2023年天津市中考数学试卷

这是一份2023年天津市中考数学试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年天津市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，​只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）计算的结果等于（　　）
A． B．﹣1 C． D．1
2．（3分）估计的值在（　　）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
3．（3分）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　）

A． B． C． D．
4．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）据2023年5月21日《天津日报》报道，在天津举办的第七届世界智能大会通过“百网同播、万人同屏、亿人同观”，全球网友得以共享高端思想盛宴，总浏览量达到935000000人次，将数据935000000用科学记数法表示应为（　　）
A．0.935×109 B．9.35×108 C．93.5×107 D．935×106
6．（3分）的值等于（　　）
A．1 B． C． D．2
7．（3分）计算的结果等于（　　）
A．﹣1 B．x﹣1 C． D．
8．（3分）若点A（x1，﹣2），B（x2，1），C（x3，2）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　）
A．x3＜x2＜x1 B．x2＜x1＜x3 C．x1＜x3＜x2 D．x2＜x3＜x1
9．（3分）若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，则（　　）
A．x1+x2＝6 B．x1+x2＝﹣6 C．x1x2＝ D．x1x2＝7
10．（3分）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD．若BD＝DC，AE＝4，AD＝5，则AB的长为（　　）

A．9 B．8 C．7 D．6
11．（3分）如图，把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在BC的延长线上，连接BD，则下列结论一定正确的是（　　）

A．∠CAE＝∠BED B．AB＝AE C．∠ACE＝∠ADE D．CE＝BD
12．（3分）如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m，有下列结论：①AB的长可以为6m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m；③菜园ABCD面积的最大值为200m2．其中，正确结论的个数是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）不透明袋子中装有10个球，其中有7个绿球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为 　 　．
14．（3分）计算（xy2）2的结果为 　 　．
15．（3分）计算的结果为 　 　．
16．（3分）若直线y＝x向上平移3个单位长度后经过点（2，m），则m的值为 　 　．
17．（3分）如图，在边长为3的正方形ABCD的外侧，作等腰三角形ADE，．
（1）△ADE的面积为 　 　；
（2）若F为BE的中点，连接AF并延长，与CD相交于点G，则AG的长为 　 　．

18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形ABC内接于圆，且顶点A，B均在格点上．
（1）线段AB的长为 　 　；
（2）若点D在圆上，AB与CD相交于点P，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使△CPQ为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明） 　 　．

三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答．

（1）解不等式①，得 　 　；
（2）解不等式②，得 　 　；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集为 　 　．

20．（8分）为培养青少年的劳动意识，某校开展了剪纸、编织、烘焙等丰富多彩的活动，该校为了解参加活动的学生的年龄情况，随机调查了a名参加活动的学生的年龄（单位：岁）．根据统计的结果，绘制出如图的统计图①和图②．

请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填空：a的值为 　 　，图①中m的值为 　 　；
（2）求统计的这组学生年龄数据的平均数、众数和中位数．
21．（10分）在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为D，∠AOC＝60°，E为弦AB所对的优弧上一点．
（1）如图①，求∠AOB和∠CEB的大小；
（2）如图②，CE与AB相交于点F，EF＝EB，过点E作⊙O的切线，与CO的延长线相交于点G，若OA＝3，求EG的长．

22．（10分）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD＝6m，∠DCE＝30°，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°．
（1）求DE的长；
（2）设塔AB的高度为h（单位：m）；
①用含有h的式子表示线段EA的长（结果保留根号）；
②求塔AB的高度（tan27°取0.5，取1.7，结果取整数）．

23．（10分）已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离宿舍0.6km，体育场离宿舍1.2km，张强从宿舍出发，先用了10min匀速跑步去体育场，在体育场锻炼了30min，之后匀速步行了10min到文具店买笔，在文具店停留10min后，用了20min匀速散步返回宿舍，下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系．

