四川省成都市石室中学2023届高三理科数学二诊复习模拟试卷八（Word版附答案）

这是一份四川省成都市石室中学2023届高三理科数学二诊复习模拟试卷八（Word版附答案），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

成都石室中学高2023届二诊复习题八
一、选择题
1．设集合，，则（    ）.
A． B． C． D．
2．已知是关于的方程的一个根，则复数在复平面内对应的点位于（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知为等比数列，，公比为，则“”是“对任意的正整数n，”的（    ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．如图是近十年来全国城镇人口､乡村人口随年份变化的折线图（数据来自国家统计局）.根据该折线图判断近十年的情况，下列说法错误的是（    ）
A．城镇人口与年份成正相关
B．乡村人口与年份的样本相关系数接近1
C．城镇人口逐年增长量大致相同
D．可预测乡村人口仍呈下降趋势
5．执行如图所示的程序框图，为使输出的数据为31，则判断框中应填入的条件为（      ）

A． B． C． D．
6．某村镇道路上有10盏照明路灯，为了节约用电，需要关闭其中不相邻的3盏，但考虑行人夜间出行安全，两端的路灯不能关闭，则关灯方案的种数有（    ）
A．60 B．35 C．20 D．5
7．设非零向量，满足，，，则在方向上的投影向量为（    ）
A． B． C． D．
8．李明开发的小程序经过t天后，用户人数，其中k为常数.已知小程序发布经过10天后有2000名用户，则用户超过50000名至少经过的天数为（    ）（取）
A．31 B．32 C．33 D．34
9．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，右顶点为B，虚轴的上端点为C，若线段BC与双曲线的渐近线的交点为E，且，则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．
10．月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名．如图所示，某月牙泉模型的边缘都可以看作是圆弧，两段圆弧可以看成是的外接圆和以AB为直径的圆的一部分，若，AB的长约为，则该月牙泉模型的面积约为（    ）
A． B． C． D．
11．图1中，正方体的每条棱与正八面体（八个面均为正三角形）的条棱垂直且互相平分．将该正方体的顶点与正八面体的顶点连结，得到图2的十二面体，该十二面体能独立密铺三维空间．若，则点M到直线的距离等于（    ）
A． B． C． D．
12．已知,若,则的最小值等于(    )
A． B． C． D．

二、填空题
13．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，且过点，则此抛物线的标准方程为______．
14．一个三棱锥的正视图如图①所示，则其侧视图和俯视图编号依次为_______（写出符合要求的一组答案即可）

15．已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且，则__________．
16．在正方体中，点P满足，其中，，则下列结论正确的是______.
①当时，平面；
②当时，与平面所成角的最小值为；
③当时，过点、P、C的平面截正方体所得截面均为四边形；
④满足到直线的距离与到直线的距离相等的点P恰有两个.

三、解答题
17．已知中，内角，，所对的边分别为，，，且满足.
(1)求角的大小；
(2)设是边上的高，且，求面积的最小值.












18．如图，四棱锥中，底面为矩形且垂直于侧面，为的中点，，．
(1)证明：平面；
(2)侧棱上是否存在点E，使得平面与平面夹角的余弦值为，若存在，求的值；若不存在，说明理由．

















19．为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验．研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按分组，绘制频率分布直方图如图所示，实验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只，假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立．

抗体
指标值

合计
小于60
不小于60
有抗体



没有抗体



合计



(1)填写下面的2×2列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关．（单位：只）
(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小自鼠产生抗体．
（i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p；
（ii）以（i）中确定的概率p作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记n个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X．试验后统计数据显示，当X =99时，P（X）取最大值，求参加人体接种试验的人数n．
参考公式：（其中为样本容量）

0.50
0.40
0.25
0.15
0.100
0.050
0.025

0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024














20．已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，其左右顶点分别为为椭圆的短轴端点，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)设为椭圆上异于的任意一点，设直线与直线交于点，过作直线的垂线交椭圆于两点.
（i）设直线与的斜率分别为，证明：为定值，并求出该定值；
（ii）求（为坐标原点）面积的最大值.













