2023年福建省宁德市中考数学质检试卷（含解析）

这是一份2023年福建省宁德市中考数学质检试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年福建省宁德市中考数学质检试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −7的相反数是(    )
A. −7 B. 7 C. −17 D. 17
2. 如图是四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是(    )
A. B.
C. D.
3. 点A在数轴上的位置如图所示，将点A向左移动3个单位长度得到点B，则点B表示的数是(    )
A. 4 B. 3 C. −3 D. −2
4. 下列运算正确的是(    )
A. 2a2−a2=2 B. (ab2)2=ab4 C. a2⋅a3=a6 D. a8÷a4=a4
5. 下列四个点中，有三个点在同一反比例函数y=kx的图象上，则不在这个函数图象上的点是(    )
A. (1,6) B. (−12,12) C. (−2,−3) D. (32,4)
6. 下列事件中，属于必然事件的是(    )
A. 打开电视机，正在播放新闻 B. 翻开书，页码是偶数
C. 购买一张体育彩票，能够中奖 D. 掷一枚质地均匀的骰子，点数小于7
7. 甲、乙两名同学在相同条件下6次射击训练的成绩(单位：环)如图所示.则下列叙述正确的是(    )

A. 甲的平均数大，甲的方差大 B. 甲的平均数大，乙的方差大
C. 乙的平均数大，甲的方差大 D. 乙的平均数大，乙的方差大
8. 为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习.如图，架在消防车上的云梯AB可伸缩，也可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m.若∠ABD=α，则此时云梯顶端A离地面的髙度AE的长是(    )

A. 9sinα+2 B. 9tanα+2 C. 9cosα+2 D. 9tanα+2
9. 为落实“数字中国”的建设工作，一市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成.已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的1.5倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装相同数量的教室多用3天.求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？设乙公司每天安装x间教室，则列出的方程正确的是(    )
A. 36x−361.5x=3 B. 36x×1.5=36x+3
C. 361.5x−36x=3 D. 36x=36x+3×1.5
10. 五巧板是一种类似七巧板的智力玩具，它是由正方形分割而成.按如图方式分割的一幅五巧板，若从中拿走一块，使得剩下的四块板仍然能拼成一个正方形，则拿走的那块板的序号是(    )
A. ①
B. ②
C. ③
D. ⑤
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 计算：(−2)0=          ．
12. 将一副三角板按如图所示的位置摆放，若∠α=57°，则∠β= ______ ．


13. 计算：xx−1−1x−1=______．
14. 某校午托服务提供A、B两种午饭套餐供学生选择，每位学生只能从中任选一种，甲、乙两位同学都选中A套餐的概率是______ ．
15. 如图，已知Rt△ABC，∠ABC=90°，AB=4，BC=2，将△ABC绕点A沿逆时针方向旋转得到△ADE，点C的对应点是点E.若点E落在射线AB上，则点E到AC距离等于______ ．


16. 已知抛物线y=−x2+2bx+n(b>0)的顶点为A，交y轴于点B；抛物线y=x2+2bx+m的顶点为C，交y轴于点D.若m−n=6，且以A，B，C，D四点为顶点的四边形为矩形，则b= ______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
解不等式组：3x 18. (本小题8.0分)
如图，在矩形ABCD中，点E，F在对角线BD上，BE=DF，求证：AE=CF．

19. (本小题8.0分)
若一组实数a，b满足：a2−b=b2−a，则称这组数a，b为“和谐轮换数”．
(1)下列两组数中，a，b是“和谐轮换数”的是______ ；(填序号)
①a=3，b=4；②a=1，b=−2；
(2)已知a=m−2，b=1−m，请说明a，b是“和谐轮换数”．
20. (本小题8.0分)
为了落实国家教育数字化战略行动的有关精神，某校组织全体学生参加“信息素养提升”知识竞赛.现从中随机抽取男、女学生各30名的成绩进行分析，并绘制成如下不完整的统计表和统计图.(数据分为4组：A组：60≤x<70，B组：70≤x<80，C组：80≤x<90，D组：90≤x<100，x表示成绩，成绩为整数)，其中女生成绩处于C组的有12人，成绩分别为：81，82，82，83，84，85，85，86，86，86，88，88．
男生信息素养知识竞赛成绩统计表
组别
A
B
C
D
男生(人)
m
8
14
5
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)抽取的男生成绩落在A组的频率是______ ；抽取的女生成绩的中位数是______ 分；
(2)从平均数的角度分析，竞赛成绩更好的是男生还是女生？(每组中各个数据用该组的中间值代替，如60≤x<70的中间值为65)
(3)该校有1800名学生，且男女生比例相当.若80及80分以上的成绩记为优秀，估计该校在本次知识竞赛中成绩优秀的学生人数．

21. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，∠B=90°，AB>BC．
(1)尺规作图：在AC和AB上分别确定点D，E的位置，使得△BDE是以BD为底边的等腰直角三角形；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)的条件下，若AB=6，BC=4，求BE的长．

22. (本小题10.0分)
某市为助力新能源汽车产业的健康发展，打造新能源交通生态城市，近几年在全市范围内安装电动汽车充电桩.2021年该市投入资金1250万元，安装A型充电桩200个和B型充电桩300个；2022年又投入2000万元，安装A型充电桩250个和B型充电桩500个.已知这两年安装A、B两种型号的充电桩单价不变．
(1)求安装A型充电桩和B型充电桩的单价各是多少万元？
(2)为适应电动汽车快速发展的需要，市政府计划2023年再安装A、B两种型号的充电桩共200个.考虑到充电容量等综合因素，决定安装A型充电桩的数量不多于B型充电桩的一半.在安装单价不变的前提下，当安装A型充电桩多少个时，所需投入的总费用最少，最少费用是多少万元？
23. (本小题10.0分)
如图，OM为⊙O的半径，且OM=3，点G为OM的中点，过点G作AB⊥OM交⊙O于点A，B，点D在优弧AB上运动，将AB沿AD方向平移得到DC；连接BD，BC．
(1)求∠ADB的度数；
(2)如图2，当点D在MO延长线上时，求证：BC是⊙O的切线．

24. (本小题12.0分)
如图1，点O为矩形ABCD对角线BD的中点，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F，∠EOB<90°.将矩形ABCD沿EF折叠，点A的对应点为点H，点B的对应点为点G，GF交BD于点N，交AD于点P，连接GD．

(1)求证：AE=CF；
(2)求证：GD//EF；
(3)如图2，连接GO交AD于点M，连接MN.判断GD，MN和EF的数量关系，并说明理由．
25. (本小题14.0分)
已知抛物线y=ax2+c(a>0)与x轴分别交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点P.直线y=kx+b(k≠0)经过点B，与y轴正半轴和抛物线分别交于C，D两点．

(1)如图1，当点P的坐标为(0,−1)，且△PAB的面积为1时，求该抛物线的表达式；
(2)在(1)的条件下，若∠DAC=90°，求k的值；
(3)如图2，过点D作DE⊥x轴于点E.判断△PAE的面积与△OBC的面积之间的数量关系，并说明理由．
答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：根据概念，−7的相反数是7．
故选：B．
根据相反数的概念，求解即可．
本题考查了相反数的概念．

2.【答案】A 
【解析】解：A.是中心对称图形，故此选项符合题意；
B.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
根据中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．

3.【答案】D 
【解析】解：由题意可得，
∵点A向左移动3个单位长度得到点B，
∴点B代表的数字是：1−3=−2，
故选：D．
根据数轴上点平移规律：左减右加，直接求取即可得到答案．
本题主要考查数轴，掌握数轴上点平移规律：左减右加是解题的关键．

4.【答案】D 
【解析】解：2a2−a2=a2，故A错误，不符合题意；
(ab2)2=a2b4，故B错误，不符合题意；
a2⋅a3=a5，故C错误，不符合题意；
a8÷a4=a4，故D正确，符合题意；
故选：D．
根据合并同类项法则，幂的乘方，积的乘方法则，同底数幂的乘，除法法则分别判断即可．
本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．

5.【答案】B 
【解析】解：A、k=1×6=6，不符合题意；
B、k=−12×12=−6，符合题意；
C、k=(−2)×(−3)=6，不符合题意；
D、k=32×4=6，不符合题意；
∴不在这个函数图象上的点是(−12,12)，
故选：B．
由反比例函数表达式的特点可知，在其图象上的点的横、纵坐标的乘积都等于k，所以判断点是否在反比例函的图象上，只要验证一下横、纵坐标的乘积是否与k相等就可以了．
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．

6.【答案】D 
【解析】解：由题意可得，
打开电视机，正在播放新闻，是随机事件，故A不符合题意；
翻开书，页码是偶数，是随机事件，故B不符合题意；
购买一张体育彩票，能够中奖，是随机事件，故C不符合题意；
掷一枚质地均匀的骰子，点数小于7，是必然事件，故D符合题意；
故选：D．
根据事件定义逐个判断即可得到答案．
本题考查事件的定义：一定发生的叫必然事件，一定不发生的将不可能事件，可能发生的叫随机事件．

