【同步讲义】（苏教版2019）高中数学选修第二册：6.1.2空间向量的数量积 讲义

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6.1.2空间向量的数量积
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课程标准
重难点
掌握空间向量数量积运算
重点：掌握空间向量的夹角和数量积的性质.
难点：投影向量的概念及应用向量的数量积解决立体几何问题.
知识精讲

知识点01 空间两个向量的夹角
1. 夹角
定义
a,b是空间两个向量，过空间任意一点O，作OA=a，OB=b,∠AOB=θ（0≤θ≤π）叫做向量a,b的夹角。
图示
 
表示
　〈a,b〉.
范围
[0,π]
2.空间两个向量的关系
（1）若〈a,b〉=0,则向量a,b方向相同;
（2）若〈a,b〉=π,则向量a,b方向 　相反;
（3）若〈a,b〉=π2,则向量a,b　互相垂直，记作a⊥b
【即学即练1】在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为45°的是（    ）．

A．AB与A′C′
B．AB与C′A′
C．AB与A′D′
D．AB与B′A′
【答案】A
【分析】根据AB=A′B′以及正方体的性质求出各组向量的夹角可得答案.
【详解】对于A，因为AB=A′B′，所以AB与A′C′的夹角为45∘，故A正确；
对于B，因为AB=A′B′，所以AB与C′A′的夹角为135∘，故B不正确；
对于C，因为AB=A′B′，所以AB与A′D′的夹角为90∘，故C不正确；
对于D，因为AB=A′B′，所以AB与B′A′的夹角为180∘，故D不正确.
故选：A
【即学即练2】在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为45°的是( )

A．AB与A′C′      B．AB与C′A′      C．AB与A′D′      D．AB与B′A′
【答案】A
【详解】对A，夹角为45°，正确；对B，夹角为135°，错误；
对C，夹角为90°，对D，夹角为180°，错误.
故选：A
知识点02 空间两个向量的数量积
1. 空间向量的数量积的定义
定义
已知两个非零向量a,b,则　|a||b|cos〈a,b〉  叫做a,b的数量积,记作    a·b    .即a·b=|a||b|cos〈a,b〉.
规定
零向量与任意向量的数量积为　0   

2.空间向量数量积的运算律
交换律
a·b=     b·a    
结合律
(λa)·b=⑩     λ(a·b)    ,λ∈R
分配律
a·(b+c)=     a·b+a·c  

3.空间向量数量积的性质
①若a,b为非零向量,则a⊥b⇔     a·b=0    ;
②若a,b同向，a·b=|a||b|；若a,b反向，a·b=-|a||b|；特别的，a·a=|a|2，或|a|=a2
③若θ为a,b的夹角，则cosθ=a·b|a||b|
④|a·b|≤|a||b|
4.与数量积有关的2个易错点
①两个向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零.
②向量数量积的运算不满足消去律和乘法的结合律，即ab=ac⟹b=c，（a·b）·c=a·（b·c）都不成立.
【即学即练3】如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，设AB=a,AD=b,AA1=c，则a⋅2b−3c的值为（    ）

A．1 B．0 C．−1 D．−2
【答案】B
【分析】利用空间向量的运算法则即可求解.
【详解】由正方体的性质可得，AB⊥AD,AB⊥AA1，故AB⋅AD=0,AB⋅AA1=0,∵AB=a,AD=b,AA1=c，∴a⋅2b−3c=a⋅2b−a⋅3c=0.
故选：B
【即学即练4】(多选)正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，体对角线AC1与BD1，相交于点О，则（    ）
A．AB⋅A1C1=1 B．AB⋅AC1=2 C．AB⋅AO=12 D．BC⋅DA1=1
【答案】AC
【分析】根据向量的线性运算的几何表示，向量数量积的定义及运算律结合正方体的性质即得.
【详解】方法一：AB⋅A1C1=AB⋅AB+AD=AB2=1，故A正确；
AB⋅AC1=AB⋅AB+AD+AA1=AB2=1，故B错误；
AB⋅AO=AB⋅12AC1=12，故C正确；
BC⋅DA1=BC⋅BB1+CB=−BC2=−1，故D错误；
方法二：
AB⋅A1C1=A1B1⋅A1C1=A1B1A1C1cosA1B1,A1C1=1×2×22=1，故A正确；
由正方体的性质可知，AC1=3，BC1=2，
AB⋅AC1=ABAC1cosAB,AC1=ABAC1⋅ABAC1=1×3×13=1，故B错误；
AB⋅AO=AB⋅12AC1=12，故C正确；
BC⋅DA1=AD⋅DA1=1×2×−22=−1，故D错误.
故选：AC．
知识点03 向量的投影
（1）向量在向量上的投影向量
①定义：对于空间任意两个非零向量a，b，设向量OA=a，OB=b，如图，过点A作AA1⊥0B，垂足为A1.上述由向量a得到向量OA1的变换称为向量a向向量b投影，向量OA1称为向量a在向量b上的投影向量.

②几何意义：向量a，b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积，即a·b=OA1b


（2）向量在平面上的投影向量
①定义：设向量m=CD，过C，D分别作平面α的垂线，垂足分别为C1，D1，得向量C1D1.我们将上述由向量m得到向量C1D1的变换称为向量m向平面α投影，向量C1D1称为向量 m 在平面α上的投影向量.
②几何意义：空间向量m，n的数量积就是向量m在平面α上的投影向量与向量n的数量积，即m∙n=C1D1∙n
【即学即练5】四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，则BP在向量AD上的投影向量为（    ）
A．DA B．BC C．BD D．AP
【答案】B
【分析】过点B和点分别作直线的垂线，由垂足确定BP在向量AD上的投影向量.
【详解】四棱锥P−ABCD如图所示，

底面ABCD是矩形，∴BA⊥AD，
PD⊥底面ABCD，AD⊂底面ABCD，∴PD⊥AD，
过向量BP的始点B作直线AD的垂线，垂足为点A，过向量BP的终点P作直线AD的垂线，垂足为点D，BP在向量AD上的投影向量为AD，由底面ABCD是矩形,AD=BC，
故选：B
【即学即练6】已知a=4，e为空间单位向量，a,e=120∘，则a在e方向上投影的模为_______．
【答案】2
【分析】利用向量投影的概念可求得结果.
【详解】由题意可知，a在e方向上投影的模为a⋅cosa,e⋅e=4cos120∘=2
故答案为：2.
能力拓展

