中考数学专题14 一次函数的应用（学案含解析）

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中考数学一轮复习学案
14 一次函数的应用

中考命题说明



考点
课标要求
考查角度
1
待定系数法
会用待定系数法确定一次函数的表达式．
多以解答题的形式考查．
2
一次函数的应用问题
能用一次函数知识解决简单实际问题．
多以解答题的形式考查一次函数在实际生活中的应用．也有部分地市以探究题的形式考查．

思维导图




知识点1： 一次函数解析式的确定

知识点梳理

1．确定一次函数解析式的方法：
（1）待定系数法；（2）依据题意中等量关系直接列出解析式；（3）通过几何变换（通常为平移）前后的解析式特征（自变量“左加右减”，函数值“上加下减”）确定新函数解析式．
2．用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤：
确定一个正比例函数，需要确定正比例函数解析式y=kx（k≠0）中的常数k．
确定一个一次函数，需要确定一次函数解析式y=kx+b（k≠0）中的常数k和b．
解这类问题的一般方法是待定系数法．
（1）设出函数的一般形式．
（2）根据已知条件（自变量与函数的对应值）代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组．
（3）解方程或方程组求出待定系数的值．
（4）将所求得的系数的值代入到一般形式中．
3．确定正比例函数表达式，只需一对x与y的对应值（即已知正比例函数图象上的一个点即可）；确定一次函数的表达式，只需要两对x与y的对应值（即已知一次函数图象上的两个点即可）．
典型例题

【例1】（2022•广州）点（3，－5）在正比例函数y＝kx（k≠0）的图象上，则k的值为（ ）
A．－15 B．15 C． D．
【考点】待定系数法求正比例函数解析式
【分析】直接把已知点代入，进而求出k的值．
【解答】解：∵点（3，－5）在正比例函数y＝kx（k≠0）的图象上，
∴－5＝3k，
解得：，
故选：D．
【点评】此题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，正确得出k的值是解题关键．
【例2】（2022•泰州）一次函数y＝ax＋2的图像经过点（1，0）．当y＞0时，x的取值范围是 ．
【考点】一次函数的性质；待定系数法求一次函数解析式
【分析】由待定系数法可求得一次函数的解析式，再结合图象即可得出答案．
【解答】解：将点（1，0）代入y＝ax＋2，
得a＋2＝0，
解得a＝－2，
∴一次函数解析式为y＝－2x＋2，
如图，

∴当y＞0时，x＜1．
故答案为：x＜1．
【点评】本题考查待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解答本题的关键．
【例3】（2022•铜仁市）在平面直角坐标系内有三点A（－1，4）、B（－3，2）、C（0，6）．
（1）求过其中两点的直线的函数表达式（选一种情形作答）；
（2）判断A、B、C三点是否在同一直线上，并说明理由．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式
【分析】（1）根据A、B两点的坐标求得直线AB的解析式．
（2）把C的坐标代入看是否符合解析式即可判定．
【解答】解：（1）设A（－1，4）、B（－3，2）两点所在直线解析式为y＝kx＋b，
∴，
解得，
∴直线AB的解析式y＝x＋5．
（2）当x＝0时，y＝0＋5≠6，
∴点C（0，6）不在直线AB上，即点A、B、C三点不在同一条直线上．
【点评】本题考查了待定系数法求解析式，以及判定是否是直线上的点，掌握一次函数图像上的点的坐标特征是关键．
【例4】（4分）（2021•安徽6/23）某品牌鞋子的长度y cm与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系．若22码鞋子的长度为16 cm，44码鞋子的长度为27 cm，则38码鞋子的长度为（　　）
A．23 cm B．24 cm C．25 cm D．26 cm
【考点】一次函数的应用．
【分析】先设出函数解析式，用待定系数法求出函数解析式，再把x＝38代入求出y即可．
【解答】解：∵鞋子的长度y cm与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系，
∴设函数解析式为：y＝kx+b（k≠0），
由题意知，x＝22时，y＝16，x＝44时，y＝27，
∴，
解得：，
∴函数解析式为：y=x+5，
当x＝38时，y=×38+5＝24（cm），
故选：B．
【点评】本题考查一次函数的应用，用待定系数法求函数解析式是本题的关键．
【例5】（8分）（2021•西藏24/27）已知第一象限点P（x，y）在直线y=-x+5上，点A的坐标为（4，0），设△AOP的面积为S．
（1）当点P的横坐标为2时，求△AOP的面积；
（2）当S=4时，求点P的坐标；
（3）求S关于x的函数解析式，写出x的取值范围，并在图中画出函数S的图象．

【考点】一次函数的图象；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式．
【分析】（1）求出点P坐标，再根据三角形面积公式进行计算即可；
（2）当S=4时求出点P的纵坐标，进而确定其横坐标；
（3）根据三角形的面积计算方法以及一次函数关系式得出答案．
【解答】解：（1）把点P的横坐标为2代入得，y=-2+5=3，
∴点P（2，3），
∴；
（2）当S=4时，即，
∴y=2，
当y=2时，即2=-x+5，
解得x=3，
∴点P（3，2）；
（3）由题意得，
，
当y＞0时，即0＜x＜5时，S=2(-x+5)=-2x+10，
∴S关于x的函数解析式为S=-2x+10（0＜x＜5），画出的图象如图所示．

【点评】本题考查待定系数法求一次函数关系式，一次函数图象上点的坐标特征，将坐标转化为线段的长，利用三角形的面积公式得出关系式是解决问题的关键．
【例6】（5分）（2021•北京23/28）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数的图象向下平移1个单位长度得到．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x＞﹣2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．
【考点】一次函数图象与系数的关系；一次函数图象与几何变换．
【分析】（1）根据平移的规律即可求得．
（2）根据点（﹣2，﹣2）结合图象即可求得．
【解答】解：（1）函数的图象向下平移1个单位长度得到，
∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数的图象向下平移1个单位长度得到，
∴这个一次函数的表达式为．
（2）把x＝﹣2代入，求得y＝﹣2，
∴函数y＝mx（m≠0）与一次函数的交点为（﹣2，﹣2），
把点（﹣2，﹣2）代入y＝mx，求得m＝1，
∵当x＞﹣2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数的值，
∴≤m≤1．

【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．
知识点2： 一次函数的几何应用


知识点梳理

1. 一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积：
直线y=kx+b与x轴的交点坐标为（，0），与y轴的交点坐标为（0，b）；直线与两坐标轴围成的三角形的面积为．
2. 一次函数与几何图形结合的综合运用．
典型例题

【例7】（3分）（2020•陕西7/25）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线y=x+3分别与x轴、直线y=-2x交于点A、B，则△AOB的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【考点】一次函数的性质；两条直线相交或平行问题．
【分析】根据方程或方程组得到A（-3，0），B（-1，2），根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：在y=x+3中，令y=0，得x=-3，
解得：，
∴A（-3，0），B（-1，2），
∴△AOB的面积．
故选：B．
【点评】本题考查了直线围成图形面积问题，其中涉及了一次函数的性质，三角形的面积的计算，正确的理解题意是解题的关键．
【例8】（3分）（2021•呼和浩特7/24）在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（0，4）．以AB为一边在第一象限作正方形ABCD，则对角线BD所在直线的解析式为（ ）
A． B． C． D．y=4
【考点】待定系数法求一次函数解析式；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
【分析】过D点作DH⊥x轴于H，如图，证明△ABO≌△DAH得到AH=OB=4，DH=OA=3，则D（7，3），然后利用待定系数法求直线BD的解析式．
【解答】解：过D点作DH⊥x轴于H，如图，

∵点A（3，0），B（0，4）．
∴OA=3，OB=4，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵∠OBA+∠OAB =90°，∠OAB+∠DAH=90°，
∴∠ABO =∠DAH，
在△ABO和△DAH中，
，
∴△ABO≌△DAH（AAS），
∴AH=OB=4，DH=OA=3，
∴D（7，3），
设直线BD的解析式为y=kx+b，
把D（7，3），B（0，4）代入得，解得，
∴直线BD的解析式为．
故选：A．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数y=kx+b，需要两组x，y的值．利用全等三角形的性质求出D点坐标是解决问题的关键．
【例9】（3分）（2021•呼伦贝尔•兴安盟17/26）如图，点B1在直线l：上，点B1的横坐标为1，过点B1作B1A1⊥x轴，垂足为A1，以A1B1为边向右作正方形A1B1C1A2，延长A2C1交直线l于点B2；以A2B2为边向右作正方形A2B2C2A3，延长A3C2交直线l于点B3；…；按照这个规律进行下去，点B2021的坐标为 ．

【考点】规律型：点的坐标；一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】由题意分别求出A2（，0），B2（，），A3（，0），B3（，），A4（，0），B4（，），……，An（，0），Bn（，），即可求解．
【解答】解：∵点B1在直线l：上，点B1的横坐标为1，过点B1作B1A1⊥x轴，垂足为A1，
∴A1（1，0），B1（1，），
∵四边形A1B1C1A2是正方形，
∴A2（，0），B2（，），
A3（，0），B3（，），
A4（，0），B4（，），
……
An（，0），Bn（，），
∴点B2021的坐标为（，），
故答案为：（，）．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，点的坐标规律；理解题意，结合一次函数的图象和正方形的性质，探索点的坐标规律是解题的关键．
【例10】（10分）（2020•河北24/26）表格中的两组对应值满足一次函数y=kx+b，现画出了它的图象为直线l，如图．而某同学为观察k，b对图象的影响，将上面函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线l′．
x
-1
0
y
-2
1
（1）求直线l的解析式；
（2）请在图上画出直线l′（不要求列表计算），并求直线l′被直线l和y轴所截线段的长；
（3）设直线y=a与直线l，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出a的值．

【考点】一次函数的性质；一次函数的图象；一次函数图象与几何变换．
【分析】（1）根据待定系数法求得即可；
（2）画出直线l，求得两直线的交点，根据勾股定理即可求得直线l′被直线l和y轴所截线段的长；
（3）求得两条直线与直线y=a的交点横坐标，分三种情况讨论求得即可．
【解答】解：（1）∵直线l：y=kx+b中，当x=-1时，y=-2；当x=0时，y=1，
∴，解得，
∴直线l的解析式为y=3x+1；
（2）依题意可得直线l′的解析式为y=x+3
如图，

解得，
∴两直线的交点为A（1，4），
∵直线l′: y=x+3与y轴的交点为B（0，3），
∴直线l′被直线l和y轴所截线段的长为：；
（3）把y=a代入y=3x+1得，a=3x+1，解得；
把y=a代入y=x+3得，a =x+3，解得x = a -3；
分三种情况：①当第三点在y轴上时，，
解得；
②当第三点在直l上时，，
解得a =7；
③当第三点在直线l′上时，，
解得；
∴直线y=a与直线l，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，则a的值为或7或．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，两直线相交问题，待定系数法求一次函数的解析式，分类讨论是解题的关键．
【例11】（10分）（2019·沈阳23/25）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+4（k≠0）交x轴于点A（8，0），交y轴于点B．

（1）k的值是________；
（2）点C是直线AB上的一个动点，点D和点E分别在x轴和y轴上．
①如图，点E为线段OB的中点，且四边形OCED是平行四边形时，求□OCED的周长；
②当CE平行于x轴，CD平行于y轴时，连接DE，若△CDE的面积为，请直接写出点C的坐标．
【分析】（1）将点A的坐标代入直线y＝kx+4（k≠0） 即可算出k的值，从而求出一次函数的解析式；（2） ① 根据直线与y轴交点的坐标特点，求出点B的坐标，从而得出OB的长度，根据中点的定义得出BE=OE=2，根据平行四边形的对边平行得出 CE∥DA， 根据平行线分线段成比例定理得出，所以点C是AB的中点， 进而根据三角形的中位线定理得出 CE＝OA＝4， 在Rt△DOE中 ，利用勾股定理算出DE长，从而根据平行四边形周长的计算方法即可算出答案； ② 根据点的坐标与图形的性质设出点C的坐标，然后根据三角形的面积计算方法，由△CDE的面积为建立方程，求解即可得出x的值，从而求出点C的坐标．
【解答】 （1）将A（8，0）代入y＝kx+4，得：0＝8k+4，
解得：．
（2）①由（1）可知直线AB的解析式为．
当x＝0时，，
∴点B的坐标为（0，4），
∴OB＝4．
∵点E为OB的中点，
∴BE＝OE＝OB＝2．
∵点A的坐标为（8，0），
∴OA＝8．
∵四边形OCED是平行四边形，
∴CE∥DA，
∴ ，
∴BC＝AC，
∴CE是△ABO的中位线，
∴CE＝OA＝4．
∵四边形OCED是平行四边形，
∴OD＝CE＝4，OC＝DE．
在Rt△DOE中，∠DOE＝90°，OD＝4，OE＝2，
∴DE＝= 2，
∴C平行四边形OCED＝2（OD+DE）＝2（4+2）＝8+4．
②设点C的坐标为（x，x+4），则CE＝|x|，CD＝|x+4|，

∴S△CDE＝CD•CE＝|x2+2x|＝，
∴x2+8x+33＝0或x2+8x﹣33＝0．
方程x2+8x+33＝0无解；
解方程x2+8x﹣33＝0，得：x1＝﹣3，x2＝11，
∴点C的坐标为（﹣3，）或（11，）．
知识点3： 一次函数的实际应用