7.【答案】A 
【解析】解：甲的平均数=(6+7+10+8+9+10)÷6=253，乙的平均数=(8+9+8+7+8+8)÷6=8，
从折线图可以看出甲的波动比乙的大，所以甲的方差大．
故选：A．
根据平均数的概念计算出平均数，从折线图可以看出甲的波动比乙的大，所以甲的方差大．
本题主要考查折线统计图，算术平均数，方差的知识，熟练根据折线统计图获取相应的数据是解题的关键．

8.【答案】B 
【解析】解：在直角三角形ABD中，tanα=ADBD，
∴AD=BD⋅tanα=9tanα，
根据题意可得：DE=BC=2，
∴AE=AD+DE=9⋅tanα+2；
故选：B．
根据∠ABD的正切可得AD=BD⋅tanα=9tanα，而DE=BC=2，进而即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用，比较简单，掌握正切的定义是解题的关键．

9.【答案】A 
【解析】解：由题意可得，
36x−361.5x=3，
故选：A．
根据乙公司安装36间教室比甲公司安装相同数量的教室多用3天列式即可得到答案．
本题考查利用分式方程解决实际应用问题，解题的关键是找到等量关系式．

10.【答案】D 
【解析】解：如图，
依题意可得，
∵剩下的四块板仍然能拼成一个正方形，
∴取下来的是⑤，
故选：D．
根据仍要拼得正方形求解即可得到答案．
本题考查正方形的分割图，解题的关键是根据题意，确保剩下的四块板仍然能拼成一个正方形．

11.【答案】1 
【解析】
【分析】
主要考查了零指数幂的意义，即任何非0数的零次幂等于1．
根据零指数幂的运算法则进行计算．
【解答】
解：(−2)0=1．
故答案为1  
12.【答案】33° 
【解析】解：∵∠α=57°，∠α+∠β+90°=180°，
∴∠β=180°−90°−57°=33°，
故答案为：33°．
根据平角的定义求出即可．
本题考查了余角和补角、平角的定义，能根据图形和平角的定义求出结果是解此题的关键．

13.【答案】1 
【解析】解：原式=x−1x−1=1．
故答案为：1．
由于两分式的分母相同，分子不同，故根据同分母的分式相加减的法则进行计算即可．
本题考查的是分式的加减法，即同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．

14.【答案】14 
【解析】解：根据题意画图如下：

所有等可能的情况有4种，其中甲、乙两位同学都选中A套餐的有1种，
则甲、乙两位同学都选中A套餐的概率为14；
故答案为：14：
画出树状图得出所有等可能的情况数，再找出甲乙两人选择同款套餐的情况数，然后根据概率公式求解即可．
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

15.【答案】2 
【解析】解：过点E作EF⊥AC于点F，

∵将△ABC绕点A沿逆时针方向旋转得到△ADE，
∴AE=AC，
∵∠ABC=∠AFE=90°，∠BAC=∠EAF，
∴△ABC≌△AFE(AAS)，
∴BC=EF=2，
∴点E到AC距离等于2．
故答案为：2．
过点E作EF⊥AC于点F，由旋转的性质得出AE=AC，证明△ABC≌△AFE(AAS)，由全等三角形的性质得出BC=EF=2，则可得出答案．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，证明△ABC≌△AFE是解题的关键．

16.【答案】 5 
【解析】解：由题意可得，
当x=−2b2×(−1)=b时，y=n+b2，当x=0时，y=n，
∴A(b,n+b2)，B(0,n)，
当x=−2b2×1=−b时，y=m−b2，当x=0时，y=m，
∴，D(0,m)，C(−b,m−b2)，
∴该四边形是AC、BD作对角线，
∵四边形为矩形，m−n=6，
∴AC2=BD2，即：(2b)2+(n−m+2b2)2=(n−m)2，
化简得：1+b2+(n−m)=0，
解得b1= 5，b2=− 5(不符合题意，舍去)，
故答案为： 5．
根据抛物线的性质分别求出A，B，C，D四点坐标，结合矩形性质列式求解即可得到答案；
本题考查二次函数的性质，矩形的性质，解题的关键是求出A，B，C，D四点坐标，并确定其位置，利用矩形性质列式求解．

