只有D选项符合题意，
故选：D．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，三角形面积，解直角三角形，二次函数图象等知识，熟练掌握上述知识并能分点M在线段OC上（不含点O）时和当点在线段OC延长线上时两种情况分别表示出y再结合函数图象进行判断是解题的关键．
5．（2021·四川雅安）定义：，若函数，则该函数的最大值为（       ）
A．0 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题目中所给的运算法则，分两种情况进行求解即可．
【详解】
令,
当时，即时，，
令 ，则w与x轴的交点坐标为（2，0），（-1，0），
∴当时，，
∴（），
∵y随x的增大而增大，
∴当x=2时，；
当时，即时，，
令 ，则w与x轴的交点坐标为（2，0），（-1，0），
∴当时，或，
∴（或），
∵的对称轴为x=1，
∴当时，y随x的增大而减小，
∵当x=2时，=3，
∴当时，y<3；
当，y随x的增大而增大，
∴当x=-1时，=0；
∴当时，y<0；
综上，的最大值为3．
故选C．
【点睛】
本题是新定义运算与二次函数相结合的题目，解题时要注意分情况讨论，不要漏解．
6．（2021·湖北黄石）二次函数（、、是常数，且）的自变量与函数值的部分对应值如下表：

…

0
1
2
…

…

2
2

…

且当时，对应的函数值．有以下结论：①；②；③关于的方程的负实数根在和0之间；④和在该二次函数的图象上，则当实数时，．其中正确的结论是（       ）A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
【答案】B
【解析】
【分析】
①将点（0，2）与点（1，2）代入解析式可得到a、b互为相反数，c=2，即可判断；
②将x=-1与x=2代入解析式得到m和n的表达式，再结合当时，对应的函数值，即可表示出m+n的取值范围；
③根据点（1，2）与当时，对应的函数值可知方程的正实数根在1和2之间，结合抛物线的对称性即可求出方程的负实数根的取值范围；
④分类讨论，当在抛物线的右侧时，的横坐标恒大于等于对称轴对应的x的值时必有，求出对应的t即可；当与在抛物线的异侧时，根据抛物线的性质当的横坐标到对称轴的距离小于到对称轴的距离时满足，求出对应的t即可.
【详解】
①将点（0，2）与点（1，2）代入解析式得：，则a、b互为相反数，∴，故①错误；
②∵a、b互为相反数，
∴将x=-1与x=2代入解析式得：，
则：，
∵当时，对应的函数值，
∴得：，即：，
∴.
故②正确；
③∵函数过点（1，2）且当时，对应的函数值，
∴方程的正实数根在1和 之间，
∵抛物线过点（0，2）与点（1，2），
∴结合抛物线的对称性可得抛物线的对称轴为直线，
∴结合抛物线的对称性可得关于的方程的负实数根在和0之间.
故③正确；
④∵函数过点（1，2）且当时，对应的函数值，
∴可以判断抛物线开口向下，
∵在抛物线的右侧时，恒在抛物线的右侧，此时恒成立，
∴的横坐标大于等于对称轴对应的x，即，解得时；
∵当与在抛物线的异侧时，根据抛物线的性质当的横坐标到对称轴的距离小于到对称轴的距离时满足，即当时，满足，
∴当时，解得，即与在抛物线的异侧时满足，，
∴综上当时，.
故④错误.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查二次函数的相关性质，解题的关键是能通过图表所给的点以及题目的信息来判断抛物线的开口方向以及对称轴，结合二次函数的图象的性质来解决对应的问题.
7．（2021·湖北恩施）如图，已知二次函数的图象与轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则或；④．其中正确的有（       ）个．

A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据开口方向、对称轴，判断a、b的符号及数量关系，根据抛物线与y轴的交点判断c的符号，根据图象与轴交于和对称轴判断抛物线与x轴的另一个交点，则可判断x=2时y的正负，取x=1，x=-1时，函数的表达式，进行相关计算即可证明的正确性．
【详解】
解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∵抛物线与y轴的交点在负半轴，
∴，
∴，故①错误；
∵抛物线与x轴交于，对称轴为，
∴抛物线与x轴的另一个交点为，
当x=2时，位于x轴上方，
∴，故②正确；
若，当y=c时，x=-2或0，
根据二次函数对称性，
则或，故③正确；
当时，① ，
当时，② ，
①+②得：，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故④错误；
综上：②③正确，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查二次函数图像的性质，根据开口方向，对称轴，与坐标轴的交点坐标等判断所给式子的正确性，解题关键是熟悉函数图像与解析式的对应关系．
8．（2021·黑龙江大庆）已知函数，则下列说法不正确的个数是（       ）
①若该函数图像与轴只有一个交点，则
②方程至少有一个整数根
③若，则的函数值都是负数
④不存在实数，使得对任意实数都成立
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
对于①：分情况讨论一次函数和二次函数即可求解；
对于②：分情况讨论a＝0和a≠0时方程的根即可；
对于③：已知条件中限定a≠0且a＞1或a＜0，分情况讨论a＞1或a＜0时的函数值即可；
对于④：分情况讨论a＝0和a≠0时函数的最大值是否小于等于0即可．
【详解】
解：对于①：当a＝0时，函数变为，与只有一个交点，
当a≠0时，，∴，
故图像与轴只有一个交点时，或，①错误；
对于②：当a＝0时，方程变为，有一个整数根为，
当a≠0时，方程因式分解得到：，其中有一个根为，故此时方程至少有一个整数根，故②正确；
对于③：由已知条件得到a≠0，且a＞1或a＜0
当a＞1时，开口向上，对称轴为，自变量离对称轴越远，其对应的函数值越大，
∵ ，
∴离对称轴的距离一样，将代入得到，此时函数最大值小于0；
当a＜0时，开口向下，自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小，
∴时，函数取得最大值为，
∵a＜0，
∴最大值，即有一部分实数，其对应的函数值，故③错误；
对于④：a＝0时，原不等式变形为：对任意实数不一定成立，故a＝0不符合；
a≠0时，对于函数，
当a＞0时开口向上，总有对应的函数值，此时不存在a对对任意实数都成立；
当a＜0时开口向下，此时函数的最大值为，
∵a＜0，
∴最大值，即有一部分实数，其对应的函数值，
此时不存在a对对任意实数都成立；故④正确；
综上所述，②④正确，
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的图像及性质，二次函数与方程之间的关系，分类讨论的思想，本题难度较大，熟练掌握二次函数的性质是解决本类题的关键．
9．（2020·四川）已知不等式ax+b0的解集为x2，则下列结论正确的个数是（　　）
（1）2a+b＝0；
（2）当ca时，函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴没有公共点；
（3）当c0时，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点在直线y＝ax+b的上方；
（4）如果b3且2a﹣mb﹣m＝0，则m的取值范围是﹣m0．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
由不等式的解集得出a＜0，﹣=2，即b=﹣2a，从而得出2a+b=0，即可判断（1）；根据△=4a（a﹣c）＞0即可判断（2）；求得抛物线的顶点为（1，a﹣c）即可判断（3）；求得0＜﹣＜3，得出不等式组的解集为﹣＜m＜0即可判断（4）．
【详解】
（1）∵不等式ax+b＞0的解集为x＜2，
∴a＜0，﹣=2，即b=﹣2a，
∴2a+b=0，故结论正确；
（2）函数y=ax2+bx+c中，令y=0，则ax2+bx+c=0，
∵b=﹣2a，
∴△=b2﹣4ac=（﹣2a）2﹣4ac=4a（a﹣c），
∵a＜0，c＞a，
∴△=4a（a﹣c）＞0，
∴当c＞a时，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，故结论错误；
（3）∵b=﹣2a，
∴﹣=1，==c﹣a，
∴抛物线y=ax2+bx+c的顶点为（1，c﹣a），
当x=1时，直线y=ax+b=a+b=a﹣2a=﹣a＞0
当c＞0时，c﹣a＞﹣a＞0，
∴抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线y=ax+b的上方，故结论正确；
（4）∵b=﹣2a，
∴由2a﹣mb﹣m=0，得到﹣b﹣mb﹣m=0，
∴b=﹣，
如果b＜3，则0＜﹣＜3，
∴﹣＜m＜0，故结论正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点，一次函数的性质，二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，由题意得到b=﹣2a是解题的关键．
10．（2020·湖南岳阳）对于一个函数，自变量取时，函数值等于0，则称为这个函数的零点．若关于的二次函数有两个不相等的零点，关于的方程有两个不相等的非零实数根，则下列关系式一定正确的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系可以求出，的值，用作差法比较的大小关系，的大小关系，根据可求出m的取值范围，结合的大小关系，的大小关系从而得出选项．
【详解】
解：∵是的两个不相等的零点
即是的两个不相等的实数根
∴
∵
解得
∵方程有两个不相等的非零实数根
∴
∵
解得
∴＞0
∴
∵，
∴
∴
∴
而由题意知
解得
当时，，；
当时，，；
当m=-2时，无意义；
当时，，
∴取值范围不确定，
故选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，判别式与根的关系及一元二次方程与二次函数的关系．解题的关键是熟记根与系数的关系，对于（a≠0）的两根为，则．
11．（2020·黑龙江牡丹江）如图，抛物线与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点，则下列结论中：①；②；③与是抛物线上两点，若，则；④若抛物线的对称轴是直线，m为任意实数，则；⑤若，则，正确的个数是（       ）

A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据图像得出a＜0，c＜0，b＞0，可判断①；再由图像可得对称轴在直线x=2右侧，可得，可判断②；再根据二次函数在y轴右侧时的增减性，判断③；根据抛物线对称轴为直线x=3，得出，再利用作差法判断④；最后根据AB≥3，则点A的横坐标大于0且小于等于1，得出a+b+c≥0，再由当x=4时，得出16a+4b+c=0，变形为a=，代入，可得4b+5c≥0，结合c的符号可判断⑤.
【详解】
解：如图，抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，
∴a＜0，c＜0，，
∴b＞0，
∴abc＞0，故①正确；
如图，∵抛物线过点B（4，0），点A在x轴正半轴，
∴对称轴在直线x=2右侧，即，
∴，又a＜0，
∴4a+b＞0，故②正确；
∵与是抛物线上两点，，
可得：抛物线在上，y随x的增大而增大，
在上，y随x的增大而减小，
∴不一定成立，故③错误；
若抛物线对称轴为直线x=3，则，即，
则
=
=
=≤0，
∴，故④正确；
∵AB≥3，则点A的横坐标大于0且小于等于1，
当x=1时，代入，y=a+b+c≥0，
当x=4时，16a+4b+c=0，
∴a=，
则，整理得：4b+5c≥0，
则4b+3c≥-2c，又c＜0，
-2c＞0，
∴4b+3c＞0，故⑤正确，
故正确的有4个.
故选B.
【点睛】
本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是能根据图像得出二次函数表达式各系数的符号.
12．（2020·四川南充）关于二次函数的三个结论：①对任意实数m，都有与对应的函数值相等；②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则或；③若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则或．其中正确的结论是（     ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可求次函数y=ax2-4ax-5的对称轴为直线，由对称性可判断①；分a＞0或a＜0两种情况讨论，由题意列出不等式，可求解，可判断②；分a＞0或a＜0两种情况讨论，由题意列出不等式组，可求解，可判断③；即可求解．
【详解】
解：∵抛物线的对称轴为，
∴x1=2+m与x2=2-m关于直线x=2对称，
∴对任意实数m，都有x1=2+m与x2=2-m对应的函数值相等；
故①正确；
当x=3时，y=-3a-5，当x=4时，y=-5，
若a＞0时，当3≤x≤4时，-3a-5＜y≤-5，
∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个，
∴，
若a＜0时，当3≤x≤4时，-5≤y＜-3a-5，
∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个，
∴，
故②正确；
若a＞0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，
∴△＞0，25a-20a-5≥0，
∴，
∴；
若a＜0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，
∴△＞0，25a-20a-5≤0，
∴
∴a＜，
综上所述：当a＜或a≥1时，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6．
故③正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与x轴的交点等知识，理解题意列出不等式（组）是本题的关键．
二、填空题
13．（2022·黑龙江大庆）已知函数的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为【答案】1或
【解析】
【分析】
函数图象与坐标轴恰有两个公共点，则分两种情况：第一种情况，函数图象过原点；第二种情况，函数图象与x轴只有一个交点，分别计算即可
【详解】
当函数图象过原点时，函数的图象与坐标轴恰有两个公共点，
此时满足，解得；
当函数图象与x轴只有一个交点且与坐标轴y轴也有一个交点时，
此时满足，解得或，
当是，函数变为与y轴只有一个交点，不合题意；
综上可得，或时，函数图象与坐标轴恰有两个公共点．
故答案为：1或
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用一元二次方程根的判别式，二次函数的图象和性质．
14．（2022·四川成都）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度（米）与物体运动的时间（秒）之间满足函数关系，其图像如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设表示0秒到秒时的值的“极差”（即0秒到秒时的最大值与最小值的差），则当时，的取值范围是_________；当时，的取值范围是_________．

