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2022-2023学年湖南师大附中高二（上）入学数学试卷
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这是一份2022-2023学年湖南师大附中高二（上）入学数学试卷，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南师大附中高二（上）入学数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（5分）若z＝（a2﹣1）+（a﹣1）i为纯虚数，其中a∈R，则等于（ ）
A．﹣i B．i C．1 D．1或i
2．（5分）在投掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率都是．事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件发生的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（5分）已知集合，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣3，6） B．[﹣3，6]
C．（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞） D．（﹣∞，﹣3]∪[6，+∞）
4．（5分）设△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA＝sinB，且c2＝2a2（1+sinC），则C＝（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）已知函数f（x）＝x2+3|x|，设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a
7．（5分）已知函数在上是增函数，且f（x）在上有最小值，则φ的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）已知函数f（x）（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|＝2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ）
A．（0，] B．[，] C．[，]∪{} D．[，）∪{}
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
（多选）9．（5分）设l，m，n表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，下列四个选项中，正确的是（ ）
A．若 m⊥α，m⊥n，则 n∥α
B．若 l∥α，m∥l，m⊥β，则 α⊥β
C．若 m，n 为异面直线，m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则 α∥β
D．若 α⊥β，α⊥γ，则 γ⊥β
（多选）10．（5分）如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，∠BAC＝θ，点D为BC的三等分点（靠近B点），则可能的取值为（ ）
A．0 B． C． D．
（多选）11．（5分）冬春季节，人们容易感冒发热．若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产，有专业机构认为某地区在一段时间内没有发生大规模群体发热现象的标志为“连续10天，该地区每天新增疑似发热病例不超过7人”．下列连续10天疑似发热病例人数的统计特征数中，能判定该地没有发生群体性发热的为（ ）
A．总体平均数为 2，众数为 2
B．总体平均数为 2，总体标准差为
C．总体平均数为 2，第 65 百分位数为 5
D．总体平均数为 4，总体方差为
（多选）12．（5分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点Q为线段AD1上一动点，则（ ）
A．在Q点运动过程中，存在某个位置使得直线B1D与直线CQ所成角为锐角
B．三棱锥B﹣B1CQ的体积为定值
C．当Q为AD1的一个三等分点时，平面B1QD截正方体ABCB1﹣A1B1C1D1所得的截面面积为
D．当Q为AD1中点时，直线B1Q与平面BCC1B1所成的角最大
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）
13．（5分）已知，且点D在平面ABC内，则x＝ ．
14．（5分）已知直线l过点（4，1），且与两坐标轴正半轴围成的三角形面积为9，则直线l的斜率为 ．
15．（5分）已知向量，，满足||＝2，||＝3，•3，||2﹣2•8＝0，若λ（1﹣λ），则λ的值为 ．
16．（5分）如图，矩形ABCD中，为BC上一动点，点M，N分别在线段AB，CD上运动（其中M不与A，B重合，N不与C，D重合），且MN∥AD，将△DMN沿MN折起，得到三棱锥D﹣MNQ，当三棱锥D﹣MNQ体积最大时，其外接球的表面积最大为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.）
17．（10分）如图矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面四边形OABC的直观图，其中O′A′＝3，O′C′＝1．
（1）判断平面四边形OABC的形状并求周长；
（2）若该四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．
18．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB（1+2cosC）＝2sinAcosC+cosAsinC，且．
（1）求的值；
（2）若∠ACB的平分线交AB于点，求sinB．
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PC的中点为M，BD的中点为O，且PO⊥平面ABCD．
（1）证明：PA∥平面MBD；
（2）若PD⊥PB，∠DAB＝60°，AD＝1，求直线PO与平面PAD所成角的正弦值．
20．（12分）已知函数f（x）＝sinωx+acosωx（ω＞0），若函数y＝f（x）在定义域内存在x1，x2（x1≠x2），使成立，则称该函数为“互补函数”．
（1）若ω＝π，函数f（x）图象的一条对称轴为，求函数f（x）在区间上的值域；
（2）若a＝1，函数f（x）在[π，2π]上为“互补函数”，求ω的取值范围．
21．（12分）某中学在2022年高考分数公布后对高三年级各班的成绩进行分析．经统计某班有50名同学，总分都在区间[600，700]内，将得分区间平均分成5组，统计频数、频率后，得到了如图所示的频率分布直方图．
（1）估计该班级的平均分；