◆考点01 数量积的概念
【典例1】设a，b，c都是非零空间向量，则下列等式不一定正确的是（    ）
A． a+b+c=a+b+c
B． a+b⋅c=a⋅c+b⋅c
C． a⋅b⋅c=b⋅c⋅a
D． a+b⋅a+c=|a|2+b+c⋅a+b⋅c
【答案】C
【分析】本题考查空间向量加减法和数量积的运算律，根据运算律判断即可．
【详解】由向量加法的结合律知A项正确；由向量数量积的运算律知B项、D项正确；C项若a，c不共线且a→,b→，b→,c→不垂直，则(a→⋅b→)⋅c→=a→b→cosa→,b→⋅c→≠(b→⋅c→)⋅a→=b→c→cosb→,c→⋅a→，故C不一定正确．
故选：C.
【典例2】对于任意空间向量a，b，c，下列说法正确的是（    ）
A．若a//b且b//c，则a//c B．a⋅b+c=a⋅b+a⋅c
C．若a⋅b=a⋅c，且a≠0，则b=c D．a⋅bc=ab⋅c
【答案】B
【分析】根据空间向量共线的定义判断A，由数量积的运算律判断BCD．
【详解】若b=0，则由a//b且b//c，不能得出a//c，A错；
由数量积对向量加法的分配律知B正确；
若a⋅b=a⋅c，则a⋅(b−c)=0，当a⊥(b−c)时就成立，不一定有b=c，C错；
a⋅bc是与c平行的向量，ab⋅c是与a平行的向量，它们一般不相等，D错．
故选：B．
【典例3】（多选）设a，b为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（    ）
A．a2=a2 B．a⋅ba⋅a=ba
C．a⋅b2=a2⋅b2 D．a−b2=a2−2a⋅b+b2
【答案】AD
【分析】根据空间向量数量积的定义与运算律一一判断即可；
【详解】解：对于A：a2=a⋅a=a⋅acos0=a2，故A正确；
对于B：因为向量不能做除法，即ba无意义，故B错误；
对于C：a⋅b2=a⋅bcosa,b2=a2⋅b2cos2a,b，故C错误；
对于D：a−b2=a−b⋅a−b=a2−2a⋅b+b2，故D正确；
故选：AD
◆考点02 数量积的运算
【典例4】（多选）如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.以下选项正确的是（    ）

A．SA+SB+SC+SD=0 B．(SA−SC)⋅(SB−SD)=0
C．SA−SB+SC−SD=0 D．SA·SB=SC·SD
【答案】CD
【分析】利用空间向量的线性运算对选项进行分析，由此确定正确选项.
【详解】如图，分别取AB,CD的中点E,F，EF的中点O
对于A，SA+SB+SC+SD=2SE+2SF=2SE+SF=4SO≠0，故A错误；
对于B，(SA−SC)⋅(SB−SD)=CA⋅DB=0，而不是0，故B错误；
对于C，SA−SB+SC−SD=BA+DC=0，故C正确；
对于D，∵SA⋅SB=2×2×cos∠ASB=4cos∠ASB，SC⋅SD=2×2×cos∠CSD=4cos∠CSD，又∠ASB=∠CSD，所以SA⋅SB=SC⋅SD，故D正确.
故选：CD


【典例5】已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面边长AB=1，AA1=2，P是长方体表面上一点，则PA⋅PC1的取值范围是（    ）
A．−12,0 B．−34,0 C．−12,1 D．−34,1
【答案】B
【分析】取AC1中点O，将所求数量积转化为PO2−OA2，根据PO的取值范围可求得结果.
【详解】取AC1中点O，

则PA⋅PC1=PO+OA⋅PO+OC1=PO+OA⋅PO−OA=PO2−OA2，
∵当P为侧面ABB1A1中点时，POmin=12；PO的最大值为体对角线的一半1，
又OA=12AC1=121+1+2=1，∴PO2−OA2∈−34,0，
即PA⋅PC1的取值范围为−34,0.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的向量数量积问题的求解，解题关键是通过转化法将问题转化为向量模长最值的求解问题，进而通过确定向量模长的最值来确定数量积的取值范围.
【典例6】如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1，点E，F分别是OA，OC的中点．求下列向量的数量积：

(1)·；
(2)·；
(3)(＋)·(＋)．
【解析】(1)正四面体的棱长为1，则||＝||＝1．△OAB为等边三角形，∠AOB＝60°，于是：
·＝||||cos〈，〉＝||||cos∠AOB＝1×1×cos 60°＝．
(2)由于E，F分别是OA，OC的中点，所以EFAC，于是·＝||||cos〈，〉
＝||·||cos〈，〉＝×1×1×cos〈，〉＝×1×1×cos 120°＝－．
(3)(＋)·(＋)＝(＋)·(－＋－)＝(＋)·(＋－2)
＝2＋·－2·＋·＋2－2·＝1＋－2×＋＋1－2×＝1．
◆考点03 利用空间向量的数量积求夹角
【典例7】（2020·全国高二课时练习）如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为_____________

【答案】
【解析】三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，设棱长为1，
则，，
.
又，，
所以

而，
，
所以.
故答案为：.
【典例8】（2020·全国高二课时练习）如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．

（1）设，，，用向量，，表示，并求出的长度；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】（1）；；（2）.
【解析】
解：（1），
又，
同理可得，
则．
（2）因为，
所以，
因为，
所以．
则异面直线与所成角的余弦值为．
◆考点04 利用空间向量的数量积求长度（距离）
【典例9】平行六面体ABCD−A′B′C′D′中，AB=4,AD=3,AA′=5,∠BAD=90°,∠BAA′=∠DAA′=60°，则AC′的长为（    ）
A．10 B．85 C．61 D．70
【答案】B
【分析】由AC′=AB+AD+AA′，两边平方，利用数量积运算性质即可求解．
【详解】如图，