知识点梳理

1．一次函数应用问题的求解思路：
建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答．
利用函数并与方程（组）、不等式（组）联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用．
2．建立函数模型解决实际问题的一般步骤：
（1）审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y；
（2）根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式；
（3）确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义；
（4）利用函数的性质解决问题；
（5）写出答案．
3．利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤：
（1）观察图象，获取有效信息；
（2）对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系；
（3）选择适当的数学工具（如函数、方程、不等式等），通过建模解决问题．
【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围．
典型例题

【例12】（2022•深圳）某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜1元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样．
（1）求甲乙两种类型笔记本的单价．
（2）该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用是多少．
【考点】一次函数的应用；一元一次不等式的应用；分式方程的应用
【分析】（1）设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本单价为(x＋1)元，根据用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样列方程，从而可解决问题；
（2）设甲类型笔记本购买了a件，费用为w元，则乙类型的笔记本购买了(100－a)件，列出w关于a的函数解析式，由一次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本单价为(x＋1)元，
由题意得，，
解得x＝11，
经检验x＝11是原方程的解，且符合题意，
∴乙类型的笔记本单价为x＋1＝11＋1＝12（元），
答：甲类型的笔记本单价为11元，乙类型的笔记本单价为12元；
（2）设甲类型笔记本购买了a件，费用为w元，则乙类型的笔记本购买了(100－a)件，
购买的乙的数量不超过甲的3倍，
∴100－a≤3a，且100－a≥0，
解得25≤a≤100，
根据题意得w＝11a＋12(100－a)＝11a＋1200－12a＝－a＋1200，
∵－1＜0，
∴w随a的增大而减小，
∴a＝100时，w最小值为－100＋1200＝1100（元），
答：最低费用为1100元．
【点评】本题主要考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的运用等知识，根据题意，列出方程和函数解析式是解题的关键．
【例13】（2022•济南）为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗．已知购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？
（2）若购买甲、乙两种树苗共100棵，且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍．则购买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少？请说明理由．
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用
【分析】（1）设甲种树苗每棵的价格是x元，乙种树苗每棵的价格是y元，可得：，即可解得甲种树苗每棵的价格是40元，乙种树苗每棵的价格是30元；
（2）设购买两种树苗共花费w元，购买甲种树苗m棵，根据购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍，得m≥25，而w＝40m＋30(100－m)＝10m＋3000，由一次函数性质可得购买甲种树苗25棵，则购买乙种树苗75棵，花费最少．
【解答】解：（1）设甲种树苗每棵的价格是x元，乙种树苗每棵的价格是y元，
根据题意得：，
解得，
答：甲种树苗每棵的价格是40元，乙种树苗每棵的价格是30元；
（2）购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵，花费最少，理由如下：
设购买两种树苗共花费w元，购买甲种树苗m棵，则购买乙种树苗(100－m)棵，
∵购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍，
∴100－m≤3m，
解得m≥25，
根据题意：w＝40m＋30(100－m)＝10m＋3000，
∵10＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴m＝25时，w取最小值，最小值为10×25＋3000＝3250（元），
此时100－m＝75，
答：购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵，花费最少．
【点评】本题考查二元一次方程组及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．
【例14】（7分）（2021•陕西23/26）在一次机器“猫”抓机器“鼠”的展演测试中，“鼠”先从起点出发，1 min后，“猫”从同一起点出发去追“鼠”，抓住“鼠”并稍作停留后，“猫”抓着“鼠”沿原路返回．“鼠”、“猫”距起点的距离y（m）与时间x（min）之间的关系如图所示．
（1）在“猫”追“鼠”的过程中，“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是 m/min；
（2）求AB的函数表达式；
（3）求“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间．

【考点】一次函数的应用．
【分析】（1）由图象求出“猫”和“鼠”的速度即可；
（2）先设出函数关系式，用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）令（2）中解析式y＝0，求出x即可．
【解答】解：（1）由图像知：“鼠”6 min跑了30 m，
∴“鼠”的速度为：30÷6＝5（m/min），
“猫”5 min跑了30 m，
∴“猫”的速度为：30÷5＝6（m/min），
∴“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是1（m/min），
故答案为：1；
（2）设AB的解析式为：y＝kx+b，
∵图象经过A（7，30）和B（10，18），
把点A和点B坐标代入函数解析式得：
，
解得：，
∴AB的解析式为：y＝﹣4x+58；
（3）令y＝0，则﹣4x+58＝0，
∴x＝14.5，
∵“猫”比“鼠”迟一分钟出发，
∴“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间为14.5﹣1＝13.5（min）．
答：“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间13.5 min．
【点评】本题考查一次函数的应用和待定系数法求函数解析式，关键是读取图形中信息，写出函数关系式．
【例15】（8分）（2021•吉林23/26）疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种，甲地经过a天后接种人数达到25万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y（万人）与各自接种时间x（天）之间的关系如图所示．
（1）直接写出乙地每天接种的人数及a的值；
（2）当甲地接种速度放缓后，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当乙地完成接种任务时，求甲地未接种疫苗的人数．

【考点】一次函数的应用．
【分析】（1）由接种速度=接种人数÷接种天数求解．
（2）利用待定系数法求解．
（3）将x=80代入（2）问中解析式得出y=35，然后得到40-35=5．
【解答】解：（1）乙地接种速度为40÷80=0.5（万人/天），
0.5a=25-5，
解得a=40．
（2）设y=kx+b，将（40，25），（100，40）代入解析式得：
，
解得，
∴．
（3）把x=80代入得，
40-35=5（万人）．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题关键是熟练掌握待定系数法求解．
【例16】（8分）（2021•云南21/23）某鲜花销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案．
方案一：没有底薪，只付销售提成；
方案二：底薪加销售提成．
如图中的射线l1，射线l2分别表示该鲜花销售公司每月按方案一，方案二付给销售人员的工资y1（单位：元）和y2（单位：元）与其当月鲜花销售量x（单位：千克）(x≥0)的函数关系．
（1）分别求y1、y2与x的函数解析式（解析式也称表达式）；
（2）若该公司某销售人员今年3月份的鲜花销售量没有超过70千克，但其3月份的工资超过2000元．这个公司采用了哪种方案给这名销售人员付3月份的工资？

【考点】一次函数的应用；一元一次不等式组的应用．
【分析】（1）由待定系数法就可以求出解析式；
（2）利用（1）中求出的两函数的解析式，把x=70代入求解即可．
【解答】解：（1）设y1= k1x，
根据题意得40 k1=120，
解得k1=30，
∴y1=30 x（x≥0）；
设y2= k2x+b，
根据题意，得，
解得，
∴y2=10 x+800（x≥0）；
（2）当x=70时，
y1=30×70=2100＞2000；
y2=10×70+800=1500＜2000．
∴这个公司采用了方案一给这名销售人员付3月份的工资．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，一元一次不等式的运用，设计方案的运用，解答时认真分析，弄清函数图象的意义是关键．
巩固训练

1．（2022•德州）如图是关于的一个函数图象，根据图象，下列说法正确的是　　

A．该函数的最大值为7
B．当时，随的增大而增大
C．当时，对应的函数值
D．当和时，对应的函数值相等
2．（2022•攀枝花）中国人逢山开路，遇水架桥，靠自己勤劳的双手创造了世界奇迹．雅西高速是连接雅安和西昌的高速公路，被国内外专家学者公认为全世界自然环境最恶劣、工程难度最大、科技含量最高的山区高速公路之一，全长．一辆货车和一辆轿车先后从西昌出发驶向雅安，如图，线段表示货车离西昌距离与时间之间的函数关系：折线表示轿车离西昌距离与时间之间的函数关系，则以下结论错误的是　　

A．货车出发1.8小时后与轿车相遇
B．货车从西昌到雅安的速度为
C．轿车从西昌到雅安的速度为
D．轿车到雅安20分钟后，货车离雅安还有
3．（2022•日照）下列说法正确的是　　
A．一元一次方程的解是
B．在连续5次数学测试中，两名同学的平均成绩相同，则方差较大的同学的成绩更稳定
C．从5名男生，2名女生中抽取3人参加活动，至少会有1名男生被抽中
D．将一次函数的图象向上平移两个单位，则平移后的函数解析式为
4．（2022•恩施州）如图1是我国青海湖最深处的某一截面图，青海湖水面下任意一点的压强（单位：与其离水面的深度（单位：的函数解析式为，其图象如图2所示，其中为青海湖水面大气压强，为常数且．根据图中信息分析（结果保留一位小数），下列结论正确的是　　

A．青海湖水深处的压强为
B．青海湖水面大气压强为
C．函数解析式中自变量的取值范围是
D．与的函数解析式为
5．（2022•绥化）小王同学从家出发，步行到离家米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离（单位：米）与出发时间（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为　　

A．2.7分钟 B．2.8分钟 C．3分钟 D．3.2分钟
6．（2022•毕节市）现代物流的高速发展，为乡村振兴提供了良好条件．某物流公司的汽车行驶后进入高速路，在高速路上匀速行驶一段时间后，再在乡村道路上行驶到达目的地．汽车行驶的时间（单位：与行驶的路程（单位：之间的关系如图所示．请结合图象，判断以下说法正确的是　　

A．汽车在高速路上行驶了
B．汽车在高速路上行驶的路程是
C．汽车在高速路上行驶的平均速度是
D．汽车在乡村道路上行驶的平均速度是
7．（2022•桂林）桂林作为国际旅游名城，每年吸引着大量游客前来观光．现有一批游客分别乘坐甲乙两辆旅游大巴同时从旅行社前往某个旅游景点．行驶过程中甲大巴因故停留一段时间后继续驶向景点，乙大巴全程匀速驶向景点．两辆大巴的行程随时间变化的图象（全程）如图所示．依据图中信息，下列说法错误的是　　

A．甲大巴比乙大巴先到达景点
B．甲大巴中途停留了
C．甲大巴停留后用追上乙大巴
D．甲大巴停留前的平均速度是
8．（2022•玉林）龟兔赛跑之后，输了比赛的兔子决定和乌龟再赛一场．图中的函数图象表示了龟兔再次赛跑的过程表示兔子和乌龟从起点出发所走的时间，，分别表示兔子与乌龟所走的路程）．下列说法错误的是　　

A．兔子和乌龟比赛路程是500米
B．中途，兔子比乌龟多休息了35分钟
C．兔子比乌龟多走了50米
D．比赛结果，兔子比乌龟早5分钟到达终点
9．（2022•乐山）甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程（千米）与所用的时间（分钟）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法错误的是　　

A．前10分钟，甲比乙的速度慢
B．经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米
C．甲的平均速度为0.08千米分钟
D．经过30分钟，甲比乙走过的路程少
10．（2022•阜新）快递员经常驾车往返于公司和客户之间．在快递员完成某次投递业务时，他与客户的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示（因其他业务，曾在途中有一次折返，且快递员始终匀速行驶），那么快递员的行驶速度是 ．

11．（2022•资阳）女子10千米越野滑雪比赛中，甲、乙两位选手同时出发后离起点的距离（千米）与时间（分钟）之间的函数关系如图所示，则甲比乙提前 分钟到达终点．

12．（2022•呼和浩特）某超市糯米的价格为5元千克，端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过2千克时，按原价售出，超过2千克时，超过的部分打8折．若某人付款14元，则他购买了 千克糯米；设某人的付款金额为元，购买量为千克，则购买量关于付款金额的函数解析式为 ．
13．（2022•遵义）如图，在等腰直角三角形中，，点，分别为，上的动点，且，．当的值最小时，的长为 ．

14．（2022•苏州）一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完．在整个过程中，容器中的水量（升与时间（分钟）之间的函数关系如图所示，则图中的值为 ．

15．（2022•益阳）如图，直线与轴交于点，点关于轴的对称点为，经过点和轴上的点的直线设为．
（1）求点的坐标；
（2）确定直线对应的函数表达式．

16．（2022•北京）在平面直角坐标系中，函数的图象过点，，且与轴交于点．
（1）求该函数的解析式及点的坐标；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围．
17．（2022•陕西）如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中是的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组与的对应值．
输入




0
2

输出



2
6
16

根据以上信息，解答下列问题：
（1）当输入的值为1时，输出的值为 ；
（2）求，的值；
（3）当输出的值为0时，求输入的值．

18．（2022•内蒙古）某商店决定购进、两种北京冬奥会纪念品．若购进种纪念品10件，种纪念品5件，需要1000元；若购进种纪念品5件，种纪念品3件，需要550元．
（1）求购进、两种纪念品的单价；
（2）若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进种纪念品的数量不少于种纪念品数量的6倍，且购进种纪念品数量不少于20件，那么该商店共有几种进货方案？
（3）若销售每件种纪念品可获利润20元，每件种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？求出最大利润．
19．（2022•东营）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元千克和8元千克．
（1）求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
（2）若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
20．（2022•襄阳）为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元；乙种产品的进货总金额（单位：元）与乙种产品进货量（单位：之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元和18元．
（1）求出和时，与之间的函数关系式；
（2）若该经销商购进甲、乙两种产品共，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于，且不高于，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为元（利润销售额成本），请求出（单位：元）与乙种产品进货量（单位：之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案；
（3）为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低元和元，全部售出后所获总利润不低于15000元，求的最大值．

