黑龙江省哈尔滨市第九中学2023-2024学年高三数学上学期开学考试试题（Word版附解析）

哈九中2024届高三学年上学期开学考试数学试题

（考试时间：120分钟  满分：150分）

Ⅰ卷

一、单选题：本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设全集，集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据集合的交并补运算即可结合选项逐一求解.

【详解】由题意可得,,

或，

对于A, 或，故A错误，

对于B，，故B正确，

对于C，，故C错误，

对于D，，故D错误，

故选：B

2. 已知正实数m，n满足，则的最大值是（    ）

A. 2 B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用基本不等式求解即可.

【详解】由于，

所以，

即，当且仅当时等号成立．

故选:B．

3. 若实数a使得“，”为真命题，实数a使得“，”为真命题，则p是q的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】先一元二次方程有解及一元二次不等式恒成立求解出和，进而根据充分条件和必要条件的定义判断即可求解.

【详解】对于，，

所以，即.

对于，，

因为函数在上单调递增，

所以当时，，

则，即.

所以p是q的必要不充分条件.

故选：B.

4. 函数的图象可能是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用为奇函数排除；利用时，，排除C，从而可求解.

【详解】因为定义域为，

对于AB，，

所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故都不正确；

对于C，时，，所以，

所以，故C不正确；

对于D，符合函数图象关于原点对称，也符合时，，故D正确.

故选：D.

5. 若函数，在R上单调递增，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】首先，对勾函数和都是递增函数，当时，对勾函数取值要大于或等于指数式的值，再求交集即可实数a的取值范围.

【详解】当时，函数单调递增

所以

当时，是单调递增函数，

所以，所以

当时，对勾函数取值要大于或等于指数式的值，

所以，

解之得：，

综上所述：实数a的取值范围是

故选：B

6. 设函数 ​，若​，则​的最小值为（     ）

A. ​ B. ​ C. ​ D. ​

【答案】A

【解析】

【分析】由已知结合对数的运算性质可得，然后结合乘1法，利用基本不等式可求.

【详解】因为数，

若

所以，即 ，

所以，

当且仅当时取等号.

故选：A

7. 已知是定义在上的偶函数且在上为减函数，若，，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据偶函数的定义及对数的运算，利用指数对数函数的性质及函数的单调性即可求解.

【详解】因为是偶函数，

所以，

由，

由指数函数的性质知，函数在上单调递减，且，

所以，

所以，

因为在上为减函数，

所以，即.

故选：A.

8. 定义表示两个数中的较小者，表示两个数中的较大者，设集合都是的含有两个元素的子集，且满足：对任意的都有，,则的最大值是

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【详解】根据题意，对于M，含2个元素的子集有个,

其中, {1，2}、{2，4}、{3，6}、{4，8}可以任选两个;

 {1，3}、{2，6}符合题意;

{2，3}、{4，6}符合题意;

{3，4}、{6，8}符合题意;

即满足的任意的最多有4个,

故的最大值是4,

应选：C.

二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9. 下列结论正确的是（    ）

A. “”是“”的充分不必要条件

B. “”是“”的必要不充分条件

C. “，有”的否定是“，使”

D. “是方程的实数根”的充要条件是“”

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据不等式的范围判断A；根据交集的概念判断B；全称量词命题的否定是存在量词命题判断C；将1代入方程求解判断D.

【详解】对于A，因为，所以或，所以“当”时，“”成立，反之不成立，

故“”是“”的充分不必要条件，正确；

对于B，“”一定有“”成立，反之不成立，

故“”是“”的充分不必要条件，错误；

对于C，命题“，有”是全称量词命题，

其否定是存在量词命题，即“，使”，正确；

对于D，当时，1为方程的一个根，故充分；

当方程有一个根为1时，代入得，故必要，正确；

故选：ACD

10. 下列各式正确的是（    ）

A. 设，则

B. 已知，则

C. 若，，则

D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】由幂指数的运算可判断AB,由对数的运算性质以及换底公式可判断CD.