【答案】         
【解析】
【分析】
根据题意，得-45+3m+n=0，，确定m，n的值，从而确定函数的解析式，根据定义计算确定即可．
【详解】
根据题意，得-45+3m+n=0，，
∴ ，
∴ ，
解得m=50，m=10，
当m=50时，n=-105；当m=10时，n=15；
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴n＞0，
∴，
∵对称轴为t==1，a=-5＜0，
∴时，h随t的增大而增大，
当t=1时，h最大，且（米）；当t=0时，h最最小，且（米）；
∴w=，
∴w的取值范围是，
故答案为：．
当时，的取值范围是
∵对称轴为t==1，a=-5＜0，
∴时，h随t的增大而减小，
当t=2时，h=15米，且（米）；当t=3时，h最最小，且（米）；
∴w=，w=，
∴w的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了待定系数法确定抛物线的解析式，函数的最值，增减性，对称性，新定义计算，熟练掌握函数的最值，增减性，理解新定义的意义是解的关键．
15．（2022·辽宁营口）如图1，在四边形中，，动点P，Q同时从点A出发，点P以的速度沿向点B运动（运动到B点即停止），点Q以的速度沿折线向终点C运动，设点Q的运动时间为，的面积为，若y与x之间的函数关系的图像如图2所示，当时，则____________．

【答案】
【解析】
【分析】
根据题意以及函数图像可得出，则点在上运动时，为等腰直角三角形，然后根据三角形面积公式得出当面积最大为时，此时，则，当时，过点作于点，则此时，分别表示出相关线段可得y与x之间的函数解析式，将代入解析式求解即可．
【详解】
解：过点作，垂足为，

在中，
∵，，
∴，
∵点P的速度为，点Q的速度为，
∴，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴点在上运动时，为等腰直角三角形，
∴，
∴当点在上运动时，，
由图像可知，当此时面积最大，或（负值舍去），
∴，
当时，过点作于点，如图：

此时，
在中，，，
∴，，，
∴，
即，
所以当时，，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图像，求出各段函数的函数关系式是解答本题的关键．
16．（2022·广西贵港）已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论的个数共有_______个．

【答案】3
【解析】
【分析】
根据抛物线与x轴的一个交点(-2,0)以及其对称轴，求出抛物线与x轴的另一个交点(1,0)，代入可得：，再根据抛物线开口朝下，可得，进而可得，，再结合二次函数的图象和性质逐条判断即可．
【详解】
∵抛物线的对称轴为：，且抛物线与x轴的一个交点坐标为(-2,0)，
∴抛物线与x轴的另一个坐标为(1,0)，
∴代入(-2,0)、(1,0)得：，
解得：，故③正确；
∵抛物线开口朝下，
∴，
∴，，
∴，故①错误；
∵抛物线与x轴两个交点，
∴当y=0时，方程有两个不相等的实数根，
∴方程的判别式，故②正确；
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
即，故④正确；
∵抛物线的对称轴为：，且抛物线开口朝下，
∴可知二次函数，在时，y随x的增大而减小，
∵，
∴，故⑤错误，
故正确的有：②③④，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数和一元二次方程的关系等知识，掌握二次函数的性质，特别是根据对称轴求出抛物线与x轴的交点是解答本题的关键．
17．（2021·湖北武汉）如图（1），在中，，，边上的点从顶点出发，向顶点运动，同时，边上的点从顶点出发，向顶点运动，，两点运动速度的大小相等，设，，关于的函数图象如图（2），图象过点，则图象最低点的横坐标是__________．

【答案】
【解析】
【分析】
先根据图形可知AE+CD=AB+AC=2，进而求得AB=AC=1、BC=以及图象最低点的函数值即为AE+CD的最小值；再运用勾股定理求得CD、AE，然后根据AE+CD得到+可知其表示点（x，0）到（0,-1）与（，）的距离之和，然后得当三点共线时有函数值.最后求出该直线的解析式，进而求得x的值．
【详解】
解：由图可知，当x=0时，AE+CD=AB+AC=2
∴AB=AC=1，BC=，图象最低点函数值即为AE+CD的最小值
由题意可得：CD=,AE=
∴AE+CD=+，即点（x，0）到（0,-1）与（，）的距离之和
∴当这三点共线时，AE+CD最小
设该直线的解析式为y=kx+b
解得
∴
当y=0时，x=．
故填．
【点睛】
本题主要考查了二次函数与方程的意义，从几何图形和函数图象中挖掘隐含条件成为解答本题的关键．
18．（2021·四川南充）关于抛物线，给出下列结论：①当时，抛物线与直线没有交点；②若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；③若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角形区域内（包括边界），则．其中正确结论的序号是________．
【答案】②③
【解析】
【分析】
先联立方程组，得到，根据判别式即可得到结论；②先求出a＜1，分两种情况：当0＜a＜1时，当a＜0时，进行讨论即可；③求出抛物线的顶点坐标为：，进而即可求解．
【详解】
解：联立，得，
∴∆=，当时，∆有可能≥0，
∴抛物线与直线有可能有交点，故①错误；
抛物线的对称轴为：直线x=，
若抛物线与x轴有两个交点，则∆=，解得：a＜1，
∵当0＜a＜1时，则＞1，此时，x＜，y随x的增大而减小，
又∵x=0时，y=1＞0，x=1时，y=a-1＜0，
∴抛物线有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间，
∵当a＜0时，则＜0，此时，x＞，y随x的增大而减小，
又∵x=0时，y=1＞0，x=1时，y=a-1＜0，
∴抛物线有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间，
综上所述：若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间，故②正确；
抛物线的顶点坐标为：，
∵，
∴抛物线的顶点所在直线解析式为：x+y=1，即：y=-x+1，
∵抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角形区域内（包括边界），
∴，解得：，故③正确．
故答案是：②③．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数与二次方程的联系，熟练应用判别式判断一元二次方程根的情况，是解题的关键．
19．（2021·江苏连云港）某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．
【答案】1264
【解析】
【分析】
根据题意，总利润=快餐的总利润＋快餐的总利润，而每种快餐的利润=单件利润×对应总数量，分别对两份快餐前后利润和数量分析，代入求解即可．
【详解】
解：设种快餐的总利润为，种快餐的总利润为，两种快餐的总利润为，设快餐的份数为份，则B种快餐的份数为份．
据题意：

∴
∵
∴当的时候，W取到最大值1264，故最大利润为1264元
故答案为：1264
【点睛】
本题考查的是二次函数的应用，正确理解题意、通过具体问题找到变化前后的关系是解题关键点．
20．（2020·山东烟台）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ab＞0；②a+b﹣1＝0；③a＞1；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为1，另一个根为﹣．其中正确结论的序号是_____．

【答案】②③④
【解析】
【分析】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据抛物线与x轴交点的个数及x＝1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
解：①由二次函数的图象开口向上可得a＞0，对称轴在y轴的右侧，b＜0，
∴ab＜0，故①错误；
②由图象可知抛物线与x轴的交点为（1，0），与y轴的交点为（0，﹣1），
∴c＝﹣1，
∴a+b﹣1＝0，故②正确；
③∵a+b﹣1＝0，
∴a﹣1＝﹣b，
∵b＜0，
∴a﹣1＞0，
∴a＞1，故③正确；
④∵抛物线与y轴的交点为（0，﹣1），
∴抛物线为y＝ax2+bx﹣1，
∵抛物线与x轴的交点为（1，0），
∴ax2+bx﹣1＝0的一个根为1，根据根与系数的关系，另一个根为﹣，故④正确；
故答案为②③④．
【点评】
主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换．会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y＝a+b+c，然后根据图象判断其值．
21．（2020·四川内江）已知抛物线（如图）和直线．我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为和．若，取和中较大者为M；若，记．①当时，M的最大值为4；②当时，使的x的取值范围是；③当时，使的x的值是，；④当时，M随x的增大而增大．上述结论正确的是____（填写所有正确结论的序号）

【答案】②④
【解析】
【分析】
根据题目中的较大者M的定义逐个分析即可．
【详解】
解：对于①：当时，，，显然只要，则M的值为，故①错误；
对于②：当时，在同一直角坐标系内画出的图像，如下图所示，其中红色部分即表示M，联立的函数表达式，即，求得交点横坐标为和，观察图形可知的x的取值范围是，故②正确；

对于③：当时，在同一直角坐标系内画出的图像，如下图所示，其中红色部分即表示M，

联立的函数表达式，即，求得其交点的横坐标为和，
故M=3时分类讨论：当时，解得或，当时，解得，故③错误；
对于④：当时，函数，此时图像一直在图像上方，如下图所示，故此时M=，故M随x的增大而增大，故④正确．

故答案为：②④．
【点睛】
本题考查了二次函数与一次函数的图像性质及交点坐标，本题的关键是要能理解M的含义，学会用数形结合的方法分析问题．
22．（2020·湖北荆门）如图，抛物线与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线，给出下列结论：①；②若点C的坐标为，则的面积可以等于2；③是抛物线上两点，若，则；④若抛物线经过点，则方程的两根为，3其中正确结论的序号为_______．

【答案】①④
【解析】
【分析】
①根据抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标来判断a,b,c的正负情况，即可．
②根据图形可知AB的值大于4，利用三角形的面积求法，即可得面积会大于2．
③利用图形的对称性，离对称轴越小，函数值越大．
④把点代入抛物线，可求得x=3是方程的解，再利用图形的对称可求另一个解．
【详解】
解：① 开口向下， a<0， 对称轴x=1,a<0, b>0，抛物线与y轴的交点在y的正半轴上， c>0， abc<0，正确．
②从图像可知，AB>4,>， ，故错误．
③ ，从图像可知 到1的距离小于 到1的距离，从图像可知，越靠近对称轴，函数值越大； ，故错误．
④把点（3，-1）代入抛物线得 ，即 ，∴，即x=3，是方程的解，根据抛物线的对称性，所以另一解为-1，故正确．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图像的性质，函数的对称性，函数的增减性以及二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键要熟练掌握抛物线的性质，以及看图能力，本题也可以采用一些特殊值代入法来解．
23．（2020·湖北武汉）抛物线（，，为常数，）经过，两点，下列四个结论：
①一元二次方程的根为，；
②若点，在该抛物线上，则；
③对于任意实数，总有；
④对于的每一个确定值，若一元二次方程（为常数，）的根为整数，则的值只有两个．
其中正确的结论是________（填写序号）．
【答案】①③
【解析】
【分析】
①根据二次函数与一元二次方程的联系即可得；②先点，得出二次函数的对称轴，再根据二次函数的对称性与增减性即可得；③先求出二次函数的顶点坐标，再根据二次函数图象的平移规律即可得；④先将抛物线向下平移个单位长度得到的二次函数解析式为，再根据二次函数与一元二次方程的联系即可得．
【详解】
抛物线经过，两点
一元二次方程的根为，，则结论①正确
抛物线的对称轴为
时的函数值与时的函数值相等，即为

当时，y随x的增大而减小
又
，则结论②错误
当时，
则抛物线的顶点的纵坐标为，且
将抛物线向下平移个单位长度得到的二次函数解析式为
由二次函数图象特征可知，的图象位于x轴的下方，顶点恰好在x轴上
即恒成立
则对于任意实数，总有，即，结论③正确
将抛物线向下平移个单位长度得到的二次函数解析式为
函数对应的一元二次方程为，即
因此，若一元二次方程的根为整数，则其根只能是或或
对应的的值只有三个，则结论④错误
综上，结论正确的是①③
故答案为：①③．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、增减性）、二次函数图象的平移问题、二次函数与一元二次方程的联系等知识点，熟练掌握并灵活运用二次函数的图象与性质是解题关键．
24．（2020·四川乐山）我们用符号表示不大于的最大整数．例如：，．那么：
（1）当时，的取值范围是______；
（2）当时，函数的图象始终在函数的图象下方．则实数的范围是______．
【答案】          或
【解析】
【分析】
（1）首先利用的整数定义根据不等式确定其整数取值范围，继而利用取整函数定义精确求解x取值范围．
（2）本题可根据题意构造新函数，采取自变量分类讨论的方式判别新函数的正负，继而根据函数性质反求参数．
【详解】
（1）因为表示整数，故当时，的可能取值为0,1,2．
当取0时， ；当取1时， ；当=2时，．
故综上当时，x的取值范围为：．
（2）令，，，
由题意可知：，．
①当时，=，，在该区间函数单调递增，故当时， ，得．
②当时，=0， 不符合题意．
③当时，=1， ，在该区间内函数单调递减，故当取值趋近于2时，，得，
当时，，因为 ，故，符合题意．
故综上：或．
【点睛】
本题考查函数的新定义取整函数，需要有较强的题意理解能力，分类讨论方法在此类型题目极为常见，根据不同区间函数单调性求解参数为常规题型，需要利用转化思想将非常规题型转化为常见题型．
三、解答题
25．（2022·湖南益阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的顶点P在抛物线F：y＝ax2上，直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B．

