专题21 排列组合与概率必刷小题100题

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专题21 排列组合与概率必刷小题100题
任务一:善良模式(基础)1-30题
一、单选题
1．要安排名学生到个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C
【分析】
先将名学生分为组，再将组学生分配到个乡村，利用分步乘法计数原理可得结果.
【详解】
先把名学生分成三组，三组人数分别为、、，再分配给个乡村，故方法数为.
故选：C.
2．在边长为2的正六边形内任取一点，则这个点到该正六边形中心的距离不超过1的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先求出正六边形的面积，再求出到正六边形中心距离不超过1的点构成的圆的面积，利用面积比即可求出结果.
【详解】
正六边形的边长为2，所以其面积为
当正六边形内的点落在以正六边形的中心为圆心，1为半径的圆上或圆内时，该点到正六边形的中心的距离不大于1，其面积为
所以正六边形内的点到该正六达形中心的距离不起过1的概率.
故选：A
3．若某群体中的成员不用现金支付的概率为0.4，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则只用现金支付的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用对立事件的概率公式求解.
【详解】
设事件A：只用现金支付；事件B: 既用现金支付也用非现金支付；事件C：只用非现金支付，
则，又由条件有，所以.
故选：C.
4．现某校数学兴趣小组给一个底面边长互不相等的直四棱柱容器的侧面和下底面染色，提出如下的“四色问题”：要求相邻两个面不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的染色方案有（ ）
A．18种 B．36种 C．48种 D．72种
【答案】D
【分析】
分别求解选用4种颜色和3种颜色，不同的染色方案，综合即可得答案.
【详解】
若选择4种颜色，则前后侧面或左右侧面用1种颜色，其他3个面，用3种颜色，
所以有种；
若选择3种颜色，则前后侧面用1种颜色，左右侧面用1种颜色，底面不同色，
所以有种，
综上，不同的染色方案有种.
故选：D
5．奥林匹克标志由五个互扣的环圈组成，五环象征五大洲的团结.五个奥林匹克环总共有8个交点，从中任取3个点，则这3个点恰好位于同一个奥林匹克环上的概率为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
求出从8个点中任取3个点的所有情况，求出满足条件的情况 即可求出.
【详解】
从8个点中任取3个点，共有种情况，这3个点恰好位于同一个奥林匹克环上有种情况，则所求的概率.
故选：A.
6．年月日，极端强降雨席卷河南，部分地区发生严重洪涝灾害，河北在第一时间调集支抗洪抢险专业队､辆执勤车､艘舟艇及余件救灾器材，于月日时分出发支援河南抗洪抢险.若这支抗洪抢险专业队分别记为，，，，从这支专业队中随机选取支专业队分别到离出发地比较近的甲､乙个发生洪涝的灾区，则去甲灾区不去乙灾区的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先求出从这支专业队种随机选取支专业队，分别去甲乙灾区的结果总数，再求出去甲灾区不去乙灾区的结果数，再求概率.
【详解】
从这支专业队种随机选取支专业队，分别去甲乙灾区结果有种，
去甲灾区不去乙灾区的结果有种，所以所求概率，
故选：A.
7．甲、乙两名运动员各自等可能地从编号为、、的张卡片中选择张，则他们选择的卡片上的数字之和能被整除的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用古典概型的概率公式即求.
【详解】
由题知甲、乙两名运动员选择的卡片结果有：
共9种；
其中他们选择的卡片上的数字之和能被整除的有：共3种.
故他们选择的卡片上的数字之和能被整除的概率为.
故选：A
8．某团支部随机抽取甲乙两位同学连续期“青年大学习”的成绩（单位：分），得到如图所示的成绩茎叶图，关于这期的成绩，则下列说法正确的是（ ）