21．已知函数．
(1)讨论在上的单调性；
(2)若时，方程有两个不等实根，，求证：．


















22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A为曲线上的动点，点B在线段OA的延长线上，且满足，点B的轨迹为．
(1)求，的极坐标方程；
(2)设点C的极坐标为(2，0)，求△ABC面积的最小值．

参考答案：
1．C
【分析】解对数不等式得集合A，解分式不等式得集合B，然后利用交集的运算求解即可.
【详解】由，得，所以，
或，所以，
即.
故选：C
2．B
【分析】根据一元二次方程的复数根为共轭复数，再结合韦达定理可求得，再根据复数的几何意义即可得解.
【详解】因为是关于的方程的一个根，
所以方程的另外一个根为，
则，
所以，
所以在复平面内对应的点位于第二象限.
故选：B.
3．B
【分析】根据题意，由等比数列的通项公式可得，然后分别验证充分性以及必要性即可得到结果.
【详解】由题意得，，
若，因为的符号不确定，所以无法判断的符号；
反之，若，即，可得，
故“”是“对任意的正整数n，”的必要而不充分条件
故选:B
4．B
【分析】根据折线图可分析城镇人口与年份的关系可判断A，根据相关系数的概念可判断B，根据折线图趋势可判断C,D.
【详解】对于A选项，由折线图可知，城镇人口与年份成正相关，A正确；
对于B选项，因为乡村人口与年份成负线性相关关系，且线性相关性很强，
所以接近B错误；
对于C选项，城镇人口与年份成正相关，且线性相关性很强，
设线性经验回归方程为，
当时，，
故城镇人口逐年增长量大致相同，C正确；
对于D选项，乡村人口与年份成负线性相关关系，
可预测乡村人口仍呈现下降趋势，D正确.
故选:B.
5．A
【分析】根据程序框图循环结构计算得到，结合输出的结果为31，从而确定填入的条件为.
【详解】第一次，；
第二次，;
第三次，;
第四次，.
因为输出,所以循环终止，所以判断框中应填入的条件为.
故选：A
6．C
【分析】利用插空法，即可求解.
【详解】采用插空法，让3盏需要关闭的灯插空，有种方法.
故选：C
7．B
【分析】根据向量模的性质由已知可求得，则按照在方向上的投影向量的定义求解即可.
【详解】因为，，所以，
则，解得，
所以在方向上的投影向量为.
故选：B.
8．D
【分析】依题意知，从而求得，再令，结合对数运算可求得结果.
【详解】∵经过t天后，用户人数，
又∵小程序发布经过10天后有2000名用户，∴，
即，可得，∴①
当用户超过50000名时有，
即，可得，∴②
联立①和②可得，即，故，
∴用户超过50000名至少经过的天数为34天.
故选：D.
9．A
【分析】求出双曲线的渐近线方程，求得CB的方程，解得E的坐标，运用等腰三角形的性质可得，再由两点的距离公式和离心率公式，解方程可得所求值．
【详解】双曲线C： 的渐近线方程为，
由，可得直线CB的方程为，

联立渐近线方程 解得 ，即有E为CB的中点，
由，即平分，可得三角形为等腰三角形，
即有，即 ，
又，可得，
由 可得，解得 .
故选：A．
10．A
【分析】由正弦定理求出外接圆的半径为，得出弓形部分所对的圆心角，求出弓形面积后由半圆面积减去弓形面积即得．
【详解】设外接圆圆心为，如图，半径为，则，，
因此，中弓形面积为，
从而阴影部分面积为．
故选：A．

11．A
【分析】连接PR，MN，相交于点O，设MP与AB相交于点K，MQ与BC相交于点L，连接KL，利用正八面体的性质，由线面垂直的判定定理，证明平面，得到MR为点M到直线的距离，然后在中，利用是的中位线求得正八面体的边长即可.
【详解】解：如图所示：

连接PR，MN，相交于点O，设MP与AB相交于点K，MQ与BC相交于点L，连接KL，
在正八面体中，易知，且，
所以 ，则 ，即 ，
又平面，则，又HG与RN相交，
所以平面，则MR为点M到直线的距离，
在中， ，则 ，
因为是的中位线，
所以，即，
故选：A
12．B
【分析】先变形为，证明，再把问题转化为求直线上的动点到圆上动点距离的最小值.
【详解】由题设，
设,则，
当单调递减，
当单调递增，
所以，即，
综上，，即，所以，
设是直线上的点，是圆上的点，
而目标式为，
由，故.
故选：B.