请根据相关信息，回答下列问题：
（1）①填表：
张强离开宿舍的时间/min
1
10
20
60
张强离宿舍的距离/km

1.2


②填空：张强从体育场到文具店的速度为 　 　km/min；
③当50≤x≤80时，请直接写出张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式；
（2）当张强离开体育场15min时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，如果李明的速度为0.06km/min，那么他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可）
24．（10分）在平面直角坐标系中，O为原点，菱形ABCD的顶点A（，0），B（0，1），D（2，1），矩形EFGH的顶点E（0，），，H（0，）．
（1）填空：如图①，点C的坐标为 　 　，点G的坐标为 　 　；
（2）将矩形EFGH沿水平方向向右平移，得到矩形E′FG′H′，点E，F，G，H的对应点分别为E′，F′，G′，H′，设EE′＝t，矩形E′F′G′H′与菱形ABCD重叠部分的面积为S．
①如图②，当边E′F′与AB相交于点M、边G′H′与BC相交于点N，且矩形E′F′G′H′与菱形ABCD重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．

25．（10分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数，c＞1的顶点为P，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，抛物线上的点M的横坐标为m，且，过点M作MN⊥AC，垂足为N．
（1）若b＝﹣2，c＝3．
①求点P和点A的坐标；
②当时，求点M的坐标；
（2）若点A的坐标为（﹣c，0），且MP∥AC，当时，求点M的坐标．

2023年天津市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，​只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）计算的结果等于（　　）
A． B．﹣1 C． D．1
【分析】根据有理数乘法法则计算即可．
【解答】解：原式＝+（×2）
＝1，
故选：D．
【点评】本题考查有理数的乘法运算，其运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2．（3分）估计的值在（　　）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【分析】一个正数越大，其算术平方根越大，据此即可求得答案．
【解答】解：∵4＜6＜9，
∴＜＜，
即2＜＜3，
那么在2和3之间，
故选：B．
【点评】本题考查无理数的估算，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
3．（3分）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看，一共有三列，从左到右小正方形的个数分别为2、2、1．
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图．解题的关键是理解简单组合体的三视图的定义，明确从正面看得到的图形是主视图．
4．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：B、C，D选项中的汉字都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的汉字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
5．（3分）据2023年5月21日《天津日报》报道，在天津举办的第七届世界智能大会通过“百网同播、万人同屏、亿人同观”，全球网友得以共享高端思想盛宴，总浏览量达到935000000人次，将数据935000000用科学记数法表示应为（　　）
A．0.935×109 B．9.35×108 C．93.5×107 D．935×106
【分析】将一个数表示为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
【解答】解：935000000＝9.35×108，
故选：B．
【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
6．（3分）的值等于（　　）
A．1 B． C． D．2
【分析】根据特殊锐角的三角函数值及二次根式的加法法则计算即可．
【解答】解：原式＝+
＝，
故选：B．
【点评】本题考查二次根式的运算及特殊锐角的三角函数，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
7．（3分）计算的结果等于（　　）
A．﹣1 B．x﹣1 C． D．
【分析】由于是异分母的分式的加减，所以先通分，化为同分母的分式，然后进行加减即可．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝，
故选：C．
【点评】本题主要考查了分式的加减，计算时首先判断分母是否相同，然后利用分式加减的法则计算即可．
8．（3分）若点A（x1，﹣2），B（x2，1），C（x3，2）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　）
A．x3＜x2＜x1 B．x2＜x1＜x3 C．x1＜x3＜x2 D．x2＜x3＜x1
【分析】分别将点A，B，C的坐标代入反比例函数的解析式求出x2，x3，x1，然后再比较它们的大小即可得出答案．
【解答】解：将A（x1，﹣2）代入，得：，即：x1＝1，
将B（x2，1）代入，得：，即：x2＝﹣2，
将C（x3，2）代入，得：，即：x3＝﹣1，
∴x2＜x3＜x1．
故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例函数的图象，解答此题的关键是理解函数图象上的点满足函数的解析式，满足函数解析式的点都在函数的图象上．
9．（3分）若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，则（　　）
A．x1+x2＝6 B．x1+x2＝﹣6 C．x1x2＝ D．x1x2＝7
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行判断即可．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，
∴x1+x2＝6，x1x2＝﹣7，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，应掌握：设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，则，．
10．（3分）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD．若BD＝DC，AE＝4，AD＝5，则AB的长为（　　）

