2024届高考第一轮复习：理科数学2010-2018高考真题分类训练之专题四 三角函数与解三角形第十二讲 解三角形

专题四  三角函数与解三角形

第十二讲 解三角形

2019年

1.(2019全国Ⅰ理17)的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．

（1）求A；

（2）若，求sinC．

2.（2019全国Ⅱ理15）的内角的对边分别为.若，则的面积为__________.

3.（2019全国Ⅲ理18）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．

（1）求B；

（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．

4.（2019江苏12）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是     .

5.（2019江苏15）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．

（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；

（2）若，求的值．

6.（2019浙江14）在中，，，，点在线段上，若，则____，________.

7.（2019北京15）在中，， ， ．

（Ⅰ）求b,c的值；

（Ⅱ）求 的值.

8.（2019天津理15）在中，内角所对的边分别为.已知，.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值.

2010-2018年

一、选择题

1．(2018全国卷Ⅱ)在中，，，，则

A．       B．        C．        D．

2．(2018全国卷Ⅲ)的内角，，的对边分别为，，，若的面积为，则

A．   B．   C．   D．

3．（2017山东）在中，角，，的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是

A．       B．        C．          D．

4．（2016年天津）在中，若，=3， ，则AC=

A．1    B．2      C．3    D．4

5．（2016年全国III）在中，，BC边上的高等于,则

A．           B．           C．         D．

6．(2014新课标Ⅱ)钝角三角形的面积是，，，则=

A．5      B．     C．2       D．1

7．(2014重庆)已知的内角，，满足=

，面积满足，记，，分别为，，所对的边，则下列不等式一定成立的是

A．  B．  C．  D．

8．（2014江西）在中，，，分别为内角，，所对的边长，若

，，则的面积是

A．3     B．     C．     D．

9．（2014四川）如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度等于

A．   B．   C．  D．

10．（2013新课标Ⅰ）已知锐角的内角的对边分别为，

，，，则

A．       B．      C．      D．

11．（2013辽宁）在，内角所对的边长分别为．若

，且，则=

A．      B．       C．     D．

12．（2013天津）在△ABC中，则=

A．     B．     C．     D．

13． （2013陕西）设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则△ABC的形状为

A．锐角三角形    B．直角三角形    C．钝角三角形 D．不确定

14．（2012广东）在中，若，则

 A．           B．         C．     D．

15．（2011辽宁）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

，则

A．       B．       C．       D．

16．（2011天津）如图，在△中，是边上的点，且，，则的值为

 A．　　 B．     C．  　　 D．

16．（2010湖南）在中，角所对的边长分别为．若，，则

A．   B．   C．    D．与的大小关系不能确定

二、填空题

18．(2018江苏)在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为     ．

19．(2018浙江)在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则=___________，=___________．

20．（2017浙江）已知,,． 点为延长线上一点,,连结,则的面积是___________，=__________．

21．（2017浙江）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率，理论上能把的值计算到任意精度。祖冲之继承并发展了“割圆术”，将的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积，=     ．

22．（2016年全国II）的内角的对边分别为，若，

，，则        ．

23．(2015广东)设的内角，，的对边分别为，，．若，

，，则          ．

24．（2015福建）若锐角的面积为，且，，则等于   ．

25．（2015新课标Ⅰ）在平面四边形中，，，则的取值范围是_______．

26．（2015北京）在中，，，，则    ．

27．（2015天津）在中，内角所对的边分别为，已知的面积为

，，，则的值为            ．

28．（2015湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度        m．

29．（2014新课标Ⅰ）如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得．已知山高，则山高____．

30．（2014广东）在中，角所对应的边分别为．已知

，则          ．

31．（2013安徽）设的内角所对边的长分别为．若，则

则角_____.

32．（2013福建）如图中，已知点D在BC边上，ADAC，，

，，则的长为_______________．

33．（2012安徽）设的内角所对的边为；则下列命题正确的是   ．

①若；则        ②若；则

③若；则    ④若；则

⑤若；则

34．（2012北京）在中，若，则=        ．

35．（2011新课标）中，，则AB+2BC的最大值为____．

36．（2011新课标）中，，则的面积为_ __．

37．（2010江苏）在锐角三角形，，，分别为内角，，所对的边长，

，则=_______．

38．（2010山东）在中，角所对的边分别为，若，

，则角的大小为            ．

三、解答题

39．（2018北京）在中，，，．
(1)求；

(2)求边上的高．

40．（2018全国卷Ⅰ）在平面四边形中，，，，．

(1)求；

(2)若，求．

41．（2018天津）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知．

(1)求角的大小；

(2)设，，求和的值．

42．（2017新课标Ⅰ）的内角，，的对边分别为，，，已知的面积为

(1)求；

(2)若，，求的周长．

43．（2017新课标Ⅲ）的内角，，的对边分别为，，，

已知，，．

(1)求；

(2)设为边上一点，且，求的面积．

44．（2017新课标Ⅱ）的内角，，的对边分别为，，，

已知．

(1)求

(2)若，面积为2，求．

45．（2017天津）在中，内角所对的边分别为．已知，，，．

（Ⅰ）求和的值；

（Ⅱ）求的值．

46．（2017北京）在中，=60°，．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，求的面积．

47．（2016年山东）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求的最小值．

48．（2016年四川）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，

且．

（I）证明：；

（II）若，求.

49．（2016年全国I）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

（I）求C；

（II）若的面积为，求的周长．

50．（2015新课标2）∆ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，∆ABD面积是∆ADC面积的2倍．

(Ⅰ)求 ；

(Ⅱ) 若AD=1，DC=，求BD和AC的长．

51．（2015湖南）设的内角的对边分别为，，且为钝角．

（1）证明：；

（2）求的取值范围．

52．（2014山东）中，，，分别为内角，，所对的边长．已知

．

（Ｉ）求的值；

（II）求的面积．

53．（2014安徽）设的内角所对边的长分别是，且，，．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值．

54．（2013新课标Ⅰ）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°

（Ⅰ）若PB=，求PA；

（Ⅱ）若∠APB＝150°，求tan∠PBA．

55．（2013新课标Ⅱ）在内角的对边分别为，已知．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若，求△面积的最大值．

56．（2012安徽）设△的内角所对边的长分别为，且有

．

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ) 若，，为的中点，求的长．

57．（2012新课标）已知、、分别为三个内角、、的对边，

．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若，的面积为，求、．

58．（2011山东）在△中，，，分别为内角，，所对的边长．已知

．

   （I）求的值；

   （II）若，，的面积．

59．（2011安徽）在中，，，分别为内角，，所对的边长，a=，

b=，，求边BC上的高．

60．（2010陕西）如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？

61．（2010江苏）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度=4m，仰角∠ABE=，∠ADE=．

（1）该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；

（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问为多少时，最大？