2023年黑龙江省绥化市中考数学真题（含解析）

这是一份2023年黑龙江省绥化市中考数学真题（含解析），共36页。试卷主要包含了考试时间120分钟，本试题共三道大题，28个小题等内容，欢迎下载使用。

二〇二三年绥化市初中毕业学业考试数学试题
考生注意：
1．考试时间120分钟
2．本试题共三道大题，28个小题
3．所有答案都必须写在答题卡上所对应的题号后的指定区域内
一、单选题
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故C选项合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故D选项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
2. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据求一个数的绝对值，零指数幂进行计算即可求解．
【详解】解：，
故选：D．
【点睛】本题考查了求一个数的绝对值，零指数幂，熟练掌握求一个数的绝对值，零指数幂是解题的关键．
3. 如图是一个正方体，被切去一角，则其左视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据左视图的意义判断即可．
【详解】根据题意，该几何体的左视图为：
，
故选B．
【点睛】本题考查了三视图的画法，熟练掌握三视图的空间意义是解题的关键．
4. 纳米是非常小的长度单位，，把用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，为整数．
【详解】解：．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，确定与的值是解题的关键．
5. 下列计算中，结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据积的乘方与幂的乘方运算，同底数幂的乘法、合并同类项，算术平方根，进行计算即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了积的乘方与幂的乘方运算，同底数幂的乘法、合并同类项，算术平方根，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．
6. 将一副三角板按下图所示摆放在一组平行线内，，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据两直线平行内错角相等即可求解．
【详解】解：依题意，，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等是解题的关键．
7. 下列命题中叙述正确的是（ ）
A. 若方差，则甲组数据的波动较小
B. 直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离
C. 三角形三条中线的交点叫做三角形的内心
D. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
【答案】D
【解析】
【分析】根据方差的意义，点到直线的距离，三角形的重心的定义，角平分线的性质，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. 若方差，则乙组数据的波动较小，故该选项不正确，不符合题意；
B. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故该选项不正确，不符合题意；
C. 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，故该选项不正确，不符合题意；
D. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了方差的意义，点到直线的距离，三角形的重心的定义，角平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
8. 绥化市举办了年半程马拉松比赛，赛后随机抽取了部分参赛者的成绩（单位：分钟），并制作了如下的参赛者成绩组别表、扇形统计图和频数分布直方图．则下列说法正确的是（ ）

组别
参赛者成绩
A

B

C

D

E


A. 该组数据的样本容量是人
B. 该组数据的中位数落在这一组
C. 这组数据的组中值是
D. 这组数据对应的扇形统计图的圆心角度数为
【答案】B
【解析】
【分析】根据组的人数除以占比求得样本的容量，结合统计图求得的人数为15，进而根据中位数的定义，即可判断B选项，根据组中值为，即可判断C选项，根据的占比乘以，即可判断D选项．
【详解】解：A、 该组数据的样本容量是，故该选项不正确，不符合题意；
B、的人数为：，，
该组数据的中位数落在这一组，故该选项正确，符合题意；
C、 这组数据的组中值是，故该选项不正确，不符合题意；
D、 这组数据对应的扇形统计图的圆心角度数为，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了样本的容量，条形统计图与扇形统计图信息关联，中位数的定义，求扇形统计图的圆心角的度数，求频数分布直方图组中值，从统计图表中获取信息是解题的关键．
9. 在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，平行于x轴，点B，C的横坐标都是3，，点D在上，且其横坐标为1，若反比例函数（）的图像经过点B，D，则k的值是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，则根据反比例函数的性质，列出等式计算即可．
【详解】设，
∵点B，C的横坐标都是3，，平行于x轴，点D在上，且其横坐标为1，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数解析式的确定，熟练掌握ｋ的意义，反比例函数的性质是解题的关键．
10. 某运输公司，运送一批货物，甲车每天运送货物总量的．在甲车运送1天货物后，公司增派乙车运送货物，两车又共同运送货物天，运完全部货物．求乙车单独运送这批货物需多少天？设乙车单独运送这批货物需x天，由题意列方程，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设乙车单独运送这批货物需x天，由题意列出分式方程即可求解．
【详解】解：设乙车单独运送这批货物需x天，由题意列方程
，
故选：B．
【点睛】本题考查了列分式方程，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
11. 如图，在菱形中，，，动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则下列正确表示与函数关系的图象是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接，过点作于点，根据已知条件得出是等边三角形，进而证明得出，当时，在上，当时，在上，根据三角形的面积公式得到函数关系式，
【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，
当时，在上，

