专题42 数列求和-备战2024年高考艺术生40天突破数学90分讲义

专题42 数列求和  

【知识点总结】

求数列前项和的常见方法如下：

（1）公式法：对于等差、等比数列，直接利用前项和公式.

（2）错位相减法：数列的通项公式为或的形式，其中为等差数列，为等比数列.

（3）分组求和法：数列的通项公式为的形式，其中和满足不同的求和公式.常见于为等差数列，为等比数列或者与分别是数列的奇数项和偶数项，并满足不同的规律.

（4）裂项相消法：将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项.

（5）倒序相加：应用于等差数列或转化为等差数列的数列求和.

【典型例题】

例1．（2023春·安徽蚌埠·高二蚌埠二中校考阶段练习）已知，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得______．

【答案】2022

【解析】由，

令，

则，

两式相加得：，

∴．

故答案为：2022

例2．（2023·四川凉山·二模）已知对于任意函数在点处切线斜率为，正项等比数列的公比，且，又与的等比中项为2．

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前n项和．

【解析】（1）由题意，

∴；

由题可得，

所以或（舍）

所以，；

（2）由题可知，

所以，

，

所以，

，即.

例3．（2023·四川巴中·统考一模）已知数列满足，．

(1)证明：数列是等比数列；

(2)设，求数列的前n项和．

【解析】（1）由等比数列求解，进而根据错位相减法即可求和.

【详解】

（1）由得：

由知：

∴，∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列

（2）方法一

由（1）得：，∴

∴  ①

  ②

②-①得：

∴．

方法二

由（1）得：，∴

∴  ①

  ②

①-②得：

∴．

例4．（2023春·安徽·高二安徽省太和中学校联考阶段练习）已知数列中，，.

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前项和.

【解析】（1）由，得，

所以，

累乘得，又，所以时，，

当时，，符合上式，

所以.

（2）由（1），得，

所以.

例5．（2023春·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考阶段练习）已知是等差数列的前n项和，，．

(1)求数列的通项；

(2)设，求数列的前n项和.

【解析】（1）由，则，故，

所以.

（2）由（1）知：，

.

例6．（2023·上海黄浦·统考一模）已知是等差数列，是等比数列，且，，，.

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前2n项和.

【解析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，

则，，，

又，可得，

所以.

（2）由（1）可得，

故，以它为通项的数列是以-1为首项、公比为-3的等比数列，

所以，

所以数列的前2n项和为：.

即: 数列的前2n项和为.

例7．（2023春·上海杨浦·高一上海市杨浦高级中学校考开学考试）已知数列满足：.

(1)求证：数列是等比数列；

(2)求数列的通项公式及其前项和的表达式.

【解析】（1）由题意可知，

所以数列是以为首项，公比为的等比数列.

（2）由（1）可知，，即

前项和.

例8．（2023春·河北承德·高三兴隆县第一中学校考阶段练习）已知等差数列的公差为2，且成等比数列，

(1)求的通项公式；

(2)记，若数列的前项和.

【解析】（1）由题知

即解得，

所以.

（2）

.

例9．（2023春·山东临沂·高二统考期末）已知数列的前项和为，且满足.

(1)证明：数列为等比数列；

(2)求的通项公式及.

【解析】（1）依题意，，

则，

所以数列是首项为，公比为的等比数列.

（2）由（1）得，所以，

所以

.

例10．（2023·山西·校联考模拟预测）已知数列满足，，且，，成等差数列.

(1)求的通项公式；

(2)若，求数列的前项和.

【解析】（1）∵，∴.

又∵，∴，即，

∴数列是公比为2的等比数列.又∵，，成等差数列，

∴，即，解得.∴；

（2）由（1）可知，∴

∴

.

例11．（2023·全国·模拟预测）在数列中，，．

(1)求的通项公式；

(2)求数列的前项和．

【解析】（1）因为在数列中，，，

所以，，

所以，等式两边同加上得，

因为，

所以，数列是首项为，公比为的等比数列，

所以，．

（2）因为，即

所以，为单调递减数列，

因为，，

所以，时，，时，，

记的前项和为，则，

所以，当时，，；

当时，，，①

，②

所以，①②得：，即，

综上，

【技能提升训练】

一、单选题

1．（2023·内蒙古通辽·校考二模）若数列的首项为且满足数列的前4项和=（   ）

A．33 B．45 C．48 D．78

【答案】D

【解析】由，得，

故是首项为，公比为2的等比数列，

故，则，

所以数列的前4项和为.