(1)求a的值；
(2)将A，B的纵坐标分别记为yA，yB，设s＝yA﹣yB，若s的最大值为4，则m的值是多少？
(3)Q是x轴的正半轴上一点，且PQ的中点M恰好在抛物线F上．试探究：此时无论m为何负值，在y轴的负半轴上是否存在定点G，使∠PQG总为直角？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)a＝2
(2)m＝﹣
(3)存在，G（0，﹣）
【解析】
【分析】
（1）由抛物线的顶点式可直接得出顶点P的坐标，再代入抛物线F可得出结论；
（2）根据题意可分别表达A，B的纵坐标，再根据二次函数的性质可求出m的值；
（3）过点Q作x轴的垂线KN，分别过点P，G作x轴的平行线，与KN分别交于K，N，则△PKQ∽△QNG，设出点M的坐标，可表达点Q和点G的坐标，从而可得出结论．
（1）解：由题意可知，抛物线的顶点的坐标为，点在抛物线上，，．
（2）解：直线与抛物线，分别交于点，，，，，，当时，的最大值为，的最大值为4，，解得，，．
（3）解：存在，理由如下：设点的坐标为，则，，点在轴正半轴上，且，，，，，．如图，过点作轴的垂线，分别过点，作轴的平行线，与分别交于，，，，，，，，，即．，，，解得．．
【点睛】
本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，中点坐标公式等知识，解题的关键是构造相似三角形得出方程进行求解．
26．（2022·四川绵阳）如图，平行四边形ABCD中，DB＝，AB＝4，AD＝2，动点E，F同时从A点出发，点E沿着A→D→B的路线匀速运动，点F沿着A→B→D的路线匀速运动，当点E，F相遇时停止运动．

(1)如图1，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，当运动时间为秒时，设CE与DF交于点P，求线段EP与CP长度的比值；
(2)如图2，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为个单位每秒，运动时间为x秒，ΔAEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并指出当x为何值时，y的值最大，最大值为多少？
(3)如图3，H在线段AB上且AH＝HB，M为DF的中点，当点E、F分别在线段AD、AB上运动时，探究点E、F在什么位置能使EM＝HM．并说明理由．
【答案】(1)；
(2)y关于x的函数解析式为；当时，y的最大值为；
(3)当EF∥BD时，能使EM＝HM．理由见解析
【解析】
【分析】
（1）延长DF交CB的延长线于点G，先证得，可得，根据题意可得AF=，AE=，可得到CG=3，再证明△PDE∽△PGC，即可求解；
（2）分三种情况讨论：当0≤x≤2时，E点在AD上，F点在AB上；当时，E点在BD上，F点在AB上；当时，点E、F均在BD上，即可求解；
（3）当EF∥BD时，能使EM＝HM．理由：连接DH，根据直角三角形的性质，即可求解 ．
（1）解：如图，延长DF交CB的延长线于点G，∵四边形ABCD是平行四边形，∴，∴，∴，∵点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，运动时间为秒，∴AF=，AE=，∵AB=4，AD=2，∴BF=， ED=，∴，∴BG=1，∴CG=3，∵，∴△PDE∽△PGC，∴，∴；   
（2）解：根据题意得：当0≤x≤2时，E点在AD上，F点在AB上，此时AE=x，，∵， AB=4，AD=2，∴，∴△ABD是直角三角形，∵，∴∠ABD=30°，∴∠A=60°，如图，过点E作交于H，∴，∴；∴当x＞0时，y随x的增大而增大，此时当x=2时，y有最大值3；当时，E点在BD上，F点在AB上，如图， 过点E作交于N，过点D作交于M，则EN∥DM，根据题意得：DE=x-2，∴，在Rt△ABD中，，AM=1，∵EN∥DM，∴△BEN∽△BDM，∴，∴∴，∴，此时该函数图象的对称轴为直线 ，∴当时，y随x的增大而减小，此时当x=2时，y有最大值3；当时，点E、F均在BD上，过点E作交于Q，过点F作交于P，过点D作DM⊥AB于点M，∴，DA+DE=x，∵AB=4，AD=2，∴，，∵PF∥DM，∴△BFP∽△BDM，∴，即，∴，∵，∴△BEQ∽△BDM，∴，即，∴，∴，此时y随x的增大而减小，此时当时，y有最大值；综上所述：y关于x的函数解析式为当时，y最大值为；
（3）解：当EF∥BD时，能使EM＝HM．理由如下：连接DH，如图，∵，AB=4，∴．AH=1，由（2）得：此时，∵M是DF的中点，∴HM=DM=MF，∵EF∥BD，BD⊥AD，∴EF⊥AD，∴EM=DM=FM，∴EM=HM．
【点睛】
本题是四边形的综合题，熟练掌握平行四边形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，分类讨论，数形结合是解题的关键．
27．（2022·湖南湘西）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．

(1)求抛物线C2的解析式和点G的坐标．
(2)点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值．
(3)如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y＝x2+x﹣1，G（0，﹣3）
(2)
(3)存在，（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）
【解析】
【分析】
（1）将A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，即可求函数的解析式．
（2）设M（t，t2+2t﹣3），则D（t，），N（t，0），分别求出MN，DM，再求比值即可．
（3）先求出E（﹣2，﹣1），设F（x，0），分来两种情况讨论：①当EG＝EF时，，可得F（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）；②当EG＝FG时，2＝，F点不存在．
（1）解：将A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，∴，解得，∴y＝x2+x﹣1，在y＝x2+2x﹣3中，令x＝0，则y＝﹣3，∴G（0，﹣3）．
（2）设M（t，t2+2t﹣3），则D（t，），N（t，0），∴NM＝﹣t2﹣2t+3，，∴＝．
（3）存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形，理由如下：由（1）可得y＝x2+2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣1，∵E点与H点关于对称轴x＝﹣1对称，∴E（﹣2，﹣1），设F（x，0），①当EG＝EF时，∵G（0，﹣3），∴EG＝2，∴2＝，解得x＝﹣2或x＝﹣﹣2，∴F（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）；②当EG＝FG时，2＝，此时x无解；综上所述：F点坐标为（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）．
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
28．（2022·山东济宁）已知抛物线与x轴有公共点．

(1)当y随x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；
(2)将抛物线先向上平移4个单位长度，再向右平移n个单位长度得到抛物线（如图所示），抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．当OC＝OA时，求n的值；
(3)D为抛物线的顶点，过点C作抛物线的对称轴l的垂线，垂足为G，交抛物线于点E，连接BE交l于点F．求证：四边形CDEF是正方形．
【答案】(1)
(2)n＝2
(3)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线与轴由公共点，可得，从而而求出的值，进而求得抛物线对称轴，进一步得到结果；
（2）根据图像平移的特征可求出平移后抛物线的解析式，根据和分别得出点和的坐标，根据列出方程，进而求的结果；
（3）从而得出点、点的坐标，由抛物线的解析式可得出点的坐标和点的坐标，进而求得的解析式，从而得出点的坐标，进而得出，进一步得出结论．
（1）解：∵抛物线与x轴有公共点，∴∴∴．∴，∴，∵，∴当时，y随着x的增大而增大．
（2）解：由题意，得，当y＝0时，，解得：或，∵点A在点B的右侧，∴点A的坐标为（1+n，0），点B的坐标为（－3+n，0）．∵点C的坐标为（0，－n2 +2n+3），∴n+1＝－n2+2n+3．解得：n＝2或n＝－1（舍去）．故n的值为2.
（3）解：由（2）可知：抛物线C2的解析式为y＝－（x－1）2+4．∴点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（－1，0）点C的坐标为（0，3），点D的坐标为（1，4），抛物线C2的对称轴是直线x＝1，∵点E与点C关于直线x＝1对称，∴点E的坐标为（2，3）．∴点G的坐标为（1，3）．设直线BE解析式为y＝kx+b，∴解得：∴y＝x+1．当x＝1时，y＝1+1＝2．点F的坐标为（1，2）．∴FG＝EG＝DG＝CG＝1． ∴四边形CDEF为矩形．又∵CE⊥DF，∴四边形CDEF为正方形．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图像与性质，求一次函数的解析式，平移图像的特征，正方形的判定，解决问题的关键是平移前后抛物线解析式之间的关系．
29．（2022·广东）如图，抛物线（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，，，点P为线段上的动点，过P作//交于点Q．


(1)求该抛物线的解析式；
(2)求面积的最大值，并求此时P点坐标．
【答案】(1)
(2)2；P（-1，0）
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法将A，B的坐标代入函数一般式中，即可求出函数的解析式；
（2）分别求出C点坐标，直线AC，BC的解析式，PQ的解析式为：y=-2x+n，进而求出P，Q的坐标以及n的取值范围，由列出函数式求解即可．
(1)
解：∵点A（1，0），AB=4，
∴点B的坐标为（-3，0），
将点A（1，0），B（-3，0）代入函数解析式中得：
，
解得：b=2，c=-3，
∴抛物线的解析式为；
(2)
解：由（1）得抛物线的解析式为，
顶点式为：，
则C点坐标为：（-1，-4），
由B（-3，0），C（-1，-4）可求直线BC的解析式为：y=-2x-6，
由A（1，0），C（-1，-4）可求直线AC的解析式为：y=2x-2，
∵PQ∥BC，
设直线PQ的解析式为：y=-2x+n，与x轴交点P，
由解得：，
∵P在线段AB上，
∴，
∴n的取值范围为-6＜n＜2，
则


∴当n=-2时，即P（-1，0）时，最大，最大值为2．
【点睛】
本题考查二次函数的面积最值问题，二次函数的图象与解析式间的关系，一次函数的解析式与图象，熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．
30．（2022·广东广州）己知直线：经过点（0，7）和点（1，6）．
(1)求直线的解析式；
(2)若点P（，）在直线上，以P为顶点的抛物线G过点（0，-3），且开口向下
①求的取值范围；
②设抛物线G与直线的另一个交点为Q，当点Q向左平移1个单长度后得到的点Q' 也在G上时，求G在≤≤的图象的最高点的坐标．
【答案】(1)直线解析式为：；
(2)①m＜10，且m≠0；②最高点的坐标为（-2，9）或（2，5）
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法求出解析式即可；
（2）①设G的顶点式，根据点P在直线上得出G的关系式，根据题意得出点（0，-3）不能成为抛物线G的顶点，进而得出点P必须位于直线的上方，可求m的取值范围，然后结合点P不能在轴上得出答案；
②先根据点Q，点的对称，得QQ'=1，可表示点Q和的坐标，再将点的坐标的代入关系式，求出a，再将点（0，-3）代入可求出m的值，然后分两种情况结合取值范围，求出函数最大值时，最高点的坐标即可．
(1)
解：∵直线经过点（0，7）和点（1，6），
∴，
解得，
∴直线解析式为：；
(2)
解：①设G：（），
∵点P（，）在直线上，
∴；
∴G：（）
∵（0，-3）不在直线上，
∴（0，-3）不能成为抛物线G的顶点，
而以P为顶点的抛物线G开口向下，且经过（0，-3），
∴点P必须位于直线的上方，
则，，
另一方面，点P不能在轴上，
∴，
∴所求取值范围为：，且 ；
②如图，QQ'关于直线对称，且QQ'=1，


∴点Q横坐标为，
而点Q在上，∴Q（，），Q'（，）；
∵Q'（，）在G：上，
∴， ，
∴ G：，或．
∵抛物线G过点（0，-3），
∴，
即，
， ；
当时，抛物线G为，对称轴为直线，
对应区间为-2≤≤-1，整个区间在对称轴的右侧，
此时，函数值随着的增大而减小，如图，


∴当取区间左端点时，达最大值9，最高点坐标为（-2，9）；
当时，对应区间为≤≤，最高点为顶点P（2，5），如图，


∴G在指定区间图象最高点的坐标为（-2，9）或（2，5）．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合问题，考查了待定系数法求二次函数的关系式，求二次函数的极值等．解题的关键是掌握当时，顶点在直线与轴的交点（0，7），此时抛物线不可能过点（0，-3），因此，可能会被忽视．
31．（2022·辽宁营口）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点．


(1)求抛物线和直线的解析式；
(2)如图，点P为第一象限内抛物线上的点，过点P作，垂足为D，作轴，垂足为E，交于点F，设的面积为，的面积为，当时，求点P坐标；
(3)点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N，使得直线垂直平分线段？若存在，请直接写出点N坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线解析式为，直线的解析式为，
(2)
(3)存在
【解析】
【分析】
（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）设，则，中，，证明，根据相似三角形的性质以及建立方程，解方程即可求解；
（3）设直线交轴于点，设交于点，连接，，，证明是等腰直角三角形，则设，则，，根据列出方程，即可求解．
(1)
解：抛物线经过点和点，
，
解得，
抛物线解析式为，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
(2)
如图，设直线与轴交于点，
由，令,得，则，