21．（2022•南通）某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元、12元，这两种苹果的销售额（单位：元）与销售量（单位：之间的关系如图所示．
（1）写出图中点表示的实际意义；
（2）分别求甲、乙两种苹果销售额（单位：元）与销售量（单位：之间的函数解析式，并写出的取值范围；
（3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为时，它们的利润和为1500元，求的值．

22．（2022•济宁）某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往，两地，两种货车载重量及到，两地的运输成本如表：
货车类型
载重量（吨辆）
运往地的成本（元辆）
运往地的成本（元辆）
甲种
16
1200
900
乙种
12
1000
750
（1）求甲、乙两种货车各用了多少辆；
（2）如果前往地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往地．设甲、乙两种货车到，两地的总运输成本为元，前往地的甲种货车为辆．
①写出与之间的函数解析式；
②当为何值时，最小？最小值是多少？
23．（2022•盐城）小丽从甲地匀速步行去乙地，小华骑自行车从乙地匀速前往甲地，同时出发．两人离甲地的距离与出发时间之间的函数关系如图所示．
（1）小丽步行的速度为 ；
（2）当两人相遇时，求他们到甲地的距离．

24．（2022•牡丹江）在一条平坦笔直的道路上依次有，，三地，甲从地骑电瓶车到地，同时乙从地骑摩托车到地，到达地后因故停留1分钟，然后立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速前往地，结果乙比甲早2分钟到达地，两人均匀速运动，如图是两人距地路程（米与时间（分钟）之间的函数图象．
请解答下列问题：
（1）填空：甲的速度为 米分钟，乙的速度为 米分钟；
（2）求图象中线段所在直线表示的（米与时间（分钟）之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（3）出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？请直接写出答案．

25．（2022•长春）已知、两地之间有一条长440千米的高速公路．甲、乙两车分别从、两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以100千米时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶4小时到达地；乙车匀速行驶至地，两车到达各自的目的地后停止，两车距地的路程（千米）与各自的行驶时间（时之间的函数关系如图所示．
（1） ， ；
（2）求两车相遇后，甲车距地的路程与之间的函数关系式；
（3）当乙车到达地时，求甲车距地的路程．

26．（2022•通辽）为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品，两个商店的优惠活动如下：
甲：所有商品按原价8.5折出售；
乙：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折．
设需要购买体育用品的原价总额为元，去甲商店购买实付元，去乙商店购买实付元，其函数图象如图所示．
（1）分别求，关于的函数关系式；
（2）两图象交于点，求点坐标；
（3）请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算．

27．（2022•广安）某企业下属、两厂向甲乙两地运送水泥共520吨，厂比厂少运送20吨，从厂运往甲乙两地的运费分别为40元吨和35元吨，从厂运往甲乙两地的运费分别为28元吨和25元吨．
（1）求、两厂各运送多少吨水泥；
（2）现甲地需要水泥240吨，乙地需要水泥280吨．受条件限制，厂运往甲地的水泥最多150吨．设从厂运往甲地吨水泥，、两厂运往甲乙两地的总运费为元．求与之间的函数关系式，请你为该企业设计一种总运费最低的运输方案，并说明理由．
28．（2022•恩施州）某校计划租用甲、乙两种客车送180名师生去研学基地开展综合实践活动．已知租用一辆甲型客车和一辆乙型客车共需500元，租用2辆甲型客车和3辆乙型客车共需1300元．甲型客车每辆可坐15名师生，乙型客车每辆可坐25名师生．
（1）租用甲、乙两种客车每辆各多少元？
（2）若学校计划租用8辆客车，怎样租车可使总费用最少？
29．（2022•遵义）遵义市开展信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，某实验学校计划购买，两种型号教学设备，已知型设备价格比型设备价格每台高，用30000元购买型设备的数量比用15000元购买型设备的数量多4台．
（1）求，型设备单价分别是多少元；
（2）该校计划购买两种设备共50台，要求型设备数量不少于型设备数量的．设购买台型设备，购买总费用为元，求与的函数关系式，并求出最少购买费用．
30．（2022•包头）由于精准扶贫的措施科学得当，贫困户小颖家今年种植的草莓喜获丰收，采摘上市16天全部销售完．小颖对销售情况进行统计后发现，在该草莓上市第天取整数）时，日销售量（单位：千克）与之间的函数关系式为，草莓价格（单位：元千克）与之间的函数关系如图所示．
（1）求第14天小颖家草莓的日销售量；
（2）求当时，草莓价格与之间的函数关系式；
（3）试比较第8天与第10天的销售金额哪天多？

31．（2022•黑龙江）为抗击疫情，支援市，市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往市．甲、乙两辆货车从市出发前往市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达市．甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往市．乙车维修完毕后立即返回市．两车离市的距离与乙车所用时间之间的函数图象如图所示．
（1）甲车速度是 ，乙车出发时速度是 ；
（2）求乙车返回过程中，乙车离市的距离与乙车所用时间的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）乙车出发多少小时，两车之间的距离是？请直接写出答案．

32．（2022•吉林）李强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水，甲壶比乙壶加热速度快．在一段时间内，水温与加热时间之间近似满足一次函数关系，根据记录的数据，画函数图象如下：
（1）加热前水温是 ．
（2）求乙壶中水温关于加热时间的函数解析式．
（3）当甲壶中水温刚达到时，乙壶中水温是 ．

33．（2022•梧州）梧州市地处亚热带，盛产龙眼．新鲜龙眼的保质期短，若加工成龙眼干（又叫带壳圆肉）则有利于较长时间保存．已知的新鲜龙眼在无损耗的情况下可以加工成的龙眼干．
（1）若新鲜龙眼售价为12元．在无损耗的情况下加工成龙眼干，使龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益，则龙眼干的售价应不低于多少元？
（2）在实践中，小苏发现当地在加工龙眼干的过程中新鲜龙眼有的损耗，为确保果农的利益，龙眼干的销售收益应不低于新鲜龙眼的销售收益，此时龙眼干的定价取最低整数价格．
市场调查还发现，新鲜龙眼以12元最多能卖出，超出部分平均售价是5元，可售完．果农们都以这种方式出售新鲜龙眼．
设某果农有新鲜龙眼，他全部加工成龙眼干销售获得的收益与全部以新鲜龙眼销售获得的收益之差为元，请写出与的函数关系式．
34．（2022•齐齐哈尔）在一条笔直的公路上有、两地，甲、乙二人同时出发，甲从地步行匀速前往地，到达地后，立刻以原速度沿原路返回地．乙从地步行匀速前往地（甲、乙二人到达地后均停止运动），甲、乙二人之间的距离（米与出发时间（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）、两地之间的距离是 米，乙的步行速度是 米分；
（2）图中　　，　　，　　；
（3）求线段的函数解析式；
（4）在乙运动的过程中，何时两人相距80米？（直接写出答案即可）

35．（2022•十堰）某商户购进一批童装，40天销售完毕．根据所记录的数据发现，日销售量（件与销售时间（天之间的关系式是，销售单价（元件）与销售时间（天之间的函数关系如图所示．
（1）第15天的日销售量为 件；
（2）时，求日销售额的最大值；
（3）在销售过程中，若日销售量不低于48件的时间段为“火热销售期”，则“火热销售期”共有多少天？

36．（2022•天津）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
已知学生公寓、阅览室、超市依次在同一条直线上，阅览室离学生公寓，超市离学生公寓．小琪从学生公寓出发，匀速步行了到阅览室；在阅览室停留后，匀速步行了到超市；在超市停留后，匀速骑行了返回学生公寓．给出的图象反映了这个过程中小琪离学生公寓的距离与离开学生公寓的时间之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）填表：
离开学生公寓的时间
5
8
50
87
112
离学生公寓的距离
0.5

　　
1.6
　　
（Ⅱ）填空：
①阅览室到超市的距离为 　　；
②小琪从超市返回学生公寓的速度为 　　；
③当小琪离学生公寓的距离为时，他离开学生公寓的时间为 　　．
（Ⅲ）当时，请直接写出关于的函数解析式．

37．（2022•苏州）某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如表所示：
进货批次
甲种水果质量
（单位：千克）
乙种水果质量
（单位：千克）
总费用
（单位：元）
第一次
60
40
1520
第二次
30
50
1360
（1）求甲、乙两种水果的进价；
（2）销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、乙两种水果共200千克，且投入的资金不超过3360元．将其中的千克甲种水果和千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的200千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于800元，求正整数的最大值．
38．（2022•新疆），两地相距，甲、乙两人分别开车从地出发前往地，其中甲先出发．如图是甲，乙行驶路程，随行驶时间变化的图象，请结合图象信息，解答下列问题：
（1）填空：甲的速度为 ；
（2）分别求出，与之间的函数解析式；
（3）求出点的坐标，并写出点的实际意义．

39．（2022•衡阳）冰墩墩、雪容融分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶．决定从该网店进货并销售．第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．
（1）求两种玩偶的进货价分别是多少？
（2）第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？

40．（2022•湖州）某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行研学活动．大巴出发1小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知大巴行驶的速度是40千米小时，轿车行驶的速度是60千米小时．
（1）求轿车出发后多少小时追上大巴？此时，两车与学校相距多少千米？
（2）如图，图中，分别表示大巴、轿车离开学校的路程（千米）与大巴行驶的时间（小时）的函数关系的图象．试求点的坐标和所在直线的解析式；
（3）假设大巴出发小时后轿车出发追赶，轿车行驶了1.5小时追上大巴，求的值．

41．（2022•绍兴）一个深为6米的水池积存着少量水，现在打开水阀进水，下表记录了2小时内5个时刻的水位高度，其中表示进水用时（单位：小时），表示水位高度（单位：米）．

0
0.5
1
1.5
2

1
1.5
2
2.5
3
为了描述水池水位高度与进水用时的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，．
（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式，并画出这个函数的图象．
（2）当水位高度达到5米时，求进水用时．

42．（2022•云南）某学校要购买甲、乙两种消毒液，用于预防新型冠状病毒．若购买9桶甲消毒液和6桶乙消毒液，则一共需要615元；若购买8桶甲消毒液和12桶乙消毒液，则一共需要780元．
（1）每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购买甲、乙两种消毒液共30桶，其中购买甲消毒液桶，且甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5桶，又不超过乙消毒液的数量的2倍．怎样购买，才能使总费用最少？并求出最少费用．
43．（2022•凉山州）为全面贯彻党的教育方针，严格落实教育部对中小学生“五项管理”的相关要求和《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》精神，保障学生每天在校1小时体育活动时间，某班计划采购、两种类型的羽毛球拍．已知购买3副型羽毛球拍和4副型羽毛球拍共需248元；购买5副型羽毛球拍和2副型羽毛球拍共需264元．
（1）求、两种类型羽毛球拍的单价．
（2）该班准备采购、两种类型的羽毛球拍共30副，且型羽毛球拍的数量不少于型羽毛球拍数量的2倍，请给出最省钱的购买方案，求出最少费用，并说明理由．
44．（2022•成都）随着“公园城市”建设的不断推进，成都绕城绿道化身成为这座城市的一个超大型“体育场”，绿道骑行成为市民的一种低碳生活新风尚．甲、乙两人相约同时从绿道某地出发同向骑行，甲骑行的速度是，乙骑行的路程与骑行的时间之间的关系如图所示．
（1）直接写出当和时，与之间的函数表达式；
（2）何时乙骑行在甲的前面？

45．（2022•丽水）因疫情防控需要，一辆货车先从甲地出发运送防疫物资到乙地，稍后一辆轿车从甲地急送防疫专家到乙地．已知甲、乙两地的路程是，货车行驶时的速度是．两车离甲地的路程与时间的函数图象如图．
（1）求出的值；
（2）求轿车离甲地的路程与时间的函数表达式；
（3）问轿车比货车早多少时间到达乙地？

46．（2022•德阳）习近平总书记对实施乡村振兴战略作出重要指示强调：实施乡村振兴战略，是党的十九大作出的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．为了发展特色产业，红旗村花费4000元集中采购了种树苗500株，种树苗400株，已知种树苗单价是种树苗单价的1.25倍．
（1）求、两种树苗的单价分别是多少元？
（2）红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种，其中种树苗不多于25株，在单价不变，总费用不超过480元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？
47．（2022•黑龙江）为了迎接“十一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：
运动鞋
价格
甲
乙
进价（元双）


售价（元双）
240
160
已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．
（1）求的值；
（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润售价进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？
48．（2022•黑龙江）2008年5月12日14时28分四川汶川发生里氏8.0级强力地震．某市接到上级通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区．乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发1.25小时（从甲组出发时开始计时）．图中的折线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程（千米）、（千米）与时间（小时）之间的函数关系对应的图象．请根据图象所提供的信息，解决下列问题：
（1）由于汽车发生故障，甲组在途中停留了 小时；
（2）甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区．请问甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米？
（3）为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过25千米，请通过计算说明，按图象所表示的走法是否符合约定？

49．（2022•攀枝花）如图，直线分别与轴、轴交于点、，点为线段上一动点（不与、重合），以为顶点作，射线交线段于点，将射线绕点顺时针旋转交射线于点，连结．
（1）证明：；（用图
（2）当为直角三角形时，求的长度；（用图
（3）点关于射线的对称点为，求的最小值．（用图