13．
【分析】根据抛物线的对称轴设出抛物线方程为，将点代入即可求解.
【详解】因为抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，且过点，
所以设抛物线方程为，，将点代入可得：，
所以抛物线方程为：.
故答案为：.
14．②⑤（答案不唯一）
【分析】利用正方体进行分割，根据数形结合，可得答案.
【详解】若侧视图为②，俯视图为⑤，则其对应的几何 体为如图所示的三棱锥.

若侧视图为③，俯视图为④，则其对应的几何体为 如图所示的三棱锥
.
故答案为：②⑤.
15．2023
【分析】由已知条件结合函数的奇偶性的性质可求得函数的周期为4，再根据，得，再结合周期即可求得结果．
【详解】因为为偶函数，所以的图象关于直线对称，得①．
因为为奇函数，所以，得②．
由①，②得，所以．
由，得，得，
故
．
故答案为：2023．
【点睛】根据抽象函数的性质进行相应的代换，解题的关键是推出函数的周期．
16．①②③
【分析】建立空间直角坐标系，当时，利用向量方法证明，结合线面垂直判定定理证明平面，判断①；求时直线的方向向量和平面的法向量，根据向量夹角公式求线面角的正弦值及其最小值，判断②；由可得三点共线，讨论点的位置，确定截面形状，判断③；证明点到直线的距离为，根据抛物线定义确定点的轨迹判断④.
【详解】由已知，
以点为原点，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系，
设，则，，，
所以，，，
因为，所以，
对于选项A，因为，所以，，
所以，
所以，，
所以，
所以，
又，平面，
所以平面；①对，
对于选项B，因为，所以，
，
向量为平面的一个法向量，
所以，
设与平面所成角为，则
，其中，
当或时，取最大值，
，，
所以，所以与平面所成角的最小值为；②对，

对于选项C，由，可得，
，
所以，所以三点共线，
记与的交点为，
当点与点重合时，
因为，所以过点、P、C的平面截正方体所得截面为四边形，
当点与点重合时，
因为，所以过点、P、C的平面截正方体所得截面为四边形，
当点与点重合时，
因为，所以过点、P、C的平面截正方体所得截面为四边形，

当点在线段上时(不含端点)，连接并延长交于点，在线段上取点,使得，
在线段上取点,使得，
则，所以四边形为平行四边形，
所以,
因为，所以四边形为平行四边形，
所以，
所以，所以四点共面，
故过点、P、C的平面截正方体所得截面为四边形，

同理可得，当点在线段上时(不含端点)，过点、P、C的平面截正方体所得截面为下图中的四边形，
即当时，过点、P、C的平面截正方体所得截面均为四边形；③正确；

由已知点为正方形内一点，含边界，连接，过点作，垂足为，则点到直线的距离为，
因为平面，平面，
所以，所以点到直线的距离为，
由已知，
所以点到点的距离与点到直线的距离相等，
故点的轨迹为平面内，以点为焦点，为准线的抛物线的一部分，如下图所示，故④错误.

故答案为：①②③.
【点睛】本题为考查线面垂直的判定，直线与平面的夹角，正方体的截面和空间图形中的轨迹问题，是一道综合程度较高的试题，需要学生具有扎实的基础知识.
17．(1)
(2)

【分析】（1）利用三角恒等变换的知识化简已知条件，从而求得的大小.
（2）利用余弦定理、基本不等式求得的最小值，进而求得面积的最小值.
【详解】（1）法一：左边，
右边，
由题意得
，即，
又因为，所以.
法二：左边，
右边，
由题意得，
又因为，所以.
（2）由，
由余弦定理得，
，
，当且仅当时取“等号”，
而，故
18．(1)见详解
(2)侧棱上存在点，或

【分析】（1）利用相似三角形和勾股定理证出，根据平面与平面垂直的性质和直线与平面垂直的性质，证得，根据直线和平面垂直的判定定理，证出平面；
（2）根据平面与平面垂直的性质以及为等边三角形，建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角与平面与平面的夹角公式及关系，求出存在点，得出或.
【详解】（1）证明：设交于点，
底面为矩形，在中，，
为的中点，，
在中，，
，，，，，
，，，即,
∵，为等边三角形，为的中点，，
∵平面平面平面SAO，平面平面=，，
平面，
平面，，即，
又，，平面，平面.
（2）设，，
底面为矩形，∴，
∵平面平面，平面平面=，，
平面.
以坐标原点，过点作平行于的直线为轴，以和所在直线分别为轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系；