，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
中，，
设的面积为，的面积为，
，
，
，
即，
设，则，
，
解得或（舍），
当时，，

(3)
设直线交轴于点，设交于点，连接，，，如图，


由，令，得，则

设过直线的解析式为，

解得
过直线的解析式为，

是等腰直角三角形

是等腰直角三角形


直线垂直平分线段

是等腰直角三角形，
，
设，则，
，

解得（舍）
即
【点睛】
本题考查了二次函数综合，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，二次函数线段问题，掌握以上知识是解题的关键．
32．（2022·吉林长春）在平面直角坐标系中，抛物线（b是常数）经过点．点A在抛物线上，且点A的横坐标为m（）．以点A为中心，构造正方形，，且轴．
(1)求该抛物线对应的函数表达式：
(2)若点B是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C，连接．当时，求点B的坐标；
(3)若，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，求m的取值范围；
(4)当抛物线与正方形的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为时，直接写出m的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
(4)或或．
【解析】
【分析】
（1）将点代入，待定系数法求解析式即可求解；
（2）设，根据对称性可得，根据，即可求解；
（3）根据题意分两种情况讨论，分别求得当正方形点在轴上时，此时与点重合，当经过抛物线的对称轴时，进而观察图像即可求解；
（4）根据题意分三种情况讨论，根据正方形的性质以及点的坐标位置，即可求解．
(1)
解：∵抛物线（b是常数）经过点
∴
解得

(2)
如图，

由
则对称轴为直线，
设，则

解得

(3)
点A在抛物线上，且点A的横坐标为m（）．以点A为中心，构造正方形，，且轴
，且在轴上，如图，

①当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，如图，当正方形点在轴上时，此时与点重合，


的解析式为
，将代入
即
解得


观察图形可知，当时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大；
②当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，当经过抛物线的对称轴时，



解得，
观察图形可知，当时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大；
综上所述，m的取值范围为或
(4)
①如图，设正方形与抛物线的交点分别为，当时，则
是正方形的中心，

即

②如图，当点在抛物线左侧，轴右侧时，




交点的纵坐标之差为，
的纵坐标为
的横坐标为

在抛物线上，

解得
③当在抛物线对称轴的右侧时，正方形与抛物线的交点分别为，，设直线交轴于点，如图，

则

即
设直线解析式为
则
解得
直线解析式为
联立
解得（舍去）
即的横坐标为，即，
综上所述，或或．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合问题，二次函数的对称性，正方形的性质，掌握二次函数图像的性质是解题的关键．
33．（2022·广西河池）在平面直角坐标系中，抛物线L1：y＝ax2+2x+b与x轴交于两点A，B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．

(1)求抛物线L1的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；
(2)如图，连接BD，若点E在线段BD上运动（不与B，D重合），过点E作EF⊥x轴于点F，设EF＝m，问：当m为何值时，△BFE与△DEC的面积之和最小；
(3)若将抛物线L1绕点B旋转180°得抛物线L2，其中C，D两点的对称点分别记作M，N．问：在抛物线L2的对称轴上是否存在点P，使得以B，M，P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，抛物线顶点
(2)时，△BFE与△DEC的面积之和最小
(3)
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求出a，b的值即可；
（2）如图1中，连接BC，过点C作CH⊥BD于点H．设抛物线的对称轴交x轴于点T．首先证明∠DCB=90°，利用面积法求出CH，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；
（3）如图2中，由题意抛物线L2的对称轴x=5，M（6，-3）．设P（5，m），分三种情形：当BP=BM时，当PB=PM时，当BM=PM时，分别构建方程求解即可．
(1)
解：∵y＝ax2+2x+b与x轴交于两点A，B（3，0），与y轴交于点C（0，3），
，
∴，
抛物线的解析式为；
由
抛物线顶点；
(2)
如图1中，连接BC，过点C作CH⊥ BD于点H．设抛物线的对称轴交x轴于点T．


，
，
，
，
，
，
轴， 轴，
，
，
，
，
与 的面积之和
，

S有最小值，最小值为，此时，
时，△BFE与△DEC的面积之和有最小值．
(3)
存在，如图2，

，，的对称轴为直线，
将抛物线L1绕点B旋转180°得抛物线L2，其中C，D两点的对称点分别记作M，N．
抛物线的对称轴为直线，
设 ，
当 时，
，
，
，
当 时，
，
解得， ，
，
当 时，
，
解得， ，

综上所述，满足条件的的坐标为 ．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质，等腰三角形的判定和性质，中心对称变换等知识，解题的关键是学会根据二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
34．（2022·山东泰安）若二次函数的图象经过点，，其对称轴为直线，与x轴的另一交点为C．


(1)求二次函数的表达式；
(2)若点M在直线上，且在第四象限，过点M作轴于点N．
①若点N在线段上，且，求点M的坐标；
②以为对角线作正方形（点P在右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标．
【答案】(1)
(2)①；②
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数解答，即可求解；
（2）①先求出直线的表达式为，然后设点N的坐标为．可得．可得到，．再由，即可求解；②连接与交与点E．设点M的坐标为，则点N的坐标为
根据正方形的性质可得E的坐标为，进而得到P的坐标．再由点P在抛物线上，即可求解．
(1)
解：二次函数的图象经过点，
．
又抛物线经过点，对称轴为直线，
解得∶
抛物线的表达式为．
(2)
解∶①设直线的表达式为．
点A，B的坐标为，，
∴， 解得∶ ，
直线的表达式为．
根据题意得∶点C与点关于对称轴直线对称，
．
设点N的坐标为．
轴，
．
∴
．

，
解，得．
点M的坐标；
②连接与交与点E．
设点M的坐标为，则点N的坐标为
四边形是正方形，
，，．
∵MN⊥x轴，
轴．
E的坐标为．
．
．
∴P的坐标．
点P在抛物线上，
．
解，得，．
点P在第四象限，
舍去．
即．
点M坐标为．


【点睛】
本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图形和性质，正方形的性质，一次函数的图象和性质是解题的关键．
35．（2022·内蒙古通辽）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线方程为．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点为抛物线上一点，若，请直接写出点的坐标；
(3)点是抛物线上一点，若，求点的坐标．
【答案】(1)y=-x2+4x-3
(2)(,)或(,)或（,）或(,)
(3)(,)
【解析】
【分析】
（1）先根据一次函数解析式求出点B、C坐标；再代入，求出b、c 即可求解；
（2）过点A作AN⊥BC于N，过点P作PM⊥BC于M，过点P作PEBC，交y轴于E,交抛物线于p1,p2，过点E作EF⊥BC于F，先求出AN=，再根据两三角形面积关系，求得PM=，从而求得CE=1，则点P是将直线BC向上或向下平移1个单位与抛物线的交点，联立解析式即可求出交点坐标；
（3）过点Q作AD⊥CQ于D，过点D作DF⊥x轴于F财富点C作CE⊥DF于E，证△CDE≌△DAD（AAS），得DE=AF，CE=DF，再证四边形OCEF是矩形，得OF=CE，EF=OC=3，然后设DE=AF=n，则CE=DF=OF=n+1， DF=3-n，则n+1=3-n，解得：n=1，即可求出D(2,-2),用待定系数法求直线CQ解析式为y=x-3，最后联立直线与抛物线解析式，求出交点坐标即可求解．
(1)
解：对于直线BC解析式y=x-3，
令x=0时，y=-3，
则C(0,-3)，
令y=0时，x=3，
则B(3,0)，
把B(3,0)，C(0,-3)，分别代入，得
，解得：，
∴求抛物线的解析式为：y=-x2+4x-3；
(2)
解：对于抛物线y=-x2+4x-3，
令y=0，则-x2+4x-3=0，解得：x1=1,x2=3,
∴A(1,0)，B(3,0)，
∴OA=1，OB=3，AB=2，
过点A作AN⊥BC于N，过点P作PM⊥BC于M，如图，

∵A(1,0)，B(3,0)，C(0,-3)，
∴OB=OC=3，AB=2，
∴∠ABC=∠OCB=45°，
∴AN=，
∵，
∴PM=，
过点P作PEBC，交y轴于E，过点E作EF⊥BC于F，
则EF= PM=，
∴CE=1
∴点P是将直线BC向上或向下平移1个单位，与抛物线的交点，如图P1，P2，P3，P4，
∵B(3,0)，C(0,-3)，
∴直线BC解析式为：y=x-3，
∴平移后的解析式为y=x-2或y=x-4,
联立直线与抛物线解析式，得
或，
解得：，，，，
∴P点的坐标为(,)或(,)或（,）或(,)．
(3)
解：如图，点Q在抛物线上，且∠ACQ=45°，过点Q作AD⊥CQ于D，过点D作DF⊥x轴于F，过点C作CE⊥DF于E，

∵∠ADC=90°，
∴∠ACD=∠CAD=45°，
∴CD=AD，
∵∠E=∠AFD=90°，
∴∠ADF=90°-∠CDE=∠DCE，
∴△CDE≌△DAD（AAS），
∴DE=AF，CE=DF，
∵∠COF=∠E=∠AFD=90°，
∴四边形OCEF是矩形，
∴OF=CE，EF=OC=3，
设DE=AF=n，
∵OA=1，
∴CE=DF=OF=n+1
∴DF=3-n，
∴n+1=3-n
解得：n=1，
∴DE=AF=1，
∴CE=DF=OF=2，
∴D(2,-2),
设直线CQ解析式为y=px-3，
把D(2,-2)代入，得p=,
∴直线CQ解析式为y=x-3，
联立直线与抛物线解析式，得

解得：，（不符合题意，舍去），
∴点Q坐标为(,).
【点睛】
本题属二次函数与一次函数综合题目，考查了用待定系数法求函数解析式，一次函数图象平行，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握一次函数与二次函数的图象性质是解题的关键．
36．（2022·山东烟台）如图，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．

(1)求抛物线的表达式；
(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；
(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y＝﹣x2﹣x+4
(2)S最大＝，D（﹣，5）
(3)存在，Q（﹣2，）
【解析】
【分析】
（1）先求得A，C，B三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果；
（2）作DF⊥AB于F，交AC于E，根据点D和点E坐标可表示出DE的长，进而表示出三角形ADC的面积，进而表示出S的函数关系式，进一步求得结果；
（3）根据菱形性质可得PA＝PC，进而求得点P的坐标，根据菱形性质，进一步求得点Q坐标．
(1)
解：当x＝0时，y＝4，
∴C （0，4），
当y＝0时，x+4＝0，
∴x＝﹣3，
∴A （﹣3，0），
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴B（1，0），
∴设抛物线的表达式：y＝a（x﹣1）•（x+3），
∴4＝﹣3a，
∴a＝﹣，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）•（x+3）＝﹣x2﹣x+4；
(2)
如图1，

作DF⊥AB于F，交AC于E，
∴D（m，﹣﹣m+4），E（m，﹣m+4），
∴DE＝﹣﹣m+4﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m，
∴S△ADC＝OA＝•（﹣m2﹣4m）＝﹣2m2﹣6m，
∵S△ABC＝＝＝6，
∴S＝﹣2m2﹣6m+6＝﹣2（m+）2+，
∴当m＝﹣时，S最大＝，
当m＝﹣时，y＝﹣＝5，
∴D（﹣，5）；
(3)
设P（﹣1，n），
∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，
∴PA＝PC，
即：PA2＝PC2，
∴（﹣1+3）2+n2＝1+（n﹣4）2，
∴n＝，
∴P（﹣1，），
∵xP+xQ＝xA+xC，yP+yQ＝yA+yC
∴xQ＝﹣3﹣（﹣1）＝﹣2，yQ＝4﹣＝，
∴Q（﹣2，）．
【点睛】
本题考查了二次函数及其图象性质，勾股定理，菱形性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关二次函数和菱形性质
37．（2022·湖南）如图，已知抛物线的图像与轴交于，两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点．

(1)求抛物线的函数表达式及点的坐标；
(2)若四边形为矩形，．点以每秒1个单位的速度从点沿向点运动，同时点以每秒2个单位的速度从点沿向点运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以、、为顶点的三角形与相似时，求运动时间的值；
(3)抛物线的对称轴与轴交于点，点是点关于点的对称点，点是轴下方抛物线图像上的动点．若过点的直线与抛物线只有一个公共点，且分别与线段、相交于点、，求证：为定值．
【答案】(1)；顶点为
(2)或
(3)见解析
【解析】
【分析】
（1）设二次函数表达式为：，将、代入，进行计算即可得，根据二次函数的性质即可得；
（2）依题意，秒后点的运动距离为，则，点的运动距离为，分情况讨论：①当时，②当时，进行解答即可得；
（3）根据对称的性质得，根据直线与抛物线图像只有一个公共点，即可得，利用待定系数法可得直线的解析式为：，直线的解析式为：，联立，结合已知，解得：，同理可得：，运用三角函数求出GH，GK即可得．
(1)
解：设二次函数表达式为：，
将、代入得：
，
解得，，
抛物线的函数表达式为：，
又，，
顶点为；
(2)
解：依题意，秒后点的运动距离为，则，点的运动距离为．
①当时，
，
解得；
②当时，
，
解得；
综上得，当或时，以、、为顶点的三角形与相似；
(3)
解：点关于点的对称点为点，
，
直线与抛物线图像只有一个公共点，
只有一个实数解，
△，
即：，
解得：，
利用待定系数法可得直线的解析式为：，直线的解析式为：，
联立，结合已知，
解得：，
同理可得：，
则：，，
，
的值为．
【点睛】
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，函数与方程的关系，一元二次方程根的判别式等知识，联立两函数关系求出点和的横坐标是解题的关键．
38．（2022·广西梧州）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，抛物线恰好经过这两点．

