2023年江苏省南通市中考数学试卷（含解析）

2023年江苏省南通市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算，正确的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年月日，以“聚力新南通、奋进新时代”为主题的第五届通商大会暨全市民营经济发展大会召开，个重大项目集中签约，计划总投资约元，将用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图所示的四个几何体中，俯视图是三角形的是(    )

A. 三棱柱 B. 圆柱
C. 四棱锥 D. 圆锥

4.  如图，数轴上，，，，五个点分别表示数，，，，，则表示数的点应在(    )

A. 线段上 B. 线段上 C. 线段上 D. 线段上

5.  如图，中，，顶点，分别在直线，上，若，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，四边形是矩形，分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点，连接，，若，，则的正切值为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，中，，，点从点出发沿折线运动到点停止，过点作，垂足为设点运动的路径长为，的面积为，若与的对应关系如图所示，则的值为(    )

 

A.  B.  C.  D.

10.  若实数，，满足，，则代数式的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共30.0分）

11.  计算 ______ ．

12.  分解因式：______．

13.  如图，中，，分别是，的中点，连接，则 ______ ．

14.  某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度单位：与所受阻力单位：是反比例函数关系，其图象如图所示若该型号汽车在某段公路上行驶时速度为，则所受阻力为______

15.  如图，是的直径，点，在上，若，则 ______ 度

16.  勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作九章算术现有勾股数，，，其中，均小于，，，是大于的奇数，则 ______ 用含的式子表示．

17.  已知一次函数，若对于范围内任意自变量的值，其对应的函数值都小于，则的取值范围是______ ．

18.  如图，四边形的两条对角线，互相垂直，，，则的最小值是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
解方程组：；
计算：．

20.  本小题分
某校开展以“筑梦天宫、探秘苍穹”为主题的航天知识竞赛，赛后在七、八年级各随机抽取名学生的竞赛成绩，进行整理、分析，得出有关统计图表．
抽取的学生竞赛成绩统计表

若该校八年级共有名学生参赛，估计优秀等次的约有______ 人；
你认为七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更好些？请从两个方面说明理由．

21.  本小题分
如图，点，分别在，上，，，相交于点，．
求证：．
小虎同学的证明过程如下：

小虎同学的证明过程中，第______ 步出现错误；
请写出正确的证明过程．

22.  本小题分
有同型号的，两把锁和同型号的，，三把钥匙，其中钥匙只能打开锁，钥匙只能打开锁，钥匙不能打开这两把锁．
从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出钥匙的概率等于______ ；
从两把锁中随机取出一把锁，从三把钥匙中随机取出一把钥匙，求取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率．

23.  本小题分
如图，等腰三角形的顶角，和底边相切于点，并与两腰，分别相交于，两点，连接，．
求证：四边形是菱形；
若的半径为，求图中阴影部分的面积．

24.  本小题分
为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：
信息一

信息二

求的值；
该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工天，且完成的施工面积不少于该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用？

25.  本小题分
正方形中，点在边，上运动不与正方形顶点重合作射线，将射线绕点逆时针旋转，交射线于点．

如图，点在边上，，则图中与线段相等的线段是______ ；
过点作，垂足为，连接，求的度数；
在的条件下，当点在边延长线上且时，求的值．

26.  本小题分
定义：平面直角坐标系中，点，点，若，，其中为常数，且，则称点是点的“级变换点”例如，点是点的“级变换点”．
函数的图象上是否存在点的“级变换点”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
点与其“级变换点”分别在直线，上，在，上分别取点，若，求证：；
关于的二次函数的图象上恰有两个点，这两个点的“级变换点”都在直线上，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据两数相乘法则：同号相乘得正，异号相乘得负，并把绝对值相乘即可．
本题主要考查了有理数的乘法，解题关键是熟练掌握两个数相乘法则．
 

2.【答案】 

【解析】解：将用科学记数法表示为．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：三棱柱的俯视图是三角形，故此选项符合题意；
B.圆柱体的俯视图是圆，故此选项不合题意；
C.四棱锥的俯视图是四边形画有对角线，故此选项不合题意；
D.圆锥体的俯视图是圆带圆心，故此选项不合题意．
故选：．
俯视图是从几何体的上面看所得到的视图，分别找出四个几何体的俯视图可得答案．
此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握从几何体的上面看所得到的视图是俯视图．
 