A．9 B．8 C．7 D．6
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AC＝2AE＝8，DA＝DC，从而可得∠DAC＝∠C，再结合已知易得BD＝AD，从而可得∠B＝∠BAD，然后利用三角形内角和定理可得∠BAC＝90°，从而在Rt△ABC中，利用勾股定理进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：MN是AC的垂直平分线，
∴AC＝2AE＝8，DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C，
∵BD＝CD，
∴BD＝AD，
∴∠B＝∠BAD，
∵∠B+∠BAD+∠C+∠DAC＝180°，
∴2∠BAD+2∠DAC＝180°，
∴∠BAD+∠DAC＝90°，
∴∠BAC＝90°，
在Rt△ABC中，BC＝BD+CD＝2AD＝10，
∴AB＝＝＝6，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．
11．（3分）如图，把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在BC的延长线上，连接BD，则下列结论一定正确的是（　　）

A．∠CAE＝∠BED B．AB＝AE C．∠ACE＝∠ADE D．CE＝BD
【分析】由旋转的性质可得∠ABC＝∠ADE，∠BAD＝∠CAE，由三角形内角和定理可得∠BED＝∠BAD＝∠CAE．
【解答】解：如图，设AD与BE的交点为O，
∵把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，
∴∠ABC＝∠ADE，∠BAD＝∠CAE，
又∵∠AOB＝∠DOE，
∴∠BED＝∠BAD＝∠CAE，
故选：A．

【点评】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
12．（3分）如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m，有下列结论：①AB的长可以为6m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m；③菜园ABCD面积的最大值为200m2．其中，正确结论的个数是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】设AD边长为xm，则AB边长为长为m，根据AB＝6列出方程，解方程求出x的值，根据x取值范围判断①；根据矩形的面积＝192．解方程求出x的值可以判断②；设矩形菜园的面积为ym2，
根据矩形的面积公式列出函数解析式，再根据函数的性质求函数的最值可以判断③．
【解答】解：设AD边长为xm，则AB边长为长为m，
当AB＝6时，＝6，
解得x＝28，
∵AD的长不能超过26m，
∴x≤26，
故①不正确；
∵菜园ABCD面积为192m2，
∴x•＝192，
整理得：x2﹣40x+384＝0，
解得x＝24或x＝16，
∴AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2，
故②正确；
设矩形菜园的面积为ym2，
根据题意得：y＝x•＝﹣（x2﹣40x）＝﹣（x﹣20）2+200，
∵﹣＜0，20＜26，
∴当x＝20时，y有最大值，最大值为200．
故③正确．
∴正确的有2个，
故选：C．
【点评】此题主要考查了一元二次方程和二次函数的应用，读懂题意，找到等量关系准确地列出函数解析式和方程是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）不透明袋子中装有10个球，其中有7个绿球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为 　　．
【分析】找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：∵袋子中共有10个球，其中绿球有7个，
∴从袋子中随机取出1个球，它是绿球的概率是，
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．
14．（3分）计算（xy2）2的结果为 　x2y4　．
【分析】根据积的乘方与幂的乘方法则计算即可．
【解答】解：（xy2）2＝x2•（y2）2＝x2y4，
故答案为：x2y4．
【点评】本题考查了积的乘方与幂的乘方法则，熟记：积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变，指数相乘．
15．（3分）计算的结果为 　1　．
【分析】利用平方差公式进行计算，即可解答．
【解答】解：
＝（）2﹣（）2
＝7﹣6
＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
16．（3分）若直线y＝x向上平移3个单位长度后经过点（2，m），则m的值为 　5　．
【分析】先根据平移规律求出直线y＝x向上平移3个单位的直线解析式，再把点（2，m）代入，即可求出m的值．
【解答】解：将直线y＝x向上平移3个单位，得到直线y＝x+3，
把点（2，m）代入，得m＝2+3＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，正确求出平移后的直线解析式是解题的关键．
17．（3分）如图，在边长为3的正方形ABCD的外侧，作等腰三角形ADE，．
（1）△ADE的面积为 　3　；
（2）若F为BE的中点，连接AF并延长，与CD相交于点G，则AG的长为 　　．