(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点C的坐标是，将绕着点C逆时针旋转90°得到，点A的对应点是点E．
①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；
②若点P是y轴上的任一点，求取最小值时，点P的坐标．
【答案】(1)
(2)①点E在抛物线上；②（0，）
【解析】
【分析】
（1）先求出A、B坐标，然后根据待定系数法求解即可；
（2）①根据旋转的性质求出EF=AO=3，CF=CO=6，从而可求E的坐标，然后把E的坐标代入（1）的函数解析式中，从而判断出点E是否在抛物线上；
②过点P作PQ⊥AB于Q，证明△ABO∽△PBQ，从而求出，则可判断当P，E，Q三点共线，且EP⊥AB时，取最小值，然后根据待定系数法求直线EP解析式，即可求出点P的坐标．
(1)
解：当x=0时，y=-4，
当y=0时，，
∴x=-3，
∴A（-3，0），B（0，-4），
把A、B代入抛物线，
得，
∴，
∴抛物线解析式为；
(2)
①∵A（-3，0），C（0，6），
∴AO=3，CO=6，
由旋转知：EF=AO=3，CF=CO=6，∠FCO=90°
∴E到x轴的距离为6-3=3，
∴点E的坐标为（6，3），
当x=3时，，
∴点E在抛物线上；
②过点P作PQ⊥AB于Q，


又∠AOB=90°，
∴∠AOB=∠PQB，
在Rt△ABO中，AO=3，BO=4，
∴由勾股定理得：AB=5，
∵∠AOB=∠PQB，∠ABO=∠PBQ，
∴△ABO∽△PBQ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当P，E，Q三点共线，且EP⊥AB时，取最小值，
∵EP⊥AB，
∴设直线EP解析式为，
又E（6，0），
∴，
∴，
∴直线EP解析式为，
当x=0时，y=，
∴点P坐标为（0，）．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数函数解析式，相似三角形的判定与性质等，解第（2）题第②问的关键是正确作出点P的位置．
39．（2022·辽宁）如图，抛物线交x轴于点和，交y轴于点C．


(1)求抛物线的表达式；
(2)D是直线上方抛物线上一动点，连接交于点N，当的值最大时，求点D的坐标；
(3)P为抛物线上一点，连接，过点P作交抛物线对称轴于点Q，当时，请直接写出点P的横坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点P的横坐标为或或或
【解析】
【分析】
（1）把点和代入解析式求解即可；
（2）过点D作DH∥y轴，交AC于点H，由（1）设，直线AC的解析式为，然后可求出直线AC的解析式，则有，进而可得，最后根据可进行求解；
（3）由题意可作出图象，设，然后根据题意及k型相似可进行求解．
(1)
解：把点和代入得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为；
(2)
解：过点D作DH∥y轴，交AC于点H，如图所示：


设，直线AC的解析式为，
由（1）可得：，
∴，解得：，
∴直线AC的解析式为，
∴，
∴，
∵DH∥y轴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的值最大，
∴；
(3)
解：由题意可得如图所示：


分别过点C、Q作垂线，交过点P作y轴的平行线于点G、H，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设点，由题意可知：抛物线的对称轴为直线，，
∴，
∴，
当时，解得：，
当时，解得：
综上：点P的横坐标为或或或．
【点睛】
本题主要考查二次函数的综合、三角函数及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的综合、三角函数及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
40．（2022·贵州贵阳）已知二次函数y=ax2+4ax+b．

(1)求二次函数图象的顶点坐标（用含a，b的代数式表示）；
(2)在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB=6，且图象过(1，c)，(3，d)，(−1，e)，(−3，f)四点，判断c，d，e，f的大小，并说明理由；
(3)点M(m，n)是二次函数图象上的一个动点，当−2≤m≤1时，n的取值范围是−1≤n≤1，求二次函数的表达式．
【答案】(1)二次函数图象的顶点坐标为(-2，b-4a)；
(2)当a<0时，e=f> c>d；当a>0时，e=f< c (3)二次函数的表达式为y=x2x-或y=x2x+．
【解析】
【分析】
（1）利用配方法即可求解；
（2）由对称轴为直线x=-2，AB=6，得到A，B两点的坐标分别为(-5，0)，(1，0)，画出草图，分两种情况，利用数形结合求解即可；
（3）分两种情况，利用数形结合求解即可．
(1)
解：∵y=ax2+4ax+b=a(x2+4x+4-4)+b= a(x+2)2+b-4a，
∴二次函数图象的顶点坐标为(-2，b-4a)；
(2)
解：由（1）知二次函数的图象的对称轴为直线x=-2，
又∵二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB=6，
∴A，B两点的坐标分别为(-5，0)，(1，0)，
当a<0时，画出草图如图：


∴e=f> c>d；
当a>0时，画出草图如图：


∴e=f< c (3)
解：∵点M(m，n)是二次函数图象上的一个动点，
当a<0时，
根据题意：当m=-2时，函数有最大值为1，当m=1时，函数值为-1，
即，解得：，
∴二次函数的表达式为y=x2x+．
当a>0时，
根据题意：当m=-2时，函数有最小值为-1，当m=1时，函数值为1，
即，解得：，
∴二次函数的表达式为y=x2x-．
综上，二次函数的表达式为y=x2x-或y=x2x+．
【点睛】
此题重点考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式等知识和方法，解第（2）（3）题时应注意分类讨论，求出所有符合条件的结果．
41．（2022·江苏常州）已知二次函数的自变量的部分取值和对应函数值如下表：

…

0
1
2
3
…

…
4
3
0


…

(1)求二次函数的表达式；
(2)将二次函数的图像向右平移个单位，得到二次函数的图像，使得当时，随增大而增大；当时，随增大而减小，请写出一个符合条件的二次函数的表达式______，实数的取值范围是_______；
(3)、、是二次函数的图像上互不重合的三点．已知点、的横坐标分别是、，点与点关于该函数图像的对称轴对称，求的度数．
【答案】(1)
(2)（答案不唯一），
(3)∠ACB=45°或135°
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出平移后的二次函数对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性求出，即可得到答案；
（3）先分别求出A、B、C三点的坐标，然后求出，，然后分四种情况讨论求解即可得到答案．
(1)
解：由题意得：，
解得，
∴二次函数解析式为；
(2)
解：∵原二次函数解析式为
由题意得平移后的二次函数解析式为，
∴平移后的二次函数对称轴为直线，
∵二次函数的图像，使得当时，随增大而增大；当时，随增大而减小，且二次函数的开口向下，
∴，
∴，
∴符合题意的二次函数解析式可以为；
故答案为：（答案不唯一），；
(3)
解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数的对称轴为直线，
∵A、C关于对称轴对称，点A的横坐标为m，
∴C的横坐标为，
∴点A的坐标为（m，），点C的坐标为（，），
∵点B的横坐标为m+1，
∴点B的坐标为（m+1，），
∴，，
如图1所示，当A、B同时在对称轴左侧时，过点B作BE⊥x轴于E，交AC于D，连接BC，
∵A、C关于对称轴对称，
∴轴，
∴，
∵，，
∴，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=45°，
同理当AB同时在对称轴右侧时，也可求得∠ACB=45°，
如图2所示，当A在对称轴左侧，B在对称轴右侧时，
过点B作直线BD垂直于直线AC交直线AC于D，
同理可证△BDC为等腰直角三角形，
∴∠BCD=45°，
∴∠ACB=135°，
同理当A在对称轴右侧，B在对称轴左侧也可求得∠ACB=135°，
综上所述，∠ACB=45°或135°

【点睛】
本题主要考查了二次函数综合，二次函数的平移，二次函数的增减性，待定系数法求函数解析式等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
42．（2022·内蒙古呼和浩特）如图，抛物线经过点和点，与轴的另一个交点为，连接、．

(1)求抛物线的解析式及点的坐标；
(2)如图1，若点是线段的中点，连接，在轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，点是第一象限内抛物线上的动点，过点作轴，分别交、轴于点、，当中有某个角的度数等于度数的2倍时，请求出满足条件的点的横坐标．
【答案】(1)；A（-1，0）；
(2)存在E（0，3）或（0，-1），使得是以为斜边的直角三角形；
(3)2或
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）先根据中点坐标公式可得点，设点E（0，m），再根据两点坐标公式可得，，，再由勾股定理，即可求解；
（3）先求出，再求出直线BC的解析式，然后设点，则，CF=a，可得，再分三种情况讨论：若∠PCM=2∠OBC，过点C作CF∥x轴交PM于点F；若∠PMC=2∠OBC；若∠CPM=2∠OBC，过点P作PG平分∠CPM，则∠MPG=∠OBC，即可求解．
(1)
解：把点和点代入，得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为，
令y=0，则，
解得：，
∴点A（-1，0）；
(2)
解：存在，理由如下：
∵点A（-1，0），点，点是线段的中点，
∴点，
设点E（0，m），
∴，
，
，
∵是以为斜边的直角三角形，
∴，
整理得：，
解得：或-1，
∴点E的坐标为（0，3）或（0，-1）；
(3)
解：∵点B（4，0），C（0，2），
∴OB=4，OC=2，
∴，
设直线BC的解析式为，
把点B（4，0），C（0，2）代入得：
，解得：，
∴直线BC的解析式为，
设点，则，CF=a，
∴，
若∠PCM=2∠OBC，过点C作CF∥x轴交PM于点F，如图甲所示，
∴∠FCM=∠OBC，即，
∴∠PCF=∠FCM，
∵轴，
∴CF⊥PQ，
∴PM=2FM，
∴，
∴，解得：解得：a=2或0（舍去），
∴点P的横坐标为2；
若∠PMC=2∠OBC，
∵∠PMC=∠BMN，
∴∠BMN=2∠OBC，
∵∠OBC+∠BMN=90°，
∴∠OBC=30°，与相矛盾，不合题意，舍去；
若∠CPM=2∠OBC，如图乙所示，过点P作PG平分∠CPM，则∠MPG=∠OBC，
∵∠PMG=∠BMN，
∴△PMG∽△BMN，
∴∠PGM=∠BNM=90°，
∴∠PGC=90°，
∵PG平分∠CPM，即∠MPG=∠CPG，
∴∠PCM=∠PMC，
∴PC=PM，
∴，
解得：或0（舍去），
∴点P的横坐标为；
综上所述，点P的横坐标为2或．
          
图甲                                               图乙
【点睛】
本题主要考查了二次函数的综合题，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的综合题，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键．
43．（2022·四川内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．

(1)求这条抛物线所对应的函数的表达式；
(2)若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标；
(3)点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)，点D的坐标为（﹣2，2）；
(3)点P的坐标为（6，﹣10）或（﹣，﹣）．
【解析】
【分析】
（1）运用待定系数法即可解决问题；
（2）过点D作DH⊥AB于H，交直线AC于点G，过点D作DE⊥AC于E，可用待定系数法求出直线AC的解析式，设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，从而可以用m的代数式表示出DG，然后利用得到，可得出关于m的二次函数，运用二次函数的最值即可解决问题；
（3）根据S△PCB：S△PCA=即可求解．
(1)
∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
(2)
（2）过点D作DH⊥AB于H，交直线AC于点G，过点D作DE⊥AC于E，如图．

设直线AC的解析式为y＝kx+t，
则，
解得：，
∴直线AC的解析式为．
设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，
∴
∴，
∵DE⊥AC，DH⊥AB，
∴∠EDG+∠DGE＝∠AGH+∠CAO＝90°，
∵∠DGE＝∠AGH，
∴∠EDG＝∠CAO，
∴＝＝，
∴，
∴，
∴当m＝﹣2时，点D到直线AC的距离取得最大值．
此时，
即点D的坐标为（﹣2，2）；
(3)
如图，设直线CP交x轴于点E，

直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，
又∵S△PCB：S△PCA＝，
则EB：AE＝1：5或5：1
则AE＝5或1，
即点E的坐标为（1，0）或（﹣3，0），
将点E的坐标代入直线CP的表达式：y＝nx+2，
解得：n＝﹣2或，
故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+2或y＝x+2，
联立方程组或，
解得：x＝6或﹣（不合题意值已舍去），
故点P的坐标为（6，﹣10）或（﹣，﹣）．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，锐角三角函数、图形面积计算等，解决问题的关键是将面积比转化为线段比．
44．（2022·广西桂林）如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．

