数学选择性必修 第一册2.1 直线的倾斜角与斜率教学设计

2.1.2 两条直线平行和垂直的判定

(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第二章)

一、教学目标

1. 学会用斜率判断两条直线的平行和垂直关系，并解决相应的几何问题；

2. 体会利用代数方法研究几何问题的解析几何基本方法；

3. 促进数学运算、直观想象、逻辑推理等素养的发展.

二、教学重难点

1. 重点：根据斜率判定两条直线平行和垂直.

2. 难点：将判定两条直线平行和垂直转化为判断两条直线斜率的关系来研究.

三、教学过程

1.复习巩固，引入课题

为了在平面直角坐标系中用代数方法表示直线，我们从确定直线位置的几何要素出发，引入直线的倾斜角，再利用倾斜角与直线上点的坐标关系引入直线的斜率，从数的角度刻画了直线相对于x轴的倾斜程度，并导出了用直线上任意两点的坐标计算斜率的公式，从而把几何问题转化为代数问题. 我们知道，两条直线的位置关系只与两条直线的相对方向有关，也就是说只与斜率有关，若直线的斜率为，则它的一个方向向量的坐标为. 因此，我们可以通过直线的斜率来判断两条直线的位置关系.

【设计意图】复习前一节的知识和研究方法，运用已有知识，建立新旧知识的联系，为本节课的研究打下基础，引出课题.

2.合作交流，探究新知

2.1具体感知，理性分析

问题1：我们知道，平面中的两条直线有两种位置关系：相交、平行. 当两条直线l1与l2平行时，它们的斜率k1与k2满足什么关系？并论证你的结论.

注：若没有特别说明，说“两条直线l1，l2”时，指两条不重合的直线.

【预设的答案】相等，因为两条直线平行，它们的倾斜角相等.

【设计意图】引导学生进行主动探究，先通过直观感知，提出两条直线平行的条件，再进行理性分析，通过倾斜角相等、方向向量共线进行论证，建立知识之间的联系.

问题2：两条直线平行，它们的斜率一定相等吗？

【预设的答案】不一定，因为两条直线平行，有可能它们的斜率都不存在.

【设计意图】启发学生理解问题1所得结论的前提条件，完善知识体系，强化分类讨论的意识，培养严谨的思维习惯.

2.2探究典例，初步应用

例1  已知A(2，3)，B(–4，0)，P(–3，1)，Q(–1，2)，试判断直线AB与PQ的位置关系，并证明你的结论．

【预设的答案】AB∥PQ.

【设计意图】将判定两条直线平行转化为判断两条直线斜率的关系来研究，体会用代数方法研究几何问题的思路.

例2  已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0，0)，B(2，–1)，C(4，2)，D(2，3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明．

【预设的答案】四边形ABCD是平行四边形.

教师活动：启发学生先画图，直观感知，提出猜想，再计算直线的斜率，解决问题.

【设计意图】强化数形结合的思想，进一步体会用代数方法研究几何问题的思路.

2.3类比研究，渗透思想

问题3：显然，当两条直线相交时，它们的斜率不相等；反之，当两条直线的斜率不相等时，它们相交. 在相交的位置关系中，垂直是最特殊的情形，直线l1，l2垂直时，它们的斜率除了不相等外，是否还有特殊的数量关系？类比前面的研究进行讨论.

【活动预设】类比前面的研究方法，通过研究两条直线的倾斜角之间的关系，或者通过两条直线方向向量的关系，得到结论.

教师活动：利用GGB软件，通过具体的数据，启发学生直观感知两条直线垂直时，倾斜角和斜率之间的关系.

【设计意图】启发学生进行研究讨论，探究两条直线垂直的条件.

问题4：当两条直线垂直时, 它们的斜率之积一定等于－1吗？为什么？

【预设的答案】不一定，因为其中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直.

【设计意图】启发学生理解所得结论的前提条件，完善知识体系，培养严谨的思维习惯.

例3  已知A(–6，0)，B(3，6)，P(0，3)，Q(6，–6)，试判断直线AB与PQ的位置关系．

【预设的答案】垂直.

【设计意图】将判定两条直线垂直转化为判断两条直线斜率的关系来研究.

例4  已知A(5，–1)，B(1，1)，C(2，3)三点，试判断∆ABC的形状．

【预设的答案】直角三角形.

教师活动：启发学生先发图，直观感知，提出猜想，再计算直线的斜率，解决问题.

【设计意图】强化数形结合的思想，进一步体会用代数方法研究几何问题的思路.

变式：已知点A(5，–1)，C(2，3) ，点B在x轴上，且∠ABC为直角，

求点B的坐标．

【预设的答案】点B的坐标为(，0)或(，0).

【设计意图】通过变式训练，强化应用意识.

3.巩固练习，加深理解

   1. 判断下列各对直线是否平行或垂直：

   (1)经过A(2，3)，B(–1，0)两点的直线l1，与经过点P(1，0)且斜率为1的直线l2；

   (2)经过C(3，1)，D(–2，0)两点的直线l3，与经过点M(1，– 4)且斜率为–5的直线l4．

   2. 试确定m的值，使过A(m，1) ，B(–1，m)两点的直线与过P (1，2) ，Q (–5，0)两点的直线： (1)平行； (2)垂直．

【预设的答案】1.(1)平行，(2)垂直.  2.(1) , (2) .

【设计意图】通过独立完成，再相互交流确认答案，掌握直线的斜率与两条直线的平行和垂直之间的关系.

4. 归纳小结，深化认识

思考：通过本节课的学习，你在知识和方法上有哪些体会或收获？

教师活动：从知识和思想方法层面启发学生总结归纳，并提问：在平面直角坐标系中，除了研究两直线的位置关系，你还能提出哪些几何问题进行研究？用代数方法解决这些问题还需要我们建立直线的方程.

【预设的答案】点与直线的位置关系，两条平行直线之间的距离，两条相交直线交点的坐标等.

【设计意图】归纳本节课的知识和方法，渗透利用代数方法研究几何问题的解析几何基本方法，引出接下来要研究的问题.

四、课外作业