AB2=16，AD2=9，AA′2=25，AB⋅AD=4×3×cos90°=0，
AB⋅AA′=4×5×cos60°=10，AD⋅AA′=3×5×cos60°=152．
∵ AC′=AB+AD+AA′，
∴ AC′2=AB2+AD2+AA′2+2AB⋅AD+2AB⋅AA′+2AD⋅AA′
=16+9+25+2×0+2×10+2×152=85，
∴ |AC′|=85，
即AC′的长为85.
故选：B．
【典例10】在四面体ABCD中，AB，AC，AD的长度分别为1，2，3，且∠BAC=∠CAD=∠BAD=60°，M，N分别为AB，CD中点，则MN的长度为______.
【答案】152
【分析】根据几何体的结构特征，将向量MN表示成AB，AC，AD，再根据其长度和夹角用空间向量计算MN的长.
【详解】根据题意画出几何体如下图所示，

则MN=MA+AN=−12AB+12AC+AD=12−AB+AC+AD
又因为AB，AC，AD的长度分别为1，2，3，且∠BAC=∠CAD=∠BAD=60°，
所以，MN2=14−AB+AC+AD2=14AB2+AC2+AD2−2ABACcos60∘−2ABADcos60∘+2ACADcos60∘=1412+22+32−2×1×2×12−2×1×3×12+2×2×3×12=154得MN=154=152即MN的长度为152.故答案为：152.
【典例11】如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足ON=2NM，点P满足AP=34AN．

(1)用向量OA,OB,OC表示OP；
(2)求|OP|．
【答案】(1)OP=14OA+14OB+14OC
(2)|OP|=64
【分析】（1）根据空间向量的线性运算即可求解；
（2）先计算OP2=14OA+14OB+14OC2，再开方即可求解
【详解】（1）因为M是棱BC的中点，点N满足ON=2NM，点P满足AP=34AN．
所以OP=OA+AP=OA+34AN=OA+34(ON−OA)=14OA+34ON=14OA+34×23OM
=14OA+12×12(OB+OC)=14OA+14OB+14OC．
（2）因为四面体OABC是正四面体，则|OA|=|OB|=|OC|=1，OA⋅OB=OB⋅OC=OA⋅OC=1×1×12=12，OP2=14OA+14OB+14OC2=116(OA+OB+OC)2=116(OA2+OB2+OC2+2OA⋅OB+2OB⋅OC+2OA⋅OC)=1161+1+1+2×12+2×12+2×12=616，
所以|OP|=64．
【典例12】如图所示，在空间四边形OABC中，OA，OB，OC两两成60°角，且OA＝OB＝OC＝2，E为OA的中点，F为BC的中点，试求E，F间的距离．

【答案】
【解析】＝＋＝＋(＋)＝＋[(－)＋(－)]＝－＋＋，
所以＝2＋2＋2＋2××·＋2××·＋2××·＝2.
∴||＝，即E，F间的距离为.
【典例13】如图，已知线段AB⊥平面α，BC⊂α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，求A，D两点间的距离．

【答案】2
【解析】∵＝＋＋，
∴||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝12＋2(2·2·cos90°＋2·2·cos120°＋2·2·cos90°)＝8，∴||＝2，即A，D两点间的距离为2.
◆考点05投影向量
【典例14】如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB，AB=BC=a，PA=b．

(1)确定PC在平面ABC上的投影向量，并求PC⋅AB；
(2)确定PC在AB上的投影向量，并求PC⋅AB．
【答案】(1)PC在平面ABC上的投影向量为AC，PC⋅AB=a2；
(2)PC在AB上的投影向量为AB，PC⋅AB=a2.
【分析】（1）根据PA⊥平面ABC可得PC在平面ABC上的投影向量，由空间向量的线性运算以及数量积的定义计算PC⋅AB=PA+AB+BC⋅AB的值即可求解；
（2）由投影向量的定义可得PC在AB上的投影向量，由数量积的几何意义可得PC⋅AB的值.
【详解】（1）因为PA⊥平面ABC，所以PC在平面ABC上的投影向量为AC，
因为PA⊥平面ABC，AB⊂面ABC，可得PA⊥AB，所以PA⋅AB=0，
因为CB⊥AB，所以BC⋅AB=0，
所以PC⋅AB=PA+AB+BC⋅AB=PA⋅AB+AB⋅AB+BC⋅AB
=0+a2+0=a2.
（2）由（1）知：PC⋅AB=a2，AB=a，
所以PC在AB上的投影向量为：
PC⋅cosPC,AB⋅ABAB=PC⋅PC⋅ABPC⋅AB⋅ABAB=PC⋅ABAB⋅ABAB=a2a⋅ABa=AB，
由数量积的几何意义可得：PC⋅AB=AB⋅AB=a2.

【典例15】如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E为B1C1的中点.

（1）求DD1,BC，D1C1,CA的大小；
（2）求向量AE在向量DC方向上的投影的数量.
【答案】（1）DD1,BC=90°，D1C1,CA=135°；（2）1
【分析】（1）由DD1⊥BC，可得DD1,BC，由D1C1//DC，可得D1C1,CA；
（2）由空间向量投影的定义找出AE在向量DC方向上的投影即可求解
【详解】（1）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，因为DD1⊥BC，所以DD1,BC=90°，
因为D1C1//DC，所以D1C1,CA=DC,CA=135°；
（2）连接EC，因为DC⊥平面BCC1B1，所以DC⊥CE，又因为AD⊥DC，
所以AE在向量DC方向上的投影为DC，因为DC=1，所以向量AE在向量DC方向上的投影的数量为1


【典例16】如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E为棱B1C1上的动点，则向量AE在向量AC方向上的投影数量的取值范围为______．

【答案】22,2
【分析】设B1E=λB1C1(0≤λ≤1)，利用向量数量积的定义及运算法则可得AE⋅AC=1+λ，知向量AE在向量AC方向上投影数量为1+λ2，进而求得其取值范围.
【详解】由已知E为棱B1C1上的动点，设B1E=λB1C1(0≤λ≤1)，
因为AE=AB1+B1E=AB1+λB1C1=AB+BB1+λB1C1，
所以AE⋅AC=(AB+BB1+λB1C1)⋅AC=AB⋅AC+BB1⋅AC+λB1C1⋅AC
=1×2×cos45°+λ×1×2×cos45°=1+λ，
所以向量AE在向量AC方向上投影数量为1+λ2，
又0≤λ≤1，∴1≤1+λ≤2，
∴22≤1+λ2≤2，
所以向量AE在向量AC方向上投影的数量的取值范围为22,2.
故答案为：22,2.
分层提分