(1)直接写出A，B，C三点的坐标；
(2)求CP+PQ+QB的最小值；
(3)过点P作PM⊥y轴于点M，当CPM和QBN相似时，求点Q的坐标．
【答案】(1)A(﹣1，0)，B(4，0)，C(0，4)
(2)6
(3)(，)或(，)或(，)
【解析】
【分析】
（1）由y＝﹣x2+3x+4可得A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）；
（2）将C（0，4）向下平移至C'，使CC'＝PQ，连接BC'交抛物线的对称轴l于Q，可知四边形CC'QP是平行四边形，及得CP+PQ+BQ＝C'Q+PQ+BQ＝BC'+PQ，而B，Q，C'共线，故此时CP+PQ+BQ最小，最小值为BC'+PQ的值，由勾股定理可得BC'＝5，即得CP+PQ+BQ最小值为6；
（3）由在y＝﹣x2+3x+4得抛物线对称轴为直线x＝﹣＝，设Q（，t），则Q（，t+1），M（0，t+1），N（，0），知BN＝，QN＝t，PM＝，CM＝|t﹣3|，①当＝时，＝，可解得Q（，）或（，）；②当＝时，＝，得Q（，）．
(1)
解：在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝﹣1或x＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）．
(2)
将C（0，4）向下平移至，使，连接交抛物线的对称轴l于Q，如图所示：

∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵B，Q，共线，
∴此时CP+PQ+BQ最小，最小值为的值，
∵C（0，4），，
∴，
∵B（4，0），
∴＝＝5，
∴，
∴CP+PQ+BQ最小值为6．
(3)
如图：

由y＝﹣x2+3x+4得，抛物线对称轴为直线，
设Q（，t），则P（，t+1），M（0，t+1），N（，0），
∵B（4，0），C（0，4）；
∴BN＝，QN＝t，PM＝，CM＝|t﹣3|，
∵∠CMP＝∠QNB＝90°，
∴△CPM和△QBN相似，只需＝或＝，
①当＝时，＝，
解得t＝或t＝，
∴Q（，）或（，）；
②当＝时，＝，
解得t＝或t＝（舍去），
∴Q（，），
综上所述，Q的坐标是(，)或(，)或(，)．
【点睛】
本题主要考查二次函数综合应用，涉及二次函数图象上点坐标的特征，线段和的最小值，相似三角形的性质及应用等，解题的关键是分类讨论思想的应用．
45．（2022·黑龙江哈尔滨）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线经过点，点，与y轴交于点C．

(1)求a，b的值；
(2)如图1，点D在该抛物线上，点D的横坐标为，过点D向y轴作垂线，垂足为点E．点P为y轴负半轴上的一个动点，连接、设点P的纵坐标为t，的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
(3)如图2，在（2）的条件下，连接，点F在上，过点F向y轴作垂线，垂足为点H，连接交y轴于点G，点G为的中点，过点A作y轴的平行线与过点P所作的x轴的平行线相交于点N，连接，，延长交于点M，点R在上，连接，若，，求直线的解析式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）将，代入抛物线中，进行计算即可得；
（2）由（1）得，根据轴得，，根据点P的纵坐标为t，得，即可得；
（3）过点C作，交NR的延长线于点K，过点K作轴于点T，根据二次函数的性质得，则，根据轴，轴得，根据点G为的中点得，根据AAS得，得，，再运用待定系数法求得直线OA的解析式为，得出，可得，再由得出，，再运用待定系数法求得直线BP的解析式为，进而推出，证得，进而得出，由得，用AAS可证明，求得
，设直线RN的解析式为：，再运用待定系数法即可得．
(1)
解：∵抛物线经过，，
∴，
解得，
(2)
解：由（1）得，点D的横坐标为
∴点D纵坐标为
∴，
∵轴
∴，
∵点P的纵坐标为t，
∴，
∴；
(3)
解：如图所示，过点C作，交NR的延长线于点K，过点K作轴于点T，

∵，当时，，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∵点G为的中点，
∴，
在和中，

∴（AAS），
∴，，
设直线OA的解析式为：，将点代入得，
，
解得，，
∴直线OA的解析式：，
当x=2时，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设直线BP的解析式为，则
，
解得，，
∴直线BP的解析式为：，
当时，，
∴点M的坐标为，
∴，
∵，,
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴CK=CN，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，

∴（AAS），
∴，，
∴，
∴，
设直线RN的解析式为：，将点，得，
，
解得，，
∴直线RN的解析式为：．
【点睛】
本题考查了二次函数，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定于性质，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点，能够添加辅助线构造相似三角形或全等三角形．
46．（2022·山东威海）探索发现


(1)在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D，连接AD．
①如图1，直线DC交直线x＝1于点E，连接OE．求证：AD∥OE；
②如图2，点P（2，﹣5）为抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）上一点，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G．直线DP交直线x＝1于点H，连接HG．求证：AD∥HG；
(2)通过上述两种特殊情况的证明，你是否有所发现？请仿照（1）写出你的猜想，并在图3上画出草图．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），顶点为点D．点M为该抛物线上一动点（不与点A，B，D重合），_______．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)猜想：作MN⊥x轴于N，直线DM交直线x=1于Q，则QN∥AD，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）①将点A和B点的坐标代入抛物线的解析式，从而求得a，b的值，从而得出抛物线的解析式，从而得出点D和点C坐标，进而求得E点坐标和AD的解析式，再求出OE的解析式，从而得出结论；
②方法①求得GH的解析式，进而得出结论；
（2）作MN⊥x轴于N，直线DM交直线x=1于Q，则QN∥AD，方法同①相同可推出结论．
(1)
解：（1）①由题意得，
，
∴，
∴y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，
∴D（-1，4），C（0，3），
设直线CD的解析式为：y=mx+n，
∴，
∴，
∴y=-x+3，
∴当x=1时，y=-1+3=2，
∴E（1，2），
∴直线OE的解析式为：y=2x，
设直线AD的解析式为y=cx+d，
∴，
∴，
∴y=2x+6，
∴OE∥AD；
②设直线PD的解析式为：y=ex+f，
∴，
∴，
∴y=-3x+1，
∴当x=1时，y=-3×1+1=-2，
∴H（1，-2），
设直线GH的解析式为：y=gx+h，
∴，
∴，
∴y=2x-4，
∴AD∥HG；
(2)
猜想：作MN⊥x轴于N，直线DM交直线x=1于Q，连接NQ，则QN∥AD，如图，


证明如下：
设M（m，-m2-2m+3），
设直线DM的解析式为y=px+q，
∴，
∴，
∴y=-（m+1）x+（-m+3），
∴当x=1时，y=-m-1-m+3=-2m+2，
∴Q（1，-2m+2），
设直线NQ的解析式为：y=ix+j，
∴，
∴，
∴y=2x-2m，
∴QN∥AD．
【点睛】
本题考查了求二次函数的解析式，求一次函数解析式，一次函数图象性质等知识，解决问题的关键是掌握一次函数平移的性质．
．
47．（2022·内蒙古包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标是，顶点C的坐标是，M是抛物线上一动点，且位于第一象限，直线与y轴交于点G．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，N是抛物线上一点，且位于第二象限，连接，记的面积分别为．当，且直线时，求证：点N与点M关于y轴对称；
(3)如图2，直线与y轴交于点H，是否存在点M，使得．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)存在，
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；
（2）如图．过点M作轴，垂足为D．当与都以为底时，可得．再求解，，直线的解析式为．直线的解析式为，可得 ．从而可得答案；
（3）过点M作轴，垂足为E．设，则．由， 可得．同理可得．再利用，建立方程方程即可．
(1)
解：∵抛物线与x轴交于点，顶点为，
∴解得
∴该抛物线的解析式为．
(2)
证明：如图．过点M作轴，垂足为D．

当与都以为底时，
∵，∴．
当时，则，
解得．
∵，∴，
∴．设点M的坐标为，
∵点M在第一象限，∴，
∴，∴．
设直线的解析式为，
∴解得
∴直线的解析式为．
设直线的解析式为，
∵直线，∴，
∴，∵，∴．
∴直线的解析式为，将其代入中，
得，∴，解得．
∵点N在第二象限，∴点N的横坐标为，
∴，∴．
∵，
∴点N与点M关于y轴对称．
(3)
如图．

存在点M，使得．理由如下：
过点M作轴，垂足为E．
∵，
∴．
∵，∴，∴．
在和中，
∵，∴，
∴．
∵，∴，
在和中，∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
当时，，
∴．
∴存在点，使得．
【点睛】
本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，一次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数与一次函数的交点坐标问题，锐角三角函数的应用，作出适当的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
48．（2022·辽宁沈阳）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线经过点和点与x轴另一个交点A．抛物线与y轴交于点C，作直线AD．

(1)①求抛物线的函数表达式
②并直接写出直线AD的函数表达式．
(2)点E是直线AD下方抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，的面积记为，的面积记为，当时，求点E的坐标；
(3)点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴下方部分沿x轴向上翻折，与抛物线剩下部分组成新的曲线为，点C的对应点，点G的对应点，将曲线，沿y轴向下平移n个单位长度（）．曲线与直线BC的公共点中，选两个公共点作点P和点Q，若四边形是平行四边形，直接写出P的坐标．
【答案】(1)①；②
(2)（2，-4）
(3)
【解析】
【分析】
（1）①利用待定系数解答，即可求解；②利用待定系数解答，即可求解；
（2）过点E作EG⊥x轴交AD于点G，过点B作BH⊥x轴交AD于点H，设点，则点， 可得，然后根据△EFG∽△BFH，即可求解；
（3）先求出向上翻折部分的图象解析式为，可得向上翻折部分平移后的函数解析式为，平移后抛物线剩下部分的解析式为，分别求出直线BC和直线的解析式为，可得BC∥C′G′，再根据平行四边形的性质可得点，然后分三种情况讨论：当点P，Q均在向上翻折部分平移后的图象上时；当点P在向上翻折部分平移后的图象上，点Q在平移后抛物线剩下部分的图象上时；当点P在平移后抛物线剩下部分的图象上，点Q在向上翻折部分平移后的图象上时，即可求解．
（1）解：①把点和点代入得：，解得：，∴抛物线解析式为；②令y=0，则，解得：，∴点A（-2，0），设直线AD的解析式为，∴把点和点A（-2，0）代入得：，解得：，∴直线AD的解析式为；
（2）解：如图，过点E作EG⊥x轴交AD于点G，过点B作BH⊥x轴交AD于点H，当x=6时，，∴点H（6，-4），即BH=4，设点，则点， ∴，∵的面积记为，的面积记为，且，∴BF=2EF，∵EG⊥x，BH⊥x轴，∴△EFG∽△BFH，∴，∴，解得：或0（舍去），∴点E的坐标为（2，-4）；
（3）解：，∴点G的坐标为（2，-4），当x=0时，y=-3，即点C（0，-3），∴点，∴向上翻折部分的图象解析式为，∴向上翻折部分平移后的函数解析式为，平移后抛物线剩下部分的解析式为，设直线BC的解析式为，把点B（6，0），C（0，-3）代入得：，解得：，∴直线BC的解析式为，同理直线的解析式为，∴BC∥C′G′，设点P的坐标为，∵点，∴点 C′向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点 G′，∵四边形是平行四边形，∴点，当点P，Q均在向上翻折部分平移后的图象上时，，解得：（不合题意，舍去），当点P在向上翻折部分平移后的图象上，点Q在平移后抛物线剩下部分的图象上时，，解得：或（不合题意，舍去），当点P在平移后抛物线剩下部分的图象上，点Q在向上翻折部分平移后的图象上时，，解得：或 （不合题意，舍去），综上所述，点P的坐标为．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键．
49．（2022·黑龙江绥化）如图，抛物线交y轴于点，并经过点，过点A作轴交抛物线于点B，抛物线的对称轴为直线，D点的坐标为，连接，，.点E从A点出发，以每秒个单位长度的速度沿着射线运动，设点E的运动时间为m秒，过点E作于F，以为对角线作正方形．
　　