（2）经过相关部门的计算，本次高考总分大于等于680的同学可以获得高校T的“强基计划”入围资格．高校T的“强基计划”校考分为两轮．第一轮为笔试，所有入围同学都要参加，考试科目为数学和物理，每科的笔试成绩从高到低依次有A+，A，B，C四个等级，两科中至少有一科得到A+，且两科均不低于B，才能进入第二轮，第二轮得到“通过”的同学将被高校T提前录取．已知入围的同学参加第一轮笔试时，总分高于690分的同学在每科笔试中取得A+，A，B，C的概率分别为；总分不超过690分的同学在每科笔试中取得A+，A，B，C的概率分别为；进入第二轮的同学，若两科笔试成绩均为A+，则免面试，并被高校T提前录取；若两科笔试成绩只有一个A+，则要参加面试，总分高于690分的同学面试“通过”的概率为，总分不超过690分的同学面试“通过”的概率为，面试“通过”的同学也将被高校T提前录取．若该班级本次高考总分大于等于680的同学都报考了高校T的“强基计划”，且恰有1人成绩高于690分．求：
①总分高于690分的某位同学进入第二轮的概率P1；
②该班恰有1名同学通过“强基计划”被高校T提前录取的概率P2．
22．（12分）已知真命题：“函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y＝f（x+a）﹣b是奇函数”．
（1）将函数g（x）＝x3﹣3x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g（x）图象对称中心的坐标；
（2）求函数图象对称中心的坐标；
（3）记（2）中的对称中心的坐标为（a，b），函数f（x）＝h（x+a）﹣b，若存在α，β∈（1，+∞），使得函数f（x）在区间[α，β]上的值域为，求实数m的取值范围．
2022-2023学年湖南师大附中高二（上）入学数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（5分）若z＝（a2﹣1）+（a﹣1）i为纯虚数，其中a∈R，则等于（ ）
A．﹣i B．i C．1 D．1或i
【解答】解：∵z＝（a2﹣1）+（a﹣1）i为纯虚数，其中a∈R，
∴，解得a＝﹣1，
∴i．
故选：B．
2．（5分）在投掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率都是．事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件发生的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可知表示“大于或等于5的点数出现”，事件A与事件互斥．
由概率的加法公式可得P（A）＝P（A）+P（）．
故选：C．
3．（5分）已知集合，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣3，6） B．[﹣3，6]
C．（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞） D．（﹣∞，﹣3]∪[6，+∞）
【解答】解：∵A＝{x|1}，
∴x2﹣x﹣6＞0，
解得x＞3或x＜﹣2，
∴A＝（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞），
∵B＝{x|log4（x+a）＜1}，
∴，
解得：﹣a＜x＜4﹣a，
∴B＝（﹣a，4﹣a），
∵x∈A是x∈B的必要不充分的条件，
∴B⫋A，
∴﹣a≥3，或4﹣a≤﹣2，
解得a≤﹣3，或a≥6，
故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣3]∪[6，+∞），
故选：D．
4．（5分）设△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA＝sinB，且c2＝2a2（1+sinC），则C＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由sinA＝sinB，
则a＝b，
又c2＝2a2（1+sinC），
则，
则sin2C＝（1+cosC）（1+sinC），
则sinC+cosC+sinCcosC+cos2C＝0，
即（1+cosC）（sinC+cosC）＝0，
又1+cosC＞0，
即sinC+cosC＝0，
即tanC＝﹣1，
又0＜C＜π，
即，
故选：D．
5．（5分）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由，
设β＝α，可得sinβ，
则cos（2β）＝﹣cos2β＝2sin2β﹣1＝21．
故选：C．
6．（5分）已知函数f（x）＝x2+3|x|，设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a
【解答】解：因为函数f（x）＝x2+3|x|是定义域R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增；
所以a＝f（log2）＝f（log23），且log23＞log22＝1，
b＝f（100﹣0.1），且100﹣0.1∈（0，1），
c＝f（）＝f（），且log2log2，
又23，所以100﹣0.1＜1log23，
所以a，b，c的大小关系为a＞c＞b．
故选：A．
7．（5分）已知函数在上是增函数，且f（x）在上有最小值，则φ的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由x∈，可得2x−φ∈[−φ，−φ]，
结合0＜φ，由f（x）在[0，]上是增函数，
可得−φ，所以φ①．
当x∈（0，）时，2x−φ∈（−φ，−φ），
由f（x）在（0，）有最小值，可得−φ，即 φ②，
结合①②可得，φ，
故选：B．
8．（5分）已知函数f（x）（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|＝2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ）
A．（0，] B．[，] C．[，]∪{} D．[，）∪{}
【解答】解：y＝loga（x+1）+1在[0，+∞）递减，则0＜a＜1，
函数f（x）在R上单调递减，则：
；
解得，；
由图象可知，在[0，+∞）上，|f（x）|＝2﹣x有且仅有一个解，
故在（﹣∞，0）上，|f（x）|＝2﹣x同样有且仅有一个解，
当3a＞2即a时，联立|x2+（4a﹣3）x+3a|＝2﹣x，
则Δ＝（4a﹣2）2﹣4（3a﹣2）＝0，
解得a或1（舍去），
当1≤3a≤2时，由图象可知，符合条件，
综上：a的取值范围为[，]∪{}，
故选：C．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
（多选）9．（5分）设l，m，n表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，下列四个选项中，正确的是（ ）
A．若 m⊥α，m⊥n，则 n∥α
B．若 l∥α，m∥l，m⊥β，则 α⊥β
C．若 m，n 为异面直线，m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则 α∥β
D．若 α⊥β，α⊥γ，则 γ⊥β
