2022-2023学年湖南省永州市新田县七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省永州市新田县七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列方程组是二元一次方程组的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  若单项式与是同类项，则，的值分别为(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

5.  多项式的公因式是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如果，则表示的式子为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  九章算术中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三；问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出钱，还差钱；若每人出钱，多余钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为人，羊价为线，根据题意，可列方程组为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  计算：(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知、满足等式，，则、的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  根据，，，的规律，则的末位数字是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

11.  写出一个以为解的二元一次方程组______答案不唯一

12.  计算： ______ ；
______ ．

13.  若能用完全平方公式进行因式分解，则常数的值是______．

14.  已知方程组，则的值是______ ．

15.  若，则          ，          ．

16.  已知，，则 ______ ．

17.  已知：，则的值为______ ．

18.  已知，则代数式的值为______．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

19.  因式分解：
．
．

四、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
解方程组：
；
．

21.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

22.  本小题分
已知关于、的方程组和的解相同．
求这个相同的解；
求的值．

23.  本小题分
已知的计算结果中不含和项
求、的值；
当、取第小题的值时，化简并求的值．

24.  本小题分
某中学拟组织七年级师生去张家界森林公园春游．下面是李老师和小芳、小明同学有关租车问题的对话：
李老师：“客运公司有座和座两种型号的客车可供租用，座客车每辆每天的租金比座的贵元．”
小芳：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了辆座和辆座的客车到张家界森林公园春游，一天的租金共计元．”
小明：“我们七年级师生共人．”
根据以上对话，解答下列问题：
客运公司座和座的客车每辆每天的租金分别是多少元？
七年级师生到该公司租车一天，如何才能保证每辆车恰好坐满又能使租金合算？

25.  本小题分
如图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分为四块完成相同的小长方形，然后按照图的形状拼成一个正方形．

观察图，用两种方法计算阴影部分的面积，可以得到一个等式，请写出这个等式______ ．
根据中的结论，解决问题：若，，则的值为______ ．
如图，点是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积．

26.  本小题分
配方法是数学中重要的一种方法它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法这种方法常被用到代数式的变形以及解决代数式最大、最小值等问题中．
定义：若一个整数能表示成为整数的形式，则称这个数为“完美数”，例如：是“完美数”，理由：因为，所以是“完美数”．
解决问题：
已知、、三个数中，“完美数”是______ ．
请将表示成“完美数”的形式，并求出其最小值．
试问当为何值时，是整数，是常数为“完美数”，并说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据合并同类项，幂的乘方，单项式乘以单项式，积的乘方运算法则计算即可．
本题考查合并同类项，幂的乘方，单项式乘以单项式，积的乘方，正确计算是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：此方程含有个未知数，此选项不符合题意；
B.第个方程未知数的最高次数是，此选项不符合题意；
C.第一个方程是分式方程，此选项不符合题意；
D.此方程符合二元一次方程组的定义，此选项符合题意；
故选：．
根据二元一次方程组的定义求解即可．由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．
本题主要考查二元一次方程组的定义，二元一次方程组也满足三个条件：方程组中的两个方程都是整式方程．方程组中共含有两个未知数．每个方程都是一次方程．
 

3.【答案】 

【解析】解：、符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项符合题意；
B、从左到右的变形不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、从左到右的变形不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、从左到右的变形不是因式分解，故本选项不符合题意．
故选：．
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
 

4.【答案】 

【解析】解：单项式与是同类项，
，
解得，．
故选：．
根据同类项定义得到，求解即可．
此题考查了同类项定义，解二元一次方程组，正确理解同类项定义得到方程组是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：多项式的公因式是，
故选：．
根据多项式的公因式的确定方法，即可求解．
本题考查了公因式的定义．确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：定系数，即确定各项系数的最大公约数；定字母，即确定各项的相同字母因式或相同多项式因式；定指数，即各项相同字母因式或相同多项式因式的指数的最低次幂．
 

6.【答案】 

【解析】解：对因式分解，可得，
，
，
即，
表示的式子为．
故选：．
根据平方差公式可得，再结合已知条件即可求解．
本题主要考查了平方差公式，平方差公式：，属于基础题型．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
根据“若每人出钱，还差钱；若每人出钱，多余钱”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【解答】
解：依题意，得：．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：




．
故选：．
利用幂的乘方法则变形，再利用积的乘方法则逐步计算即可．
本题考查了幂的乘方和积的乘方，有理数的乘方，有理数的乘法等知识点，能正确运用以及进行计算是解此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
把与代入中，判断差的正负即可得到大小关系．
此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题中的规律可知，，
将代入得：，
则，
因为，，，，，，
所以的末位数字是按，，，为一个循环的，
因为，
所以的末位数字与的末位数字相同，即为．
故选：．
由题意可发现规律，再将代入进行计算可得，然后根据的末位数字的规律即可解答．
本题主要考查了多项式乘法相关的规律、数字类规律探索等知识点，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：先围绕列一组算式，
如，，
然后用，代换，得等．
答案不唯一，符合题意即可．
根据方程组的解的定义，应该满足所写方程组的每一个方程．因此，可以围绕列一组算式，然后用，代换即可．
本题是开放题，注意方程组的解的定义．
 