菱形中，，，
∴，则是等边三角形，
∴，
∵，
∴，又
∴
∴
∴，
∴
当时，在上，

∴，
综上所述，时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当时，函数图象是直线的一部分，
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数图象的性质，一次函数图象的性质，菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
12. 如图，在正方形中，点为边的中点，连接，过点作于点，连接交于点，平分交于点．则下列结论中，正确的个数为（ ）

①；②；③当时，
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【答案】D
【解析】
【分析】①根据题意可得，则，即，又,即可判断①；②设正方形的边长为，根据勾股定理求得，证明，根据相似三角形的性质求得，进而求得，即可判断②；过点分别作的垂线，垂足分别为，根据②的结论求得，勾股定理求得，即可判断③．
【详解】∵四边形是正方形，
∴，
∵
∴
∴
即，又,
∴，故①正确；
设正方形的边长为，
∵点为边的中点，
∴,
∴,
在中，，
∴
在中，
∴，
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴，故②正确；
∵，
∴,
如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，

又∵，
∴四边形是矩形，
∵是的角平分线，
∴，
∴四边形是正方形，
∴
∵
∴
设，则
在中，，
∵
∴
解得：
∴，
∴，故④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
二、填空题
13. 因式分解：_______．
【答案】
【解析】
【分析】先分组，然后根据提公因式法，因式分解即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
14. 若式子有意义，则x的取值范围是_______．
【答案】且##且
【解析】
【分析】根据分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，列出不等式计算即可．
【详解】∵式子有意义，
∴且，
∴且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键．
15. 在张完全相同的卡片上，分别标出，，，，从中随机抽取张后，放回再混合在一起．再随机抽取一张，那么第二次抽取卡片上的数字能够整除第一次抽取卡片上的数字的概率是_________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意列表法求概率即可求解．
【详解】解：列表如下，

























共有16种等可能结果，符合题意的有8种，
∴第二次抽取卡片上的数字能够整除第一次抽取卡片上的数字的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法求概率，整除，熟练掌握列表法求概率是解题的关键．
16. 已知一元二次方程的两根为与，则的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，将分式通分，代入即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程，即，的两根为与，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
17. 化简：_______．
【答案】##
【解析】
【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简即可求解．
【详解】解：


；
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
18. 如图，的半径为，为的弦，点为上的一点，将沿弦翻折，使点与圆心重合，则阴影部分的面积为_______．（结果保留与根号）

【答案】
【解析】
【分析】根据折叠的性质得出是等边三角形，则，，根据阴影部分面积即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，设交于点

∵将沿弦翻折，使点与圆心重合，
∴，
又
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴,
∴阴影部分面积
故答案为：．
19. 如图，在平面直角坐标系中，与的相似比为，点是位似中心，已知点，点，．则点的坐标为_______．（结果用含，的式子表示）

【答案】
【解析】
【分析】过点分别作轴的垂线垂足分别为，根据题意得出，则，得出，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点分别作轴的垂线垂足分别为，

∵与的相似比为，点是位似中心，
∴
∵，
∴,
∴，
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了求位似图形的坐标，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．
20. 如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是______．

【答案】##
【解析】
【分析】根据题意，证明，进而得出点在射线上运动，作点关于的对称点，连接，设交于点，则，则当三点共线时，取得最小值，即，进而求得，即可求解．
【详解】解：∵为高上的动点．
∴
∵将绕点顺时针旋转得到．是边长为的等边三角形，
∴
∴
∴，
∴点在射线上运动，
如图所示，

作点关于的对称点，连接，设交于点，则
在中，，则，
则当三点共线时，取得最小值，即
∵，，
∴
∴
在中，,
∴周长的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质与判定以及轴对称的性质是解题的关键．
21. 在求的值时，发现：，，从而得到．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作；按此方法继续下去，则_______．（结果用含n的代数式表示）