题组A 基础过关练
一、单选题
1．已知a,b均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么a+3b等于（    ）
A．7 B．10 C．13 D．4
【答案】C
【分析】结合向量夹角，先求解a+3b2， 再求解a+3b.
【详解】a+3b=(a+3b)2=a2+9b2+6a⋅b=13．
故选：C.
2．已知空间向量a,b,c两两夹角均为60∘，其模均为1，则a+b−2c=（    ）
A．2 B．3 C．2 D．5
【答案】B
【分析】转化为空间向量的数量积计算可求出结果.
【详解】a+b−2c= (a+b−2c)2 =a2+b2+4c2+2a⋅b−4a⋅c−4b⋅c=1+1+4+2×1×1×12−4×1×1×12−4×1×1×12=3.
故选：B
3．若非零向量a，b满足a=b，(2a−b)⋅b=0 ，则a与b的夹角为（    ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】B
【分析】设a与b的夹角为θ，则由(2a−b)⋅b=0，a=b，可得cosθ=12，从而可求得a与b的夹角
【详解】设a与b的夹角为θ，因为(2a−b)⋅b=0，所以2a⋅b=b2，所以2abcosθ=b2，
因为非零向量a，b满足a=b，所以cosθ=12，因为θ∈[0,π]，所以θ=π3，即θ=60°，
故选：B
4．在正方体ABCD−A1B1C1D1中，有下列命题：
①(AA1+AD+AB)2=3|AB|2；②A1C⋅(A1B1−A1A)=0；③AD1与A1B的夹角为60°．
其中正确的命题有（    ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【答案】B
【分析】根据空间向量的垂直和异面直线所成的角求解即可
【详解】解：对于①，
(AA1+AD+AB)2=(AA1)2+(AD)2+(AB)2+2AA1⋅AD+2AA1⋅AB+2AD⋅AB=3AB2,所以①正确；
对于②，A1C⋅(A1B1−A1A)=(AB+AD−AA1)⋅(AB−A1A) =AB2−A1A2=0，
所以②正确；
对于③，因为A1B∥D1C,AD1,AC,D1C分别为面的对角线，
所以∠AD1C=60°,所以AD1与A1B的夹角为120°，所以③错误
故选：B

【点睛】此题考查空间向量垂直和异面直线所成的角，属于基础题
5．已知a=1，cosα，sinα，b=−1，sinα，cosα,则向量a+b与a−b的夹角是（    ）
A．90° B．60° C．30° D．0°
【答案】A
【分析】根据向量a，b的坐标即可求出a2=b2,从而得出a+b⋅a−b=0,这样即可得出a+b与a−b的夹角．
【详解】解：a2=1+cos2α+sin2α=2，b2=1+sin2α+cos2α=2，
∴a+b⋅a−b=a2−b2=0,
∴a+b⊥a−b,
∴a+b与a−b的夹角为90°．
故选A．
【点睛】本题考查了空间向量数量积的坐标运算,向量垂直的充要条件,向量夹角的定义,考查了计算能力,属于基础题．

二、多选题
6．三棱锥O−ABC中，OA,OB,OC两两垂直，且OA=OB=OC，下列命题为真命题的是（    ）

A．OA+OB+OC2=3OA2 B．BC⋅(CA−CO)=0
C．OA+OB和CA的夹角为60° D．三棱锥O−ABC的体积为16AB⋅AC⋅BC
【答案】ABC
【分析】根据空间向量数量积的运算性质，结合棱锥体积公式逐一判断即可.
【详解】A：OA+OB+OC2=OA2+OB2+OC2+2OA⋅OB+2OC⋅OA+2OB⋅OC，
因为OA,OB,OC两两垂直，所以OA⋅OB=OC⋅OA=OB⋅OC=0，
而OA=OB=OC，所以OA+OB+OC2=3OA2，本命题是真命题；
B：BC⋅(CA−CO)=(BO+OC)⋅OA=BO⋅OA+OC⋅OA，
因为OA,OB,OC两两垂直，所以OA⋅OB=OC⋅OA=0，
因此BC⋅(CA−CO)=0，本命题是真命题；
C：(OA+OB)⋅CA=(OA+OB)⋅(CO+OA)=OA⋅CO+OA2+OB⋅CO+OB⋅OA，
因为OA,OB,OC两两垂直，所以OA⋅OB=OC⋅OA=OB⋅OC=0，
所以(OA+OB)⋅CA=OA2=OA2，
OA+OB=(OA+OB)2=OA2+OB2+2OA⋅OB，
因为OA,OB互相垂直，所以OA⋅OB=0，而OA=OB，
所以OA+OB=2OA，
CA=CO+OA=(CO+OA)2=CO2+OA2+2CO⋅OA，
因为OA,OC互相垂直，所以OA⋅OC=0，而OA=OC，
所以CA=2OA，设OA+OB和CA的夹角为θ，
因为cosθ=(OA+OB)⋅CAOA+OB⋅CA=OA2(2OA)⋅(2OA)=12，所以θ=60°
因此本命题是真命题；
D：AB⋅AC=(AO+OB)⋅(AO+OC)=AO2+AO⋅OC+OB⋅AO+OB⋅OC，
因为OA,OB,OC两两垂直，所以OA⋅OB=OC⋅OA=OB⋅OC=0，
所以AB⋅AC=AO2，
BC=BO+OC=(BO+OC)2=BO2+OC2+2BO⋅OC，
因为OB,OC互相垂直，所以OA⋅OC=0，而OA=OB=OC，所以BC=2OA，
16AB⋅AC⋅BC=16OA2⋅BC=16⋅OA2⋅2⋅OA=26OA3，
因为OA,OB,OC两两垂直，且OA=OB=OC，
所以三棱锥O−ABC的体积为：13⋅12⋅OA⋅OB⋅OC=16OA3，
因此本命题是假命题，
故选：ABC
7．已知ABCD−A1B1C1D1为正方体，则下列说法正确的有（    ）
A．(A1A+A1D1+A1B1)2=3(A1B1)2；
B．A1C⃑·(A1B1⃑−A1A⃑)=0；
C．A1B与AD1的夹角为60°；
D．在面对角线中与直线A1D所成的角为60°的有8条
【答案】ABD
【分析】画出图形，利用向量的运算结合正方体的性质逐项判断.
【详解】如图所示：