17.【答案】解：3x 解不等式①，得x<2．
解不等式②，得x≥−3．
∴原不等式组的解集是−3≤x<2． 
【解析】先分别求出每个不等式的解集，再找出两个不等式解集的公共部分即可．
本题考查了一元一次不等式组的解法，属于基础题型，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键．

18.【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
AB=CD∠ABE=∠CDFBE=DF，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴AE=CF． 
【解析】由矩形的性质可得AB=CD，AB//CD，由“SAS”可证△ABE≌△CDF，可得AE=CF．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．

19.【答案】② 
【解析】解：(1)①当a=3，b=4时；
a2−b=32−4=5，b2−a=42−3=13；
∴3，4不是“和谐轮换数”；
②当a=1，b=−2时；
a2−b=12−(−2)=3，b2−a=(−2)2−1=3；
∴1，−2是“和谐轮换数”；
故答案为：②；
(2)∵a=m−2，b=1−m，
∴a2−b=(m−2)2−(1−m)=m2−4m+4−1+m=m2−3m+3．
b2−a=(1−m)2−(m−2)=1−2m+m2−m+2=m2−3m+3．
∴a2−b=b2−a．
∴a，b是“和谐轮换数”．
(1)根据“和谐轮换数”的定义计算判断即可；
(2)根据“和谐轮换数”的定义解答即可．
本题是新定义问题，主要考查了整式的运算，正确理解“和谐轮换数”的定义、熟练掌握完全平方公式是解题的关键．

20.【答案】0.1  85 
【解析】解：(1)∵m=30−8−14−5=3，
∴抽取的男生成绩落在A组的频率是：3÷30=0.1，
∵女生成绩有小到大排列第15，第16个数据分别是85，85，
∴抽取的女生成绩的中位数是85+852=85(分)，
故答案为：0.1，85；
(2)男生成绩的平均数；=3×65+8×75+14×85+5×9530=82(分)，
女生成绩的平均数=65×10%+75×20%+85×40%+95×30%=84(分)；
∵82<84，
∴女生的竞赛成绩更好．
(3)男生优秀人数：1800×12×14+530=570，
女生优秀人数：1800×12×(40%+30%)=630，
∴优秀人数是：570+630=1200．
答：估计该校在本次知识竞赛成绩优秀的学生人数有1200名．
(1)先求出m，再用m的值除以30即可求出抽取的男生成绩落在A组的频率；关键中位数的意义确定抽取的女生成绩的中位数即可；
(2)分别求出男生和女生的平均数，再比较作出判断即可；
(3)分别估计出男生和女生的人数，再相加即可作出估计．
本题考查频数分布表，扇形统计图，加权平均数，中位数，用样本估计总体，理解相关统计量的意义，以及从统计图表中获取有用信息是解题的关键．

21.【答案】解：(1)如图，以点B为圆心，以适当长为半径画弧，交AB，AC于点N，M，分别以点N，M为圆心，以适当长为半径画弧，两弧相交于点O，连接BO交AC于点D，过点D作DE//BC，交AB于点E，△BDE是以BD为底边的等腰直角三角形；


由作图可知：∠EBD=∠CBD，
∵DE//BC，
∴∠EDB=∠CBD，
∴∠EBD=∠EDB，
∴BE=DE，
∵∠ABD+∠CBD=90°，
∴∠ABD+∠EDB=90°，
∴∠DEB=90°，
∴△BDE是以BD为底边的等腰直角三角形；
(2)∵△BDE是以BD为底边的等腰直角三角形，
∴∠BED=90°，DE=BE，
∵∠AED=∠ABC=90°，∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴AEAB=DEBC，
设BE=a，则DE=BE=a，AE=AB−BE=6−a，
∴a4=6−a6，
解得：a=125，
∴BE的长等于125． 
【解析】(1)以点B为圆心，以适当长为半径画弧，交AB，AC于点N，M，分别以点N，M为圆心，以适当长为半径画弧，两弧相交于点O，连接BO交AC于点D，过点D作DE//BC，交AB于点E，△BDE即为所求；先证BE=DE，再证∠DEB=90°，即可得答案；
(2)先证△AED∽△ABC，得AEAB=DEBC，设BE=a，则DE=BE=a，AE=AB−BE=6−a，得a4=6−a6，解方程即可得答案．
本题考查了尺规作图，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．

