四川省绵阳市江油中学2022-2023学年高一数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

四川省江油中学2022级高一上期第一学月检测

数学试题

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题，共60分）

一、单选题（每题只有一个正确答案，每小题5分，共40分）

1. 给出下列关系：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】A

【解析】

【分析】依次判断出各数所属于的数域范围，进而判断出正误.

【详解】是实数，①正确；是无理数，②错误；是整数，③错误；是自然数，④错误；0是有理数，⑤错误，所以正确的个数为1．

故选：A．

2. 下列说法正确的是（    ）

A. 由1，2，3组成的集合可表示为或

B. 与是同一个集合

C. 集合与集合是同一个集合

D. 集合与集合是同一个集合

【答案】A

【解析】

【分析】根据集合的定义和性质逐项判断可得答案

【详解】集合中的元素具有无序性，故A正确；

是不含任何元素的集合，是含有一个元素0的集合，故B错误；

集合，集合，故C错误；

集合中有两个元素，集合中只有一个元素，为方程，故D错误.

故选：A.

3. 命题“，”的否定是（　　）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】C

【解析】

【分析】由特称命题的否定形式即可求解.

【详解】命题“，”是特称命题，

其否定形式为：，.

故选：C

4. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有1440名学生喜欢足球或游泳，900名学生喜欢足球，1230名学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生人数为（    ）

A. 630 B. 690 C. 840 D. 936

【答案】B

【解析】

【分析】喜欢足球的学生、喜欢游泳的学生形成的集合分别记为，再利用容斥原理计算作答.

【详解】解：喜欢足球的学生、喜欢游泳的学生形成的集合分别记为，

依题意，集合，中元素个数分别为：，

则，

所以中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生有名.

故选：B

5. 若命题“对任意的，恒成立”为假命题，则m的取值范围为（    ）

A  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据原命题为真可得，即可得出命题为假命题时m的取值范围．

【详解】当原命题为真时，恒成立，即

由命题为假命题，则．

故选：A.

6. 已知，，，则，，大小关系为（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】通过作差法，，确定符号，排除D选项；

通过作差法，，确定符号，排除C选项；

通过作差法，，确定符号，排除A选项；

【详解】由，且，故；

由且，故；

且，故.

所以，

故选：B.

7. 已知下列四组陈述句：

①：集合；：集合．

②：集合；：集合．

③：；：．

④：某中学高一全体学生中的一员；：某中学全体学生中的一员．

其中p是q的必要而不充分条件的有(    )

A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ①③

【答案】D

【解析】

【分析】逐个判断是否有且即可．

【详解】①若，则或，∴，即p：；故且，即p是q的必要而不充分条件，符合题意；

②若，则根据子集的性质可得，即p：；

故是的充要条件，不符题意；

③对于，当时，，

故，∴是的必要而不充分条件，符合题意；

④易知且，即是的充分而不必要条件，不符合题意；

综上，是的必要而不充分条件的有①③．

故选：D．

8. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若不相等的两个正实数a，b满足，且恒成立，则实数t的取值范围是（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】运用基本不等式，求出 的最小值即可.

【详解】 ，当且仅当 时等号成立，

正实数a，b不相等， ， ，

；

故选：A.

二、多选题（每小题5分，共20分；部分选对得2分，有选错得0分）

9. 如果，那么下列不等式一定成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】通过已知中的，结合不等式的基本性质，逐一分析四个答案的正误，可得结论.

【详解】A选项，，故A成立；

B选项，由，得，所以，根据不等式的性质，不等式两边同乘负数，得，故B成立；

C选项，由，根据不等式的性质，不等式两边同乘正数，得，即，故C不成立；

D选项，由，得，故D成立.

故选：ABD

10. 下列命题中，真命题的是（    ）

A. ，都有 B. ，使得

C. 任意非零实数，，都有 D. 函数的最小值为2

【答案】B

【解析】

【分析】对于A，利用特殊值判断即可；对于B，当即可判断；对于C，令，即可判断；对于D，由基本不等式即可判断.

【详解】解：对于A，当时，，显然，

所以，都有成立为假命题.

对于B，显然当时，成立，故为真命题.

对于C，当时，则，故不成立，为假命题.

对于D，，当且仅当时，取等号，即，显然无解，即取不到最小值，故不成立，为假命题.

故选：B.

11. 解关于x的不等式：，则下列说法中正确的是（    ）

A. 当时，不等式的解集为

B. 当时，不等式的解集为或

C. 当时，不等式的解集为

D. 当时，不等式的解集为

【答案】ABD

【解析】

【分析】讨论参数，结合一元二次不等式的解法求解集即可判断各选项的正误.

【详解】A：，则，可得解集为，正确；

B：，则，可得解集为或，正确；

C：，当时解集为；当时无解；当时解集为，错误；

D：由C知：，即，此时无解，正确.

故选：ABD

12. 下列结论中正确的是（    ）

A. “”是“”的必要不充分条件

B. “x为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件

C. 若，则“”是“a、b不全为0”的充要条件

D. 在中，“”是“为直角三角形”的充要条件

【答案】ABC

【解析】

【分析】需要逐项分析才能求解.

【详解】对于A，若，则 或 ，即“ ”不一定成立，

反之若“ ”，必有“x2＞4”，故“ ”是“ ”的必要不充分条件，

A正确；

对于B，若“x为无理数”，则“x2不一定为无理数”，如，反之“x2为无理数”，

则“x为无理数”，故“x为无理数”是“ 为无理数”的必要不充分条件，B正确；

对于C，若“”，则“a、b不全为0”，反之若“a、b不全为0”，

则“”，故若，则“”是“a、b不全为0”的充要条件，

C正确；

对于D，在中，若“”，则∠A＝90°，

故“为直角三角形”，反之若 ，则有， ，

 故“”是“为直角三角形”的充分不必要条件，D错误；

故选：ABC.