A. 由向量的加法运算得A1A+A1D1+A1B1=A1C，因为 A1C=3A1B1，所以(A1A+A1D1+A1B1)2=3(A1B1)2，故正确；
B. 正方体的性质易知A1C⊥AB1，所以A1C•(A1B1−A1A)=A1C⋅AB1=0，故正确；
C. 因为△A1BC1是等边三角形，且 AD1//BC1，所以∠A1BC1=60∘，则A1B与AD1的夹角为120°，故错误；
D. 由正方体的性质得过A1,D的面对角线与直线A1D所成的角都为60°，这样有4条，然后相对侧面与之平行的对角线还有4条，共8条，故正确；
故选：ABD

三、填空题
8．已知空间向量a,b满足|a|=2,b∣=1，且a与b的夹角为π3，则a⋅b=__________．
【答案】1
【分析】利用空间数量积的定义，直接求解即可.
【详解】由空间向量数量积的定义，a→⋅b→=|a→|⋅|b→|cos=2×1×cosπ3=1.
故答案为：1
9．已知线段AB的长度为62，AB→与直线l的正方向的夹角为120°，则AB→在l上的射影的长度为______.
【答案】32
【分析】先求出AB在直线l的正方向的投影向量，再求其长度即可得解.
【详解】设与直线l的正方向一致的单位向量为e，
于是得AB在直线l的正方向的投影向量为(|AB|cos120∘)⋅e=−32e，则|−32e|=32，
所以AB在l上的射影的长度为32.
故答案为：32.
10．若向量a=(2,−1,2),b=(−4,2,m)，且a与b的夹角为钝角，则实数m的取值范围为_______．
【答案】m<5且m≠−4
【分析】夹角为钝角可得a⋅b<0且a,b不反向.
【详解】因为a与b的夹角为钝角，所以a⋅b<0且a,b不同向.
a⋅b=−8−2+2m=2m−10<0，整理得m<5.当a,b反向时，m=−4，所以m<5且m≠−4.
【点睛】本题主要考查空间向量的夹角问题, 夹角为钝角可得a⋅b<0且a,b不反向；夹角为锐角可得a⋅b>0且a,b不同向；夹角为直角可得a⋅b=0.

四、解答题
11．已知空间向量a与b夹角的余弦值为66，且a=2，b=3，令m=a−b，n=a+2b．
(1)求a，b为邻边的平行四边形的面积S；
(2)求m，n夹角的余弦值．
【答案】(1)5
(2)−66

【分析】（1）利用S=a⋅b⋅sina,b算出答案即可；
（2）分别求出m⋅n、m、n的值即可.
【详解】（1）根据条件，cosa,b=66，∴sina,b=306；
∴S=a⋅b⋅sina,b=2×3×306=5；
（2）m⋅n=a−b⋅a+2b
=a2+a⋅b−2b2=2+2×3×66−2×3=−3；
m=a−b2=a2−2a⋅b+b2=2−2+3=3，
n=a+2b2=2+4+12=32；
∴cosm,n=m⋅nmn=−33×32=−66.
12．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设AB=a，AD=b，AP=c.

(1)试用a,b,c表示向量BM；
(2)求BM的长.
【答案】(1)12b−12a+12c
(2)62

【分析】利用空间向量基本定理用基底表示BM；（2）在第一问的基础上运用空间向量数量积运算法则进行运算.
【详解】（1）BM=BC+CM=AD+12CP=AD+12CB+BA+AP
=AD−12AD−12AB+12AP=12b−12a+12c
（2）BM2=12b−12a+12c2=14b2+14a2+14c2−12a⋅b+12c⋅b−12a⋅c
=14+14+1−0+12×2×1×12−12×2×1×12=32，所以BM=62，则BM的长为62.
13．已知向量a,b之间的夹角为30∘，且a=3，b=4，求a⋅b,(a)2,(b)2,(a+2b)⋅(a−b)．
【答案】63，9，16，63−23
【分析】利用平面向量数量积公式求解即可.
【详解】a⋅b=abcos30°=3×4×32=63，
a2=a⋅a=a2=9，b2=b⋅b=b2=16，
a+2b⋅a−b=a2+a⋅b−2b2=9+63−32=63−23.
题组B 能力提升练
一、单选题
1．．平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,∠A1AB=∠BAD=∠A1AD=60∘则它的对角线AC1的长度为（    ）

A．4 B．25 C．32 D．17
【答案】D
【分析】根据空间向量加减运算法则，可知AC1=AB+BC+AA1，两边同时平方根据向量数量积可得对角线AC1的长度.
【详解】由于AC1=AB+BC+CC1，而AA1=CC1
所以AC1=AB+BC+AA1，将等式两边同时平方得：
AC12=AB2+BC2+AA12+2AB·BC+2AB·AA1+2BC·AA1，
=AB2+BC2+AA12+2ABBCcos60∘+2ABAA1cos60∘+2BCAA1cos60∘
=4+4+1+4+2+2=17，
所以AC1=17，
即对角线AC1的长度为17.
故选：D.

2．如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD−A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法正确的是（    ）

A．AA1与AC所成角的余弦值为63 B．AC1=6
C．向量B1C与AA1的夹角是60° D．AC1⊥BD
【答案】D
【分析】结合余弦定理、空间向量、线线垂直等知识求得正确答案.
【详解】依题意以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，
所以△ABA1、△ADA1、△BDA1、△BCB1是等边三角形，
在菱形ABCD中，AC⊥BD，设AC∩BD=O，
A选项，在三角形OAA1中，OA=OA1=33,AA1=6，
所以cos∠A1AC=36+27−272×6×33=33，所以A选项错误.
B选项，AC1=AB+AD+AA1，AC12=AB+AD+AA12
=36+36+36+26×6×12×3=216，
所以AC1=66，B选项错误.
C选项，由于BB1=AA1，所以向量B1C与AA1的夹角即向量B1C与BB1的夹角，
而△BCB1是等边三角形，所以B1C与BB1的夹角为120°，C选项错误.
D选项，在等边△BDA1中，O是BD的中点，所以OA1⊥BD，
由于BD⊥AC,OA1∩AC=O,OA1,AC⊂平面ACC1A1，
所以BD⊥平面ACC1A1，由于AC1⊂平面ACC1A1，
所以AC1⊥BD，所以D选项正确.
故选：D