(1)求抛物线的解析式；
(2)当点G随着E点运动到达上时，求此时m的值和点G的坐标；
(3)在运动的过程中，是否存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直接写出点G的坐标，如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)或（3，-3）或
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）求出直线BC解析式，通过△EGF为等腰直角三角形表示出G点坐标，将G点代入BC解析式即可求得m的值，从而求得G点坐标；
（3）将矩形转化为直角三角形，当△BGC是直角三角形时，当△BCG为直角三角形时，当△CBG为直角三角形时，分情况讨论分别列出等式求得m的值，即可求得G点坐标．
(1)
将点A（0，-4）、C（6，0）代入解析式中，以及直线对称轴，可得 ，
解得，
∴抛物线的解析式为；
(2)
∵A（0，-4），D，
∴△AOD为等腰直角三角形，
∵轴交抛物线于点B，
∴B（4，-4），
设直线BC解析式为y=kx+b，
将B（4，-4），C（6，0）代入解析式得，
，解得，
∴直线BC解析式为y=2x-12，
由题意可得，△ADB为等腰直角三角形，
∴，
∵四边形EGFH为正方形，
∴△EGF为等腰直角三角形，
∴，
点G随着E点运动到达上时，满足直线BC解析式y=2x-12，
∴，
∴，此时；
(3)
B（4，-4），C（6，0），，
∴,，,
要使以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，
需满足：
当△BGC是直角三角形时，，
，
解得，，，
此时G或（3，-3）；
当△BCG为直角三角形时，，
，
解得，，
此时G；
当△CBG为直角三角形时，，
，
解得，，
此时G；
综上所述：点G坐标为或（3，-3）或．
【点睛】
本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式、等腰直角三角形的性质和判定，动点运动问题，存在矩形问题，利用数形结合，注意分情况讨论是解题的关键．
50．（2022·福建）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
(3)如图，OP交AB于点C，交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，或（3，4）
(3)存在，
【解析】
【分析】
（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）待定系数法求得直线AB的解析式为，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．过点B作BE⊥PM，垂足为E．可得，设，则．由，解方程求得的值，进而即可求解；
（3）由已知条件可得，进而可得，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点，可得，设，，则，根据可得，根据，根据二次函数的性质即可求的最大值．
(1)
解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入，
得，
解得．
所以抛物线的解析式为．
(2)
设直线AB的解析式为，
将A（4，0），B（1，4）代入，
得，
解得．
所以直线AB的解析式为．
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．
过点B作BE⊥PM，垂足为E．

所以


．
因为A（4，0），B（1，4），所以．
因为△OAB的面积是△PAB面积的2倍，
所以，．
设，则．
所以，
即，
解得，．
所以点P的坐标为或（3，4）．
(3)



记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．则
如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点

，




，
设
直线AB的解析式为．
设，则




整理得






时，取得最大值，最大值为
【点睛】
本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，相似三角形的性质与判定，第三问中转化为线段的比是解题的关键．
51．（2021·山东德州）小刚在用描点法画抛物线：时，列出了下面的表格：


0
1
2
3
4



3
6
7
6
3


(1)请根据表格中的信息，写出抛物线的一条性质：　　；
(2)求抛物线的解析式；
(3)将抛物线先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到新的抛物线；
①若直线与两抛物线，共有两个公共点，求的取值范围；
②抛物线的顶点为A，与轴交点为点，（点在点左侧），点（不与点A重合）在第二象限内，且为上任意一点，过点作轴，垂足为，直线交轴于点，连接，，求证：．

【答案】(1)抛物线的顶点坐标为（答案不唯一）；
(2)；
(3)①；②见解析．
【解析】
【分析】
（1）从图表中可以得到函数的顶点坐标；
（2）根据待定系数法求函数解析式即可；
（3）①根据平移的规律到新的函数解析式，联立直线与抛物线得到一元二次方程，利用根的判别式找出有一个交点时的b的取值即可；②利用抛物线解析式求出B、C点的坐标，在中，，再求出直线AP解析式，在中， ，所以，可证明．
(1)
解：（1）表中的数据关于对称，
该抛物线的顶点为．
故答案为：抛物线的顶点坐标为（答案不唯一）；
(2)
解：由题意抛物线的解析式为，将表中的三对对应值代入得：

解得：
抛物线的解析式为．
(3)
解：①由（1）知：抛物线的解析式为，
将抛物线先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到新的抛物线的顶点为．
抛物线的解析式为．
由题意得：或，
或．
即或．
当时，方程有两个相等的实数根，
或．
解得：或．
直线与两抛物线，共有两个公共点，
．
②由题意画出图形如下：过点A作轴于点，


抛物线的解析式为，
令，则，
解得：或．
抛物线与轴交点为点，（点在点左侧），
，．
．
由①知：抛物线的顶点为．
，，
．
在中，．
点（不与点A重合）在第二象限内，且为上任意一点，
设点，则，．
轴，
．
设直线的解析式为，则：
，
解得：
直线的解析式为．
令，则．
．
．
在中， ．


．
【点睛】
本题考查二次函数的综合题，要求掌握函数的图象性质，会利用待定系数法求一次函数和二次函数解析式，利用一次函数与抛物线结合建立一元二次方程，利用根的判别式判断交点情况．
52．（2021·辽宁沈阳）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，拋物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B坐标是．拋物线与y轴交于点，点P是拋物线的顶点，连接．
（1）求拋物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标．
（2）直线与拋物线对称轴交于点D，点Q为直线上一动点．
①当的面积等于面积的2倍时，求点Q的坐标；
②在①的条件下，当点Q在x轴上方时，过点Q作直线l垂直于，直线交直线l于点F，点G在直线上，且时，请直接写出的长．

【答案】（1），顶点坐标为（1，4）；（2）（2，1）或；②或．
【解析】
【分析】
（1）将和代入利用系数法求函数解析式，然后将一般式化为顶点式求顶点坐标；
（2）①求出的面积，设利用求得；
②利用列出方程，求出点的坐标，根据联立直线和的关系式，求出的坐标，从而求得．
【详解】
解（1）由题意得，，
，
，
．
（2）①如图1，

作于，
，，
直线，
，可设，
，
，
，
或．
或．
②如图2，

设，
由得，，
化简，得，
，，
，，，
作于，
，
，
，
即：，
，
，，
设直线是：，
，解得
，
由，解得
，
，
，
综上，的长为或．
【点睛】
本题考查了二次函数，一次函数图象和性质及相似三角形等知识，解决问题的关键将点的坐标化成长度，转化成图形的相似等知识．
53．（2021·山东滨州）如下列图形所示，在平面直角坐标系中，一个三角板的直角顶点与原点O重合，在其绕原点O旋转的过程中，两直角边所在直线分别与抛物线相交于点A、B（点A在点B的左侧）．
（1）如图1，若点A、B的横坐标分别为-3、，求线段AB中点P的坐标；
（2）如图2，若点B的横坐标为4，求线段AB中点P的坐标；
（3）如图3，若线段AB中点P的坐标为，求y关于x的函数解析式；
（4）若线段AB中点P的纵坐标为6，求线段AB的长．

【答案】（1）（，）；（2）（，）；（3）y=x2+2；（4）
【解析】
【分析】
（1）根据点、的横坐标分别为、，可以先求的点和的坐标，平行线分线段成比例定理可以得到，然后即可得到点的坐标；
（2）根据点的横坐标为4，可以求得点的坐标，然后根据相似三角形的判定与性质，可以求得点的坐标，再根据（1）求中点坐标的方法可以求得点的坐标；
（3）根据相似三角形的判定与性质，可以求得点和点的坐标与点坐标的关系，从而可以得到与的关系；
（4）将代入（3）中的函数关系式，可以求得点的横坐标的平方，然后根据勾股定理可以得到的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到线段的长．
【详解】
解：（1）点、在抛物线上，点、的横坐标分别为、，
当时，，
当时，，
即点的坐标为，点的坐标为，，
作轴于点，作轴于点，作轴于点，如图1所示，

则，
点为线段的中点，
，
由平行线分线段成比例，可得，
设点的坐标为，
则，
，
同理可得，，
点的坐标为，；
（2）点在抛物线上，点的横坐标为4，
点的纵坐标为：，
点的坐标为，
，，
作轴于点，作轴于点，如图2所示，

，，，
，，，
，
，
，
设点的坐标为，
，，
，
解得（舍去），，
点的坐标为，
中点的横坐标为：，纵坐标为，
线段中点的坐标为，；
（3）作轴于点，作轴于点，如图3所示，

由（2）知，，
，
设点的坐标为，点的坐标为，
，
解得，，
点是线段的中点，
，，
，
，
即关于的函数解析式是；
（4）当时，，
，
，是直角三角形，点时斜边的中点，
，
即线段的长是．
【点睛】
本题是一道二次函数综合题目．主要考查平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、中点坐标公式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
54．（2021·江苏镇江）将一张三角形纸片ABC放置在如图所示的平面直角坐标系中，点A(﹣6，0)，点B(0，2)，点C(﹣4，8)，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，该抛物线的对称轴经过点C，顶点为D．
（1）求该二次函数的表达式及点D的坐标；
（2）点M在边AC上（异于点A，C），将三角形纸片ABC折叠，使得点A落在直线AB上，且点M落在边BC上，点M的对应点记为点N，折痕所在直线l交抛物线的对称轴于点P，然后将纸片展开．
①请作出图中点M的对应点N和折痕所在直线l；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
②连接MP，NP，在下列选项中：A．折痕与AB垂直，B．折痕与MN的交点可以落在抛物线的对称轴上，C.＝，D.＝，所有正确选项的序号是　　．
③点Q在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，当PDQ∼PMN时，求点Q的坐标．

【答案】（1）y＝，D(﹣4，﹣)；（2）①见解析；②A，D；③(2，)或(﹣10，)
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求解即可．
（2）①根据要求作出图形即可．
②如图2中，设线段MN的垂直平分线交抛物线对称轴于P，交MN于点Q，过点M作MH⊥CD，过点Q作QJ⊥CD于J，QT⊥MH于T．想办法证明△PMN是等腰直角三角形，可得结论．
③设P（﹣4，m）．由△PDQ∽△PMN，△PMN是等腰直角三角形，推出△PDQ是等腰直角三角形，推出∠DPQ＝90°，DP＝PQ＝m+，推出Q（﹣+m，m），构建方程求出m即可．
【详解】
解（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A(﹣6，0)，点B(0，2)，且抛物线的对称轴经过点C(﹣4，8)，
∴，
解之得：，
∴y＝，
∴当x＝﹣4时，y＝＝﹣，
∴D(﹣4，﹣)．
（2）①如图1中，点N，直线l即为所求．

②如图2中，设线段MN的垂直平分线交抛物线对称轴于P，交MN于点Q，过点M作MH⊥CD，过点Q作QJ⊥CD于J，QT⊥MH于T．
由题意A（﹣6，0），B（0，2），C（﹣4，8），

∴直线AC的解析式为y＝4x+24，直线AB的解析式为y＝x+2，直线BC的解析式为y＝﹣x+2，
∵MN∥AB，
∴可以假设直线MN的解析式为y＝x+t，
由，解得，
∴M（，），
由．解得，
∴N（，），
∴Q（（，），
∵QJ⊥CD，QT⊥MH，
∴QJ＝+4＝，QT＝﹣＝，
∴QJ＝QT，
∵∠PJQ＝∠MTQ＝90°，∠QPJ＝∠QMT，QJ＝QT，
∴△PJQ≌△MTQ（AAS），
∴PQ＝MQ，
∵∠PQM＝90°，
∴∠PMN＝∠MPQ＝45°，
∵PM＝PN，
∴∠PMN＝∠PNM＝45°，
∴∠MPN＝90°，
∴△PMN是等腰直角三角形，
∴＝，故选项D正确，B，C错误，
∵将三角形纸片ABC折叠，使得点A落在直线AB上，且点M落在边BC上，
∴折痕与AB垂直，故选项A正确，
故答案为：A，D．
③设P（﹣4，m）．

∵△PDQ∽△PMN，△PMN是等腰直角三角形，
∴△PDQ是等腰直角三角形，
∴∠DPQ＝90°，DP＝PQ＝m+，
∴Q（﹣4+m+，m），即Q（﹣+m，m），
把Q的坐标代入，得到，，
整理得，9m2﹣42m﹣32＝0，
解得m＝或﹣（舍弃），
∴Q（2，），
根据对称性可知Q′（﹣10，）也满足条件，
综上所述，满足条件的点Q的坐标为(2，)或(﹣10，)．
【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，证明△PMN是等腰直角三角形是本题的突破点．
55．（2021·辽宁盘锦）如图，抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点C，直线与轴交于点D，与轴交于点E，与直线BC交于点F．

（1）点F的坐标是________；
（2）如图1，点P为第一象限抛物线上的一点，PF的延长线交OB于点Q，PM⊥BC于点M，QN⊥BC于点N，，求点P的坐标；
（3）如图2，点S为第一象限抛物线上的一点，且点S在射线DE上方，动点G从点E出发，沿射线DE方向以每秒个单位长度的速度运动，当SE＝SG，且时，求点G的运动时间．
【答案】（1）点F坐标为（4，2）；（2）P1（1，），P2（3，）；（3）2秒
【解析】
【分析】
（1）先由抛物线求出，，再求出直线的解析式为，联立即可求点坐标；
（2）过点作轴于点，过点作轴交于点，证明，得，再由，得，可求，即为点纵坐标为，则可求得点P的坐标；
（3）过点作于点，轴于点，交于点，证明是等腰直角三角形，为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，则有，，，，，，求出，最后将点S的坐标代入二次函数解析式即可求得，则可得点的运动时间为．
【详解】
解：（1）在抛物线中，
令，则，
解得：或，
，，
令，则，
，
在直线中，令，则，
，
令，则，
，
设直线的解析式为，
将，代入，
得：，
，
∴直线的解析式为，
联立，
解得，
，
故答案为：；
（2）如图1，过点作轴于点，过点作轴于点，