【详解】对于A, ,故A错误，

对于B，，故B正确，

对于C,由，得， 所以，故C正确，

对于D，，故D正确，

故选：BCD

11. 设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，.则下列结论正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性和题设条件，推得是周期为4的周期函数，结合周期函数的性质，利用赋值法，逐项判定，即可求解.

【详解】因为为奇函数，所以，即函数关于对称，

即，即，

又因为偶函数，所以，即函数关于对称，

则，所以，即，

所以，所以是周期为4的周期函数，

令 ，由，可得，可得，所以A错误；

因为时，，所以，可得，

即当时，，则，所以B正确；

因为，，

所以一个周期内的和为，

则，所以C正确；

由

，

所以D错误；

故选：BC.

12. 若，，，则（        ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】记，，利用导数判断函数的单调性，从而可得，， ，由此能判断，，的大小关系．

【详解】记则，所以在单调递增，

故，

记，则，

令，解得，故在上单调递减，

故,即，即，

故，

记，

则，

故当时，，故在上是增函数，

故，即，故，

故，

故选：BD

【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式大小问题：

1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；

2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；

3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；

4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

Ⅱ卷

三、填空题：本题共有4个小题，每小题5分，共20分．

13. 已知幂函数满足，则______.

【答案】

【解析】

【分析】根据幂函数的定义和单调性进行求解即可.

【详解】因为函数为幂函数，

则，解得或，

又因为，所以，

故答案：.

14. 《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，现有图形如图所示，为线段上的点，且为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连结，过点作的垂线，垂足为，若不添加辅助线，则该图形可以完成的所有无字证明为_________．（填写序号）

①②

③④

【答案】①③

【解析】

【分析】先明确的几何意义，即在图中相对应的线段，根据直角三角形的相似可得相应的比例式，结合不等关系，即可证明①③选项；由于在该图中没有相应的线段与之对应，可判断②④选项.

【详解】由题意可知，

由 可知 ，即，

所以；在中，，即

当时，点重合， ，此时，所以①正确；

在中，可得即，

所以，

由于，所以，

当时，,此时，所以③正确；

由于在该图中没有相应的线段与之对应，故②④中的不等式无法通过这种几何方法来证明，

故答案为：①③．

15. 已知函数，则不等式的解集为______.

【答案】

【解析】

【分析】令，分析函数的定义域、奇偶性与单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可.

【详解】设，则函数定义域为，

因为，

故函数为奇函数，

因为函数、、、均为上的增函数，

故函数为上的增函数，

因为，

由可得，

可得，

所以，，即，解得.

因此，不等式的解集为.

故答案为：.

16. 已知，则最小值为______.

【答案】10

【解析】

【分析】根据给定的等式求出的关系式，再求出的最小值，然后利用均值不等式求解作答.

【详解】依题意，，即，则，又，

因此，当且仅当时取等号，又，

从而，

当且仅当，即时取等号，

所以当时，取得最小值10.

故答案为：10

四、解答题：本题共有6个小题，共70分．

17. 设函数，集合

（1）证明:.

（2）当时，求.

【答案】（1）证明见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）按与分类讨论，结合集合包含关系的定义推理作答.

（2）根据给定条件，结合韦达定理求出，再代入解方程作答.

【小问1详解】

当时，方程无实根，即无实根，，

此时恒成立，又方程，即，

，显然，而，

因此方程无实根，，则，

当时，任取，则，于是，即有，因此，

所以。

【小问2详解】

由，得是方程的二根，由，解得，

于是，方程，即，

整理得，解得，

所以.

18. 在第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕，冬奥会的举办为冰雪设备生产企业带来了新的发展机遇.

某冰雪装备器材生产企业生产某种产品的年固定成本为2000万元，每生产x千件，需另投入成本（万元）.经计算，若年产量于件低于100千件，则这x千件产品的成本；若年产量x千件不低于100千件时，则这x千件产品的成本.每千件产品售价为100万元，为了简化运算，我们假设该企业生产的产品能全部售完.