3．已知空间非零向量a,b,c，则“a=λc”是“a⋅bc=ab⋅c”的（    ）
A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充要条件 D．必要不充分条件
【答案】A
【分析】证明充分性则将a=λc代入等式即可，而若a,b,c两两垂直，则等式成立，但a≠λc，故必要性不成立，即可得到答案.
【详解】充分性：当a=λc时，a⋅bc=λc⋅bc=λcc⋅b=ab⋅c成立；
不必要性：若a,b,c两两垂直，则a⋅bc=ab⋅c成立，但a≠λc.
故选：A.
4．已知e1，e2是夹角为60∘的两个单位向量，则a=e1+e2与b=e1−2e2的夹角是（    ）
A．60∘ B．120∘ C．30∘ D．90∘
【答案】B
【分析】利用平面向量的数量积公式先求解a⋅b，再计算a与b，根据数量积夹角公式，即可求解.
【详解】由题意得：a⋅b=e1+e2⋅e1−2e2
=e12−e1⋅e2−2e22=1−1×1×12−2=−32，
a=a2=(e1+e2)2=e12+2e1⋅e2+e22=1+1+1=3，
b=b2=(e1−2e2)2=e12−4e1·e2+4e22=1−2+4=3.
设a,b夹角为θ,cosθ=a⋅ba⋅b=−323=−12,0°≤θ≤180°，
∴θ=120∘.
故选：B.
【点睛】本题考查利用平面向量的数量积计算向量的夹角问题，难度一般，准确运用向量的数量积公式即可.
5．在正方体ABCD−A1B1C1D1中，有下列命题：①(AA1+AD+AB)2=3AB2；②A1C⋅(A1B1−A1A)=0；③AD1与A1B的夹角为60°.
其中正确命题的个数是（  ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】①根据向量加法的几何意义可得AA1+AD+AB=AC1，结合正方体性质判断；②由A1C⋅(A1B1−A1A)=A1C⋅AB1，应用线面垂直的性质、判定可得AB1⊥A1C即可判断；③若E,F分别是DA1,BD中点，由中位线性质及向量共线判断AD1与EF夹角大小即可.
【详解】①由AA1+AD+AB=AC1，故(AA1+AD+AB)2=AC12=3AB2，正确；
②A1C⋅(A1B1−A1A)=A1C⋅AB1，
而BC⊥面ABB1A1，AB1⊂面ABB1A1，则BC⊥AB1，又A1B⊥AB1，
BC∩A1B=B，BC,A1B⊂面A1BC，故AB1⊥面A1BC，
又A1C⊂面A1BC，故AB1⊥A1C，则A1C⋅(A1B1−A1A)=0，正确；

③若E,F分别是DA1,BD中点，则EF//A1B且2EF=A1B，故AD1与A1B的夹角即为AD1与EF夹角，为120°，错误.

故选：C.

二、多选题
6．如图，在棱长都为1的平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB，AD，AA1两两夹角均为π3，则有（    ）

A．AC1⋅BD=1 B．AC1⊥平面A1BD
C．AC1⊥平面B1D1C D．AC1=6
【答案】BCD
【分析】根据空间向量的数量积运算可判断A，利用向量证明垂直后再由线面垂直判定定理判断B，由面面平行的判定及线面垂直的性质判断C，再由数量积的运算性质求向量的模判断D.
【详解】∵AC1⋅BD=(AB+AD+AA1)⋅(AD−AB)=(AB+AD) (AD−AB)+AA1⋅(AD−AB)
=AD2−AB2+AA1⋅AD−AA1⋅AB=1−1+1⋅1⋅cosπ3−1⋅1⋅cosπ3=0，
∴AC1⊥BD，故A错误；
同理可得AC1⊥A1B，因为BD∩A1B=B，A1B,BD⊂平面A1BD，
所以AC1⊥平面A1BD，故B正确；
又B1D1//BD，B1D1⊄平面A1BD，BD⊂平面A1BD，所以B1D1//平面A1BD，
又CD1//A1B，CD1⊄平面A1BD，A1B⊂平面A1BD，所以CD1//平面A1BD,
又CD1∩B1D1=D1，所以平面B1D1C//平面A1BD，所以AC1⊥平面B1D1C，故C正确；
AC1=AB+AD+AA1=(AB+AD+AA1)2
=AD2+AB2+AA12+2AA1⋅AD+2AA1⋅AB+2AD⋅AB
=1+1+1+2×cosπ3+2×cosπ3+2×cosπ3=6，故D正确.
故选：BCD.
7．在三维空间中，定义向量的外积：a×b叫做向量a与b的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：①a⊥a×b，b⊥a×b，且a，b和a×b构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指､食指､中指的指向一致，如图所示）；②a×b的模a×b=absina,b（a,b表示向量a，b的夹角）.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，有以下四个结论，正确的有（    ）

A．AB1×AC=AD1×D1B1 B．AB×AD=AD×AB
C．A1C1×A1D与BD1共线 D．(BC×AC)⋅A1A与正方体体积数值相等
【答案】ACD
【分析】运用新定义及空间向量基本概念分别判断即可．
【详解】设正方体棱长为1，
对于A，AB1×AC=AB1⋅ACsinπ3=22×32=3，AD1×DB=AD1×D1B1=AD1⋅D1B1sin2π3=3，
所以AB1×AC=AD1×D1B1，所以A对；
对于B，由a，b和a×b构成右手系知，a×b与b×a方向相反，
即a×b=−b×a，所以B错；
对于C，A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1⇒A1C1⊥平面BB1D1D，
BD1⊂平面BB1D1D⇒BD1⊥A1C1，BD1⊥A1D，
再由右手系知，A1C1×A1D与BD1共线，所以C对；
对于D， |BC×AC|=|BC||AC|⋅sin45°=1×2×22=1，
正方体体积为1，所以D对．
故选：ACD．