【分析】（1）过E作EM⊥AD于M，根据等腰三角形的性质得到AM＝DM＝AD＝，根据勾股定理得到EM＝＝2，根据三角形的面积公式即可得到△ADE的面积为；（2）过E作AD的垂线交AD于M，AG于N，BC于P，根据正方形的性质得到EF⊥BC，推出四边形ABPM是矩形，得到PM＝AB＝3，AB∥EP，根据全等三角形的性质得到EN＝AB＝3，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）过E作EM⊥AD于M，
∵．AD＝3，
∴AM＝DM＝AD＝，
∴EM＝＝2，
∴△ADE的面积为；
故答案为：3；
（2）过E作AD的垂线交AD于M，AG于N，BC于P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC∥AD，
∴EP⊥BC，
∴四边形ABPM是矩形，
∴PM＝AB＝3，AB∥EP，
∴EP＝5，∠ABF＝∠NEF，
∵F为BE的中点，
∴BF＝EF，
在△ABF与△NEF中，
，
∴△ABF≌△NEF（ASA），
∴EN＝AB＝3，
∴MN＝1，
∵PM∥CD，
∴AN＝NG，
∴GD＝2MN＝2，
∴AG＝＝，
故答案为：．

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形ABC内接于圆，且顶点A，B均在格点上．
（1）线段AB的长为 　　；
（2）若点D在圆上，AB与CD相交于点P，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使△CPQ为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明） 　取AC，AB与网格线的交点E，F，连接EF并延长与网格线相交于点G；连接DB与网格线相交于点H，连接HF并延长与网格线相交于点I，连接AI并延长与圆相交于点K，连接CK并延长与
GB的延长线相交于点Q，则点Q即为所求．　．

【分析】（1）利用勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）AB＝＝．
故答案为：；

（2）如图，点Q即为所求；

方法：取AC，AB与网格线的交点E，F，连接EF并延长与网格线相交于点G；连接DB与网格线相交于点H，连接HF并延长与网格线相交于点I，连接AI并延长与圆相交于点K，连接CK并延长与GB的延长线相交于点Q，则点Q即为所求；
理由：可以证明∠PCA＝∠QCB，∠CBQ＝∠CAP＝60°，
∵AC＝CB，
∴△ACP≌△BAQ（ASA），
∴∠ACP＝∠BCQ，CP＝CQ，
∴∠PCQ＝∠ACB＝60°，
∴△PCQ是等边三角形．
故答案为：取AC，AB与网格线的交点E，F，连接EF并延长与网格线相交于点G；连接DB与网格线相交于点H，连接HF并延长与网格线相交于点I，连接AI并延长与圆相交于点K，连接CK并延长与GB的延长线相交于点Q，则点Q即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等边三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构造全等三角形解决问题．
三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答．

（1）解不等式①，得 　x≥﹣2　；
（2）解不等式②，得 　x≤1　；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集为 　﹣2≤x≤1　．

【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）解不等式①，得x≥﹣2；
（2）解不等式②，得x≤1；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示如图所示：

（4）原不等式组的解集为﹣2≤x≤1；
故答案为：（1）x≥﹣2；
（2）x≤1；
（4）﹣2≤x≤1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
20．（8分）为培养青少年的劳动意识，某校开展了剪纸、编织、烘焙等丰富多彩的活动，该校为了解参加活动的学生的年龄情况，随机调查了a名参加活动的学生的年龄（单位：岁）．根据统计的结果，绘制出如图的统计图①和图②．

请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填空：a的值为 　40　，图①中m的值为 　15　；
（2）求统计的这组学生年龄数据的平均数、众数和中位数．
【分析】（1）把各条形图对应的学生人数加起来为a的值；根据百分比由100%依次减去各年龄对应的百分比可得m的值；
（2）利用加权平均数，众数，中位数定义得出结果即可．
【解答】解：（1）a＝5+6+13+16＝40；
∵m%＝100%﹣12.5%﹣40%﹣32.5%＝15%，
∴m＝15．
故答案为：40；15；
（2）平均数为＝；
∵15岁的学生最多，
∴众数为15；
∵一共调查了40名学生，12岁的有5人，13岁的6人，
∴中位数为14．
【点评】此题主要是考查了统计的应用，能够熟练掌握条形图的运用，平均数，众数，中位数定义是解题的关键．
21．（10分）在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为D，∠AOC＝60°，E为弦AB所对的优弧上一点．
（1）如图①，求∠AOB和∠CEB的大小；
（2）如图②，CE与AB相交于点F，EF＝EB，过点E作⊙O的切线，与CO的延长线相交于点G，若OA＝3，求EG的长．