（1）写出年利润（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；

（2）当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？

【答案】（1）   

（2）最大值1000万元，此时年产量为105千件

【解析】

【分析】（1）分与两种情况，求出函数解析式；

（2）在（1）的基础上，结合函数单调性与基本不等式求出分段函数的最大值.

【小问1详解】

当时

，

当时，

，

∴；

【小问2详解】

当时

，

∴时，取得最大值，最大值为950，

当时，

当且仅当，即时取等号，

因为，所以的最大值为1000万元，此时年产量为105千件.

19. 已知的定义域为，对任意都有，当时，

（1）求；

（2）证明:在上是减函数；

（3）解不等式:.

【答案】（1）,   

（2）证明见解析    （3）

【解析】

【分析】（1）由，取特殊值即可求解;

（2）由题构造，结合题意可证明单调性;

（3）根据单调性解抽象不等式即可.

【小问1详解】

根据,

令，得，解得，

再令，则有，解得.

【小问2详解】

设，则，

所以，即，

因为 所以，所以，

即都有，

所以上单调递减.

【小问3详解】

由题可知，

所以，

所以由得，

即，即，

又因为，所以，

由（2）知在上单调递减，所以，

即即，解得.

所以，解集为.

20. 已知.定义，设.

（1）若，画出函数的图象并直接写出函数的单调区间；

（2）定义区间的长度.若，则.设关于的不等式的解集为.是否存在实数，且，使得?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）图象见解析，递减区间是，递增区间是；   

（2）存在，.

【解析】

【分析】（1）把代入，求出，再画出函数的图象，求出单调区间作答.

（2）对按，进行分类讨论即可求解作答.

【小问1详解】

当时，，

当时，，函数在上递减，

而时，，因此当时，，

当时，，

则当或时，，当时，，

于是，函数的图象，如图，

观察图象知，函数的递减区间是，递增区间是.

【小问2详解】

因为函数的最小值为1，函数的最小值为2，

函数的图象是函数和函数的图象左右平移后，再取下方图形而得，

因此函数的最小值为1，若不等式有解，则必有，又函数的最小值为2，

则当时，，即，解得，

于是，若，则，解得，矛盾，

当时，不等式的解集为，

由，即，解得，

于是不等式的解集为，

又，当且仅当时取等号，

即有，因此，

若，则，又，解得，

所以存在实数满足条件.

21. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，.

（1）求证：；

（2）若点为棱上不与端点重合的动点，且与平面所成角正弦值为，求点到平面的距离.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据面面垂直证得线面垂直；

（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的正弦值确定点位置，再利用点到平面的距离公式求得结果.

【小问1详解】

∵平面平面，平面平面，，平面，

∴平面且平面，故，

【小问2详解】

∵中，∴，

∵平面平面，平面平面，

∴平面,平面，∴.

以为原点如图所示建立空间直角坐标系,

，，，，，，

设，其中，则，

取平面法向量，，

设与平面所成角为，

，解得（舍）或，

则，，，，

设平面的法向量为.

，，解得，

故.

22. 已知函数

（1）求函数的单调区间；

（2）若，证明:在上恒成立；

（3）若方程有两个实数根，且，

求证:.

【答案】（1）的递减区间为，递增区间为.   

（2）证明见解析.    （3）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）对求导即可求出结果；

（2）即证，构造，即可证明；

（3）分别利用切线放缩进行证明.

【小问1详解】

由，则时，，单调递减，

时，，单调递增，

所以的递减区间为，递增区间为.

【小问2详解】

因为，，令

所以，

下证，

令，

则，

当时,，当，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

所以在上恒成立；

【小问3详解】

证明：先证右半部分不等式： ；

因，，

所以；

可求曲线在和处的切线分别为和；

设直线与直线，函数的图象和直线交点的横坐标分别为

则

则；

因此.

再证左半部分不等式：.

设取曲线上两点，

用割线，来限制，

设直线与直线的交点的横坐标分别为，

则，且，

所以.

综上可得成立.

【点睛】方法点睛：导数证明不等式的方法常有：

（1）最值法：移项构造函数，通过求解最值来证明；

（2）放缩法：通过构造切线或割线，利用切线放缩或者割线放缩来证明.