A．甲成绩的中位数为
B．乙成绩的极差为
C．甲乙两人成绩的众数相等
D．甲成绩的平均数高于乙成绩的平均数
【答案】A
【分析】
根据茎叶图求出甲成绩的中位数，乙成绩的极差，众数，平均数即可判断.
【详解】
对A，根据茎叶图可得甲成绩的中位数为32，故A正确；
对B，乙同学的成绩最高为52，最低为10，所以极差为，故B错误；
对C，由茎叶图可知甲同学成绩的众数为32，乙同学的成绩的众数为42，不相等，故C错误；
对D，因为甲成绩的平均数为，乙成绩的平均数为，，故D错误.
故选：A.
9．要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A、B、C三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到A班级的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意，先将四人分成三组，再分别分给三个班级即可求得总安排方法；若甲被安排到A班，则分甲单独一人安排到A班和甲与另外一人一起安排到A班两种情况讨论，即可确定甲被安排到A班的所有情况，即可求解.
【详解】
将甲、乙、丙、丁名同学分到三个班级中，要求每个班级至少分到一人，
则将甲、乙、丙、丁名同学分成三组，人数分别为1，1，2；则共有种方法，分配给三个班级的所有方法有种；
甲被分到A班，有两种情况：
甲单独一人分到A班，则剩余两个班级分别为1人和2人，共有种；
二，甲和另外一人分到A班，则剩余两个班级各1人，共有种；
综上可知，甲被分到班的概率为.
故选：B.
10．奥运会跳水比赛中共有名评委给出某选手原始评分，在评定该选手的成绩时，去掉其中一个最高分和一个最低分，得到个有效评分，则与个原始评分（不全相同）相比，一定会变小的数字特征是（ ）
A．众数 B．方差 C．中位数 D．平均数
【答案】B
【分析】
根据题意，由数据的中位数、平均数、方差、众数的定义，分析可得答案．
【详解】
对于A：众数可能不变，如，故A错误；
对于B：方差体现数据的偏离程度，因为数据不完全相同，当去掉一个最高分、一个最低分，一定使得数据偏离程度变小，即方差变小，故B正确；
对于C：7个数据从小到大排列，第4个数为中位数，当首、末两端的数字去掉，中间的数字依然不变，故5个有效评分与7个原始评分相比，不变的中位数，故C错误；
对于C：平均数可能变大、变小或不变，故D错误；
故选：B
11．有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，则不同的站法共有( )
A．66种 B．60种 C．36种 D．24种
【答案】B
【分析】
首先利用全排列并结合已知条件即可求解.
【详解】
首先对五名学生全排列，则共有种情况，
又因为只有甲在乙的左边或右边两种情况，
所以甲不排在乙的左边的不同的站法共有种情况.
故选：B
12．随机变量满足分布列如下：

0
1
2
P



则随着的增大（ ）
A．增大，越来越大
B．增大，先增大后减小
C．减小，先减小后增大
D．增大，先减小后增大
【答案】B
【分析】
结合分布列的性质求出的值以及的范围，然后根据期望与方差的概念表示出期望与方差，结合函数的性质即可得出结论.
【详解】
因为，所以，
又因为，解得，
所以，随着的增大，增大；
，
因为，所以先增大后减小.
故选：B.
13．永州是一座有着两千多年悠久历史的湘南古邑，民俗文化资源丰富.在一次民俗文化表演中，某部门安排了《东安武术》、《零陵渔鼓》、《瑶族伞舞》、《祁阳小调》、《道州调子戏》、《女书表演》六个节目，其中《祁阳小调》与《道州调子戏》不相邻，则不同的安排种数为（ ）
A．480 B．240 C．384 D．1440
【答案】A
【分析】
利用插空法求解即可.
【详解】
第一步，将《东安武术》、《零陵渔鼓》、《瑶族伞舞》、《女书表演》四个节目排列，有种排法；
第二步，将《祁阳小调》、《道州调子戏》插入前面的4个节目的间隙或者两端，有种插法；
所以共有种不同的安排方法.
故选：A
14．五行学说是中华民族创造的哲学思想.古代先民认为，天下万物皆由五种元素组成，分别是金､木､水､火､土，彼此之间存在如图所示的相生相克关系.若从金､木､水､火､土五种元素中任取两种，则这两种元素恰是相生关系的概率是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先计算从金､木､水､火､土五种元素中任取两种的所有基本事件数，再计算其中两种元素恰是相生关系的基本事件数，利用古典概型概率公式，即得解
【详解】
由题意，从金､木､水､火､土五种元素中任取两种，共有（金，木），（金，水），（金，火），（金，土），（木，水），（木，火），（木土），（水，火），（水，土），（火，土），共10个基本事件，其中两种元素恰是相生关系包含（金，木），（木，土），（土，水），（水，火）（火，金）共5个基本事件，所以所求概率.
故选：C
15．山竹，原产地在印度尼西亚东北部岛屿的一组群岛马鲁古，具有清热泻火､生津止渴的功效，被誉为夏季的“水果之王”，受到广大市民的喜爱.现统计出某水果经销商近年的山竹销售情况，如下表所示.
年份