22.【答案】解：(1)设安装A型充电桩的单价为x万元，B型充电桩的单价y万元，根据题意，
得200x+300y=1250250x+500y=2000，
解这个方程组，得x=1y=3.5；
答：安装A型充电桩和B型充电桩的单价分别是1万元和3.5万元．
(2)设A型充电桩安装了m个，则B型充电桩安装了(200−m)个，投入的总费用为w万元，根据题意，得
m≤12(200−m)．
解这个不等式，得m≤6623．
投入的总费用w=1×m+3.5(200−m)．
∴w=−2.5m+700，
∵−2.5<0，
∴w随m增大而减小，
∵m为正整数，当m取最大值66时，w的最小值为w=−2.5×66+700=535(万元)．
答：当A型充电桩安装66个时，所需投入的总费用最少，最少的费用为535万元． 
【解析】(1)设安装A型充电桩的单价为x万元，B型充电桩的单价y万元，根据题意即可列出关于x、y的方程组，解方程组即可求出答案；
(2)设A型充电桩安装了m个，则B型充电桩安装了(200−m)个，投入的总费用为w万元，根据题意可列出不等式，进而可求出m的取值范围，然后得出w关于m的函数关系式，再根据一次函数的性质求最值即可．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用等知识，正确理解题意、列出方程组、不等式及一次函数关系式是解题的关键．

23.【答案】(1)解：如图1，连接AO，BO．

∵点G为OM的中点，且OM=3，
∴OG=12OM=32，OA=OB=OM=3，
∵AB⊥OM，
在Rt△AOG中，sin∠OAG=OGOA=12．
∴∠OAG=30°，
又∵OA=OB，
∴∠OAG=∠OBG=30°，
∴∠AOB=120°，
∴∠ADB=12∠AOB=60°．
(2)证明：如图2，连接AO，BO，CO，

由平移得：AB=DC，AB//DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵OM⊥AB，点D在MO延长线上，
∴DM⊥CD，
∵OA=OB，AB⊥OM，
∴AG=BG，
∴DM垂直平分AB，
∴AD=BD，
∵∠ADB=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴CB=CD，
在△COB和△COD中，
CB=CDOB=ODOC=OC，
∴△COB≌△COD(SSS)，
∴∠OBC=∠ODC=90°，
又∵OB是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线． 
【解析】(1)连接AO，BO，先根据特殊角的正弦值可得∠OAG=30°，再根据等腰三角形的性质可得∠OAG=∠OBG=30°，从而可得∠AOB=120°，然后根据圆周角定理即可得；
(2)连接AO，BO，CO，先证出四边形ABCD是平行四边形，再根据等边三角形的判定与性质可得AB=AD，根据菱形的判定可得四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质可得CB=CD，然后根据SSS定理证出△COB≌△COD，根据全等三角形的性质可得∠OBC=∠ODC=90°，最后根据圆的切线的判定即可得证．
本题考查了特殊角的正弦值、圆周角定理、圆的切线的判定、菱形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆的切线的判定方法是解题关键．

24.【答案】(1)证明∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠EDO=∠FBO，∠DEO=∠BFO．
∵点O为BD的中点，
∴BO=DO．
∴△DEO≌△BFO(AAS)，
∴DE=BF，
∴AE=CF．
(2)证明：由对称可得∠BFE=∠GFE，BF=GF．
∵∠DEO=∠BFE，
∴∠PEF=∠PFE．
∴PE=PF．
∴∠PEF=∠PFE=180°−∠EPF2．
由(1)得DE=BF，
∴DE=GF．
∴PD=PG．
∴∠PGD=∠PDG=180°−∠DPG2．
∵∠EPF=∠DPG，
∴∠PEF=∠PDG．
∴GD//EF．
(3)解：数量关系是：1MN=2EF+1GD．
∵△DEO≌△BFO，
∴EO=FO．