【答案】##
【解析】
【分析】根据题意得出，进而即可求解．
【详解】解：依题意，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了图形类规律，找到规律是解题的关键．
22. 已知等腰，，．现将以点为旋转中心旋转，得到，延长交直线于点D．则的长度为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，先求得，当以点为旋转中心逆时针旋转，过点作交于点，当以点为旋转中心顺时针旋转，过点作交于点，分别画出图形，根据勾股定理以及旋转的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，

∵等腰，，．
∴，
∴，,
∴，
如图所示，当以点为旋转中心逆时针旋转，过点作交于点，

∵，
∴，，
在中，，，
∵等腰，，．
∴，
∵以点为旋转中心逆时针旋转，
∴，
∴，
在中，,
∴，
∴，
∴，
如图所示，当以点为旋转中心顺时针旋转，过点作交于点，

在中，，
∴
在中，
∴
∴
∴
∴
∴，
综上所述，的长度为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，分类讨论是解题的关键．
三、解答题
23. 已知：点是外一点．

（1）尺规作图：如图，过点作出的两条切线，，切点分别为点、点．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
（2）在（1）的条件下，若点在上（点不与，两点重合），且．求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）或
【解析】
【分析】（1）①连接，分别以点为圆心，大于的长为半径画圆，两圆交于点两点，作直线交于点，②以点为圆心，为半径画圆，与交于两点，作直线，
（2）根据切线的性质得出，根据四边形内角和得出，进而根据圆周角定理以及圆内接四边形对角互补即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，

①连接，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点两点，作直线交于点，
②以点为圆心，为半径画圆，与交于两点，作直线，
则直线即为所求；
【小问2详解】
如图所示，点在上（点不与，两点重合），且，
∵是的切线，
∴，
∴，
当点在优弧上时，，
当点在劣弧上时，，
∴或．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形对角互补，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
24. 如图，直线和为河的两岸，且，为了测量河两岸之间的距离，某同学在河岸的点测得，从点沿河岸的方向走米到达点，测得．

（1）求河两岸之间的距离是多少米？（结果保留根号）
（2）若从D点继续沿的方向走米到达P点．求的值．
【答案】（1）河两岸之间的距离是米
（2）
【解析】
【分析】（1）过点作于点，设米，在中，，在中，，根据，建立方程，解方程即可求解；
（2）根据题意求得的长，进而根据正切的定义，即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，

过点作于点，设米，
∵
∴，
∴，
在中，，
∴
∴
解得：
答：河两岸之间的距离是米；
【小问2详解】
解：如图所示，

依题意，，
∴，
在中，，
∴．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数关系是解题的关键．
25. 某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用、两型客车（每种型号的客车至少租用一辆）．型车每辆租金元，型车每辆租金元．若辆型和辆型车坐满后共载客人；辆型和辆型车坐满后共载客人．

（1）每辆型车、型车坐满后各载客多少人？
（2）若该校计划租用型和型两种客车共辆，总租金不高于元，并将全校人载至目的地．该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？
（3）在这次活动中，学校除租用、两型客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车．已知从学校到夏令营目的地的路程为千米，甲车从学校出发小时后，乙车才从学校出发，却比甲车早小时到达目的地．下图是两车离开学校的路程（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数图象．根据图象信息，求甲乙两车第一次相遇后，为何值时两车相距千米．
【答案】（1）每辆型车、型车坐满后各载客人、人
（2）共有种租车方案，租辆型车，辆型车最省钱
（3）在甲乙两车第一次相遇后，当小时或小时时，两车相距千米
【解析】
【分析】（1）设每辆型车、型车坐满后各载客人、人，由题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设租用型车辆，则租用型车辆，由题意列出一元一次不等式组，解不等式组，求整数解即可得出的值，设总租金为元，根据一次函数的性质即可求解；
（3）设，，由题意可知，甲车的函数图像经过；乙车的函数图像经过，两点．求出函数解析式，进而即可求解．
【小问1详解】
解：设每辆型车、型车坐满后各载客人、人，由题意得