4.【答案】 

【解析】解：，而数轴上，，，，五个点分别表示数，，，，，
表示数的点应在线段上，
故选：．
根据算术平方根的定义，估算无理数的大小，再根据数轴上，，，，五个点在数轴上的位置进行判断即可．
本题考查估算无理数的大小，实数与数轴，掌握算术平方根的定义以及数轴表示数的方法是正确解答的前提．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图，

，，
，
，
，
．
故选：．
由平行线的性质可得，则可求的度数，利用平角的定义即可求的度数．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，




，
故选：．
由已知条件可得，然后将变形后代入数值计算即可．
本题考查代数式求值，将变形为是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，

由题意得：，
在中，，
，
在中，，
，
，
这栋楼的高度为，
故选：．
过点作，垂足为，根据题意可得：，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，，
≌，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
设，则，
，
由勾股定理得：，
，
，
．
故选：．
先根据证明≌，可得，设，则，根据勾股定理列方程可得的长，最后由正切的定义可解答．
本题考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数，勾股定理等知识，证明是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解，，，
，
当时，点在边上，如图所示，

此时，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
当时，，
，
当时，点在边上，如图所示，

此时，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
当时，，
，
，
故选：．
根据勾股定理求出，再分别求出和时的，的长，再用三角形的面积公式写出与的函数解析式即可．
本题考查直角三角形三角形相似，平面直角坐标系中函数表示面积的综合问题，解题的关键是对函数图象是熟练掌握．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
解得：，
则




，
，
，，不符合题意，符合题意，
故选：．
结合已知条件解含参的二元一次方程组，然后代入中确定其取值即可．
本题考查解二元一次方程组，解得，的值后代入中整理出是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的加减，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：．
直接把公因式提出来即可．
本题主要考查提公因式法分解因式，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，分别是，的中点，
，
又，
∽，
．
故答案为：．
根据已知易证∽，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．
本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：设功率为，由题可知，即，将，代入可得：，即反比例函数为：当时，．
胡答案为：．
根据题意可知此函数为反比例函数，由图中数据可以求出反比例函数，再将代入即可求解．
本题考查反比例函数，掌握功率、速度、阻力关系便可解决问题．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

，，
，
，
，
故答案为：．
连接，结合已知条件易得的度数，然后利用勾股定理即可求得答案．
本题考查圆周角定理，结合已知条件求得的度数是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，，是勾股数，其中，均小于，，，




，
是大于的奇数，
．
故答案为：．
根据勾股数的定义解答即可．
本题考查的是勾股数，熟知满足的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：一次函数，
随的增大而增大，
对于范围内任意自变量的值，其对应的函数值都小于，
，
解得，
故答案为：．
根据题意一次函数的性质和题意，可以得到，然后求解即可．
本题考查一次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式．
 

18.【答案】 

【解析】解：设，的交点为，，，，的中点分别是，，，，连接，，，，，，，如图：

，互相垂直，
和为直角三角形，且，分别为斜边，
，，
，
当为最小时，为最小，
根据“两点之间线段最短”得：，
当点在线段上时，为最小，最小值为线段的长，
点，分别为，的中点，
为的中位线，
，，
同理：，，，，，，
，，
四边形为平行四边形，
，，，
，
四边形为矩形，
在中，，，
由勾股定理得：，
的最小值为，
的最小值为．
故答案为：．
设，的交点为，，，，的中点分别是，，，，连接，，，，，，，先证，由此得当为最小时，为最小，再根据“两点之间线段最短”得：，再证四边形为矩形，且，，据此由勾股定理可求出，进而可得的最小值．
此题只要考查了矩形的判定和性质，三角形的性质，三角形的中位线定理，线段的性质，勾股定理等，熟练掌握矩形的判定和性质，三角形的中位线定理，理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，两点之间线段最短是解答此题的关键．
 

19.【答案】解：，
得：，
把代入得：，
解得：，
故原方程组的解是：；




． 

【解析】利用加减消元法进行求解即可；
先把能分解因式进行分解，再约分，最后算分式的减法即可．
本题主要考查分式的混合运算，解二元一次方程组，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．
 