∵，为等边三角形，
为的中点，
，，
,,,,，
,，，；
,
，
设平面的法向量为，
，即，令，
设平面的法向量为，
由可得，
令，，
,
平面与平面夹角的余弦值为，
，
整理得，或，均符合，
或，
侧棱上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，
或.
19．(1)表格见解析，可以认为
(2)（i）；（ii）109或110．

【分析】(1)根据独立性检验的方法求解即可；
(2)根据二项分布的概率公式列出不等式即可求解.
【详解】（1）由频率分布直方图，知200只小白鼠按指标值分布为：
在内有（只）；
在内有（只）；
在内有（只）；
在内有（只），
在内有（只）．
由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；
而指标值小于60的小白鼠共有只，
所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，
同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，
故列联表如下：单位：只
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体
50
110
160
没有抗体
20
20
40
合计
70
130
200

零假设为:注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联．
根据列联表中数据，得，
根据的独立性检验，推断不成立，
即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，
此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）（i）令事件A=“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，
事件B=“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体’’，
事件C=“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”，
记事件A，B，C发生的概率分别为，
则，，
，
所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率，
（ii）由题意，知随机变量，
，
因为最大，
所以，
解得
是整数，所以或，
接受接种试验的人数为109或110．
20．(1)
(2)（i）证明见解析，定值为（ii）

【分析】（1）列出关于的方程组，解之可得椭圆方程；
（2）（i）设，分别求出，与的积即得证；
（ii）直线，得，得出直线方程后可得直线过定点，求出，由定点重新设出其方程为，代入椭圆方程后由韦达定理得，然后由基本不等式得面积的最大值．
【详解】（1）由题意得，
由，解得，即椭圆的方程为.
（2）（i）设，则，

又

故为定值为
（ii）直线，此时，此时直线，即过定点
不妨设直线代入，
得.


当且仅当，即取等号.
即当时，
综上可得面积的最大值为.
【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线相交中的最值问题处理方法：
（1）设直线方程为（或），设交点坐标；
（2）联立直线方程与圆锥曲线方程消元得一元二次方程（判别式确定直线与圆锥曲线相交得参数范围），由韦达定理得（或）；
（3）用坐标表示出欲求最值的量，代入韦达定理的结论后得函数式，利用不等式的知识或函数的知识求得最值．
21．(1)答案见解析
(2)证明见解析

【分析】（1）利用导数，分类讨论函数在区间内的单调性；
（2）令，原不等式即证，通过构造函数法，利用导数通过单调性证明.
【详解】（1）由题意得．
因为，所以．
当时，，，所以在上单调递减．
当时，令，则．
①若，则，当时，，所以在上单调递增；
②若，则，当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增．
综上，
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）证明：方程，即，
因为，则，
令，，所以函数在上单调递增，
因为方程有两个实根，，令，，则关于t的方程也有两个实根，，且，
要证，即证，即证，即证，
由已知，
所以，
整理可得，
不妨设，
即证，
即证，
令，即证，其中，
构造函数，，
所以函数在上单调递增，当时，，故原不等式成立．
【点睛】方法点睛：
1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
22．（1）的极坐标方程为ρ=2sinθ；的极坐标方程为ρsinθ=3．（2）△ABC面积的最小值为1．
【分析】(1)根据公式，把参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间进行相互转换．
(2) 利用（1）的结论，结合三角形的面积公式、三角函数的值域即可求出结果．
【详解】(1) 曲线的参数方程为(为参数)
转换为直角坐标方程为：x2+（y-1）2=1．
展开后得x2+y 2-2y=0
根据ρ2= x2+y 2， y=ρsinθ
代入化简得的极坐标方程为ρ=2sinθ
设点B的极坐标方程为（ρ，θ），点A的极坐标为（ρ0，θ0），
则|OB|=ρ，|OA|=ρ0，
由于满足|OA|•|OB|=6，
则，整理得的极坐标方程为ρsinθ=3
(2) 点C的极坐标为(2，0)，则OC=2

所以当时取得最小值为1
【点睛】本题考查了参数方程、直角坐标方程、极坐标方程间的转换，三角形面积公式的综合应用，考查对知识的运用和计算能力，属于中档题．