【分析】（1）由垂径定理得到＝，因此∠BOC＝∠AOC＝60°，得到∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝120°，由圆周角定理即可求出∠CEB的度数；
（2）由垂径定理，圆周角定理求出∠CEB的度数，得到∠C的度数，由三角形外角的性质求出∠EOG的度数，由锐角的正切定义即可求出EG的长．
【解答】解：（1）∵半径OC垂直于弦AB，
∴＝，
∴∠BOC＝∠AOC＝60°，
∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝120°，
∵∠CEB＝∠BOC，
∴∠CEB＝30°；
（2）如图，连接OE，
∵半径OC⊥AB，
∵＝，
∴∠CEB＝∠AOC＝30°，
∵EF＝EB，
∴∠EFB＝∠B＝75°，
∴∠DFC＝∠EFB＝75°，
∠DCF＝90°﹣∠DFC＝15°，
∵OE＝OC，
∴∠C＝∠OEC＝15°，
∴∠EOG＝∠C+∠OEC＝30°，
∵GE切圆于E，
∴∠OEG＝90°，
∴tan∠EOG＝＝，
∵OE＝OA＝3，
∴EG＝．

【点评】本题考查垂径定理，圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解直角三角形，三角形外角的性质，关键是由圆周角定理，等腰三角形的性质求出∠C＝15°，由三角形外的性质求出∠EOG的度数，由锐角的正切定义即可求出EG的长．
22．（10分）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD＝6m，∠DCE＝30°，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°．
（1）求DE的长；
（2）设塔AB的高度为h（单位：m）；
①用含有h的式子表示线段EA的长（结果保留根号）；
②求塔AB的高度（tan27°取0.5，取1.7，结果取整数）．

【分析】（1）根据题意可得：DE⊥EC，然后在Rt△DEC中，利用含30度角的直角三角形的性质，进行计算即可解答；
（2）①根据题意得：BA⊥EA，在Rt△DEC中，利用含30度角的直角三角形的性质求出EC的长，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
②过点D作DF⊥AB，垂足为F，根据题意得：DF＝EA＝（3+h）m，DE＝FA＝3m，则BF＝（h﹣3）m，然后在Rt△BDF中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，从而列出关于h的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：DE⊥EC，
在Rt△DEC中，CD＝6m，∠DCE＝30°，
∴DE＝CD＝3（m），
∴DE的长为3m；
（2）①由题意得：BA⊥EA，
在Rt△DEC中，DE＝3m，∠DCE＝30°，
∴CE＝DE＝3（m），
在Rt△ABC中，AB＝hm，∠BCA＝45°，
∴AC＝＝h（m），
∴AE＝EC+AC＝（3+h）m，
∴线段EA的长为（3+h）m；
②过点D作DF⊥AB，垂足为F，

由题意得：DF＝EA＝（3+h）m，DE＝FA＝3m，
∵AB＝hm，
∴BF＝AB﹣AF＝（h﹣3）m，
在Rt△BDF中，∠BDF＝27°，
∴BF＝DF•tan27°≈0.5（3+h）m，
∴h﹣3＝0.5（3+h），
解得：h＝3+6≈11，
∴AB＝11m，
∴塔AB的高度约为11m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23．（10分）已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离宿舍0.6km，体育场离宿舍1.2km，张强从宿舍出发，先用了10min匀速跑步去体育场，在体育场锻炼了30min，之后匀速步行了10min到文具店买笔，在文具店停留10min后，用了20min匀速散步返回宿舍，下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系．