【解答】解：对于A，若 m⊥α，m⊥n，则 n∥α或n⊂α，故A错误；
对于B，若m∥l，m⊥β，则l⊥β，又 l∥α，则 α⊥β，故B正确；
对于C，m，n为异面直线，过m的平面γ分别与两个平面相交，得γ∩α＝m′，γ∩β＝m″，过n的平面t分别与两个平面相交，得t∩α＝n′，t∩β＝n″，
∵m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，∴m′∥m″，n′∥n″，且m′与m″相交，则α∥β成立，故C正确；
对于D，若 α⊥β，α⊥γ，则 γ与β平行或相交，相交时也不一定垂直，故D错误．
故选：BC．
（多选）10．（5分）如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，∠BAC＝θ，点D为BC的三等分点（靠近B点），则可能的取值为（ ）
A．0 B． C． D．
【解答】解：，，
∴，
∵﹣1＜cosθ＜1，
∴，
∴，
∴的取值为0或．
故选：AB．
（多选）11．（5分）冬春季节，人们容易感冒发热．若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产，有专业机构认为某地区在一段时间内没有发生大规模群体发热现象的标志为“连续10天，该地区每天新增疑似发热病例不超过7人”．下列连续10天疑似发热病例人数的统计特征数中，能判定该地没有发生群体性发热的为（ ）
A．总体平均数为 2，众数为 2
B．总体平均数为 2，总体标准差为
C．总体平均数为 2，第 65 百分位数为 5
D．总体平均数为 4，总体方差为
【解答】解：将10个数由小到大依次记为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，
对于A，当这10个数分别为0，0，0，2，2，2，2，2，2，8时，
满足平均数为2，众数为2，与题意矛盾，故A错误；
对于B，假设x10≥8，则方差s23，
标准差大于，矛盾，故假设不成立，故B正确；
对于C，假设x10≥8，∵第65百分位数为5，则x9≥x8≥x7＝5，
∴平均数，矛盾，故假设不成立，故C正确；
对于D，假设x10≥8，则方差s2，矛盾，故假设不成立，故D正确．
故选：BCD．
（多选）12．（5分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点Q为线段AD1上一动点，则（ ）
A．在Q点运动过程中，存在某个位置使得直线B1D与直线CQ所成角为锐角
B．三棱锥B﹣B1CQ的体积为定值
C．当Q为AD1的一个三等分点时，平面B1QD截正方体ABCB1﹣A1B1C1D1所得的截面面积为
D．当Q为AD1中点时，直线B1Q与平面BCC1B1所成的角最大
【解答】解：对A选项，∵B1D在后侧面内的射影为C1D，又D1C⊥C1D，
根据三垂线定理可知B1D⊥D1C，同理B1D⊥AC，
从而可得B1D⊥平面ACD1，又CQ⊂平面ACD1，
∴B1D⊥CQ，∴A选项错误；
对B选项，∵三棱锥B﹣B1CQ的体积，
又Q到右侧面的距离为定值，△BCB1的面积也为定值，
故三棱锥B﹣B1CQ的体积为定值，∴B选项正确；
对C选项，当Q为靠近A的AD1的三等分点时，
连接DQ并延长交AA1于点E，
由△EQA∽△DQD1，可得，
∴E为AA1的中点，分别取BB1，CC1的中点G，F，
则易证DE∥CG，CG∥FB1，且DE＝CG＝FB1，
∴DE∥FB1，且DE＝FB1，∴四边形EDFB1为平行四边形，
∴平面B1QD截正方体所得的截面为平行四边形EDFB1，
又根据题意易得ED＝DF＝FB1＝EB1，
∴平行四边形EDFB1为菱形，
∴EF⊥DB1，且易知EF＝AC，DB1，
∴四边形EDFB1的面积为，
∴C选项正确；
对D选项，∵Q点到右侧面的距离QH等于正方体的棱长2，
∴直线B1Q与平面BCC1B1所成的角为∠QB1H，
∴sin∠QB1H，
∴当QB1最小时，sin∠QB1H最大，∠QB1H取得最大，
而易知在等边三角形AB1D1中，Q为AD1的中点时QB1最小，
故当Q为AD1中点时，直线B1Q与平面BCC1B1所的成角∠QB1H最大，
∴D选项正确．
故选：BCD．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）
13．（5分）已知，且点D在平面ABC内，则x＝ 11 ．
【解答】解：∵，且点D在平面ABC内，
∴，即（x﹣4，﹣2，0）＝（﹣λ，6λ，﹣8λ）+（﹣2μ，2μ，﹣2μ）＝（﹣λ﹣2μ，6λ+2μ，﹣8λ﹣2μ），
∴，解得λ＝1，μ＝﹣4，x＝11．
故答案为：11．
14．（5分）已知直线l过点（4，1），且与两坐标轴正半轴围成的三角形面积为9，则直线l的斜率为 或 ．
【解答】解：由题意，可设直线l的方程为（a，b＞0），
∵直线l过点（4，1），且与两坐标轴正半轴围成的三角形面积为9，
∴，解得或，
∵直线l的方程为（a，b＞0），
∴直线l的斜率为，
∴直线的斜率为或．
故答案为：或．
15．（5分）已知向量，，满足||＝2，||＝3，•3，||2﹣2•8＝0，若λ（1﹣λ），则λ的值为 ．
【解答】解：∵||＝2，||＝3，•3，||2﹣2•8＝0，且λ（1﹣λ），
∴，
∴，
则7λ2＝1，解得λ．
故答案为：．
16．（5分）如图，矩形ABCD中，为BC上一动点，点M，N分别在线段AB，CD上运动（其中M不与A，B重合，N不与C，D重合），且MN∥AD，将△DMN沿MN折起，得到三棱锥D﹣MNQ，当三棱锥D﹣MNQ体积最大时，其外接球的表面积最大为 10π ．
【解答】解：设，则，将△DMN沿MN折起，
当DN⊥平面MNQ时，三棱锥D﹣MNQ的体积最大，
此时，
所以当时，VD﹣MNQ取得最大值，最大值为1，此时，
如图所示，三棱锥D﹣MNQ是三棱柱MNQ﹣EDF的一部分，
则三棱柱MNQ﹣EDF的外接球即是三棱锥D﹣MNQ的外接球，
设球半径为R，点G，H分别是上、下底面三角形的外心，
连接GH，则线段GH的中点即是三棱柱MNQ﹣EDF的外接球的球心，
设为O，连接HQ，OQ，则，
设△MNQ的外接圆半径为r，则，即，
所以要使球半径最大，只需r最大，下面在△MNQ中研究r的最大值，
如图设∠CQN＝α，∠BQM＝β，CQ＝x，BQ＝2﹣x，0≤x≤2，
则，
则，
当x＝0或x＝2时取等号，即点Q与点C或点B重合时∠MQN最小，此时 sin∠MQN也最小，
由正弦定理得知，此时r最大，，
球的表面积的最大值为S＝4πR2＝10π．
故答案为：10π．
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.）
17．（10分）如图矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面四边形OABC的直观图，其中O′A′＝3，O′C′＝1．
（1）判断平面四边形OABC的形状并求周长；
（2）若该四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．
【解答】解：（1）平面四边形OABC的平面图如下：
∴平面四边形OABC是菱形，周长为3×4＝12．
（2）旋转而成的几何体如图：
该几何体可以看出圆柱挖去一个同底的圆锥再加上一个同底的圆锥，