解得
答：每辆型车、型车坐满后各载客人、人
【小问2详解】
设租用型车辆，则租用型车辆，由题意得
解得：
取正整数，
，，，
共有种租车方案
设总租金为元，则

随着的增大而减小
时，最小
租辆型车，辆型车最省钱
【小问3详解】
设，．
由题意可知，甲车的函数图象经过；乙车的函数图象经过，两点．
∴，
，即
解得
或
解得
所以，在甲乙两车第一次相遇后，当小时或小时时，两车相距25千米．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意找到等量关系，列出方程组，不等式组，以及函数解析式是解题的关键．
26. 已知：四边形为矩形，，，点是延长线上的一个动点（点不与点重合）．连接交于点．

（1）如图一，当点为的中点时，求证：．
（2）如图二，过点作，垂足为．连接，设，．求关于的函数关系式．
（3）如图三，在（2）的条件下，过点作，交的延长线于点．当时，求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）（或）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质得出，则，根据题意得出，即可证明；
（2）在中，，证明，根据相似三角形的性质即可求解；
（3）过点作于点，得出，为等腰直角三角形，在中，勾股定理求得，证明，根据相似三角形的性质即可求解．
【小问1详解】
证明：∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∵中点，
∴，
和中
，
∴；
【小问2详解】
∵四边形为矩形，

∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴在中，，
∵，
∴，
∴（或）；
【小问3详解】
过点作于点，

∵四边形为矩形，且，
∴，
∵，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴平分，
∴，
在中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，列函数关系式，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
27. 如图，为⊙O的直径，且，与为圆内的一组平行弦，弦交于点H．点A在上，点B在上，．

（1）求证：．
（2）求证：．
（3）在⊙O中，沿弦所在的直线作劣弧的轴对称图形，使其交直径于点G．若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）证明即可；
（2）连接，交于点，根据平行线的性质和已知条件证明垂直平分即可；
（3）利用对称的性质作辅助线，根据已知条件，转化为解直角三角形问题即可．
【小问1详解】
和是所对的圆周角，
，
，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
连接，交于点，

与为一组平行弦，即：，
，
，
，
，
，
，
，
是的垂直平分线，
．
【小问3详解】
连接、，过点作，垂足为，设点的对称点，连接、，

，，
∴，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
直径，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
在中，，

，


故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的综合问题，同弧所对圆周角相等、构建合适的辅助线是解题的关键；熟练掌握相似三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、熟悉锐角三角函数解决直角三角形．
28. 如图，抛物线的图象经过，，三点，且一次函数的图象经过点．

（1）求抛物线和一次函数的解析式．
（2）点，为平面内两点，若以、、、为顶点的四边形是正方形，且点在点的左侧．这样的，两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标：如果不存在，请说明理由．
（3）将抛物线的图象向右平移个单位长度得到抛物线，此抛物线的图象与轴交于，两点（点在点左侧）．点是抛物线上的一个动点且在直线下方．已知点的横坐标为．过点作于点．求为何值时，有最大值，最大值是多少？
【答案】（1），
（2）满足条件的E、F两点存在，，，
（3）当时，的最大值为
【解析】
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）①当为正方形的边长时，分别过点点作，，使，，连接、，证明，得出，，则同理可得，；②以为正方形的对角线时，过的中点作，使与互相平分且相等，则四边形为正方形，过点作轴于点，过点作于点，证明，得出，在中，，解得或4，进而即可求解；
（3）得出是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，则，点在抛物线上，且横坐标为得出，进而可得，则，根据二次函数的性质即可求解．
【小问1详解】
解：把，，代入
得
解得
∴
把代入得
∴
【小问2详解】
满足条件、两点存在，，，
解：①当为正方形的边长时，分别过点点作，，使，，连接、.

过点作轴于.
∵，
又，
∴，
∴，
∴
同理可得，
②以为正方形的对角线时，过的中点作，使与互相平分且相等，则四边形为正方形，
过点作轴于点，过点作于点

∵，
又
∴
∴，
∵
∴
∴
在中，
∴
解得或4
当时，，此时点在点右侧故舍去；
当时，.
综上所述：，，
【小问3详解】
∵向右平移8个单位长度得到抛物线

当，即
解得：
∴，
∵过，，三点
∴
在直线下方抛物线上任取一点，作轴交于点，过点作轴于点

∵，
∴
∴是等腰直角三角形
∵，
∴
又
∴是等腰直角三角形
∴
∵点在抛物线上，且横坐标为
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴

∴当时，的最大值为．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，正方形的性质，二次函数的性质，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．