50．（2022•兰州）在平面直角坐标系中，是第一象限内一点，给出如下定义：和两个值中的最大值叫做点的“倾斜系数” ．
（1）求点的“倾斜系数” 的值；
（2）①若点的“倾斜系数” ，请写出和的数量关系，并说明理由；
②若点的“倾斜系数” ，且，求的长；
（3）如图，边长为2的正方形沿直线运动，是正方形上任意一点，且点的“倾斜系数” ，请直接写出的取值范围．

51．（2022•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．
（1）求直线的函数表达式；
（2）过点作轴于点，将沿射线平移得到的三角形记为△，点，，的对应点分别为，，，若△与重叠部分的面积为，平移的距离，当点与点重合时停止运动．
①若直线交直线于点，则线段的长为 （用含有的代数式表示）；
②当时，与的关系式为 ；
③当时，的值为 ．

52．（2022•泰州）定义：对于一次函数、，我们称函数为函数、的“组合函数”．
（1）若，，试判断函数是否为函数、的“组合函数”，并说明理由；
（2）设函数与的图像相交于点．
①若，点在函数、的“组合函数”图像的上方，求的取值范围；
②若，函数、的“组合函数”图像经过点．是否存在大小确定的值，对于不等于1的任意实数，都有“组合函数”图像与轴交点的位置不变？若存在，请求出的值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
53．（2022•河北）如图，平面直角坐标系中，线段的端点为，．
（1）求所在直线的解析式；
（2）某同学设计了一个动画：
在函数中，分别输入和的值，使得到射线，其中．当时，会从处弹出一个光点，并沿飞行；当时，只发出射线而无光点弹出．
①若有光点弹出，试推算，应满足的数量关系；
②当有光点弹出，并击中线段上的整点（横、纵坐标都是整数）时，线段就会发光．求此时整数的个数．

54．（2022•黑龙江）如图，直线与轴，轴分别相交于，两点，分别过，两点作轴，轴的垂线相交于点，且，的长分别是一元二次方程的两个实数根．
（1）求点坐标；
（2）求直线的解析式；
（3）在直线上存在点，使以点，，三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点的坐标．

巩固训练解析

1．（2022•德州）如图是关于的一个函数图象，根据图象，下列说法正确的是　　

A．该函数的最大值为7
B．当时，随的增大而增大
C．当时，对应的函数值
D．当和时，对应的函数值相等
【考点】一次函数的应用；函数值；函数的图象
【分析】根据函数图象的相应点坐标以及增减性，可得答案．
【解答】解：由图象可知：
．该函数的最大值为6，原说法错误，故本选项不合题意；
．当时，随的增大而增大，原说法错误，故本选项不合题意；
．当时，对应的函数值，原说法错误，故本选项不合题意；
．设时，，则，
解得，
，
当时，；
设时，，
则，
解得，
，
当时，，
当和时，对应的函数值都等于4，
当和时，对应的函数值相等，说法正确，故本选项符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了一次函数的应用，观察函数图象获得有效信息是解题关键．
2．（2022•攀枝花）中国人逢山开路，遇水架桥，靠自己勤劳的双手创造了世界奇迹．雅西高速是连接雅安和西昌的高速公路，被国内外专家学者公认为全世界自然环境最恶劣、工程难度最大、科技含量最高的山区高速公路之一，全长．一辆货车和一辆轿车先后从西昌出发驶向雅安，如图，线段表示货车离西昌距离与时间之间的函数关系：折线表示轿车离西昌距离与时间之间的函数关系，则以下结论错误的是　　

A．货车出发1.8小时后与轿车相遇
B．货车从西昌到雅安的速度为
C．轿车从西昌到雅安的速度为
D．轿车到雅安20分钟后，货车离雅安还有
【考点】一次函数的应用
【分析】根据“速度路程时间”分别求出两车的速度，进而得出轿车出发的时间，再对各个选项逐一判断即可．
【解答】解：由题意可知，
货车从西昌到雅安的速度为：，故选项不合题意；
轿车从西昌到雅安的速度为：，故选项不合题意；
轿车从西昌到雅安所用时间为：（小时），
（小时），
设货车出发小时后与轿车相遇，根据题意得：
，
解得，
货车出发1.8小时后与轿车相遇，故选项不合题意；
轿车到雅安20分钟后，货车离雅安还有，故选项符合题意．
故选：．
【点评】此题为一次函数的应用，解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义．
3．（2022•日照）下列说法正确的是　　
A．一元一次方程的解是
B．在连续5次数学测试中，两名同学的平均成绩相同，则方差较大的同学的成绩更稳定
C．从5名男生，2名女生中抽取3人参加活动，至少会有1名男生被抽中
D．将一次函数的图象向上平移两个单位，则平移后的函数解析式为
【考点】一次函数图象与几何变换；一次函数的应用
【分析】根据一元一次方程的解的概念，方差的意义，抽屉原理，一次函数图象平移的规律逐项判断．
【解答】解：一元一次方程的解是，故错误，不符合题意；
在连续5次数学测试中，两名同学的平均成绩相同，则方差较小的同学的成绩更稳定，故错误，不符合题意；
从5名男生，2名女生中抽取3人参加活动，至少会有1名男生被抽中，故正确，符合题意；
将一次函数的图象向上平移两个单位，则平移后的函数解析式为，故错误，不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查一元一次方程的解，方差的应用，抽屉原理的应用，一次函数图象的平移等知识，解题的关键是掌握教材上相关的概念和定理．
4．（2022•恩施州）如图1是我国青海湖最深处的某一截面图，青海湖水面下任意一点的压强（单位：与其离水面的深度（单位：的函数解析式为，其图象如图2所示，其中为青海湖水面大气压强，为常数且．根据图中信息分析（结果保留一位小数），下列结论正确的是　　

A．青海湖水深处的压强为
B．青海湖水面大气压强为
C．函数解析式中自变量的取值范围是
D．与的函数解析式为
【考点】科学记数法与有效数字；一次函数的应用
【分析】由图象可知，直线过点和．由此可得出和的值，进而可判断，；根据实际情况可得出的取值范围，进而可判断；将代入解析式，可求出的值，进而可判断．
【解答】解：由图象可知，直线过点和，
，
解得．
直线解析式为：．故错误，不符合题意；
青海湖水面大气压强为，故错误，不符合题意；
根据实际意义，，故错误，不符合题意；
将代入解析式，
，即青海湖水深处的压强为，故正确，符合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查一次函数的实际应用，涉及一次函数的图象和性质，待定系数法等知识．关键是计算过程中需要结合实际意义．
5．（2022•绥化）小王同学从家出发，步行到离家米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离（单位：米）与出发时间（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为　　

A．2.7分钟 B．2.8分钟 C．3分钟 D．3.2分钟
【考点】一次函数的应用
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以先表示出两人的速度，然后即可计算出两人第一次和第二次相遇的时间，然后作差即可．
【解答】解：由图象可得，
小王的速度为米分钟，
爸爸的速度为：（米分钟），
设小王出发分钟两人第一次相遇，出发分钟两人第二次相遇，
，，
解得，，
，
故选：．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出两人相遇的时间．
6．（2022•毕节市）现代物流的高速发展，为乡村振兴提供了良好条件．某物流公司的汽车行驶后进入高速路，在高速路上匀速行驶一段时间后，再在乡村道路上行驶到达目的地．汽车行驶的时间（单位：与行驶的路程（单位：之间的关系如图所示．请结合图象，判断以下说法正确的是　　

A．汽车在高速路上行驶了
B．汽车在高速路上行驶的路程是
C．汽车在高速路上行驶的平均速度是
D．汽车在乡村道路上行驶的平均速度是
【考点】一次函数的应用
【分析】由到达目的地，在乡村道路上行驶可得下高速公路的时间，从而可判断，由图象直接可判断，根据速度路程除以时间可判断和．
【解答】解：到达目的地，在乡村道路上行驶，
汽车下高速公路的时间是，
汽车在高速路上行驶了，故错误，不符合题意；
由图象知：汽车在高速路上行驶的路程是，故错误，不符合题意；
汽车在高速路上行驶的平均速度是，故错误，不符合题意；
汽车在乡村道路上行驶的平均速度是，故正确，符合题意；
故选：．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图，从图中获取有用的信息．
7．（2022•桂林）桂林作为国际旅游名城，每年吸引着大量游客前来观光．现有一批游客分别乘坐甲乙两辆旅游大巴同时从旅行社前往某个旅游景点．行驶过程中甲大巴因故停留一段时间后继续驶向景点，乙大巴全程匀速驶向景点．两辆大巴的行程随时间变化的图象（全程）如图所示．依据图中信息，下列说法错误的是　　

A．甲大巴比乙大巴先到达景点
B．甲大巴中途停留了
C．甲大巴停留后用追上乙大巴
D．甲大巴停留前的平均速度是
【考点】一次函数的应用
【分析】根据函数图象中的数据，可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象可得，
甲大巴比乙大巴先到达景点，故选项正确，不符合题意；
甲大巴中途停留了，故选项正确，不符合题意；
甲大巴停留后用追上乙大巴，故选项错误，符合题意；
甲大巴停留前的平均速度是，故选项正确，不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8．（2022•玉林）龟兔赛跑之后，输了比赛的兔子决定和乌龟再赛一场．图中的函数图象表示了龟兔再次赛跑的过程表示兔子和乌龟从起点出发所走的时间，，分别表示兔子与乌龟所走的路程）．下列说法错误的是　　

A．兔子和乌龟比赛路程是500米
B．中途，兔子比乌龟多休息了35分钟
C．兔子比乌龟多走了50米
D．比赛结果，兔子比乌龟早5分钟到达终点
【考点】一次函数的应用
【分析】根据函数图象中的数据可以判断各个选项中的结论是否正确．
【解答】解：、“龟兔再次赛跑”的路程为500米，原说法正确，故此选项不符合题意；
、乌龟在途中休息了（分钟），兔子在途中休息了（分钟），兔子比乌龟多休息了35分钟，原说法正确，故此选项不符合题意；
、兔子和乌龟同时从起点出发，都走了500米，原说法错误，故此选项符合题意；
、比赛结果，兔子比乌龟早5分钟到达终点，原说法正确，故此选项不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查一次函数的应用，能够从函数图象中获取解答问题的信息是解答本题的关键．
9．（2022•乐山）甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程（千米）与所用的时间（分钟）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法错误的是　　

A．前10分钟，甲比乙的速度慢
B．经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米
C．甲的平均速度为0.08千米分钟
D．经过30分钟，甲比乙走过的路程少
【考点】一次函数的应用
【分析】观察函数图象，逐项判断即可．
【解答】解：由图象可得：前10分钟，甲的速度为（千米分），乙的速度是（千米分），
甲比乙的速度慢，故正确，不符合题意；
经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米，故正确，不符合题意；
甲40分钟走了3.2千米，
甲的平均速度为（千米分钟），故正确，不符合题意；
经过30分钟，甲走过的路程是2.4千米，乙走过的路程是2千米，
甲比乙走过的路程多，故错误，符合题意；
故选：．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图，从图中获取有用的信息．
10．（2022•阜新）快递员经常驾车往返于公司和客户之间．在快递员完成某次投递业务时，他与客户的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示（因其他业务，曾在途中有一次折返，且快递员始终匀速行驶），那么快递员的行驶速度是 ．

【考点】一次函数的应用
【分析】根据图象求出快递员往返的时间为，然后再根据速度路程时间．
【解答】解：快递员始终匀速行驶，
快递员的行驶速度是．
故答案为：35．
【点评】本题考查一次函数的应用，关键是结合图象掌握快递员往返的时间．
11．（2022•资阳）女子10千米越野滑雪比赛中，甲、乙两位选手同时出发后离起点的距离（千米）与时间（分钟）之间的函数关系如图所示，则甲比乙提前 分钟到达终点．

【考点】一次函数的应用
【分析】根据图象求出20分钟后甲的速度，进而求出32分钟，甲和乙所处的交点位置，再根据速度公式求出20分钟后乙的速度，进而求出达到终点时乙所需的时间，即可求出答案．
【解答】解：由图象可知，甲分钟的速度为：（千米分钟），
在32分钟时，甲和乙所处的位置：（千米），
乙20分钟后的速度为：（千米分钟），
乙到达终点的时间为：（分钟），
甲比乙提前：（分钟），
故答案为：1．
【点评】本题考查了一次函数的应用，从图中获取所需信息是本题的关键．
12．（2022•呼和浩特）某超市糯米的价格为5元千克，端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过2千克时，按原价售出，超过2千克时，超过的部分打8折．若某人付款14元，则他购买了 千克糯米；设某人的付款金额为元，购买量为千克，则购买量关于付款金额的函数解析式为 ．
【考点】一次函数的应用
【分析】根据糯米的价格为5元千克，如果一次购买2千克以上糯米，超过2千克的部分的糯米的价格打8折，即可得出解析式；再把代入即可．
【解答】解：时，
一次购买的数量超过2千克，
，
．
，
，
，
．
故答案为：3；．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式．
13．（2022•遵义）如图，在等腰直角三角形中，，点，分别为，上的动点，且，．当的值最小时，的长为 ．

【考点】点的坐标；一次函数的应用
【分析】过点作于点．
设．，欲求的最小值，相当于在轴上寻找一点，到，的距离和的最小值，如图1中，作点关于轴的对称点，当，，共线时，的值最小，此时直线的解析式为，求出点的坐标，可得结论．
【解答】解：过点作于点．设．