由（1）可知圆柱的底面圆半径为r2，母线长为l＝3，
∴体积V＝πr2l＝（）2•π•3＝24π，
表面积为S＝2πrl+2πrl＝2×（）+224．
18．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB（1+2cosC）＝2sinAcosC+cosAsinC，且．
（1）求的值；
（2）若∠ACB的平分线交AB于点，求sinB．
【解答】解：（1）∵sinB（1+2cosC）＝2sinAcosC+cosAsinC，
∴sinB+2sinBcosC＝sinAcosC+sinB，
∴2sinBcosC＝sinAcosC，又，
∴2sinB＝sinA，由正弦定理可得：
；
（2）由（1）知a＝2b，又∠ACB的平分线交AB于点D，
∴DB＝2ADc，又CDb，
在△BCD与△BAC中由余弦定理可得：
cosB，
化简得c2＝7b2，∴cb，
∴cosB，
∴sinB．
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PC的中点为M，BD的中点为O，且PO⊥平面ABCD．
（1）证明：PA∥平面MBD；
（2）若PD⊥PB，∠DAB＝60°，AD＝1，求直线PO与平面PAD所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：如图，
连接AC，则O为AC与BD的交点，连接OM，可得OM∥AP，
∵OM⊂平面MBD，AP⊄平面MBD，
∴PA∥平面MBD；
∵PA⊂平面PAO，∴BD⊥PA；
（2）解：作OE⊥AD，垂足为E，连接PE，
作OH⊥PE，垂足为H，
∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥AD，
又∵OE⊥AD，PO∩OE＝O，∴AD⊥平面POE，
∵OH⊂平面POE，∴OH⊥AD，
又∵OH⊥PE，AD∩PE＝E，∴OH⊥平面PAD，
∵∠DAB＝60°，四边形ABCD为菱形，∴ABD为等边三角形，
又AD＝1，∴BD＝1，OD，∴OE＝ODsin60°，
∵PB⊥PD，∴POBD，
在Rt△POE中，PE，
由OH•PE＝OE•OP，得OH，∴点O到平面PAD的距离为，
设直线PO与平面PAD所成角为θ，则sinθ．
20．（12分）已知函数f（x）＝sinωx+acosωx（ω＞0），若函数y＝f（x）在定义域内存在x1，x2（x1≠x2），使成立，则称该函数为“互补函数”．
（1）若ω＝π，函数f（x）图象的一条对称轴为，求函数f（x）在区间上的值域；
（2）若a＝1，函数f（x）在[π，2π]上为“互补函数”，求ω的取值范围．
【解答】解：（1）∵函数f（x）的对称轴为直线x，
由辅助角公式公式可得f（x）sin（πx+θ）（tanθ＝α），
∴|f（）|，即|sin|，即||，
解得a，∴f（x）＝sin2sin（），
由x∈[，]，得∈[，]，∴sin（）∈[]，
∴2sin（）∈[1，2]，
∴函数f（x）在区间[，]上的值域为[1，2]．
（2）当a＝1时，f（x），
由“互补函数”的定义，存在x1，x2∈[π，2π]（x1≠x2），
f（x1）+f（x2）＝2，∴t，则函数y＝sint在区间[ωπ，2]上存在至少两个最大值点，
则，得ω≥2，
当2T＝2π，即ω≥4时，符合题意，
当2≤ω＜4，分以下两种情况讨论：
当，即时，2，
即，∴，
当，即时，2，即，∴．
综上，ω的取值范围为[]∪[）．
21．（12分）某中学在2022年高考分数公布后对高三年级各班的成绩进行分析．经统计某班有50名同学，总分都在区间[600，700]内，将得分区间平均分成5组，统计频数、频率后，得到了如图所示的频率分布直方图．
（1）估计该班级的平均分；
（2）经过相关部门的计算，本次高考总分大于等于680的同学可以获得高校T的“强基计划”入围资格．高校T的“强基计划”校考分为两轮．第一轮为笔试，所有入围同学都要参加，考试科目为数学和物理，每科的笔试成绩从高到低依次有A+，A，B，C四个等级，两科中至少有一科得到A+，且两科均不低于B，才能进入第二轮，第二轮得到“通过”的同学将被高校T提前录取．已知入围的同学参加第一轮笔试时，总分高于690分的同学在每科笔试中取得A+，A，B，C的概率分别为；总分不超过690分的同学在每科笔试中取得A+，A，B，C的概率分别为；进入第二轮的同学，若两科笔试成绩均为A+，则免面试，并被高校T提前录取；若两科笔试成绩只有一个A+，则要参加面试，总分高于690分的同学面试“通过”的概率为，总分不超过690分的同学面试“通过”的概率为，面试“通过”的同学也将被高校T提前录取．若该班级本次高考总分大于等于680的同学都报考了高校T的“强基计划”，且恰有1人成绩高于690分．求：
①总分高于690分的某位同学进入第二轮的概率P1；
②该班恰有1名同学通过“强基计划”被高校T提前录取的概率P2．
【解答】解：（1）该班平均分为：610×0.004×20+630×0.01×20+650×0.02×20+670×0.014×20+690×0.002×20＝650，
（2）总分大于680分的人数有50×0.002×20＝2人，由题意知其中1人小于或等于690，1人高于690，
①P1＝P（A+A++A+A+A+B），
②设高于690分的同学被高校T提前录取为事件M，不超过690分的同学被高校T提前录取为事件N，
则P（M）＝P（A+A+）P（A+A+A+B）（），
P（N）＝P（A+A+）P（A+A+A+B）（），
所以该班恰有1名同学通过“强基计划”被高校T提前录取的概率：
P2．
22．（12分）已知真命题：“函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y＝f（x+a）﹣b是奇函数”．
（1）将函数g（x）＝x3﹣3x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g（x）图象对称中心的坐标；
（2）求函数图象对称中心的坐标；
（3）记（2）中的对称中心的坐标为（a，b），函数f（x）＝h（x+a）﹣b，若存在α，β∈（1，+∞），使得函数f（x）在区间[α，β]上的值域为，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）平移后图象对应的函数解析式为y＝（x+1）3﹣3（x+1）2+2，整理得y＝x3﹣3x，
由于函数y＝x3﹣3x是奇函数，由题设真命题知，函数g（x）图象对称中心的坐标是（1，﹣2），
（2）设的对称中心为P（a，b），由题设知函数h（x+a）﹣b是奇函数．
设f（x）＝h（x+a）﹣b，则，即．
由不等式的解集关于原点对称，得a＝﹣1．
此时．
任取x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），f（﹣x）+f（x）＝0恒成立，得b＝ln2，
所以函数图象对称中心的坐标是（﹣1，ln2）；
（3）由（2）得，
函数，所以函数f（x）在（1，+∞）上单调递增．
又因为存在α，β∈（1，+∞），使得函数f（x）在[α，β]上的值城为，
所以m＞0，且所以即α，β是方程的两个不等实根，
问题等价于方程在（1，+∞）上有两个不等实根，