第II卷（非选择题，共90分）

三、填空题（每题5分，共20分）

13. 满足的集合的个数为______________．

【答案】8

【解析】

【分析】又题意可知集合中至少有2个元素，最多有5个元素,分别写出来即可.

【详解】∵

∴集合中至少有2个元素，最多有5个元素.

当集合中有2个元素时，集合可为：;

当集合中有3个元素时，集合可为：,,;

当集合中有4个元素时，集合可为：,,;

当集合中有5个元素时，集合可为：;

故答案为：8.

14. 集合，，若，则实数的取值范围是________．

【答案】

【解析】

【分析】先化简集合，再根据集合间的基本关系，与集合进行集合包含关系运算即可，注意讨论子集中的空集的情况.

【详解】，若，则是的子集，

当时，，所以，

当时，，所以，

综上，实数的取值范围是．

故答案为: .

15. 已知，，则取值范围为_________

【答案】

【解析】

【分析】令求出m、n，再应用不等式的性质求的范围.

【详解】令，则，

所以，可得，故，

而，故.

故答案为：

16. 已知且，则的最小值为______.

【答案】

【解析】

【详解】试题分析：

，当且仅当时，等号成立.

考点：基本不等式求最值

四、解答题（本题共6个小题，共70分）

17. 已知集合，．

（1）当时，求；

（2）若，求实数a的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据交集定义进行计算；

（2）根据集合的包含关系，得到不等式组，求出实数a的取值范围.

【小问1详解】

当时，，

∵，∴．

【小问2详解】

若，故，

∴，综上，实数a的取值范围为．

18. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．

（1）若菜园面积为18m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？

（2）若使用的篱笆总长度为15m，求的最小值．

【答案】（1）   

（2）．

【解析】

【分析】（1）由题意得，利用基本不等式求出的最小值及时等号成立；

（2）根据题意得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最值.

【小问1详解】

由已知可得，而篱笆总长为．

又∵，当且仅当，即时等号成立．

∴菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小．

【小问2详解】

由已知得，又∵，

∴，当且仅当x＝y，即x＝5，y＝5时等号成立．

∴的最小值是．

19. 已知不等式的解集是．

（1）求常数a的值；

（2）若关于x的不等式的解集为R，求m的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由题意可得－1和3是方程的解，将代入方程中可求出a的值；

（2）由的解集为R，可得，从而可求出m的取值范围

【小问1详解】

因为不等式的解集是．

所以－1和3是方程的解，

把代入方程解得．经验证满足题意

【小问2详解】

若关于x的不等式的解集为R，即的解集为R，

所以，

解得，所以m的取值范围是．

20. 已知命题，，命题，．

（1）若命题和命题有且只有一个为假命题，求实数的取值范围；

（2）若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）首先求出命题、为真时参数的取值范围，再分类讨论，分别计算可得；

（2）首先求出命题和命题都为假命题时参数的取值范围，再取其补集即可得解.

【小问1详解】

解：若命题为真命题，即命，，所以，所以，

若命题为真命题，即，，所以，解得，

因为命题和命题有且只有一个为假命题，

当命题为假，命题为真时，解得；

当命题为真，命题为假时，所以；

所以；

【小问2详解】

解：若命题和命题都为假命题，则，即；

因为命题和命题至少有一个为真命题，所以或，即；

21. 已知抛物线与轴的一个交点为，且经过点．

（1）求抛物线与轴的另一个交点坐标．

（2）当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的值．

【答案】（1）抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0）   

（2）

【解析】

【分析】（1）方法一：由题意可得抛物线经过（2，c）和（0，c），则可得对称轴为直线，然后利用对称关系可求出另一个交点坐标，方法二：将（－1，0），（2，c）分别代入可求出，然后令可求出另一个交点坐标，

（2）由题意可得当时取得最大值4，即，当或时取得最小值N，则可得，令代入函数中可求出的值．

【小问1详解】

方法一：∵抛物线经过（2，c）和（0，c），

∴抛物线的对称轴为直线，

∴（－1，0）的对称点为（3，0），

即抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0）；

方法二：将（－1，0），（2，c）分别代入得

，解得，

∴抛物线的表达式为，

令得，，解得，，

∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0）．

【小问2详解】

∵，∴，，

∴当时，当时取得最大值4，即，当或时取得最小值N，

∵，∴，

令得，，解得（舍去），，

∴．

22. 集合A＝{x|}，B＝{x|}；

（1）用区间表示集合A；

（2）若a＞0，b为（t＞2）的最小值，求集合B；

（3）若b＜0，A∩B＝A，求a、b的取值范围.

【答案】（1）；（2）；（3），.

【解析】

【分析】（1）解分式不等式即可得集合A；（2）利用基本不等式求得b的最小值，将b代入并因式分解，即可得解；（3）由题意知A⊆B，对a分类讨论即求得范围

【详解】解：（1）由，有，解得x≤﹣2或x＞3

∴A＝(-∞, -2]∪(3, +∞)

（2）t＞2，

当且仅当t＝5时取等号，故

即为：且a＞0

∴，解得

故B＝{x| }

（3）b＜0，A∩B＝A，有A⊆B，而

可得：

a＝0时，化为：2x﹣b＜0，解得但不满足A⊆B，舍去

a＞0时，解得：或但不满足A⊆B，舍去

a＜0时，解得或

∵A⊆B

∴，解得

∴a、b 的取值范围是a∈，b∈ (- 4,0).

【点评】本题考查了集合运算性质、不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.