20.【答案】 

【解析】解：若该校八年级共有名学生参赛，估计优秀等次的约有人，
故答案为：；
八年级成绩较好，理由如下：
因为七、八年级的平均数相等，而八年级的众数和中位数大于七年级的众数和中位数，
所以八年级得分高的人数较多，即八年级成绩较好答案不唯一．
用乘以样本中优秀等次的百分比即可；
根据众数和中位数的意义求解即可答案不唯一．
本题考查方差、中位数、众数、条形图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

21.【答案】二 

【解析】解：小虎同学的证明过程中，第二步出现错误，
故答案为：二；
证明：，
，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
．
根据全等三角形的判定定理判断；
证明≌，根据全等三角形的性质得到，再证明≌，得到．
本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：有同型号的，，三把钥匙，
从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出钥匙的概率等于，
故答案为：；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中取出的钥匙恰好能打开取出的锁的结果有种，即、，
取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率为．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中取出的钥匙恰好能打开取出的锁的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意此题是放回试验还是不放回试验；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

23.【答案】证明：连接，

和底边相切于点，
，
，，
，
，，
和都是等边三角形，
，，
，
四边形是菱形；
解：连接交于点，

四边形是菱形，
，，，
在中，，
，
，
图中阴影部分的面积扇形的面积菱形的面积


，
图中阴影部分的面积为． 

【解析】连接，根据切线的性质可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得和都是等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得，即可解答；
连接交于点，利用菱形的性质可得，，，然后在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，最后根据图中阴影部分的面积扇形的面积菱形的面积，进行计算即可解答．
本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，等腰三角形的性质，菱形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】解：根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：的值为；
设甲工程队施工天，则乙工程队单独施工天，
根据题意得：，
解得：，
设该段时间内体育中心需要支付元施工费用，则，
即，
，
随的增大而增大，
当时，取得最小值，最小值．
答：该段时间内体育中心至少需要支付元施工费用． 

【解析】利用工作时间工作总量工作效率，结合甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出的值；
设甲工程队施工天，则乙工程队单独施工天，根据天完成的施工面积不少于，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设该段时间内体育中心需要支付元施工费用，利用总费用甲工程队施工时间乙工程队施工时间，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
 

25.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
≌，
，
故答案为：；
当点在边上时，如图，
过点作交于，延长交于点，
，
四边形是矩形，
，
，，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
≌，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
；
当点在边上时，如图，
过点作交于，延长交延长线于点，
四边形是矩形，
同理，≌，
，
为等腰直角三角形，
，
，
综上所述：的度数为或；
当点在边延长线上时，点在边上，
设，则，
，
，
，
．
通过证明≌，即可得到；
当点在边上时，如图，过点作交于，延长交于点，通过证明≌，推导出为等腰直角三角形，即可求；当点在边上时，如图，过点作交于，延长交延长线于点，同理，≌，可推导出为等腰直角三角形，则，即可求，
当点在边延长线上时，点在边上，设，则，则，，再由，即可求．
本题考查相似的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质，三角形相似的判定及性质，等腰直角三角形的性质，矩形的性质是解题的关键．
 

26.【答案】解：存在，理由：
由题意得，的“级变换点”为：，
将代入反比例函数表达式得：，
解得：；

证明：由题意得，点的坐标为：，
由点的坐标知，点在直线上，同理可得，点在直线，
则，，
则，
，则，
即；

解：设在二次函数上的点为点、，
设点，则其“级变换点”坐标为：，
将代入得：，
则，
即点在直线上，
同理可得，点在直线上，
即点、所在的直线为；
由抛物线的表达式知，其和轴的交点为：、，其对称轴为，
当时，
抛物线和直线的大致图象如下：

直线和抛物线均过点，则点、必然有一个点为，设该点为点，另外一个点为点，如上图，
联立直线和抛物线的表达式得：，
设点的横坐标为，则，
，
则，
解得：，
即；
当时，
当时，直线不可能和抛物线在时有两个交点，
故该情况不存在，
综上，． 

【解析】求出的“级变换点”的坐标，即可求解；
求出点、所在的直线表达式，即可求解；
先求出点、所在的直线为，当时，画出抛物线和直线的大致图象，求出点的横坐标为，得到，即可求解；当时，当时，直线不可能和抛物线在时有两个交点，即可求解．
本题为考查了二次函数综合运用，涉及到新定义、函数的性质和图象、解不等式等，理解新定义是本题解题的关键．