令，易知p（x）为二次函数，
其图象的对称轴为直线，则即
解得．
所以实数m的取值范围为．
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2022-2023学年湖南师大附中高二（上）入学数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（5分）若z＝（a2﹣1）+（a﹣1）i为纯虚数，其中a∈R，则等于（ ）
A．﹣i B．i C．1 D．1或i
2．（5分）在投掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率都是．事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件发生的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（5分）已知集合，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣3，6） B．[﹣3，6]
C．（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞） D．（﹣∞，﹣3]∪[6，+∞）
4．（5分）设△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA＝sinB，且c2＝2a2（1+sinC），则C＝（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）已知函数f（x）＝x2+3|x|，设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a
7．（5分）已知函数在上是增函数，且f（x）在上有最小值，则φ的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）已知函数f（x）（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|＝2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ）
A．（0，] B．[，] C．[，]∪{} D．[，）∪{}
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
（多选）9．（5分）设l，m，n表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，下列四个选项中，正确的是（ ）
A．若 m⊥α，m⊥n，则 n∥α
B．若 l∥α，m∥l，m⊥β，则 α⊥β
C．若 m，n 为异面直线，m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则 α∥β
D．若 α⊥β，α⊥γ，则 γ⊥β
（多选）10．（5分）如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，∠BAC＝θ，点D为BC的三等分点（靠近B点），则可能的取值为（ ）
A．0 B． C． D．
（多选）11．（5分）冬春季节，人们容易感冒发热．若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产，有专业机构认为某地区在一段时间内没有发生大规模群体发热现象的标志为“连续10天，该地区每天新增疑似发热病例不超过7人”．下列连续10天疑似发热病例人数的统计特征数中，能判定该地没有发生群体性发热的为（ ）
A．总体平均数为 2，众数为 2
B．总体平均数为 2，总体标准差为
C．总体平均数为 2，第 65 百分位数为 5
D．总体平均数为 4，总体方差为
（多选）12．（5分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点Q为线段AD1上一动点，则（ ）
A．在Q点运动过程中，存在某个位置使得直线B1D与直线CQ所成角为锐角
B．三棱锥B﹣B1CQ的体积为定值
C．当Q为AD1的一个三等分点时，平面B1QD截正方体ABCB1﹣A1B1C1D1所得的截面面积为
D．当Q为AD1中点时，直线B1Q与平面BCC1B1所成的角最大
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）
13．（5分）已知，且点D在平面ABC内，则x＝ ．
14．（5分）已知直线l过点（4，1），且与两坐标轴正半轴围成的三角形面积为9，则直线l的斜率为 ．
15．（5分）已知向量，，满足||＝2，||＝3，•3，||2﹣2•8＝0，若λ（1﹣λ），则λ的值为 ．
16．（5分）如图，矩形ABCD中，为BC上一动点，点M，N分别在线段AB，CD上运动（其中M不与A，B重合，N不与C，D重合），且MN∥AD，将△DMN沿MN折起，得到三棱锥D﹣MNQ，当三棱锥D﹣MNQ体积最大时，其外接球的表面积最大为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.）
17．（10分）如图矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面四边形OABC的直观图，其中O′A′＝3，O′C′＝1．
（1）判断平面四边形OABC的形状并求周长；
（2）若该四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．
18．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB（1+2cosC）＝2sinAcosC+cosAsinC，且．
（1）求的值；
（2）若∠ACB的平分线交AB于点，求sinB．
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PC的中点为M，BD的中点为O，且PO⊥平面ABCD．
（1）证明：PA∥平面MBD；
（2）若PD⊥PB，∠DAB＝60°，AD＝1，求直线PO与平面PAD所成角的正弦值．
20．（12分）已知函数f（x）＝sinωx+acosωx（ω＞0），若函数y＝f（x）在定义域内存在x1，x2（x1≠x2），使成立，则称该函数为“互补函数”．
（1）若ω＝π，函数f（x）图象的一条对称轴为，求函数f（x）在区间上的值域；
（2）若a＝1，函数f（x）在[π，2π]上为“互补函数”，求ω的取值范围．
21．（12分）某中学在2022年高考分数公布后对高三年级各班的成绩进行分析．经统计某班有50名同学，总分都在区间[600，700]内，将得分区间平均分成5组，统计频数、频率后，得到了如图所示的频率分布直方图．
（1）估计该班级的平均分；