请根据相关信息，回答下列问题：
（1）①填表：
张强离开宿舍的时间/min
1
10
20
60
张强离宿舍的距离/km

1.2


②填空：张强从体育场到文具店的速度为 　0.06　km/min；
③当50≤x≤80时，请直接写出张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式；
（2）当张强离开体育场15min时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，如果李明的速度为0.06km/min，那么他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可）
【分析】（1）①根据函数的图象计算即可；
②根据速度＝路程÷时间计算即可；
③根据函数图象分段写出函数解析式即可；
（2）设李明从体育场出发x分钟后与张强相遇，结合题意列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）①由图象可知，张强从宿舍到体育场的速度为1.2÷10＝0.12（km/min），
∴当张强离开宿舍1min时，张强离宿舍的距离为0.12×1＝0.12（km）；
当张强离开宿舍20min时，张强离宿舍的距离为1.2km；
当张强离开宿60舍min时，张强离宿舍的距离为0.6km；
张强离开宿舍的时间/min
1
10
20
60
张强离宿舍的距离/km
0.12
1.2
1.2
0.6
故答案为：0.12，1.2；0.6；
②由图象知，张强从体育场到文具店的速度为＝0.06（km/h），
故答案为：0.06；
③当50＜x≤60时，y＝0.6；
张强从文具店到宿舍时的速度为＝0.03（km/h），
∴当60＜x≤80时，y＝2.4﹣0.03x；
综上，y关于x的函数解析式为y＝；
（2）根据题意，当张强离开体育场15min时，张强到达文具店并停留了5min，
设李明从体育场出发x分钟后与张强相遇，
则0.06x＝0.03（x﹣5）+0.6，
解得x＝15，
∴1.2﹣0.06×15＝0.3（km），
∴离宿舍的距离是0.3km．
【点评】本题考查了一次函数的应用，函数图象．解题的关键在于从图象中获取正确的信息并理解图象的含义．
24．（10分）在平面直角坐标系中，O为原点，菱形ABCD的顶点A（，0），B（0，1），D（2，1），矩形EFGH的顶点E（0，），，H（0，）．
（1）填空：如图①，点C的坐标为 　（，2）　，点G的坐标为 　（﹣，）　；
（2）将矩形EFGH沿水平方向向右平移，得到矩形E′FG′H′，点E，F，G，H的对应点分别为E′，F′，G′，H′，设EE′＝t，矩形E′F′G′H′与菱形ABCD重叠部分的面积为S．
①如图②，当边E′F′与AB相交于点M、边G′H′与BC相交于点N，且矩形E′F′G′H′与菱形ABCD重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．

【分析】（1）根据矩形及菱形的性质可进行求解；
（2）①由题意易得EF＝EF'＝，EH＝EH'＝1，然后可得∠ABO＝60°，则有EM＝，进而根据割补法可进行求解面积S；②由①及题意可知当≤t≤时，矩形E'F'G'H'和菱形ABCD重叠部分的面积S是增大的，当＜t≤时，矩形E'F'G'H'和菱形ABCD重叠部分的面积S是减小的，然后根据题意画出图形计算面积的最大值和最小值即可．
【解答】（1）解：四边形EFGH是矩形，且E（0，）．F（﹣，）（0，），
∴EF＝GH＝，EH＝FG＝1，
∴G（﹣，）；
连接AC，BD，交于一点H，如图所示：

∵四边形ABCD是菱形，且A（，0），B（0，1），D（2，1），
AB＝AD＝，AC⊥BD，CM＝AM＝OB＝1，BM﹣MD＝OA＝，
∴AC＝2，
∴C（，2），
故答案为（，2），（﹣，）；
（2）解：①∵点E（0，），点F（﹣，），点H（0，），
∴矩形EFGH中，EF∥x轴，E'H'⊥x轴，EF＝，EH＝1，
∴矩形E'F'G'H'中，E'F'∥x轴，E'H'⊥x轴，E'F'＝，E'H'＝1，
由点A（，0），点B（0，1），得OA＝，OB＝1，
在Rt△ABO中，tan∠ABO＝，得∠ABO＝60°，
在Rt△BME中，由EM＝EB×tan60°，EB＝1﹣＝，得EM＝，
∴S△BME＝EB×EM＝，同理，得S△BNH＝，
∵EE'＝t，得S矩形EE'H'H＝EE'×EH＝t，
又S＝S矩形EE'H'H﹣S△BME﹣S△BNH，
∴S＝t﹣，
当EE'＝EM＝时，则矩形E'F'G'H'和菱形ABCD重叠部分为△BE'H'，
∴t的取值范围是＜t≤，
②由①及题意可知当≤t时，矩形E'F'G'H'和菱形ABCD重叠部分的面积S是增大的，当时，矩E'F'G'H'和菱形ABCD重叠部分的面积S是减小的，
∴当t＝时，矩形E'F'G'H'和菱形ABCD重叠部分如图所示：