，，
，
，
，
，
，
欲求的最小值，相当于在轴上寻找一点，到，的距离和的最小值，如图1中，

作点关于轴的对称点，当，，共线时，的值最小，
此时直线的解析式为，
当时，，
的值最小时，的值为，
解法二：过点作，使得，连接，过点作于点．

，，，
，
，
，
当，，共线时，的值最小，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查等腰直角三角形的性质，轴对称最短问题，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
14．（2022•苏州）一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完．在整个过程中，容器中的水量（升与时间（分钟）之间的函数关系如图所示，则图中的值为 ．

【考点】一次函数的应用
【分析】设出水管每分钟排水升．由题意进水管每分钟进水10升，则有，求出，再求出8分钟后的放水时间，可得结论．
【解答】解：设出水管每分钟排水升．
由题意进水管每分钟进水10升，
则有，
，
分钟后的放水时间，，
，
故答案为：．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
15．（2022•益阳）如图，直线与轴交于点，点关于轴的对称点为，经过点和轴上的点的直线设为．
（1）求点的坐标；
（2）确定直线对应的函数表达式．

【考点】关于轴、轴对称的点的坐标；一次函数的性质；待定系数法求一次函数解析式
【分析】（1）利用直线解析式求得点坐标，利用关于轴的对称点的坐标的特征解答即可；
（2）利用待定系数法解答即可．
【解答】解：（1）令，则，
，
．
点关于轴的对称点为，
．
（2）设直线的函数表达式为，
，
解得：，
直线对应的函数表达式为．
【点评】本题主要考查了一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法确定函数的解析式，关于轴的对称点的坐标的特征，利用待定系数法解得是解题的关键．
16．（2022•北京）在平面直角坐标系中，函数的图象过点，，且与轴交于点．
（1）求该函数的解析式及点的坐标；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围．
【考点】一次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式
【分析】（1）先利用待定系数法求出函数解析式为，然后计算自变量为0时对应的函数值得到点坐标；
（2）当函数与轴的交点在点（含点）上方时，当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值．
【解答】解：（1）把，分别代入得，
解得，
函数解析式为，
当时，，
点坐标为；
（2）当时，当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：掌握待定系数法求一次函数解析式一般步骤是解决问题的关键．也考查了一次函数的性质．
17．（2022•陕西）如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中是的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组与的对应值．
输入




0
2

输出



2
6
16

根据以上信息，解答下列问题：
（1）当输入的值为1时，输出的值为 ；
（2）求，的值；
（3）当输出的值为0时，求输入的值．

【考点】待定系数法求一次函数解析式；函数值
【分析】（1）把代入，即可得到结论；
（2）将，，代入解方程即可得到结论；
（3）解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）当输入的值为1时，输出的值为，
故答案为：8；
（2）将，，代入得，
解得；
（3）令，
由得，
（舍去），
由，得，
，
输出的值为0时，输入的值为．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，函数值，正确地求得函数的解析式是解题的关键．
18．（2022•内蒙古）某商店决定购进、两种北京冬奥会纪念品．若购进种纪念品10件，种纪念品5件，需要1000元；若购进种纪念品5件，种纪念品3件，需要550元．
（1）求购进、两种纪念品的单价；
（2）若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进种纪念品的数量不少于种纪念品数量的6倍，且购进种纪念品数量不少于20件，那么该商店共有几种进货方案？
（3）若销售每件种纪念品可获利润20元，每件种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？求出最大利润．
【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用
【分析】（1）设某商店购进种纪念品每件需元，购进种纪念品每件需元，根据条件建立二元一次方程组求出其解即可；
（2）设某商店购进种纪念品个，购进种纪念品个，根据条件的数量关系建立不等式组求出其解即可；
（3）设总利润为元，根据总利润两种商品的利润之和列出函数解析式，再根据函数的性质求值即可．
【解答】解：（1）设该商店购进种纪念品每件需元，购进种纪念品每件需元，
由题意，得，
解得，
该商店购进种纪念品每件需50元，购进种纪念品每件需100元；
（2）设该商店购进种纪念品个，购进种纪念品个，
根据题意，得，
由得，
把代入，解得，
，
且为正整数，
可取得的正整数值是20，21，22，23，24，25，
与相对应的可取得的正整数值是160，158，156，154，152，150，
共有6种进货方案；
（3）设总利润为元，
则，
，
随的增大而减小，
当时，有最大值，最大（元，
当购进种纪念品160件，种纪念品20件时，可获得最大利润，最大利润是3800元．
【点评】本题考查了一次函数、一元一次不等式解实际问题的运用，解答时求出，两种纪念品的单价是关键．
19．（2022•东营）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元千克和8元千克．
（1）求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
（2）若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的应用
【分析】（1）设乙种水果的进价为元，则甲种水果的进价为元，由题意：用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进甲种水果千克，则乙种水果 千克，利润为元，由题意得，再由甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，得，然后由一次函数的性质即可得出结论．
【解答】解：（1）设乙种水果的进价为元，则甲种水果的进价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
则，
答：甲种水果的进价为4元，则乙种水果的进价为5元；
（2）设购进甲种水果千克，则乙种水果 千克，利润为元，
由题意得：，
甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，
，
解得：，
，则随的增大而减小，
当时，最大，最大值，
则，
答：购进甲种水果100千克，乙种水果50千克才能获得最大利润，最大利润为350元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程； （2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
20．（2022•襄阳）为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元；乙种产品的进货总金额（单位：元）与乙种产品进货量（单位：之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元和18元．
（1）求出和时，与之间的函数关系式；
（2）若该经销商购进甲、乙两种产品共，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于，且不高于，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为元（利润销售额成本），请求出（单位：元）与乙种产品进货量（单位：之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案；
（3）为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低元和元，全部售出后所获总利润不低于15000元，求的最大值．

【考点】一元一次不等式的应用；一次函数的应用
【分析】（1）分当时，当时，利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意可知，分当时，当时，分别列出与的函数关系式，根据一次函数的性质可得出结论；
（3）根据题意可知，降价后，与的关系式，并根据利润不低于15000，可得出的取值范围．
【解答】解：（1）当时，设，根据题意可得，，
解得，
；
当时，设，
根据题意可得，，
解得，
．
．
（2）根据题意可知，购进甲种产品千克，
，
当时，，
，
当时，的最大值为（元；
当时，，
，
当时，的最大值为（元，
综上，；
当购进甲产品2000千克，乙产品4000千克时，利润最大为24000元．
（3）根据题意可知，降价后，
，
当时，取得最大值，
，解得．
的最大值为0.9．

【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出函数关系式．
21．（2022•南通）某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元、12元，这两种苹果的销售额（单位：元）与销售量（单位：之间的关系如图所示．
（1）写出图中点表示的实际意义；
（2）分别求甲、乙两种苹果销售额（单位：元）与销售量（单位：之间的函数解析式，并写出的取值范围；
（3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为时，它们的利润和为1500元，求的值．

【考点】二元一次方程组的应用；一次函数的应用
【分析】（1）根据图形即可得出结论；
（2）用待定那个系数法分别求出甲、乙两种苹果销售额（单位：元）与销售量（单位：之间的函数解析式即可；
（3）分和两种情况列方程求解即可．
【解答】解：（1）图中点表示的实际意义为当销量为时，甲、乙两种苹果的销售额均为1200元；
（2）设甲种苹果销售额（单位：元）与销售量（单位：之间的函数解析式为，
把代入解析式得：，
解得，
甲种苹果销售额（单位：元）与销售量（单位：之间的函数解析式为；
当时，设乙种苹果销售额（单位：元）与销售量（单位：之间的函数解析式为，
把代入解析式得：，
解得：，
；
当时，设乙种苹果销售额（单位：元）与销售量（单位：之间的函数解析式为，
则，
解得：，
，
综上，乙种苹果销售额（单位：元）与销售量（单位：之间的函数解析式为；
（3）①当时，
根据题意得：，
解得：，不合题意；
②当时，
根据题意得：，
解得：，
综上，的值为80．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
22．（2022•济宁）某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往，两地，两种货车载重量及到，两地的运输成本如表：
货车类型
载重量（吨辆）
运往地的成本（元辆）
运往地的成本（元辆）
甲种
16
1200
900
乙种
12
1000
750
（1）求甲、乙两种货车各用了多少辆；
（2）如果前往地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往地．设甲、乙两种货车到，两地的总运输成本为元，前往地的甲种货车为辆．
①写出与之间的函数解析式；
②当为何值时，最小？最小值是多少？
【考点】一元一次方程的应用；一次函数的应用
【分析】（1）设甲种货车用了辆，可得：，即可解得甲种货车用了10辆，乙种货车用了14辆；
（2）①根据题意得：
②根据前往地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，可得，由一次函数性质可得当为4时，最小，最小值是22700元．
【解答】解：（1）设甲种货车用了辆，则乙种货车用了辆，
根据题意得：，
解得，
，
答：甲种货车用了10辆，乙种货车用了14辆；
（2）①根据题意得：

与之间的函数解析式是；
②，
，
前往地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，
，
解得，
，
在中，
，
随的增大而增大，
时，取最小值，最小值是（元，
答：当为4时，最小，最小值是22700元．
【点评】本题考查一元一次方程和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式．
23．（2022•盐城）小丽从甲地匀速步行去乙地，小华骑自行车从乙地匀速前往甲地，同时出发．两人离甲地的距离与出发时间之间的函数关系如图所示．
（1）小丽步行的速度为 ；
（2）当两人相遇时，求他们到甲地的距离．

【考点】一次函数的应用
【分析】（1）用路程除以速度即可得小丽步行的速度；
（2）求出小华的速度，即可求出两人相遇所需的时间，进而可得小丽所走路程，即是他们到甲地的距离．
【解答】解：（1）由图象可知，小丽步行的速度为，
故答案为：80；
（2）由图象可得，小华骑自行车的速度是，
出发后需要两人相遇，
相遇时小丽所走的路程为，
即当两人相遇时，他们到甲地的距离是．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从图象中获取有用的信息．
24．（2022•牡丹江）在一条平坦笔直的道路上依次有，，三地，甲从地骑电瓶车到地，同时乙从地骑摩托车到地，到达地后因故停留1分钟，然后立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速前往地，结果乙比甲早2分钟到达地，两人均匀速运动，如图是两人距地路程（米与时间（分钟）之间的函数图象．
请解答下列问题：
（1）填空：甲的速度为 米分钟，乙的速度为 米分钟；
（2）求图象中线段所在直线表示的（米与时间（分钟）之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（3）出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？请直接写出答案．

【考点】一次函数的应用
【分析】（1）利用速度路程时间，找准甲乙的路程和时间即可得出结论；
（2）根据（1）中的计算可得出点的坐标，设直线的解析式为：，将，的坐标代入，求解方程组即可；
（3）根据题意可知存在三种情况，然后分别计算即可．
【解答】解：（1）根据题意可知，，
乙的速度为：（米分钟），
乙从地到地用时：（分钟），
．
．
甲的速度为（米分钟），
故答案为：300；800；
（2）设直线的解析式为：，且由图象可知，
由（1）知．
，
解得，．
直线的解析式为：．
（3）由题意可知，相距800米，相距2400米．
，，
直线的解析式为：，
，
直线的解析式为：，
当时，甲从地骑电瓶车到地，同时乙从地骑摩托车到地，即甲乙朝相反方向走，
令，解得．
当时，甲从继续往地走，乙从地往地走，
解得（不合题意，舍去）
当时，甲从继续往地走，乙从地往地走，
或，
解得或．
综上，出发分钟或分钟或6分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米．
【点评】本题考查一次函数的应用、路程速度时间的关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，将图象中的信息转化为实际行程问题，属于中考常考题型．
25．（2022•长春）已知、两地之间有一条长440千米的高速公路．甲、乙两车分别从、两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以100千米时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶4小时到达地；乙车匀速行驶至地，两车到达各自的目的地后停止，两车距地的路程（千米）与各自的行驶时间（时之间的函数关系如图所示．
（1） ， ；
（2）求两车相遇后，甲车距地的路程与之间的函数关系式；
（3）当乙车到达地时，求甲车距地的路程．

【考点】一次函数的应用
【分析】（1）由甲车先以100千米时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇可求出，根据以另一速度继续匀速行驶4小时到达地知；
（2）用待定系数法可得，；
（3）求出乙的速度，即可得乙到地所用时间，即可求得甲车距地的路程为300千米．
【解答】解：（1）由题意知：，
，
故答案为：2，6；
（2）设，将，代入得：
，
解得，
，；
（3）乙车的速度为（千米小时），
乙车到达地所需时间为（小时），
当时，，
甲车距地的路程为300千米．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图．
26．（2022•通辽）为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品，两个商店的优惠活动如下：
甲：所有商品按原价8.5折出售；
乙：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折．
设需要购买体育用品的原价总额为元，去甲商店购买实付元，去乙商店购买实付元，其函数图象如图所示．
（1）分别求，关于的函数关系式；
（2）两图象交于点，求点坐标；
（3）请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算．