（2）经过相关部门的计算，本次高考总分大于等于680的同学可以获得高校T的“强基计划”入围资格．高校T的“强基计划”校考分为两轮．第一轮为笔试，所有入围同学都要参加，考试科目为数学和物理，每科的笔试成绩从高到低依次有A+，A，B，C四个等级，两科中至少有一科得到A+，且两科均不低于B，才能进入第二轮，第二轮得到“通过”的同学将被高校T提前录取．已知入围的同学参加第一轮笔试时，总分高于690分的同学在每科笔试中取得A+，A，B，C的概率分别为；总分不超过690分的同学在每科笔试中取得A+，A，B，C的概率分别为；进入第二轮的同学，若两科笔试成绩均为A+，则免面试，并被高校T提前录取；若两科笔试成绩只有一个A+，则要参加面试，总分高于690分的同学面试“通过”的概率为，总分不超过690分的同学面试“通过”的概率为，面试“通过”的同学也将被高校T提前录取．若该班级本次高考总分大于等于680的同学都报考了高校T的“强基计划”，且恰有1人成绩高于690分．求：
①总分高于690分的某位同学进入第二轮的概率P1；
②该班恰有1名同学通过“强基计划”被高校T提前录取的概率P2．
22．（12分）已知真命题：“函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y＝f（x+a）﹣b是奇函数”．
（1）将函数g（x）＝x3﹣3x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g（x）图象对称中心的坐标；
（2）求函数图象对称中心的坐标；
（3）记（2）中的对称中心的坐标为（a，b），函数f（x）＝h（x+a）﹣b，若存在α，β∈（1，+∞），使得函数f（x）在区间[α，β]上的值域为，求实数m的取值范围．
2022-2023学年湖南师大附中高二（上）入学数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（5分）若z＝（a2﹣1）+（a﹣1）i为纯虚数，其中a∈R，则等于（ ）
A．﹣i B．i C．1 D．1或i
【解答】解：∵z＝（a2﹣1）+（a﹣1）i为纯虚数，其中a∈R，
∴，解得a＝﹣1，
∴i．
故选：B．
2．（5分）在投掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率都是．事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件发生的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可知表示“大于或等于5的点数出现”，事件A与事件互斥．
由概率的加法公式可得P（A）＝P（A）+P（）．
故选：C．
3．（5分）已知集合，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣3，6） B．[﹣3，6]
C．（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞） D．（﹣∞，﹣3]∪[6，+∞）
【解答】解：∵A＝{x|1}，
∴x2﹣x﹣6＞0，
解得x＞3或x＜﹣2，
∴A＝（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞），
∵B＝{x|log4（x+a）＜1}，
∴，
解得：﹣a＜x＜4﹣a，
∴B＝（﹣a，4﹣a），
∵x∈A是x∈B的必要不充分的条件，
∴B⫋A，
∴﹣a≥3，或4﹣a≤﹣2，
解得a≤﹣3，或a≥6，
故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣3]∪[6，+∞），
故选：D．
4．（5分）设△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA＝sinB，且c2＝2a2（1+sinC），则C＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由sinA＝sinB，
则a＝b，
又c2＝2a2（1+sinC），
则，
则sin2C＝（1+cosC）（1+sinC），
则sinC+cosC+sinCcosC+cos2C＝0，
即（1+cosC）（sinC+cosC）＝0，
又1+cosC＞0，
即sinC+cosC＝0，
即tanC＝﹣1，
又0＜C＜π，
即，
故选：D．
5．（5分）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由，
设β＝α，可得sinβ，
则cos（2β）＝﹣cos2β＝2sin2β﹣1＝21．
故选：C．
6．（5分）已知函数f（x）＝x2+3|x|，设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a
【解答】解：因为函数f（x）＝x2+3|x|是定义域R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增；
所以a＝f（log2）＝f（log23），且log23＞log22＝1，
b＝f（100﹣0.1），且100﹣0.1∈（0，1），
c＝f（）＝f（），且log2log2，
又23，所以100﹣0.1＜1log23，
所以a，b，c的大小关系为a＞c＞b．
故选：A．
7．（5分）已知函数在上是增函数，且f（x）在上有最小值，则φ的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由x∈，可得2x−φ∈[−φ，−φ]，
结合0＜φ，由f（x）在[0，]上是增函数，
可得−φ，所以φ①．
当x∈（0，）时，2x−φ∈（−φ，−φ），
由f（x）在（0，）有最小值，可得−φ，即 φ②，
结合①②可得，φ，
故选：B．
8．（5分）已知函数f（x）（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|＝2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ）
A．（0，] B．[，] C．[，]∪{} D．[，）∪{}
【解答】解：y＝loga（x+1）+1在[0，+∞）递减，则0＜a＜1，
函数f（x）在R上单调递减，则：
；
解得，；
由图象可知，在[0，+∞）上，|f（x）|＝2﹣x有且仅有一个解，
故在（﹣∞，0）上，|f（x）|＝2﹣x同样有且仅有一个解，
当3a＞2即a时，联立|x2+（4a﹣3）x+3a|＝2﹣x，
则Δ＝（4a﹣2）2﹣4（3a﹣2）＝0，
解得a或1（舍去），
当1≤3a≤2时，由图象可知，符合条件，
综上：a的取值范围为[，]∪{}，
故选：C．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
（多选）9．（5分）设l，m，n表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，下列四个选项中，正确的是（ ）
A．若 m⊥α，m⊥n，则 n∥α
B．若 l∥α，m∥l，m⊥β，则 α⊥β
C．若 m，n 为异面直线，m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则 α∥β
D．若 α⊥β，α⊥γ，则 γ⊥β
【解答】解：对于A，若 m⊥α，m⊥n，则 n∥α或n⊂α，故A错误；
对于B，若m∥l，m⊥β，则l⊥β，又 l∥α，则 α⊥β，故B正确；
对于C，m，n为异面直线，过m的平面γ分别与两个平面相交，得γ∩α＝m′，γ∩β＝m″，过n的平面t分别与两个平面相交，得t∩α＝n′，t∩β＝n″，