故选：D.

2．（2023春·广东深圳·高二校考阶段练习）已知正项数列满足，若，则数列的前项的和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，当时，，

当时，，当时，也满足，

∴ 数列的通项公式为，

，

故选：C

3．（2023秋·江苏镇江·高二江苏省扬中高级中学校考期末）在数列中，已知且，则其前项和的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】依题意得

．

故选：B．

4．（2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前项的和为，则下列结论不正确的是（    ）

A． B．

C． D．数列的前和为

【答案】C

【解析】对于A，设等差数列 的公差为 , 前 项和为 ,

由 ,

可得 ,

解得 2 ,

则 ,

故选项A正确;

由得，

, 11,

，

故选项B正确；

=n=,

故选项C错误；

由 可得 ,

即数列 的前 项 和 为 .故选项D正确.

故选：C.

二、填空题

5．（2023春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试）对于正整数，将其各位数字之和记为，如，，则______.

【答案】

【解析】方法一：由定义易知，

，

由此可知，，

进而有，，

进而有，，

而，

故.

方法二：考虑每一位上的数字出现次数，

千位数字仅有1和2，之和为：，

百位数字之和为：，

十位数字之和为；，

个位数字之和为：，

综上可知，.

故答案为：.

6．（2023·广西·校联考模拟预测）数列的前10项和为__________.

【答案】

【解析】，故.

故答案为：.

7．（2023·全国·高三专题练习）已知正整数n满足：则n＝______

【答案】6

【解析】依题意，

，

解得.

故答案为：6.

8．（2023秋·江苏常州·高二常州市第一中学校考期末）已知函数满足，若数列满足，则数列的前16项的和为______.

【答案】

【解析】，①

，②

两式相加，又因为，

故，所以，

所以的前16项的和为

故答案为：

三、解答题

9．（2023春·安徽·高二安徽省太和中学校联考阶段练习）已知各项均为正数的数列满足，.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和.

【解析】（1）由知数列是以为公差的等差数列.

又，所以，即

解得或（舍去），所以.

（2）因为，

所以①，

②，

①②得：

，

所以，.

10．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）数列的前项和为，且.

(1)求的通项公式；

(2)若，的前项和为，求的值域.

【解析】（1）因为，所以，即  

当时，，则，

整理得（），

则数列是以1为首项，3为公比的等比数列，故，

也满足  所以.

（2）由（1）得

所以

；

显然

又因为，单调递增（），所以，

所以的值域是.

11．（2023·全国·模拟预测）已知等比数列满足，．

(1)求的通项公式；

(2)设，求的前项和．

【解析】（1）∵为等比数列，则，

且，可得，

设数列的公比为，则．

∵，则，可得，

∴．

（2）由（1）知，则，，

∴，①

，②

得

，

∴．

12．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，求的前20项和.

【解析】由题意知数列满足，可得；

所以

所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；

同理由知

数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．

从而由等差数列前项和公式可得数列的前20项和为：

13．（2023·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，，．

(1)求；

(2)若是与的等比中项，且，求数列的前项和．

【解析】（1）解法一：当为偶数时，设，

 ，

，

所以．

当为奇数时，设，

则，

，

所以．

综上，．

解法二： 因为，，

所以，得，

当时，，

所以，

所以数列的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，

偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列，

所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，

所以，所以．

（2）由题意可得，，

因为，所以，

所以，

所以．

14．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）记数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n，有2Sn＝nan，且a2＝3.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)对所有正整数m，若ak＜2m＜ak＋1，则在ak和ak＋1两项中插入2m，由此得到一个新数列{bn}，求{bn}的前40项和.

【解析】（1）由，则，两式相减得：，

整理得：，即时，，

所以时， ，

又时，，得，也满足上式.

故.

（2）由.所以，

又，所以前40项中有34项来自.

故

.

15．（2023春·河北唐山·高三开滦第一中学校考阶段练习）已知为等差数列的前n项和，，．

(1)求的通项公式；

(2)若，的前n项和为，证明：．

【解析】（1）由设数列的公差为，则

解得，，

所以是首项为3，公差为2的等差数列，

所以；

（2）由，可得，

所以

,

又，故.