【考点】一次函数的应用
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以分别写出，关于的函数关系式；
（2）根据（1）中的结果和题意，令，求出的值，再求出相应的的值，即可得到点的坐标．
（3）根据函数图象和（2）中点的坐标，可以写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算．
【解答】解：（1）由题意可得，
，
当时，，
当时，，
则；
（2）令，
解得，
将代入得，，
即点的坐标为；
（3）由图象可得，
当时，去甲体育专卖店购买体育用品更合算；当时，两家体育专卖店购买体育用品一样合算；当时，去乙体育专卖店购买体育用品更合算．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
27．（2022•广安）某企业下属、两厂向甲乙两地运送水泥共520吨，厂比厂少运送20吨，从厂运往甲乙两地的运费分别为40元吨和35元吨，从厂运往甲乙两地的运费分别为28元吨和25元吨．
（1）求、两厂各运送多少吨水泥；
（2）现甲地需要水泥240吨，乙地需要水泥280吨．受条件限制，厂运往甲地的水泥最多150吨．设从厂运往甲地吨水泥，、两厂运往甲乙两地的总运费为元．求与之间的函数关系式，请你为该企业设计一种总运费最低的运输方案，并说明理由．
【考点】二元一次方程组的应用；一次函数的应用
【分析】（1）设厂运送水泥吨，则厂运送水泥吨，根据、两厂向甲乙两地运送水泥共520吨列出方程，解方程即可；
（2）设从厂运往甲地水泥吨，则厂运往乙地水泥吨，厂运往甲地水泥吨，厂运往乙地水泥吨，然后根据题意列出总费用关于的函数解析式，并根据函数的性质求最值，以及此时的值．
【解答】解：（1）设厂运送水泥吨，则厂运送水泥吨，
根据题意得：，
解得：，
此时，
答：厂运送水泥250吨，厂运送水泥270吨；
（2）设从厂运往甲地水泥吨，则厂运往乙地水泥吨，厂运往甲地水泥吨，厂运往乙地水泥吨，
由题意得：
，
厂运往甲地的水泥最多150吨，
，
解得：，
，
随的增大而增大，
当时，总运费最低，
最低运费为：（元，
最低运送方案为厂运往甲地水泥90吨，运往乙地水泥160吨：厂运往甲地水泥150吨，厂运往乙地水泥120吨，最低运费为16400元．
【点评】此题考查了一次函数的实际应用问题．此题难度较大，解题的关键是理解题意，求得一次函数解析式，然后根据一次函数的性质求解．
28．（2022•恩施州）某校计划租用甲、乙两种客车送180名师生去研学基地开展综合实践活动．已知租用一辆甲型客车和一辆乙型客车共需500元，租用2辆甲型客车和3辆乙型客车共需1300元．甲型客车每辆可坐15名师生，乙型客车每辆可坐25名师生．
（1）租用甲、乙两种客车每辆各多少元？
（2）若学校计划租用8辆客车，怎样租车可使总费用最少？
【考点】二元一次方程组的应用；一次函数的应用
【分析】（1）设租用甲种客车每辆元，租用乙种客车每辆元，根据题意建立二元一次方程组，再解方程即可得出结论．
（2）设租甲型客车辆，总费用为元，则租乙型客车辆，根据总费用每辆车的租金租车数量，即可得出关于的函数关系式，由师生总人数结合甲、乙两种型号客车的载客量，可求出的取值范围，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设租用甲种客车每辆元，租用乙种客车每辆元，
根据题意可得，，
解得．
租用甲种客车每辆200元，租用乙种客车每辆300元．
（2）设租用甲型客车辆，则租用乙型客车辆，租车总费用为元，
根据题意可知，，
，
，
，
随的增大而减小，
当时，的最小值为．
当租用甲型客车2辆，租用乙型客车6辆，租车总费用最少为2200元．
【点评】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一次函数的性质以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据总费用每辆车的租金租车数量，找出关于的函数关系式．
29．（2022•遵义）遵义市开展信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，某实验学校计划购买，两种型号教学设备，已知型设备价格比型设备价格每台高，用30000元购买型设备的数量比用15000元购买型设备的数量多4台．
（1）求，型设备单价分别是多少元；
（2）该校计划购买两种设备共50台，要求型设备数量不少于型设备数量的．设购买台型设备，购买总费用为元，求与的函数关系式，并求出最少购买费用．
【考点】分式方程的应用；一次函数的应用
【分析】（1）设每台型设备的价格为元，则每台型号设备的价格为元，根据“用30000元购买型设备的数量比用15000元购买型设备的数量多4台”建立方程，解方程即可．
（2）根据总费用购买型设备的费用购买型设备的费用，可得出与的函数关系式，并根据两种设备的数量关系得出的取值范围，结合一次函数的性质可得出结论．
【解答】解：（1）设每台型设备的价格为元，则每台型号设备的价格为元，
根据题意得，，
解得：．
经检验，是原方程的解．
，
每台型设备的价格为2500元，则每台型号设备的价格为3000元．
（2）设购买台型设备，则购买台型设备，
，
由实际意义可知，，
且为整数，
，
随的增大而增大，
当时，的最小值为（元．
，且最少购买费用为131500元．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
30．（2022•包头）由于精准扶贫的措施科学得当，贫困户小颖家今年种植的草莓喜获丰收，采摘上市16天全部销售完．小颖对销售情况进行统计后发现，在该草莓上市第天取整数）时，日销售量（单位：千克）与之间的函数关系式为，草莓价格（单位：元千克）与之间的函数关系如图所示．
（1）求第14天小颖家草莓的日销售量；
（2）求当时，草莓价格与之间的函数关系式；
（3）试比较第8天与第10天的销售金额哪天多？

【考点】一次函数的应用
【分析】（1）当时，，把代入，求出其解即可；
（2）利用待定系数法即可求得草莓价格与之间的函数关系式；
（3）利用销售金额销售量草莓价格，比较第8天与第10天的销售金额，即可得答案．
【解答】解：（1）当时，，
当时，（千克），
第14天小颖家草莓的日销售量是40千克．
（2）当时，设草莓价格与之间的函数关系式为，
点，在的图象上，
，
解得：，
函数解析式为．
（3）当时，，
当时，，
当时，；
当时，，
当时，，
当时，
第8天的销售金额为：（元，
第10天的销售金额为：（元，
，
第10天的销售金额多．
【点评】此题考查了一次函数的应用．此题难度适中，解题的关键是理解题意，利用待定系数法求得函数解析式，注意数形结合思想与函数思想的应用．
31．（2022•黑龙江）为抗击疫情，支援市，市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往市．甲、乙两辆货车从市出发前往市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达市．甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往市．乙车维修完毕后立即返回市．两车离市的距离与乙车所用时间之间的函数图象如图所示．
（1）甲车速度是 ，乙车出发时速度是 ；
（2）求乙车返回过程中，乙车离市的距离与乙车所用时间的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）乙车出发多少小时，两车之间的距离是？请直接写出答案．

【考点】一次函数的应用
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出甲车速度和乙车出发时速度；
（2）根据函数图象中的数据，可以计算出乙车返回过程中，乙车离市的距离与乙车所用时间的函数解析式；
（3）根据题意可知存在三种情况，然后分别计算即可．
【解答】解：（1）由图象可得，
甲车的速度为：，
乙车出发时速度是：，
故答案为：100，60；
（2）乙车返回过程中，设乙车离市的距离与乙车所用时间的函数解析式是，
点，在该函数图象上，
，
解得，
即乙车返回过程中，乙车离市的距离与乙车所用时间的函数解析式是；
（3）设乙车出发小时，两车之间的距离是，
当时，
，
解得；
当时，
，
解得；
当时，
乙车返回的速度为：，
，
解得；
答：乙车出发3小时或6.3小时或9.1小时，两车之间的距离是．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答．
32．（2022•吉林）李强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水，甲壶比乙壶加热速度快．在一段时间内，水温与加热时间之间近似满足一次函数关系，根据记录的数据，画函数图象如下：
（1）加热前水温是 ．
（2）求乙壶中水温关于加热时间的函数解析式．
（3）当甲壶中水温刚达到时，乙壶中水温是 ．

【考点】一次函数的应用
【分析】（1）由图象时求解．
（2）通过待定系数法求解．
（3）由图象可求出甲壶的加热速度，求出甲壶中水温达到时的，将其代入（2）中解析式求解．
【解答】解：（1）由图象得时，
加热前水温是，
故答案为：20．
（2）设乙壶中水温关于加热时间的函数解析式为，
将，代入得，
解得，
．
（3）甲水壶的加热速度为，
甲水壶中温度为时，加热时间为，
将代入得，
故答案为：65．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握一次函数与方程的关系．
33．（2022•梧州）梧州市地处亚热带，盛产龙眼．新鲜龙眼的保质期短，若加工成龙眼干（又叫带壳圆肉）则有利于较长时间保存．已知的新鲜龙眼在无损耗的情况下可以加工成的龙眼干．
（1）若新鲜龙眼售价为12元．在无损耗的情况下加工成龙眼干，使龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益，则龙眼干的售价应不低于多少元？
（2）在实践中，小苏发现当地在加工龙眼干的过程中新鲜龙眼有的损耗，为确保果农的利益，龙眼干的销售收益应不低于新鲜龙眼的销售收益，此时龙眼干的定价取最低整数价格．
市场调查还发现，新鲜龙眼以12元最多能卖出，超出部分平均售价是5元，可售完．果农们都以这种方式出售新鲜龙眼．
设某果农有新鲜龙眼，他全部加工成龙眼干销售获得的收益与全部以新鲜龙眼销售获得的收益之差为元，请写出与的函数关系式．
【考点】一元一次不等式的应用；一次函数的应用
【分析】（1）设龙眼干的售价为元，新鲜龙眼共千克，得到总收益为元；加工成龙眼干后总收益为元，再根据龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益得到不等式，解出即可；
（2）设龙眼干的售价为元千克，当千克时求出新鲜龙眼的销售收益为元，龙眼干的销售收益为元，根据“龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益，且龙眼干的定价取最低整数价格”得到，解出；然后再当千克时同样求出新鲜龙眼收益与龙眼干收益，再相减即可求解．
【解答】解：（1）设龙眼干的售价为元，新鲜龙眼共千克，
总销售收益为（元，
加工成龙眼干后共千克，
总销售收益为（元，
龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益，
，
解出：，
故龙眼干的售价应不低于36元；
（2）千克的新鲜龙眼一共可以加工成 千克龙眼干，
设龙眼干的售价为元千克，则龙眼干的总销售收益为元，
当千克时，新鲜龙眼的总收益为元，
龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益，
，
解得：，
为整数，
最小为39，
龙眼干的销售总收益为（元，
此时全部加工成龙眼干销售获得的收益与全部以新鲜龙眼销售获得的收益之差；
当千克时，新鲜龙眼的总收益为元，龙眼干的总销售收益为元，
此时全部加工成龙眼干销售获得的收益与全部以新鲜龙眼销售获得的收益之差元，
综上，与的函数关系式为．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用、一次函数的实际应用等，本题的关键是读懂题意，明确题中的数量关系，正确列出函数关系式或不等式求解．
34．（2022•齐齐哈尔）在一条笔直的公路上有、两地，甲、乙二人同时出发，甲从地步行匀速前往地，到达地后，立刻以原速度沿原路返回地．乙从地步行匀速前往地（甲、乙二人到达地后均停止运动），甲、乙二人之间的距离（米与出发时间（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）、两地之间的距离是 米，乙的步行速度是 米分；
（2）图中　　，　　，　　；
（3）求线段的函数解析式；
（4）在乙运动的过程中，何时两人相距80米？（直接写出答案即可）

【考点】一次函数的应用
【分析】（1）利用函数图象中的信息直接得到、两地之间的距离，再利用函数图象中的信息即可求得乙的步行速度；
（2）利用（1）的结论通过计算即可得出结论；
（3）利用待定系数法解答即可；
（4）利用分类讨论的方法，分别求得相遇前和相遇后两人相距80米时的时间即可求得结论．
【解答】解：（1）由图象知：当时，，
、两地之间的距离是1200米；
由图象知：乙经过20分钟到达，
乙的速度为（米分）．
故答案为：1200；60；
（2）由图象知：当时，，
甲乙二人的速度和为：（米分），
设甲的速度为米分，则乙的速度为米分，
，
．
甲的速度为80（米分），
点的实际意义是经过分钟甲到达地，
（分钟），
（米．
点的实际意义是经过20分钟乙到达地，
（米；
故答案为：900；800；15；
（3）由题意得：，，
设线段的解析式为，
，
解得：，
线段的解析式为；
（4）在乙运动的过程中，二人出发后第8分钟和第分钟两人相距80米．理由：
①相遇前两人相距80米时，二人的所走路程和为（米，
（分钟）；
②相遇后两人相距80米时，二人的所走路程和为（米，
（分钟）．
综上，在乙运动的过程中，二人出发后第8分钟和第分钟两人相距80米．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象和性质，待定系数法，一次函数图象上点的坐标的特征，明确函数图象上点的坐标的实际意义是解题的关键．
35．（2022•十堰）某商户购进一批童装，40天销售完毕．根据所记录的数据发现，日销售量（件与销售时间（天之间的关系式是，销售单价（元件）与销售时间（天之间的函数关系如图所示．
（1）第15天的日销售量为 件；
（2）时，求日销售额的最大值；
（3）在销售过程中，若日销售量不低于48件的时间段为“火热销售期”，则“火热销售期”共有多少天？