，，
，
又∵，
，
，
，
，
，
，
，
，
点纵坐标为，
令，
解得：，（均满足），
∴点P的坐标为P1（1，），P2（3，）；
（3）如图2，过点作于点，轴于点，交于点，

由题意得，，
，，
，
∵在中，，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
为等腰直角三角形，
，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，，
，
将代入，
得，
解得：或（舍），
点的运动时间为．
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活运用平移、三角形相似、解直角三角形等相关知识是解题的关键．
56．（2020·广西贺州）如图，抛物线与轴交于点，顶点为．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）平行于轴的直线与抛物线交于两点（点在点的右边），若，求两点的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点是线段上的动点，经过点的直线与轴交于点，连接，求的面积的最大值和最小值．
【答案】（1）；（2）的坐标是；（3）当时，最小值为，当时，最大值为．
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法把代入即可求解；
（2）设，根据二次函数的对称性和PQ的距离得到二元一次方程组，求解即可；
（3）当直线经过点时，得，当直线经过点时，得，求出临界情况的面积即可．
【详解】
（1）把代入，得．
抛物线的解析式为．
（2）由（1）知，抛物线的对称轴为，
设，依题意，
知，
解得．
把代入抛物线，得，
所以的坐标是．
（3）由（1）知，
当直线经过点时，得，
当直线经过点时，得，
所以的取值范围是：．
设直线的解析式为：，将的坐标代入，
得，所以直线的解析式为：．
设直线交轴于点，则，

．
当时，最小值为，
当时，最大值为．
．
【点睛】
本题考查二次函数与一次函数综合问题，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
57．（2020·四川广安）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（一1，0），B（3，0）两点，过点A的直线l交抛物线于点C（2，m）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段PE最大时点P的坐标．
（3）点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）线段PE最大时点P的坐标为（，）；（3）存在，此时点D的坐标为（，0）或（，0）或（1，0）或（-3，0）
【解析】
【分析】
（1）将点A和点B的坐标代入即可求出结论；
（2）先利用抛物线解析式求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出直线AC的解析式，设点P的坐标为（x，），易知点E的坐标为（x，）且-1≤x≤2，从而求出PE与x的函数解析式，然后利用二次函数求最值即可；
（3）设点D的坐标为（n，0），点F的坐标为（t，），根据平行四边形的对角线分类讨论，然后根据平行四边形的对角线互相平分和中点公式列出方程，即可分别求解．
【详解】
解：（1）将A（一1，0），B（3，0）两点坐标分别代入抛物线解析式中，得

解得：
∴抛物线的解析式为；
（2）将点C（2，m）代入抛物线解析式中，得
=-3
∴点C的坐标为（2，-3）
设直线AC的解析式为y=kx＋d
将A（一1，0）和点C（2，-3）的坐标分别代入，得

解得：
∴直线AC的解析式为
设点P的坐标为（x，），易知点E的坐标为（x，）且-1≤x≤2
∴PE=－
=
=
∵-1＜0
∴抛物线的开口向下，
∴当时，PE有最大值，最大值为
此时点P的坐标为（，）；
（3）存在，
设点D的坐标为（n，0），点F的坐标为（t，）
若AD和CF为平行四边形的对角线时，
∴AD的中点即为CF的中点
∴
解②，得，
将代入①，解得：n=；
将代入①，解得：n=；
∴此时点D的坐标为（，0）或（，0）；
若AC和DF为平行四边形的对角线时，
∴AC的中点即为DF的中点
∴
解②，得，（此时点F和点C重合，故舍去）
将代入①，解得：n=1；
∴此时点D的坐标为（1，0）；
若AF和CD为平行四边形的对角线时，
∴AF的中点即为CD的中点
∴
解②，得，（此时点F和点C重合，故舍去）
将代入①，解得：n=-3；
∴此时点D的坐标为（-3，0）；
综上：存在，此时点D的坐标为（，0）或（，0）或（1，0）或（-3，0）．



【点睛】
此题考查的是二次函数与几何图形的综合大题，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式、利用二次函数求最值和平行四边形的性质是解题关键．
58．（2020·广西柳州）如图①，在平面直角坐标系xOy中，批物线y＝x2﹣4x＋a（a＜0）与y轴交于点A，与x轴交于E、F两点（点E在点F的右侧），顶点为M．直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，与直线AM交于点D．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）在y轴右侧的抛物线上存在点P，使得以P、A、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求a的值；
（3）如图②，过抛物线顶点M作MN⊥x轴于N，连接ME，点Q为抛物线上任意一点，过点Q作QG⊥x轴于G，连接QE．当a＝﹣5时，是否存在点Q，使得以Q、E、G为顶点的三角形与△MNE相似（不含全等）？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）直线x＝2；（2）；（3）存在，点Q的坐标为（﹣4，27）或（，）或（，）．
【解析】
【分析】
（1）y＝x2﹣4x＋a＝（x﹣2）2＋a﹣4，即可求解；
（2）求出直线AM的解析式为y＝﹣2x＋a，联立方程组可解得点D的坐标（a，－a）；AC是以P、A、C、D为顶点的平行四边形的对角线，则点P与点D关于原点对称，即P（a，－a），将点P（﹣a，a）代入抛物线y＝x2﹣4x＋a，即可求解；
（3）分、两种情况，分别求解即可．
【详解】
解：（1）∵y＝x2﹣4x＋a＝（x﹣2）2＋a﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2；
（2）由y＝（x﹣2）2＋a﹣4得：A（0，a），M（2，a﹣4），
由y＝x﹣a 得C（0，﹣a），
设直线AM的解析式为y＝kx＋a，
将M（2，a﹣4）代人y＝kx＋a中，得2k＋a＝a﹣4，
解得k＝﹣2，
直线AM的解析式为y＝﹣2x＋a，
联立方程组得，解得 ，
∴D（a，－a），
∵a＜0，
∴点D在第二象限，
又点A与点C关于原点对称，
∴AC是以P、A、C、D为顶点的平行四边形的对角线，则点P与点D关于原点对称，
即P（－a，a），
将点P（﹣a，a）代入抛物线y＝x2﹣4x＋a，解得a＝或a＝0（舍去），
∴a＝；
（3）存在，
理由如下：当a＝﹣5时，y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，此时M（2，﹣9），
令y＝0，即（x﹣2）2﹣9＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，
∴点F（﹣1，0）E（5，0），
∴EN＝FN＝3     MN＝9，
设点Q（m，m2﹣4m﹣5），则G（m，0），
∴EG＝|m﹣5|QG＝|m2﹣4m﹣5|，
又△QEG与△MNE都是直角三角形，且∠MNE＝∠QGE＝90°，
如图所示，需分两种情况进行讨论：

i）当时，即＝，
解得m＝2或m＝﹣4或m＝5（舍去）；
当m＝2时点Q与点M重合，不符合题意，舍去，
当m＝﹣4时，此时Q坐标为点Q1（﹣4，27）；
ii）当时，即＝，，
解得m＝或m＝－或m＝5（舍去），
当m＝时，Q坐标为点Q2（，），
当m＝－，Q坐标为点Q3（－，），
综上所述，点Q的坐标为（﹣4，27）或（，）或（，）．
【点睛】
本题考查二次函数的图象和性质，平行四边形的性质和判断，相似三角形的判断和性质，综合性强，能力要求高，注意“分类讨论”、“数形结合”数学思想的应用．
59．（2020·四川）如图1，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC，BC．已知△ABC的面积为2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于P，Q两点．过P，Q向x轴作垂线，垂足分别为G，H．若四边形PGHQ为正方形，求正方形的边长；
（3）如图2，平行于y轴的直线交抛物线于点M，交x轴于点N （2，0）．点D是抛物线上A，M之间的一动点，且点D不与A，M重合，连接DB交MN于点E．连接AD并延长交MN于点F．在点D运动过程中，3NE+NF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

【答案】（1）；（2）或；（3）是，3NE+NF为定值4
【解析】
【分析】
（1）先将抛物线解析式变形，可得A和B的坐标，从而得AB=1+3=4，根据三角形ABC的面积为2可得OC的长，确定点C的坐标，根据点C的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）设点P的纵坐标为m，当y=m时，﹣x2+x+1=m，解方程可得P和Q两点的坐标，从而得G和H的坐标，再利用正方形的性质可得出关于m的方程，解之即可得出结论；
（3）设点D（n，﹣n2+n+1），利用待定系数法求直线AD和BD的解析式，表示FN和OK的长，直接代入计算可得结论．
【详解】
（1）如图1，y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x2﹣2x﹣3）=a（x﹣3）（x+1），

∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB=4，
∵△ABC的面积为2，即，
∴OC=1，
∴C（0，1），
将C（0，1）代入y=ax2﹣2ax﹣3a，得：﹣3a=1，
∴a=﹣，
∴该二次函数的解析式为y=﹣x2+x+1；
（2）如图2，设点P的纵坐标为m，当y=m时，﹣x2+x+1=m，

解得：x1=1+，x2=1﹣，
∴点P的坐标为（1﹣，m），点Q的坐标为（1+，m），
∴点G的坐标为（1﹣，0），点H的坐标为（1+，0），
∵矩形PGHQ为正方形，
∴PQ=PG，　
∴1+﹣（1﹣）=m，
解得：m1=﹣6﹣2，m2=﹣6+2，
∴当四边形PGHQ为正方形时，边长为6+2或2﹣6；
（3）如图3，设点D（n，﹣n2+n+1），延长BD交y轴于K，

∵A（﹣1，0），
设AD的解析式为：y=kx+b，
则，解得：，
∴AD的解析式为：y=（﹣）x﹣，
当x=2时，y=﹣n+2﹣n+1=﹣n+3，
∴F（2，3﹣n），
∴FN=3﹣n，
同理得直线BD的解析式为：y=（﹣）x+n+1，
∴K（0，n+1），
∴OK=n+1，
∵N（2，0），B（3，0），
∴，
∵EN∥OK，
∴，
∴OK=3EN，
∴3EN+FN=OK+FN=n+1+3﹣n=4，
∴在点D运动过程中，3NE+NF为定值4．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、待定系数法求一次函数解析式以及平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用正方形的性质，找出关于m的方程；（3）利用AD和BD的解析式确定FN和OK的长，可解决问题．
60．（2020·江苏镇江）如图①，直线l经过点（4，0）且平行于y轴，二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a、c是常数，a＜0）的图象经过点M(﹣1，1)，交直线l于点N，图象的顶点为D，它的对称轴与x轴交于点C，直线DM、DN分别与x轴相交于A、B两点．
（1）当a＝﹣1时，求点N的坐标及的值；
（2）随着a的变化，的值是否发生变化？请说明理由；
（3）如图②，E是x轴上位于点B右侧的点，BC＝2BE，DE交抛物线于点F．若FB＝FE，求此时的二次函数表达式．

【答案】（1）N(4，﹣4)，＝；（2）不变，理由见解析；（3）y＝﹣x2+x+．
【解析】
【分析】
（1）证明△DME∽△DAC，△DCB∽△DFN，则，，求出AC＝，BC＝，即可求解；
（2）点D(1，1﹣4a)，N(4，1+5a)，则ME＝2，DE＝﹣4a，由（1）的结论得：AC＝，BC＝，即可求解；
（3）利用△FHE∽△DCE，求出F(﹣，﹣)，即可求解．
【详解】
解：（1）分别过点M、N作ME⊥CD于点E，NF⊥DC于点F，
∵ME∥FN∥x轴，

∴△DME∽△DAC，△DCB∽△DFN，
∴，，
∵a＝﹣1，则y＝﹣x2+2x+c，
将M(﹣1，1)代入上式并解得：c＝4，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+4，
则点D(1，5)，N(4，﹣4)，
则ME＝2，DE＝4，DC＝5，FN＝3，DF＝9，
∴，解得：AC＝，BC＝，
∴＝；
（2）不变，理由：
∵y＝ax2﹣2ax+c过点M(﹣1，1)，则a+2a+c＝1，
解得：c＝1﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax+(1﹣3a)，
∴点D(1，1﹣4a)，N(4，1+5a)，
∴ME＝2，DE＝﹣4a，
由（1）的结论得：AC＝，BC＝，
∴＝；
（3）过点F作FH⊥x轴于点H，则FH∥l，则△FHE∽△DCE，

∵FB＝FE，FH⊥BE，
∴BH＝HE，
∵BC＝2BE，
则CE＝6HE，
∵CD＝1﹣4a，
∴FH＝，
∵BC＝，
∴CH＝×＝，
∴F(﹣，﹣)，
将点F的坐标代入y＝ax2﹣2ax+(1﹣3a)＝a(x+1)(x﹣3)+1得：
﹣a＝a(﹣+2)(﹣﹣2)+1，
解得：a＝﹣，
故y＝﹣x2+x+．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的综合运用等知识．综合性强．