16．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知正项数列中，．

(1)求的通项公式；

(2)若，求的前n项和．

【解析】（1）当时，，

解得，

由当时，，

得当时，，

两式相减得，即，

又，所以，

又适合上式，

所以数列是以为首项，为公差的等差数列，

所以；

（2），

则，

，

两式相减得

，

所以.

17．（2023·全国·校联考模拟预测）在数列中，，点在直线上.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和.

【解析】（1）依题意，，即，因此数列是公差为3的等差数列，则，

所以数列的通项公式是.

（2）由（1）得，

则，

于是，

两式相减得，

所以.

18．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）设，向量，，．

(1)令，求证：数列为等差数列；

(2)求证：．

【解析】（1）由题意可得：，

则，可得，

故数列是以首项，公差的等差数列.

（2）由（1）可得：，

则，

∵，故.

19．（2023·山西·统考模拟预测）已知数列是正项等比数列，且，.

(1)求的通项公式；

(2)从下面两个条件中选择一个作为已知条件，求数列的前项和.

①；②.

【解析】（1）由等比数列的性质可得，

由题意可得，解得，所以，等比数列的公比为，

所以，.

（2）若选①，.

所以，，①

则，②

①②得

，

因此，；

若选②，，

所以，.

20．（2023·云南昆明·统考一模）已知数列的前项和为，，且满足

(1)设，证明：是等比数列

(2)设，数列的前项和为，证明：

【解析】（1）由题设，，则，

所以，即，而，

故是首项与公比都为的等比数列.

（2）由（1），即，

当时，，

显然满足上式，

所以，则，

则，又时，

所以且，故.

21．（2023·广东湛江·统考一模）已知，为数列的前n项和，．

(1)证明：数列为等比数列；

(2)设数列的前n项和为，证明：．

【解析】（1），，．

由，得，

，

所以，故，

所以数列是以6为首项，2为公比的等比数列．

（2），

故，

所以

．

22．（2023·贵州黔东南·统考一模）已知数列满足．

(1)求的通项公式；

(2)已知求数列的前20项和．

【解析】（1）当时，可得，

当时，，

，

上述两式作差可得，

因为满足，所以的通项公式为.

（2）因为，

所以，

.

所以数列的前20项和为.

23．（2023·山东泰安·统考一模）已知等差数列是递增数列，为数列的前n项和，，，，成等比数列.

(1)求；

(2)求.

【解析】（1）设等差数列的公差为d，，

，即

整理得，

解得，或（舍）

所以

故，

（2）由（1）知，，所以，

所以，

则，

.

24．（2023·河南郑州·统考一模）已知数列满足．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列前项和．

【解析】（1）由题意

当时，；

当时，

两式相减得，

所以，当时也成立．

所以数列的通项公式.

（2）根据题意，得

所以

所以

25．（2023·广西·统考模拟预测）记为等比数列的前项和.已知.

(1)求；

(2)设求数列的前项和.

【解析】（1）设等比数列的公比为.由题意，可知

，解得：，

.

（2）由题设及（1）可知：

当为奇数时，，

当为偶数时，，

故，

26．（2023·山东潍坊·统考一模）已知数列为等比数列，其前项和为，且满足.

(1)求的值及数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

【解析】（1）因为，所以时，，所以.

又由数列为等比数列，所以.又因为，所以，

综上.

（2）由（1）知，

当时，，

当时，

所以.

27．（2023·河北石家庄·统考一模）已知等差数列的前n项和记为（），满足．

(1)若数列为单调递减数列，求的取值范围；

(2)若，在数列的第n项与第项之间插入首项为1，公比为2的等比数列的前n项，形成新数列，记数列的前n项和为，求．

【解析】（1）设等差数列的公差为，由于，

所以，解得，

所以，

若数列为单调递减数列，则对于恒成立，

所以在上恒成立，

则，所以，又数列为递增数列，所以，即，

故的取值范围为；

（2）若，则，

根据题意数列为：

第一组为：1，；

第二组为：，，；

第三组为：，，，；

……

第组为：，，，，…，；

则前组一共有项，当时，项数为.

故相当于是前组的和再加上这五项，即：

设，则可看成是数列的前项和

所以.

28．（2023·山西·校联考模拟预测）已知数列满足，，且，，成等差数列.

(1)求的通项公式；

(2)若，求数列的前项和.

【解析】（1）∵，∴.

又∵，∴，即，

∴数列是公比为2的等比数列.又∵，，成等差数列，

∴，即，解得.∴；

（2）由（1）可知，∴

∴

.