12.【答案】   

【解析】解：

，
，
故答案为：，．
根据积的乘方计算法则求解即可；
根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可．
本题主要考查了积的乘方和单项式乘以单项式，正确计算是解题的关键．
 

13.【答案】或 

【解析】解：由题意得：
，
，
，
或，
故答案为：或．
根据完全平方公式，进行计算即可解答．
本题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
得：，
；
故答案为：．
根据加减消元可进行求解．
本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：，
，
，，
解得，．
故答案是，．
把已知等式中的右边，利用多项式乘多项式的法则展开，合并，再利用等式的性质可得，，解即可．
本题考查了多项式乘多项式．解题的关键是灵活掌握多项式乘多项式的法则．
 

16.【答案】 

【解析】解：，，




，
故答案为：．
将式子变形为，再代入计算即可．
本题考查同底数幂的逆运算，积的乘方，幂的乘方，正确变形是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：，



，
故答案为：．
将多项式因式分解，代入计算即可．
此题考查了因式分解求值，正确理解多项式的特点将其因式分解是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：，
，
原式




．
故答案为：．
根据条件得到，整体代入代数式中即可求得代数式的值．
本题考查了因式分解的应用，把整体代入到代数式中是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式；
原式

． 

【解析】本题考查了整式的因式分解，掌握提取公因式法和公式法是解决本题的关键．
直接运用完全平方公式因式分解；
先提取公因式，再套用平方差公式分解即可．
 

20.【答案】解：将式代入式中得：
，
解得，
将代入式中得，
原方程组的解为；
得：，
，
解得，
将代入中得，
解得，
原方程组的解为． 

【解析】利用代入消元法解方程组；
利用加减消元法解方程组．
此题考查了解二元一次方程组，正确掌握二元一次方程组的解法：代入消元法和加减消元法是解题的关键．
 

21.【答案】解：原式

当时，原式
． 

【解析】原式中括号中第一项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，去括号合并后约分得到最简结果，将与的值代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算化简求值，涉及的知识有：完全平方公式，平方差公式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
 

22.【答案】解：关于，的二元一次方程组与方程组的解相同，
可列方程组，
解得：，
这个相同的解为：；
由可得：关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解，
可得方程组，
解得，
，
答：的值为． 

【解析】根据两个方程组的解相同，得到方程组，求解即可；
由方程组的解是，可得关于、的方程组，求解即可．
此题考查了解二元一次方程组，正确掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
 

23.【答案】解：

，
计算结果中不含和项，
，
解得：，
的值为，的值为；


，
当，时，原式． 

【解析】先计算多项式乘多项式，再根据计算结果中不含和项可得一个关于，的二元一次方程组，利用消元法解方程组即可解答；
先计算多项式乘多项式，再计算整式的加减法，然后将，的值代入计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题关键．
 

24.【答案】解：设客运公司座客车每辆每天的租金是元，座的客车每辆每天的租金是元，
依题意得：，
解得：．
答：客运公司座客车每辆每天的租金是元，座的客车每辆每天的租金是元．
设租用座的客车辆，座的客车辆，
依题意得：，
解得：，
又，均为自然数，
．
答：应该租用座客车辆，座客车辆，才能保证每辆车恰好坐满又能使租金合算． 

【解析】设客运公司座客车每辆每天的租金是元，座的客车每辆每天的租金是元，根据“座客车每辆每天的租金比座的贵元，且租用辆座和辆座的客车一天的租金共计元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设租用座的客车辆，座的客车辆，根据租用的客车正好乘坐人，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为自然数，即可得出租车方案．
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出二元一次方程．
 

25.【答案】答案不唯一   

【解析】解：如图，大正方形的边长为，阴影小正方形的边长为，
则大正方形的面积为，阴影小正方形的面积为，又每个小长方形的面积为，
则有，
故答案为：；
，
又，，
，
故答案为：；
设正方形的边长为，正方形的边长为，则
，两正方形的面积和，
，
，
，
．
阴影部分的面积为．
根据正方形的面积公式和长方形的面积公式，结合图形得到各部分面积之间的关系即可求解；
由中结论进行计算即可；
设正方形的边长为，正方形的边长为，可得到，，利用完全平方公式求得即可求解．
本题考查完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的结构特征以及图形中各面积之间的关系是解答的关键．
 

26.【答案】和 

【解析】解：，，
和是“完美数”，
故答案为：和；
，
，
又，
，
的最小值为；
当时，是“完美数”，
理由如下：

，
，是整数，
，也是整数，
是一个“完美数”．
根据“完美数”的定义判断即可；
配方后根据非负数的性质可得，即可得出答案；
利用完全平方公式把原式变形，根据“完美数”的定义证明结论．
本题考查的是完全平方公式，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．