∵m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，∴m′∥m″，n′∥n″，且m′与m″相交，则α∥β成立，故C正确；
对于D，若 α⊥β，α⊥γ，则 γ与β平行或相交，相交时也不一定垂直，故D错误．
故选：BC．
（多选）10．（5分）如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，∠BAC＝θ，点D为BC的三等分点（靠近B点），则可能的取值为（ ）
A．0 B． C． D．
【解答】解：，，
∴，
∵﹣1＜cosθ＜1，
∴，
∴，
∴的取值为0或．
故选：AB．
（多选）11．（5分）冬春季节，人们容易感冒发热．若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产，有专业机构认为某地区在一段时间内没有发生大规模群体发热现象的标志为“连续10天，该地区每天新增疑似发热病例不超过7人”．下列连续10天疑似发热病例人数的统计特征数中，能判定该地没有发生群体性发热的为（ ）
A．总体平均数为 2，众数为 2
B．总体平均数为 2，总体标准差为
C．总体平均数为 2，第 65 百分位数为 5
D．总体平均数为 4，总体方差为
【解答】解：将10个数由小到大依次记为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，
对于A，当这10个数分别为0，0，0，2，2，2，2，2，2，8时，
满足平均数为2，众数为2，与题意矛盾，故A错误；
对于B，假设x10≥8，则方差s23，
标准差大于，矛盾，故假设不成立，故B正确；
对于C，假设x10≥8，∵第65百分位数为5，则x9≥x8≥x7＝5，
∴平均数，矛盾，故假设不成立，故C正确；
对于D，假设x10≥8，则方差s2，矛盾，故假设不成立，故D正确．
故选：BCD．
（多选）12．（5分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点Q为线段AD1上一动点，则（ ）
A．在Q点运动过程中，存在某个位置使得直线B1D与直线CQ所成角为锐角
B．三棱锥B﹣B1CQ的体积为定值
C．当Q为AD1的一个三等分点时，平面B1QD截正方体ABCB1﹣A1B1C1D1所得的截面面积为
D．当Q为AD1中点时，直线B1Q与平面BCC1B1所成的角最大
【解答】解：对A选项，∵B1D在后侧面内的射影为C1D，又D1C⊥C1D，
根据三垂线定理可知B1D⊥D1C，同理B1D⊥AC，
从而可得B1D⊥平面ACD1，又CQ⊂平面ACD1，
∴B1D⊥CQ，∴A选项错误；
对B选项，∵三棱锥B﹣B1CQ的体积，
又Q到右侧面的距离为定值，△BCB1的面积也为定值，
故三棱锥B﹣B1CQ的体积为定值，∴B选项正确；
对C选项，当Q为靠近A的AD1的三等分点时，
连接DQ并延长交AA1于点E，
由△EQA∽△DQD1，可得，
∴E为AA1的中点，分别取BB1，CC1的中点G，F，
则易证DE∥CG，CG∥FB1，且DE＝CG＝FB1，
∴DE∥FB1，且DE＝FB1，∴四边形EDFB1为平行四边形，
∴平面B1QD截正方体所得的截面为平行四边形EDFB1，
又根据题意易得ED＝DF＝FB1＝EB1，
∴平行四边形EDFB1为菱形，
∴EF⊥DB1，且易知EF＝AC，DB1，
∴四边形EDFB1的面积为，
∴C选项正确；
对D选项，∵Q点到右侧面的距离QH等于正方体的棱长2，
∴直线B1Q与平面BCC1B1所成的角为∠QB1H，
∴sin∠QB1H，
∴当QB1最小时，sin∠QB1H最大，∠QB1H取得最大，
而易知在等边三角形AB1D1中，Q为AD1的中点时QB1最小，
故当Q为AD1中点时，直线B1Q与平面BCC1B1所的成角∠QB1H最大，
∴D选项正确．
故选：BCD．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）
13．（5分）已知，且点D在平面ABC内，则x＝ 11 ．
【解答】解：∵，且点D在平面ABC内，
∴，即（x﹣4，﹣2，0）＝（﹣λ，6λ，﹣8λ）+（﹣2μ，2μ，﹣2μ）＝（﹣λ﹣2μ，6λ+2μ，﹣8λ﹣2μ），
∴，解得λ＝1，μ＝﹣4，x＝11．
故答案为：11．
14．（5分）已知直线l过点（4，1），且与两坐标轴正半轴围成的三角形面积为9，则直线l的斜率为 或 ．
【解答】解：由题意，可设直线l的方程为（a，b＞0），
∵直线l过点（4，1），且与两坐标轴正半轴围成的三角形面积为9，
∴，解得或，
∵直线l的方程为（a，b＞0），
∴直线l的斜率为，
∴直线的斜率为或．
故答案为：或．
15．（5分）已知向量，，满足||＝2，||＝3，•3，||2﹣2•8＝0，若λ（1﹣λ），则λ的值为 ．
【解答】解：∵||＝2，||＝3，•3，||2﹣2•8＝0，且λ（1﹣λ），
∴，
∴，
则7λ2＝1，解得λ．
故答案为：．
16．（5分）如图，矩形ABCD中，为BC上一动点，点M，N分别在线段AB，CD上运动（其中M不与A，B重合，N不与C，D重合），且MN∥AD，将△DMN沿MN折起，得到三棱锥D﹣MNQ，当三棱锥D﹣MNQ体积最大时，其外接球的表面积最大为 10π ．
【解答】解：设，则，将△DMN沿MN折起，
当DN⊥平面MNQ时，三棱锥D﹣MNQ的体积最大，
此时，
所以当时，VD﹣MNQ取得最大值，最大值为1，此时，
如图所示，三棱锥D﹣MNQ是三棱柱MNQ﹣EDF的一部分，
则三棱柱MNQ﹣EDF的外接球即是三棱锥D﹣MNQ的外接球，
设球半径为R，点G，H分别是上、下底面三角形的外心，
连接GH，则线段GH的中点即是三棱柱MNQ﹣EDF的外接球的球心，
设为O，连接HQ，OQ，则，
设△MNQ的外接圆半径为r，则，即，
所以要使球半径最大，只需r最大，下面在△MNQ中研究r的最大值，
如图设∠CQN＝α，∠BQM＝β，CQ＝x，BQ＝2﹣x，0≤x≤2，
则，
则，
当x＝0或x＝2时取等号，即点Q与点C或点B重合时∠MQN最小，此时 sin∠MQN也最小，
由正弦定理得知，此时r最大，，
球的表面积的最大值为S＝4πR2＝10π．
故答案为：10π．
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.）
17．（10分）如图矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面四边形OABC的直观图，其中O′A′＝3，O′C′＝1．
（1）判断平面四边形OABC的形状并求周长；
（2）若该四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．
【解答】解：（1）平面四边形OABC的平面图如下：
∴平面四边形OABC是菱形，周长为3×4＝12．
（2）旋转而成的几何体如图：
该几何体可以看出圆柱挖去一个同底的圆锥再加上一个同底的圆锥，
由（1）可知圆柱的底面圆半径为r2，母线长为l＝3，
∴体积V＝πr2l＝（）2•π•3＝24π，
表面积为S＝2πrl+2πrl＝2×（）+224．