由对称可得∠GOE=∠BOE，
∵∠BOE=∠NOF，
∴∠GOE=∠NOF，
由(2)知∠PEF=∠PFE，即∠MEO=∠NFO，
在△MEO和△NFO中，
∠MEO=∠NFOOE=OF∠MOE=∠NOF，
∴△MEO≌△NFO(ASA)，
∴ME=NF．
∵PE=PF，
∴PM=PN．
∴PMPE=PNPF．
∵∠MPN=∠EPF，
∴△PMN∽△PEF，
∴∠PMN=∠PEO，
∴MN//EF，
∴∠DMN=∠DEO，∠DNM=∠DOE．
∴△DMN∽△DEO，
∴DNDO=MNEO．
∵GD//EF，
∴MN//GD．
同理可证△OMN∽△OGD，
∴ONOD=MNGD．
∴DNOD+ONOD=MNEO+MNGD．
∴MNEO+MNGD=1．
即1MN=1EO+1GD．
∵EF=2EO，
∴1MN=2EF+1GD． 
【解析】(1)利用AAS证明△DEO≌△BFO，推出DE=BF，即可证明AE=CF．
(2)由对称的性质可得∠BFE=∠GFE，BF=GF，等量代换可得∠PEF=∠PFE，进而可得PE=PF，∠PEF=∠PFE=180°−∠EPF2.根据DE=BF，BF=GF，可得DE=GF，进而可得PD=PG，∠PGD=∠PDG=180°−∠DPG2，推出∠PEF=∠PDG，即可证明GD//EF；
(3)先证△MEO≌△NFO(ASA)，推出ME=NF，进而可得PM=PN.再依次证△PMN∽△PEF，△DMN∽△DEO，△OMN∽△OGD，根据相似三角形的性质可得DNDO=MNEO，ONOD=MNGD，进而可得DNOD+ONOD=MNEO+MNGD，变形可得1MN=1EO+1GD，即1MN=2EF+1GD．
本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，轴对称的性质等，解题的关键是综合运用上述知识点，逐步进行推导论证是解题的关键．

25.【答案】解：(1)∵点P(0,−1)在抛物线在抛物线y=ax2+c上，
可得c=−1．
∴y=ax2−1，
∴抛物线的对称轴为直线x=0，点P(0,−1)为顶点．
∴OA=OB，OP=1．
∵S△PAB=AB⋅OP2=1．
解得AB=2．
∴点A，B的坐标分别为A(−1,0)，B(1,0)．
∵点A(−1,0)在抛物线y=ax2−1上，可得a=1．
∴抛物线的表达式是y=x2−1．
(2)由(1)可得点A，B的坐标分别为A(−1,0)，B(1,0)．
∵点B(1,0)在直线y=kx+b上，
∴k+b=0.得b=−k．
∴y=kx−k．
当x=0时，y=−k．
∴C的坐标为(0,−k)．
由y=kx−ky=x2−1得x2−kx+k−1=0．
∴xD+xB=k，即xD=k−1．
∴yD=(k−1)2−1=k2−2k．
∴D的坐标为(k−1,k2−2k)．
过D作DM⊥x轴于点M．

∴AM=−1−(k−1)=−k，OC=−k，DM=k2−2k，
∴AM=OC．
∵∠DMA=∠AOC=90°．
∴∠MDA+∠MAD=90°，
∵∠DAC=90°，
∴∠MAD+∠CAO=180°−∠DAC=90°，
∴∠MDA=∠CAO．
∴△ADM≌△CAO(ASA)．
∴DM=AO=1．
∴k2−2k=1.得k=1± 2．
∵k<0，
∴k=1− 2．
(3)结论：S△OBC=S△PAE．
∵当y=0时，ax2+c=0，得x2=−ca，则x=± −ca，
∴点A，B的坐标分别为A(− −ca,0)，B( −ca,0)，

∵点B( −ca,0)在直线y=kx+b上，
∴k −ca+b=0，得b=−k −ca，
∴点C的坐标为C(0,−k −ca)．
∴OB= −ca，OC=−k −ca，
∴S△OBC= ca⋅(−k −ca)2=kc2a，
由y=kx−k −cay=ax2+c
得ax2−kx+k −ca+c=0，
∴xD+xB=ka，
∴xD=ka− −ca，
∴点E的坐标为E(ka− −ca,0)．
∴AE=− −ca−(ka− −ca)=−ka．
当x=0时，y=c．
∴点P的坐标为P(0,c)，
∴OP=−c．
∴S△PAE=−ka(−c)2=kc2a．
∴S△OPC=S△PAE． 
【解析】(1)将点P(0,−1)代入y=ax2+c可得c=−1，抛物线对称轴直线x=0，OA=OB，OP=1.根据△PAB的面积为1，可得点A，B的坐标，进而求解即可；
(2)将点B的坐标代入y=kx+b可得y=kx−k，令x=0，可得C的坐标为(0,−k)，联立y=x2−1和y=kx−k求得点D的坐标，过D作DM⊥x轴于点M.易证△ADM≌△CAO(ASA)，可得DM=AO=1，即可求解；
(3)根据解析式用a、c表示△PAE的面积与△OBC的面积，即可得出结论．
本题考查了二次函数和一次函数的图象和性质，二次函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．