2024届高考数学一轮总复习第三章三角函数解三角形第八讲解三角形应用举例课件

这是一份2024届高考数学一轮总复习第三章三角函数解三角形第八讲解三角形应用举例课件，共37页。PPT课件主要包含了测量中的有关术语，考点一距离问题，图3-8-1，于计算的定理，图3-8-2，答案B，行140，图3-8-3，反思感悟，图3-8-5等内容，欢迎下载使用。

【名师点睛】易混淆方位角与方向角的概念
(1)方位角是指北方向线按顺时针旋转到目标方向线之间的水平夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角.
(2)“方位角”与“方向角”的范围：方位角大小的范围是
[0°，360°)，方向角大小的范围是[0°，90°).
[例 1](2021 年宁德市质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞.若要测量如图 3-8-1 所示的海洋蓝洞的口径(即 A，B 两点间的距离)，现取两点 C，D，测得 CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，
则图中海洋蓝洞的口径为________.
解析：由已知得，在△ACD 中，∠DCA＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°，
【题后反思】求距离问题的两个注意事项
(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便
【变式训练】(2022 年福州市模拟)为测量两塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图 3-8-2 所示的几何模型.若 MA⊥平面 ABC，
又△MNC 中，∠MCN＝150°，
考点二 测量高度问题[例 2](2023 年西安市期中)如图3-8-3，甲、乙两名学生决定利用解三角形的相关知识估算一下友谊大厦的高度.甲同学在点 A 处测得友谊大厦顶端 C 的仰角是 63.435°，随后，他沿着某一方向直
m 后到达点 B，测得友谊大厦顶端 C 的仰角为 45°，乙
同学站在友谊大厦底端的点 D，测量发现甲同学在移动的过程中，∠ADB 恰好为 60°，若甲、乙两名同学始终在同一水平面上，则
友谊大厦的高度大约是(参考数据：tan 63.435°≈2)(　　)
A.270 mC.290 m
B.280 mD.300 m
解析：如图 3-8-4 所示，设友谊大厦的高度为 h，图 3-8-4
(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它们是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它们是在水平面上所成的角)是关键.(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.
(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面
【变式训练】(2023 年镇江市期中)云台阁，位于云台山北峰，属于镇江西津渡景区，其建筑形式具有宋、元古建筑特征.如图 3-8-5，小明同学为测量云台阁的高度，在云台阁的正东方向找到一座建筑物AB，高为 12 m，在它们的地面上的点 M(B，M，D 三点共线)测得楼顶 A，云台阁顶部 C 的仰角分别为 15°和 60°，在楼顶 A 处测得云台阁顶部C的仰角为30°，则小明估算云台阁的高度为(　　)
[例 3]在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东 45°方向，相距 12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时 10 n mile 的速度沿南偏东 75°方向前进，若红方侦察艇以每小时 14 n mile 的速度，沿北偏东 45°＋α方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值.
解：如图 3-8-6，设红方侦察艇经过 x 小时后在 C 处追上蓝方
则 AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240x cs 120°，解得 x＝2.故 AC＝28 n mile，BC＝20 n mile.
(1)测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.(2)方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须
先弄清楚是哪一个点的方向角.
【变式训练】如图 3-8-7，两座相距 60 m 的建筑物 AB，CD 的高度分别为20 m，50 m，BD 为水平面，则从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物
CD 的张角∠CAD 等于(
⊙解三角形中的综合问题
(1)解三角形中的综合问题，除灵活运用正、余弦定理及三角形的有关知识外，一般还要用到三角函数，三角恒等变换，平面向量等知识，因此掌握正、余弦定理，三角函数的公式及性质是解题关键.
(2)三角形问题中，涉及变量取值范围或最值问题要注意函数