【考点】一次函数的应用；二次函数的应用
【分析】（1）利用日销售量（件与销售时间（天之间的关系式，将代入对应的函数关系式中即可；
（2）利用分类讨论的方法，分①当时，②当时两种情形解答：利用日销售额日销售量销售单价计算出日销售额，再利用一次函数和二次函数的性质解答即可；
（3）利用分类讨论的方法，分①当时，②当时两种情形解答：利用已知条件列出不等式，求出满足条件的的范围，再取整数解即可．
【解答】解：（1）日销售量（件与销售时间（天之间的关系式是，
第15天的销售量为件，
故答案为：30；
（2）由销售单价（元件）与销售时间（天之间的函数图象得：
，
①当时，
日销售额，
，
日销售额随的增大而增大，
当时，日销售额最大，最大值为（元；
②当时，
日销售额，
，
当时，日销售额随的增大而增大，
当时，日销售额最大，最大值为2100（元，
综上，当时，日销售额的最大值为2100元；
（3）由题意得：
当时，，
解得：，
当时，，
解得：，
当时，日销售量不低于48件，
为整数，
的整数值有9个，
“火热销售期”共有9天．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，一次函数的性质，二次函数的性质，配方法求函数的极值，正确利用自变量的取值范围确定函数的关系式是解题的关键．
36．（2022•天津）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
已知学生公寓、阅览室、超市依次在同一条直线上，阅览室离学生公寓，超市离学生公寓．小琪从学生公寓出发，匀速步行了到阅览室；在阅览室停留后，匀速步行了到超市；在超市停留后，匀速骑行了返回学生公寓．给出的图象反映了这个过程中小琪离学生公寓的距离与离开学生公寓的时间之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）填表：
离开学生公寓的时间
5
8
50
87
112
离学生公寓的距离
0.5

　　
1.6
　　
（Ⅱ）填空：
①阅览室到超市的距离为 　　；
②小琪从超市返回学生公寓的速度为 　　；
③当小琪离学生公寓的距离为时，他离开学生公寓的时间为 　　．
（Ⅲ）当时，请直接写出关于的函数解析式．

【考点】一次函数的应用
【分析】（Ⅰ）观察函数图象即可得答案；
（Ⅱ）①根据阅览室离学生公寓，超市离学生公寓可得答案；
②用路程除以时间可得速度；
③分两种情况，分别可得小琪离学生公寓的距离为时，他离开学生公寓的时间；
（Ⅲ）分段求出函数关系式即可．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意得：小琪从学生公寓出发，匀速步行了到达离学生公寓的阅览室，
离开学生公寓的时间为，离学生公寓的距离是，
由图象可知：离开学生公寓的时间为，离学生公寓的距离是，
离开学生公寓的时间为，离学生公寓的距离是，
故答案为：0.8，1.2，2；
（Ⅱ）①阅览室到超市的距离为，
故答案为：0.8；
②小琪从超市返回学生公寓的速度为，
故答案为：0.25；
③当小琪从学生公寓出发，离学生公寓的距离为时，他离开学生公寓的时间为；
当小琪从超市出发，离学生公寓的距离为时，他离开学生公寓的时间为，
故答案为：10或116；
（Ⅲ）当时，；
当时，；
当时，，
．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图．
37．（2022•苏州）某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如表所示：
进货批次
甲种水果质量
（单位：千克）
乙种水果质量
（单位：千克）
总费用
（单位：元）
第一次
60
40
1520
第二次
30
50
1360
（1）求甲、乙两种水果的进价；
（2）销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、乙两种水果共200千克，且投入的资金不超过3360元．将其中的千克甲种水果和千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的200千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于800元，求正整数的最大值．
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用
【分析】（1）设甲种水果的进价为每千克元，乙种水果的进价为每千克元．构建方程组求解；
（2）设第三次购进千克甲种水果，则购进千克乙种水果．由题意，得，解得．设获得的利润为元，由题意，得，利用一次函数的性质求解．
【解答】解：（1）设甲两种水果的进价为每千克元，乙两种水果的进价为每千克元．
由题意，得，
解得，
答：甲种水果的进价为每千克12元，乙种水果的进价为每千克20元．
（2）设第三次购进千克甲种水果，则购进千克乙种水果．
由题意，得，
解得．
设获得的利润为元，
由题意，得，
，
随的增大而减小，
时，的值最大，最大值为，
由题意，得，
解得，
的最大整数值为22．
【点评】本题考查一次函数的应用，二元一次方程组不等式等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程或不等式解决问题，属于中考常考题型．
38．（2022•新疆），两地相距，甲、乙两人分别开车从地出发前往地，其中甲先出发．如图是甲，乙行驶路程，随行驶时间变化的图象，请结合图象信息，解答下列问题：
（1）填空：甲的速度为 ；
（2）分别求出，与之间的函数解析式；
（3）求出点的坐标，并写出点的实际意义．

【考点】一次函数的应用
【分析】（1）根据“速度路程时间”可得答案；
（2）根据（1）的结论可得出与之间的函数解析式；利用待定系数法可得与之间的函数解析式；
（3）根据（2）的结论列方程求解即可．
【解答】解：（1）甲的速度为：，
故答案为：60；
（2）由（1）可知，与之间的函数解析式为；
设与之间的函数解析式为，根据题意得：
，
解得，
；
（3）根据题意，得，
解得，
，
点的坐标为，
故点的实际意义是甲车出发2.5小时后被乙车追上，此时两车行驶了．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式．
39．（2022•衡阳）冰墩墩、雪容融分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶．决定从该网店进货并销售．第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．
（1）求两种玩偶的进货价分别是多少？
（2）第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？

【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用
【分析】（1）根据用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据题意可以写出利润和冰墩墩数量的函数关系式，然后根据网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍，可以求得购买冰墩墩数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到利润的最大值．
【解答】解：（1）设冰墩墩的进价为元个，雪容融的进价为元个，
由题意可得：，
解得，
答：冰墩墩的进价为72元个，雪容融的进价为64元个；
（2）设冰墩墩购进个，则雪容融购进个，利润为元，
由题意可得：，
随的增大而增大，
网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍，
，
解得，
当时，取得最大值，此时，，
答：冰墩墩购进24个，雪容融购进16个时才能获得最大利润，最大利润是992元．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值．
40．（2022•湖州）某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行研学活动．大巴出发1小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知大巴行驶的速度是40千米小时，轿车行驶的速度是60千米小时．
（1）求轿车出发后多少小时追上大巴？此时，两车与学校相距多少千米？
（2）如图，图中，分别表示大巴、轿车离开学校的路程（千米）与大巴行驶的时间（小时）的函数关系的图象．试求点的坐标和所在直线的解析式；
（3）假设大巴出发小时后轿车出发追赶，轿车行驶了1.5小时追上大巴，求的值．

【考点】一次函数的应用
【分析】（1）设轿车出发后小时追上大巴，根据题意列出方程即可求解；
（2）由图象及（1）的结果可得，，利用待定系数法即可求解；
（3）根据题意列出方程即可求出的值．
【解答】解：（1）设轿车出发后小时追上大巴，
依题意得：，
解得．
轿车出发后2小时追上大巴，
此时，两车与学校相距（千米），
答：轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距120千米；
（2）轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距120千米，
大巴行驶了3小时，
，
由图象得，
设所在直线的解析式为，
，
解得，
所在直线的解析式为；
（3）依题意得：，
解得．
的值为．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，解决本题的关键根据函数图象解决问题，充分利用数形结合思想．
41．（2022•绍兴）一个深为6米的水池积存着少量水，现在打开水阀进水，下表记录了2小时内5个时刻的水位高度，其中表示进水用时（单位：小时），表示水位高度（单位：米）．

0
0.5
1
1.5
2

1
1.5
2
2.5
3
为了描述水池水位高度与进水用时的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，．
（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式，并画出这个函数的图象．
（2）当水位高度达到5米时，求进水用时．

【考点】一次函数的应用
【分析】（1）根据表格数对画出函数图象即可；然后利用待定系数法即可求出相应的函数表达式；
（2）结合（1）的函数表达式，代入值即可解决问题．
【解答】解：（1）函数的图象如图所示：

根据图象可知：选择函数，
将，代入，
得
解得
函数表达式为：；
（2）当时，，
．
答：当水位高度达到5米时，进水用时为4小时．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是掌握一次函数的图象和性质．
42．（2022•云南）某学校要购买甲、乙两种消毒液，用于预防新型冠状病毒．若购买9桶甲消毒液和6桶乙消毒液，则一共需要615元；若购买8桶甲消毒液和12桶乙消毒液，则一共需要780元．
（1）每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购买甲、乙两种消毒液共30桶，其中购买甲消毒液桶，且甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5桶，又不超过乙消毒液的数量的2倍．怎样购买，才能使总费用最少？并求出最少费用．
【考点】一元一次不等式的应用；一次函数的应用；二元一次方程组的应用
【分析】（1）根据购买9桶甲消毒液和6桶乙消毒液，则一共需要615元；若购买8桶甲消毒液和12桶乙消毒液，则一共需要780元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据题意，可以写出与的函数关系式，根据甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5桶，又不超过乙消毒液的数量的2倍，可以得到的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到的最小值．
【解答】解：（1）设每桶甲消毒液价格为元，每桶乙消毒液的价格为元，
由题意可得：，
解得，
答：每桶甲消毒液价格为45元，每桶乙消毒液的价格为35元；
（2）由题意可得，
，
随的增大而增大，
甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5桶，又不超过乙消毒液的数量的2倍，
，
解得，
为整数，
当时，取得最小值，此时，，
答：购买甲消毒液18桶，乙消毒液12桶时，才能使总费用最少，最少费用是1230元．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
43．（2022•凉山州）为全面贯彻党的教育方针，严格落实教育部对中小学生“五项管理”的相关要求和《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》精神，保障学生每天在校1小时体育活动时间，某班计划采购、两种类型的羽毛球拍．已知购买3副型羽毛球拍和4副型羽毛球拍共需248元；购买5副型羽毛球拍和2副型羽毛球拍共需264元．
（1）求、两种类型羽毛球拍的单价．
（2）该班准备采购、两种类型的羽毛球拍共30副，且型羽毛球拍的数量不少于型羽毛球拍数量的2倍，请给出最省钱的购买方案，求出最少费用，并说明理由．
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用
【分析】（1）设种球拍每副元，种球拍每副元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购买型球拍副，根据题意列出不等式，解不等式求出的范围，根据题意列出费用关于的一次函数，根据一次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）设种球拍每副元，种球拍每副元，
，
解得，
答：种球拍每副40元，种球拍每副32元；
（2）设购买型球拍副，总费用元，
依题意得，
解得，
，
，
随的增大而减小，
当时，最小，（元，
此时（副，
答：费用最少的方案是购买种球拍20副，种球拍10副，所需费用1120元．
【点评】本题考查的是列二元一次方程组、一元一次不等式解实际问题，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式并正确解出方程组和不等式是解题的关键．
44．（2022•成都）随着“公园城市”建设的不断推进，成都绕城绿道化身成为这座城市的一个超大型“体育场”，绿道骑行成为市民的一种低碳生活新风尚．甲、乙两人相约同时从绿道某地出发同向骑行，甲骑行的速度是，乙骑行的路程与骑行的时间之间的关系如图所示．
（1）直接写出当和时，与之间的函数表达式；
（2）何时乙骑行在甲的前面？

【考点】一次函数的应用
【分析】（1）根据图象分段设出函数解析式，在用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据乙的路程大于甲的路程即可求解．
【解答】解：（1）当时，设，
把代入解析式得，，
解得：，
；
当时，设，
把和代入解析式，
得，
解得，
，
与之间的函数表达式为；
（2）由（1）可知时，乙骑行的速度为，而甲的速度为，则甲在乙前面；
当时，乙骑行的速度为，甲的速度为，
设小时后，乙骑行在甲的前面，
则，
解得：，
答：0.5小时后乙骑行在甲的前面
【点评】本题考查一次函数的应用，关键是根据图象用待定系数法分段求函数解析式．
45．（2022•丽水）因疫情防控需要，一辆货车先从甲地出发运送防疫物资到乙地，稍后一辆轿车从甲地急送防疫专家到乙地．已知甲、乙两地的路程是，货车行驶时的速度是．两车离甲地的路程与时间的函数图象如图．
（1）求出的值；
（2）求轿车离甲地的路程与时间的函数表达式；
（3）问轿车比货车早多少时间到达乙地？