18．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB（1+2cosC）＝2sinAcosC+cosAsinC，且．
（1）求的值；
（2）若∠ACB的平分线交AB于点，求sinB．
【解答】解：（1）∵sinB（1+2cosC）＝2sinAcosC+cosAsinC，
∴sinB+2sinBcosC＝sinAcosC+sinB，
∴2sinBcosC＝sinAcosC，又，
∴2sinB＝sinA，由正弦定理可得：
；
（2）由（1）知a＝2b，又∠ACB的平分线交AB于点D，
∴DB＝2ADc，又CDb，
在△BCD与△BAC中由余弦定理可得：
cosB，
化简得c2＝7b2，∴cb，
∴cosB，
∴sinB．
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PC的中点为M，BD的中点为O，且PO⊥平面ABCD．
（1）证明：PA∥平面MBD；
（2）若PD⊥PB，∠DAB＝60°，AD＝1，求直线PO与平面PAD所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：如图，
连接AC，则O为AC与BD的交点，连接OM，可得OM∥AP，
∵OM⊂平面MBD，AP⊄平面MBD，
∴PA∥平面MBD；
∵PA⊂平面PAO，∴BD⊥PA；
（2）解：作OE⊥AD，垂足为E，连接PE，
作OH⊥PE，垂足为H，
∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥AD，
又∵OE⊥AD，PO∩OE＝O，∴AD⊥平面POE，
∵OH⊂平面POE，∴OH⊥AD，
又∵OH⊥PE，AD∩PE＝E，∴OH⊥平面PAD，
∵∠DAB＝60°，四边形ABCD为菱形，∴ABD为等边三角形，
又AD＝1，∴BD＝1，OD，∴OE＝ODsin60°，
∵PB⊥PD，∴POBD，
在Rt△POE中，PE，
由OH•PE＝OE•OP，得OH，∴点O到平面PAD的距离为，
设直线PO与平面PAD所成角为θ，则sinθ．
20．（12分）已知函数f（x）＝sinωx+acosωx（ω＞0），若函数y＝f（x）在定义域内存在x1，x2（x1≠x2），使成立，则称该函数为“互补函数”．
（1）若ω＝π，函数f（x）图象的一条对称轴为，求函数f（x）在区间上的值域；
（2）若a＝1，函数f（x）在[π，2π]上为“互补函数”，求ω的取值范围．
【解答】解：（1）∵函数f（x）的对称轴为直线x，
由辅助角公式公式可得f（x）sin（πx+θ）（tanθ＝α），
∴|f（）|，即|sin|，即||，
解得a，∴f（x）＝sin2sin（），
由x∈[，]，得∈[，]，∴sin（）∈[]，
∴2sin（）∈[1，2]，
∴函数f（x）在区间[，]上的值域为[1，2]．
（2）当a＝1时，f（x），
由“互补函数”的定义，存在x1，x2∈[π，2π]（x1≠x2），
f（x1）+f（x2）＝2，∴t，则函数y＝sint在区间[ωπ，2]上存在至少两个最大值点，
则，得ω≥2，
当2T＝2π，即ω≥4时，符合题意，
当2≤ω＜4，分以下两种情况讨论：
当，即时，2，
即，∴，
当，即时，2，即，∴．
综上，ω的取值范围为[]∪[）．
21．（12分）某中学在2022年高考分数公布后对高三年级各班的成绩进行分析．经统计某班有50名同学，总分都在区间[600，700]内，将得分区间平均分成5组，统计频数、频率后，得到了如图所示的频率分布直方图．
（1）估计该班级的平均分；
（2）经过相关部门的计算，本次高考总分大于等于680的同学可以获得高校T的“强基计划”入围资格．高校T的“强基计划”校考分为两轮．第一轮为笔试，所有入围同学都要参加，考试科目为数学和物理，每科的笔试成绩从高到低依次有A+，A，B，C四个等级，两科中至少有一科得到A+，且两科均不低于B，才能进入第二轮，第二轮得到“通过”的同学将被高校T提前录取．已知入围的同学参加第一轮笔试时，总分高于690分的同学在每科笔试中取得A+，A，B，C的概率分别为；总分不超过690分的同学在每科笔试中取得A+，A，B，C的概率分别为；进入第二轮的同学，若两科笔试成绩均为A+，则免面试，并被高校T提前录取；若两科笔试成绩只有一个A+，则要参加面试，总分高于690分的同学面试“通过”的概率为，总分不超过690分的同学面试“通过”的概率为，面试“通过”的同学也将被高校T提前录取．若该班级本次高考总分大于等于680的同学都报考了高校T的“强基计划”，且恰有1人成绩高于690分．求：
①总分高于690分的某位同学进入第二轮的概率P1；
②该班恰有1名同学通过“强基计划”被高校T提前录取的概率P2．
【解答】解：（1）该班平均分为：610×0.004×20+630×0.01×20+650×0.02×20+670×0.014×20+690×0.002×20＝650，
（2）总分大于680分的人数有50×0.002×20＝2人，由题意知其中1人小于或等于690，1人高于690，
①P1＝P（A+A++A+A+A+B），
②设高于690分的同学被高校T提前录取为事件M，不超过690分的同学被高校T提前录取为事件N，
则P（M）＝P（A+A+）P（A+A+A+B）（），
P（N）＝P（A+A+）P（A+A+A+B）（），
所以该班恰有1名同学通过“强基计划”被高校T提前录取的概率：
P2．
22．（12分）已知真命题：“函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y＝f（x+a）﹣b是奇函数”．
（1）将函数g（x）＝x3﹣3x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g（x）图象对称中心的坐标；
（2）求函数图象对称中心的坐标；
（3）记（2）中的对称中心的坐标为（a，b），函数f（x）＝h（x+a）﹣b，若存在α，β∈（1，+∞），使得函数f（x）在区间[α，β]上的值域为，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）平移后图象对应的函数解析式为y＝（x+1）3﹣3（x+1）2+2，整理得y＝x3﹣3x，
由于函数y＝x3﹣3x是奇函数，由题设真命题知，函数g（x）图象对称中心的坐标是（1，﹣2），
（2）设的对称中心为P（a，b），由题设知函数h（x+a）﹣b是奇函数．
设f（x）＝h（x+a）﹣b，则，即．
由不等式的解集关于原点对称，得a＝﹣1．
此时．
任取x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），f（﹣x）+f（x）＝0恒成立，得b＝ln2，
所以函数图象对称中心的坐标是（﹣1，ln2）；
（3）由（2）得，
函数，所以函数f（x）在（1，+∞）上单调递增．
又因为存在α，β∈（1，+∞），使得函数f（x）在[α，β]上的值城为，
所以m＞0，且所以即α，β是方程的两个不等实根，
问题等价于方程在（1，+∞）上有两个不等实根，
令，易知p（x）为二次函数，
其图象的对称轴为直线，则即
解得．
所以实数m的取值范围为．
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