年份代码





年销量/万斤





根据表中的数据用最小二乘法求得关于的线性回归方程为，若年的年份代码为，则可以预测年该经销商的山竹销量大约为（ ）
A．万斤 B．万斤 C．万斤 D．万斤
【答案】A
【分析】
求出样本中心点为，代入回归直线可得的值，再将代入即可求解.
【详解】
，，
所以样本中心点为，
将代入可得：，可得，
所以关于的线性回归方程为，
当时，万元，
故选：A.
16．《医院分级管理办法》将医院按其功能､任务不同划分为三个等级：一级医院､二级医院､三级医院.某地有9个医院，其中3个一级医院，4个二级医院，2个三级医院，现在要从中抽出4个医院进行药品抽检，则抽出的医院中至少有2个一级医院的抽法有（ ）
A．81种 B．80种 C．51种 D．41种
【答案】C
【分析】
分恰有2个一级医院与恰有3个一级医院两种情况讨论，按照分类加法计数原理计算可得；
【详解】
解：恰有2个一级医院，有种抽法；恰有3个一级医院，有种抽法.所以抽出的医院中至少有2个一级医院的抽法有（种）.
故选:C.
17．为了支援山区教育，现在安排名大学生到个学校进行支教活动，每个学校至少安排人，其中甲校至少要安排名大学生，则不同的安排方法共有（ ）种
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
对甲校分配的大学生人数进行分类讨论，利用排列、组合计数原理结合分类加法计数原理可得结果.
【详解】
若甲校分名大学生，此时有种分配方法；
若甲校分名大学生，此时有种分配方法.
综上所述，共有种分配方法.
故选：C.
18．接种疫苗是预防控制新冠疫情最有效的方法.我国自年月日起实施全民免费接种新冠疫苗工作，截止到年月底，国家已推出了三种新冠疫苗（腺病毒载体疫苗､新冠病毒灭活疫苗､重组新型冠病毒疫苗）供接种者选择，每位接种者仼选其中一种.若甲､乙､丙､丁人去接种新冠疫苗，则恰有两人接种同一种疫苗的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
首先利用分步乘法计数原理求出基本事件总数，再由排列、组合求出恰有两人接种同一种疫苗的哇基本事件个数，根据古典概型的概率计算公式即可求解.
【详解】
由题意，每位接种者可等可能地从种任选一种接种，
由分步乘法计算原理知，共有不同的结果，
恰有两人接种同一种疫苗，可先从人中任选两人并成一组，有种结果，
再与另两人一起按三种疫苗的顺序排成一排，
有种排法，一种排法对应一种接种方法，
故恰有两人接种同一种疫苗共有种不同结果，
由古典概型概率计算公式得：.
故选：A
19．袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到白球”记为B，否则记为C，那么事件A与B，A与C间的关系是（ ）
A．A与B，A与C均相互独立
B．A与B相互独立，A与C互斥
C．A与B，A与C均互斥
D．A与B互斥，A与C相互独立
【答案】A
【分析】
根据相互独立事件的定义进行判断即可.
【详解】
有放回地摸球，第一次摸球与第二次摸球之间没有影响，即A与B，A与C均相互独立
故选：A
20．从三个小区中选取6人做志愿者，每个小区至少选取1人，则不同的选取方案数为（ ）
A．10 B．20 C．540 D．1080
【答案】A
【分析】
问题等价于6个相同的小球分成3组，每组至少1个，利用“隔板法”可得答案.
【详解】
从三个小区中选取6人做志愿者，每个小区至少选取1人，
即6个志愿者名额分到3个小区，每个小区至少1个，
等价于6个相同的小球分成3组，每组至少1个，
将6个小球排成一排，除去两端共有5个空，
从中任取2个插入挡板，共有（种）方法，
即从三个小区中选取6人做志愿者，每个小区至少选取1人，不同的选取方案数为10.
故选：A