【考点】一次函数的应用
【分析】（1）根据路程、时间、速度三者之间的关系即可解决问题；
（2）设直线的表达式为，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答即可解决问题；
（3）根据时间路程速度分别求出货车与小轿车到达终点的时间，即可解决问题．
【解答】解：（1）货车的速度是，
；
（2）由图象可得点，，
设直线的表达式为，把，代入得：
，
解得，
；
（3）由图象可得货车走完全程需要，
货车到达乙地需，
，，
解得，
两车相差时间为，
货车还需要才能到达，
即轿车比货车早到达乙地．
【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求函数解析式，路程、时间、速度三者之间的关系，从图中准确获取信息是解题的关键．
46．（2022•德阳）习近平总书记对实施乡村振兴战略作出重要指示强调：实施乡村振兴战略，是党的十九大作出的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．为了发展特色产业，红旗村花费4000元集中采购了种树苗500株，种树苗400株，已知种树苗单价是种树苗单价的1.25倍．
（1）求、两种树苗的单价分别是多少元？
（2）红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种，其中种树苗不多于25株，在单价不变，总费用不超过480元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的应用
【分析】（1）设种树苗每株元，种树苗每株元，根据题意得到等量关系建立方程组求出其解即可；
（2）设种树苗购买株，则种树苗购买株，总费用为元，根据题意得，然后根据一次函数性质即可解决问题．
【解答】解：（1）设种树苗每株元，种树苗每株元，由题意，得
，
解得，
答：种树苗每株4元，种树苗每株5元；
（2）设购买种树苗株，则购买种树苗株，总费用为元，
由题意得：，，
，
，
解得：，
，
是整数，
取20，21，22，23，24，25，
共有6种购买方案，
方案一：购买种树苗20株，购买种树苗80株，
方案二：购买种树苗21株，购买种树苗79株，
方案三：购买种树苗22株，购买种树苗78株，
方案四：购买种树苗23株，购买种树苗77株，
方案五：购买种树苗24株，购买种树苗76株，
方案六：购买种树苗25株，购买种树苗75株，
，，
随的增大而减小，
时，最小，
第六种方案费用最低，最低费用是475元．
答：共有6种购买方案，费用最省的购买方案是购买树苗25株，种树苗75株，最低费用是475元．
【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，不等式的运用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系列出方程组，找出不等关系列出不等式．
47．（2022•黑龙江）为了迎接“十一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：
运动鞋
价格
甲
乙
进价（元双）


售价（元双）
240
160
已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．
（1）求的值；
（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润售价进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的应用
【分析】（1）用总价除以单价表示出购进鞋的数量，根据两种鞋的数量相等列出方程求解即可；
（2）设购进甲种运动鞋双，表示出乙种运动鞋双，然后根据总利润列出一元一次不等式，求出不等式组的解集后，再根据鞋的双数是正整数解答；
（3）设总利润为，根据总利润等于两种鞋的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性分情况讨论求解即可．
【解答】解：（1）依题意得，，
整理得，，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
所以，；
（2）设购进甲种运动鞋双，则乙种运动鞋双，
根据题意得，，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
所以，不等式组的解集是，
是正整数，，
共有11种方案；
（3）设总利润为，则，
①当时，，随的增大而增大，
所以，当时，有最大值，
即此时应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95双；
②当时，，，（2）中所有方案获利都一样；
③当时，，随的增大而减小，
所以，当时，有最大值，
即此时应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双．
【点评】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系，（3）要根据一次项系数的情况分情况讨论．
48．（2022•黑龙江）2008年5月12日14时28分四川汶川发生里氏8.0级强力地震．某市接到上级通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区．乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发1.25小时（从甲组出发时开始计时）．图中的折线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程（千米）、（千米）与时间（小时）之间的函数关系对应的图象．请根据图象所提供的信息，解决下列问题：
（1）由于汽车发生故障，甲组在途中停留了 小时；
（2）甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区．请问甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米？
（3）为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过25千米，请通过计算说明，按图象所表示的走法是否符合约定？

【考点】一次函数的应用
【分析】（1）由于线段与轴平行，故自3时到4.9时这段时间内甲组停留在途中，所以停留的时间为1.9时；
（2）观察图象可知点的纵坐标就是甲组的汽车在排除故障时距出发点的路程的千米数，所以求得点的坐标是解答（2）题的关键，这就需要求得直线和直线的解析式，而过点，，利用这两点的坐标即可求出该直线的解析式，然后令，即可求出点的纵坐标，又因点，这样就可求出即的解析式，从而求出点的坐标；
（3）由图象可知：甲、乙两组第一次相遇后在和相距最远，在点处时，，求出此时的，在点有，也求出此时的，分别同25比较即可．
【解答】解：（1）1.9；
（2）设直线的解析式为，
点、点均在直线上，
，
解得直线的解析式是；
点在直线上，且点的横坐标为6，
点的纵坐标为；
点的坐标是；
设直线的解析式为；
点、点在直线上，
；
解得；的解析式是；
点在直线上且点的横坐标为4.9，代入得，
甲组在排除故障时，距出发点的路程是270千米．
（3）符合约定；
由图象可知：甲、乙两组第一次相遇后在和相距最远．
在点处有千米千米，
在点有千米千米，
按图象所表示的走法符合约定．
【点评】本题是依据函数图象提供的信息，解答相关的问题，充分体现了“数形结合”的数学思想，是中考的常见题型，其关键是认真观察函数图象、结合已知条件，正确地提炼出图象信息．
49．（2022•攀枝花）如图，直线分别与轴、轴交于点、，点为线段上一动点（不与、重合），以为顶点作，射线交线段于点，将射线绕点顺时针旋转交射线于点，连结．
（1）证明：；（用图
（2）当为直角三角形时，求的长度；（用图
（3）点关于射线的对称点为，求的最小值．（用图

【考点】一次函数综合题
【分析】（1）证明，可得结论；
（2）令和可得和的长，根据等角的三角函数得：，设，，证明，列比例式可得，从而可求得，计算和的长，代入（1）中的比例式可得结论；
（3）根据可知：在以为圆心，以为半径的半圆上运动，并确定当在轴上时，的值最小，从而得结论．
【解答】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：当时，，
，
，
当时，，
，
，
，
如图2，，

，
，
，
，
设，，
，
，
，
，即，
，
，
，
，，
由（1）知：，
，
；
（3）解：如图3，由对称得：，

动点在以为圆心，以为半径的半圆上运动，
当在轴上，且在的上方时，的值最小，如图4，

此时，
即的最小值是2．
【点评】本题是一次函数的综合题，考查了轴对称最短问题，三角函数，相似三角形的判定和性质，一次函数与坐标轴的交点，动点运动轨迹等知识，解题的关键是学会用相似或三角函数求边的长，学会利用数形结合的思想确定动点运动轨迹问题．
50．（2022•兰州）在平面直角坐标系中，是第一象限内一点，给出如下定义：和两个值中的最大值叫做点的“倾斜系数” ．
（1）求点的“倾斜系数” 的值；
（2）①若点的“倾斜系数” ，请写出和的数量关系，并说明理由；
②若点的“倾斜系数” ，且，求的长；
（3）如图，边长为2的正方形沿直线运动，是正方形上任意一点，且点的“倾斜系数” ，请直接写出的取值范围．

【考点】一次函数综合题
【分析】（1）根据“倾斜系数” 的定义直接计算即可；
（2）①根据“倾斜系数” 的定义分情况得出结论即可；
②根据“倾斜系数” 的定义求出点坐标，进而求出的值即可；
（3）根据的取值，分情况求出的取值范围即可．
【解答】解：（1）由题意知，，
即点的“倾斜系数” 的值为3；
（2）①点的“倾斜系数” ，
或，
即或，
和的数量关系为或；
②由①知，或
，
或，
；
（3）由题意知，满足条件的点在直线和直线之间，
①当点与点重合时，且时，点在直线上，有最小临界值，
如图：此时，
连接，延长交轴于，

此时，
则，
解得，
此时点的坐标为，，
且
；
②当点与点重合时，且时，点在直线上，有最小临界值，
如图：此时，
连接，延长交轴于，

此时，
则，
解得，
此时，，
且，
；
综上所述，若点的“倾斜系数” ，则．
【点评】本题主要考查一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的性质，正确理解“倾斜系数”的定义是解题的关键．
51．（2022•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．
（1）求直线的函数表达式；
（2）过点作轴于点，将沿射线平移得到的三角形记为△，点，，的对应点分别为，，，若△与重叠部分的面积为，平移的距离，当点与点重合时停止运动．
①若直线交直线于点，则线段的长为 （用含有的代数式表示）；
②当时，与的关系式为 ；
③当时，的值为 ．

【考点】一次函数综合题
【分析】（1）将点，的坐标代入直线解析式，求解即可；
（2）①过点作，易得，可用表达和的长度，进而可表达点，的坐标，由点的坐标可得出直线的解析式，代入可得点的坐标；
②根据题意可知，当时，点未到直线上，利用三角形面积公式可得出本题结果；
③分情况讨论，分别求出当时，当时，当时，当时，与的关系式，分别令，建立方程，求出即可．
【解答】解：（1）将点，的坐标代入直线，
，
解得．
直线的函数表达式为：；
（2）①由（1）知直线的函数表达式为：，
令，则，
，
，，
；
如图1，过点作于点，
，
，
，
，
，
，
，，
，，，，，，
，
直线的解析式为：，
，
．
故答案为：．
②法一、当点落在直线上时，有，
解得，
当时，点未到直线，
此时；
法二、，
△，
，即，
．
故答案为：．
③法一、
分情况讨论，当时，由②可知，；
令，解得（舍或（舍；
当时，如图2，设线段与直线交于点，
，，
，
；

，
令；
整理得，，
解得或（舍；
当时，如图3，
，不符合题意；
当时，如图4，
此时，
，，
，
令，解得（舍或．
法二、分情况讨论，当时，由②可知，；
令，解得（舍或（舍；（同法一）
当时，如图2，设线段与直线交于点，
，
，
，
，
△，
，
，
，
当时，如图3，
，不符合题意；
当时，如图4，
轴，
△，
，，
，解得，
．
故答案为：或．




【点评】本题属于一次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，三角形的面积，相似三角形的性质与判定，分类讨论思想等知识，根据△的运动，进行正确的分类讨论是解题关键．
52．（2022•泰州）定义：对于一次函数、，我们称函数为函数、的“组合函数”．
（1）若，，试判断函数是否为函数、的“组合函数”，并说明理由；
（2）设函数与的图像相交于点．
①若，点在函数、的“组合函数”图像的上方，求的取值范围；
②若，函数、的“组合函数”图像经过点．是否存在大小确定的值，对于不等于1的任意实数，都有“组合函数”图像与轴交点的位置不变？若存在，请求出的值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】一次函数综合题
【分析】（1）由，可知函数是函数、的“组合函数”；
（2）①由得，当时，，根据点在函数、的“组合函数”图象的上方，有，而，可得；
②由函数、的“组合函数” 图象经过点，知，即，而，即得，可得，令得，即，即可得时，“组合函数”图象与轴交点的位置不变，．
【解答】解：（1）函数是函数、的“组合函数”，理由如下：
，
，
函数是函数、的“组合函数”；
（2）①由得，
，
、的“组合函数”为，
时，，
点在函数、的“组合函数”图象的上方，
，
，
，
，
，
；
②存在时，对于不等于1的任意实数，都有“组合函数”图象与轴交点的位置不变，，理由如下：
由①知，，
函数、的“组合函数” 图象经过点，
，
，
，
，有，
，
令得，
变形整理得：，
当，即时，，
，
时，“组合函数”图象与轴交点的位置不变，．
【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及新定义，函数图象上点坐标的特征，一次函数与一次方程的关系等，解题的关键是读懂“组合函数“的定义．
53．（2022•河北）如图，平面直角坐标系中，线段的端点为，．
（1）求所在直线的解析式；
（2）某同学设计了一个动画：
在函数中，分别输入和的值，使得到射线，其中．当时，会从处弹出一个光点，并沿飞行；当时，只发出射线而无光点弹出．
①若有光点弹出，试推算，应满足的数量关系；
②当有光点弹出，并击中线段上的整点（横、纵坐标都是整数）时，线段就会发光．求此时整数的个数．

【考点】一次函数综合题
【分析】（1）设直线的解析式为，转化为方程组求解；
（2）①把代入函数解析式，可得结论；
②寻找特殊点，利用待定系数法求解即可．
【解答】解：（1）设直线的解析式为，
把，代入，得，
解得，
直线的解析式为；
（2）①由题意直线经过点，
；
②线段上的整数点有15个：，，，，，，，，，，，，，，．
当射线经过，时，，此时，符合题意，
当射线经过，时，，此时，符合题意，
当射线经过，时，，此时，符合题意，
当射线经过，时，，此时，符合题意，
当射线经过，时，，此时，符合题意，
其他点，都不符合题意．
解法二：设线段上的整数点为，则，
，
，
，
，且为整数，也是整数，
，，，
，，
，，
，，
，，
，，
，（不符合题意舍去），
综上所述，符合题意的的值有5个
【点评】本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
54．（2022•黑龙江）如图，直线与轴，轴分别相交于，两点，分别过，两点作轴，轴的垂线相交于点，且，的长分别是一元二次方程的两个实数根．
（1）求点坐标；
（2）求直线的解析式；
（3）在直线上存在点，使以点，，三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点的坐标．

【考点】一次函数综合题
【分析】（1）通过解方程可以求得，．则；
（2）设直线的解析式是．把点、的坐标分别代入解析式，列出关于系数、的方程组，通过解方程组即可求得它们的值；
（3）需要分类讨论：为腰，为底两种情况下的点的坐标．根据等腰三角形的性质、两点间的距离公式以及一次函数图象上点的坐标特征进行解答．
【解答】解：（1）解方程得
，．
，的长分别是一元二次方程的两个实数根，
，．
；
（2）设直线的解析式是．
由（1）知，，则．
点、都在直线上，
，
解得，，
直线的解析式为；
（3），，
根据题意知．
点在直线上，
设
当以点，，三点为顶点的三角形是等腰三角形时，需要分类讨论：
①当时，点是线段的中垂线与直线的交点，则；
②当时，，
解得，，则，，，；
③当时，，
解得，，则，，．
综上所述，符合条件的点有：，，，，，．

【点评】本题考查了一次函数综合题．其中涉及到的知识点有：待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质．解答（3）题时，要分类讨论，防止漏解．另外，解答（3）题时，还利用了“数形结合”的数学思想