8．已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是(　　)
A．(A1A+A1D1+A1B1)2=3(A1B1)2
B．A1C⋅A1B1−A1A=0
C．向量AD1与向量A1B的夹角是60°
D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为AB⋅AA1⋅AD
【答案】AB
【分析】根据正方体ABCD﹣A1B1C1D1的特征，利用空间向量的线性运算以及数量积公式即可求解.
【详解】由题意，正方体ABCD﹣A1B1C1D1如下图所示：

由向量的加法得到：A1A+A1D1+A1B1=A1C，
∵A1C2=3A1B12，∴(A1C)2=3(A1B1)2，所以A正确；
∵A1B1−A1A=AB1，AB1⊥A1C，∴A1C⋅AB1=0，故B正确；
∵△ACD1是等边三角形，∴∠AD1C＝60°，
又∵A1B∥D1C，
∴异面直线AD1与A1B所成的夹角为60°，
但是向量AD1与向量A1B的夹角是120°，故C错误；
∵AB⊥AA1，∴AB⋅AA1=0，
故AB⋅AA1⋅AD=0，故D错误．
故选：AB．

三、填空题
9．如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60∘，则对角线AC1的长为__________.

【答案】66
【分析】由AC1=AB+BC+CC1，结合数量积向量运算即可求
【详解】由题，AC1=AB+BC+CC1，则AC12=AB+BC+CC12=AB2+BC2+CC12+2AB⋅BC+2BC⋅CC1+2AB⋅CC1
=3×62+3×2×6×6×cos60°=216，故AC1=216=66.
故答案为：66
10．已知点P为棱长等于4的正方体ABCD−A1B1C1D1内部一动点，且PA=4，则PC1⋅PD1的值达到最小时，PC1与PD1夹角的余弦值______．
【答案】0
【分析】取线段C1D1的中点E，可得出PC1⋅PD1=PE2−4，分析可知当A、P、E三点共线时，PC1⋅PD1取最小值，求出PE的最小值，即可得解.
【详解】取线段C1D1的中点E，则PC1=PE+EC1，PD1=PE−EC1，

所以，PC1⋅PD1=PE+EC1⋅PE−EC1=PE2−EC12=PE2−4，
当A、P、E三点共线时，PC1⋅PD1取最小值，此时PEmin=42+42+22−4=6−4=2，
此时PC1⋅PD1=PE2−4=0.
故答案为：0.
11．平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝2，AD＝1，且AB，AD，AA1的夹角都是60°，则AC1→⋅BD1→=____．
【答案】3
【分析】设出向量AB=a，AD=b，AA1=c，它们两两之间夹角为60∘，然后表示出向量AC1，BD1，再利用数量积的定义和运算法则即可求解．
【详解】如图，

可设AB=a，AD=b，AA1=c，故|a→|=2，|b→|=1，|c→|=2，
又因为AC1=AB+BC+CC1=AB+AD+AA1=a+b+c，
同理可得， BD1=−a+b+c，
于是有AC1⋅BD1=(a+b+c)•(−a+b+c)
=−a2+b2+c2+2b•c
＝﹣4+4+1+2×|b|•|c|cos60°
＝1+2×2×1×12
＝3
故答案为：3

四、解答题
12．已知正三棱锥P−ABC的所有棱长均为22， 点E，F分别为PA，BC的中点， 点N在EF上， 且EN=3NF， 设PA=a，PB=b，PC=c.

(1)用向量a，b，c表示向量PN；
(2)求PN与EB夹角的余弦值.
【答案】(1)PN=18a+38b+38c
(2)10217

【分析】（1）根据空间向量的线性运算直接计算；
（2）利用基底法求向量数量积，再利用向量的夹角公式计算夹角.
（1）
由已知EN=3NF，得EN=34EF=34PF−PE，
所以PN=PE+EN=PE+34PF−34PE=14PE+34PF,
又PE=12PA，PF=12PB+12PC，
所以PN=18PA+38PB+38PC=18a+38b+38c；
（2）
EB=EP+PB=−12PA+PB=−12a+b，
又a=b=c=22，且∠APB=∠APC=∠BPC=π3，
所以a⋅b=b⋅c=a⋅c=4，
则PN⋅EB=18a+38b+38c⋅−12a+b=−116a2+38b2−116a⋅b+38b⋅c−316a⋅c =−116×222+38×222−116×4+38×4−316×4=3，
PN=18a+38b+38c2=164a2+964b2+964c2+332a⋅b+932b⋅c+332a⋅c =164×222+964×222+964×222+332×4+932×4+332×4=172，
EB=−12a+b2=14a2+b2−a⋅b=14×222+222−4=6，
所以cosPN,EB=PN⋅EBPN⋅EB=3172×6=10217,
所以直线PN与EB夹角的余弦值为10217.
13．如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60∘，M为A1C1与B1D1的交点，若AB=a，AD=b，AA1=c，

（1）用a，b，c表示BM和AC1；
（2）求直线AB与AC1夹角的余弦值.
【答案】（1）BM=−12a+12b+c，AC1=a+b+c；（2）63.
【分析】（1）利用平行六面体的性质以及空间向量的三角形法则和平行四边形法则运算可得结果；
（2）根据空间向量的夹角公式计算可得结果.
【详解】（1）连接A1B,AC,AC1，如图：

因为AB=a，AD=b，AA1=c，
在△A1AB，根据向量减法法则可得：BA1=AA1−AB=c−a，
因为底面ABCD是平行四边形，
故AC=AB+AD=a+b，
因为AC//A1C1且|AC|=A1C1
∴ A1C1=AC=a+b，又M为线段A1C1中点∴ A1M=12A1C1=12(a+b)
在△A1MB中，BM=BA1+A1M=c−a+12(a+b)=−12a+12b+c，
在平行四边形AA1CC1中，AC1=AC+AA1=a+b+c.
（2）因为顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60∘，
故a⋅b=abcos60∘=12，a⋅c=a⋅ccos60∘=12，b⋅c=b⋅ccos60∘=12，
所以|AC1|2=(AC1)2=(a+b+c)2 =(a)2+(b)2+(c)2+2a⋅b+2a⋅c+2b⋅c
=|a|2+|b|2+|c|2+2|a|⋅|b|cos60∘+2|a|⋅|c|cos60∘+2|b|⋅|c|cos60∘
=1+1+1+2×12+2×12+2×12 =6，故AC1=6，
所以AC1⋅AB=a⋅a+b+c=(a)2+a⋅b+a⋅c=1+12+12=2，
所以cos=AB⋅AC1|AB|⋅|AC1|=21×6=63，
所以直线AB与AC1的夹角的余弦值为63.