此时面积S最大，最大值为S＝1×＝；
当t＝时，矩形E'F'G'H'和菱形ABCD重叠部分如图所示：

由（1）可知B、D之间的水平距离为2，则有点D到G'F'的距离为，
由①可知：∠D＝∠B＝60°，
∴矩形E'F'G'H'和菱形ABCD重叠部分为等边三角形，
∴该等边三角形的边长为2×，
∴此时面积S最小，最小值为，
综上所述：当时，则．
【点评】本题主要考查矩形、菱形的性质及三角函数、图形与坐标，熟练掌握矩形、菱形的性质及三角函数、图形与坐标是解题的关键．
25．（10分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数，c＞1的顶点为P，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，抛物线上的点M的横坐标为m，且，过点M作MN⊥AC，垂足为N．
（1）若b＝﹣2，c＝3．
①求点P和点A的坐标；
②当时，求点M的坐标；
（2）若点A的坐标为（﹣c，0），且MP∥AC，当时，求点M的坐标．
【分析】（1）①利用配方法即可得到顶点P的坐标，令y＝0，解方程即可得到A的坐标．
②过点M作ME⊥x轴于点E，于直线AC交于点F，证得EF＝AE，表示出点M、点E的坐标，进而表示出FM，根据直角三角形的性质列出方程求解即可得到M的坐标．
（2）求出顶点P的坐标和抛物线的对称轴，作辅助线，证明MQ＝QP，根据，列方程求解即可．
【解答】解：（1）①∵b＝﹣2，c＝3，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴P（﹣1，4），
当y＝0时，﹣x2﹣2x+3＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1，
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣3，0）．
答：P点的坐标为（﹣1，4），A点的坐标为（﹣3，0）．
②如图，过点M作ME⊥x轴于点E，于直线AC交于点F，

∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴OA＝OC，
∴在Rt△AOC中，∠OAC＝45°，
∴在Rt△AEF中，EF＝AE，
∵抛物线上的点M的横坐标为m，其中﹣3＜m＜﹣1，
∴M（m，﹣m2﹣2m+3），E（m，0），
∴EF＝AE＝m﹣（﹣3）＝m+3，
∴F（m，m+3），
∴FM＝（﹣m2﹣2m+3）﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，
∴在Rt△FMN中，∠MFN＝45°，
∴，
∴﹣m2﹣3m＝2，
解得m1＝﹣2，m2＝﹣1（舍去），
∴M（﹣2，3）．
答：点M的坐标为（﹣2，3）．
（2）∵点A（﹣c，0）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，其中c＞1，
∴﹣c2﹣bc+c＝0，
得b＝1﹣c，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+（1﹣c）x+c，
∴M（m，﹣m2+（1﹣c）m+c），其中．
∴顶点P的坐标为（），对称轴为直线l：x＝．
如图，过点M作MQ⊥l于点Q，

则，
∵MP∥AC，
∴∠PMQ＝45°，
∴MQ＝QP，
∴，
即（c+2m）2＝1，
解得c1＝﹣2m﹣1，c2＝﹣2m+1（舍去），
同②，过点M作ME⊥x轴于点E，与直线AC交于点F，
则点E（m，0），点F（m，﹣m﹣1），点M（m，m2﹣1），
∴，
∴，
即2m2+m﹣10＝0，
解得（舍去），
∴点M的坐标为（﹣）．
答：点M的坐标为（﹣）．
【点评】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是作辅助线，掌握直角三角形的性质．
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