第II卷（非选择题）

二、填空题
21．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P(ξ≤6)＝________.
【答案】
【分析】
先求出随机变量的可能取值，再分别求出概率即可.
【详解】
解：取出的只红球个数可能为：、、、个，黑球相应个数为：、、、个
所以时，
所以
故答案为：.
22．一个袋子中装有六个大小形状完全相同的小球，其中一个编号为1，两个编号为2，三个编号为3．现从中任取一球，记下编号后放回，再任取一球，则两次取出的球的编号之和等于4的概率是________．
【答案】
【分析】
根据题意列出基本事件，然后根据古典概型的概率公式即可求出结果.
【详解】
记编号为1的球为，编号为2的球为，编号为3的球为，则基本事件：，，，
，，
共36种，编号之和为4的有：共10种，所求概率为＝．
故答案为：.
23．某医疗队有6名医生，其中只会外科的医生1名，只会内科的医生3名，既会外科又会内科的医生2名.现在要从医疗队中抽取3名医生支援3个不同的村庄，每个村庄1人，要求3名医生中至少有一名会内科，至少有一名会外科，则共有___________种派遣方法.
【答案】114
【分析】
根据医生的情况，分从只会外科的人中选1人和从只会外科的人中选0人两类求解.
【详解】
由题知，有2名医生既会外科，也会内科，只会外科的1名，5名会内科，
以选出只会外科的人数进行分类：
从只会外科的人中选1人：，
从只会外科的人中选0人：，
所以共114种.
故答案为：114
24．某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品中按质量分为一等品，二等品，三等品.从这些产品中随机抽取一件产品测试，已知抽到一等品或二等品的概率为0.86，抽到二等品或三等品的概率为0.35，则抽到二等品的概率为___________.
【答案】0.21/
【分析】
设抽到一等品，二等品，三等品的事件分别为，利用互斥事件加法列出方程组即可求解.
【详解】
设抽到一等品，二等品，三等品分别为事件A，B，C
则，则
故答案为：0.21
25．两名学生一起去一家单位应聘，面试前单位负责人对他们说：“我们要从面试的人中招聘3人，你们俩同时被招聘进来的概率是．”若每个参加面试的人被招聘的可能性相同，则根据这位负责人的话，可以推断出参加面试的人数为______．
【答案】21
【分析】
利用古典概型的概率公式求解.
【详解】
设参加面试的人数为n，依题意有，
即，
解得或（舍去）．
故答案为：21.
26．一个盒子中装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为的函数：，，，，，．现从盒子中逐一抽取卡片，且每次抽出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，设抽取次数为，则的概率为______．
【答案】/0.95
【分析】
由题可知的取值范围是，分别求概率，即求.
【详解】
易判断，，为偶函数，所以写有偶函数的卡片有3张，的取值范围是．
方法一 ，，，
所以．
方法二 ．
故答案为：.
27．为了强化劳动观念，弘扬劳动精神，某班级决定利用班会课时间进行劳动教育．现要购买铁锹、锄头、镰刀三种劳动工具共9把，每种工具至少购买1把，则不同的选购方法共有______种．（用数字作答）．
【答案】28
【分析】
用插隔板方法求解．
【详解】
问题相当于9个木棍排成一排，在中间8个空位中选2个插入隔板，方法数为