题组C 培优拔尖练
1．（多选）（2021春·福建福州·高三福州三中校考阶段练习）如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD−A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（    ）

A．AA1→+AB→+AD→2=2(AC→)2
B．BD1与AC所成角的余弦值为66
C．AA1与平面ABCD所成角的余弦值为63
D．A1D1到底面ABCD的距离为63
【答案】ABD
【分析】通过空间向量的线性运算和数量积运算可以判断A，根据夹角公式可以判断B；
过A1作出底面ABCD的垂线（需要证明），进而求出距离判断D，然后找到线面角并求出余弦值判断C.
【详解】对A，因为AA1→⋅AB→=AA1→⋅AD→=AB→⋅AD→=1×1×cos60°=12，所以AA1→+AB→+AD→2=AA1→2+AB→2+AD→2+2AA1→⋅AB→+AB→⋅AD→+AA1→⋅AD→=3+3=6，
2(AC→)2=2AB→+AD→2=2AB→2+AD→2+2AB→⋅AD→=21+1+1=6，A正确；
对B，由BD1→=AD→+AA1→−AB→,AC→=AB→+AD→，则|BD1→|=AD→2+AA1→2+AB→2+2AD→⋅AA1→−AA1→⋅AB→−AD→⋅AB→=3−1=2，
|AC→|=AB→2+AD→2+2AB→⋅AD→=3，BD1→⋅AC→=AD→+AA1→−AB→⋅AB→+AD→=AD→2+AA1→⋅AB→+AA1→⋅AD→−AB→2=1,
所以cos=BD1→⋅AC→|BD1→||AC→|=16=66，B正确；
对C和D，如图

取AB中点M，连接A1M，由题意可知△A1AB 为正三角形，所以A1M⊥AB，且AM=12,A1M=32 ，
作PM⊥AB，交AC于P，易知∠PAM=30°，则PM=36,PA=33 ，
因为AA1→⋅AC→=AA1→⋅AB→+AD→=AA1→⋅AB→+AA1→⋅AD→=1，所以cos=AA1→⋅AC→|AA1→||AC→|=13=33，即cos∠A1AC=33，
连接A1P， |PA1→|=|AA1→−AP→|=AA1→−AP→2=1+13−2×1×33×33=63，
所以，PA2+PA12=AA12,PM2+PA12=A1M2，即PA1⊥PA,PA1⊥PM，而PA∩PM=P，所以PA1⊥平面ABCD，则AA1与平面ABCD所成的角为∠A1AC，而cos∠A1AC=33，故C错误；
又A1D1∥平面ABCD，所以A1D1到底面ABCD的距离即为点A1到底面ABCD的距离，距离为PA1=63，故D正确.
故选：ABD.
2．（2021秋·浙江台州·高二校联考期中）已知空间向量OA，OB，OC两两夹角均为π3，且|OA|=|OB|=|OC∣．若存在非零实数λ，μ，使得OP=λ(OA+OB)，BQ=μ(OC−OB)，且OP⋅PQ=BQ⋅PQ=0，则λ=________，μ=________．
【答案】     511     311
【分析】设|OA|=|OB|=|OC∣=1，可得OA⋅OB=OB⋅OC=OA⋅OC=12，代入条件运算化简，联立方程求解即可.
【详解】设|OA|=|OB|=|OC∣=1，则OA⋅OB=OB⋅OC=OA⋅OC=12，
由BQ=OQ→−OB→=μ(OC−OB)，可得OQ→=uOC→+(1−u)OB→,∴OP⋅PQ=OP⋅(OQ→−OP→)=OP→⋅OQ→−OP→2=λ(OA⃑+OB⃑)uOC→+(1−u)OB→−λ2(OA⃑+OB⃑)2=0
化简得32−12u−3λ=0①，∵BQ⃑⋅PQ⃑=BQ⃑⋅OQ→−OP→=μ(OC⃑−OB⃑)⋅uOC→+(1−u)OB→−λ(OA⃑+OB⃑)=0,化简可得−12+12λ+u=0②联立①② 32−12u−3λ=0−12+12λ+u=0，解得λ=511,u=311，
故答案为：λ=511；u=311
【点睛】关键点点睛：根据数量积的定义及数量积的运算律，代入运算，要求运算准确，运算能力是解题的关键，属于中档题.

3．（2022·全国·高三专题练习）已知空间向量a，b，c两两的夹角均为60°，且a=b=2，c=6.若向量x，y分别满足x⋅x+a−b=0与y⋅c−8=0，则x−y的最小值是__________.
【答案】13
【分析】由x⋅x+a−b=0结合已知变形得出x−b−a2=1，令p=b−a2，可得x−p=1，p⋅c=0，再由另一条件得8=y⋅c−p⋅c，利用数量积的性质得出y−p≥43，最后由模的三角不等式x−y=x−p+p−y≥y−p−x−p可得结论．
【详解】由题意a⋅b=2×2×cos60°=2，a⋅c=b⋅c=2×6×cos60°=6，
因为x⋅x+a−b=0，所以x2−x⋅(b−a)=x−b−a22−(b−a)24=0，
x−b−a22=b2−2a⋅b+a24=1，所以x−b−a2=1，
令p=b−a2，则x−p=1，且p⋅c=b−a2⋅c=b⋅c−a⋅c2=0，
x−y=x−p+p−y≥y−p−x−p，
由y⋅c−8=0得8=y⋅c−p⋅c=(y−p)⋅c≤y−p⋅c，
所以y−p≥86=43，
所以x−y≥y−p−x−p≥43−1=13，当且仅当p，x，y共线且y−p，c共线时等号成立．
故答案为：13．
【点睛】本题考查空间向量数量积的应用，向量模的绝对值三角不等式，解题关键是把已知条件由x⋅x+a−b=0结合已知变形得出x−b−a2=1，引入向量p=b−a2，可得x−p=1，并得出p⋅c=0，利用此式，得出y−p的最小值，从而由向量模的三角不等式得出结论．实际上本题从向量数量积的几何意义，向量的运算法则可容易得出关系式，本题对学生的转化与化归思想，运算求解能力要求较高，属于难题．