2023年重庆市渝中区二模数学试题（含解析）

这是一份2023年重庆市渝中区二模数学试题（含解析），共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年重庆市 渝中区二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．实数6的相反数是（    ）
A． B．9 C． D．
2．以下数学符号中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）
A．≠ B．⟺ C．± D．≌
3．如图所示，直线，，则（    ）
  
A．58° B．59° C．60° D．61°
4．“二十四节气”是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶，它包括立春、惊蛰、春分、立夏等，同时，它与白昼时长密切相关，如图所示的是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图，在下列选项中，白昼时长不足11小时的节气是（    ）
  
A．惊蛰 B．立夏 C．秋分 D．大寒
5．如图，是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第个图案中涂有阴影的小正方形个数是（    ）·

A． B． C． D．
6．如图，与位似，位似中心是点O，若，则与的面积比是（    ）
  
A． B． C． D．
7．估计的值应在（    ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
8．国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2019 年至2021年我国快递业务收入由 7500亿元增加到10000 亿元．设我国2019年至2021 年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（     ）
A．7500（1+2x）=10000 B．7500×2（1+x）=10000
C．7500（1+x）2=10000 D．7500+7500（1+x）+7500（1+x）2=10000
9．如图，在中，为半径，为弦，若，则的度数为（    ）
  
A． B． C． D．
10．代数式的最小值是（    ）
A．3 B． C．1＋3 D．5

二、填空题
11．台湾是我国最大的岛屿，总面积约为36000平方千米，这个数据用科学记数法可以表示为 平方千米．
12．＝ ．
13．寒假期间，小明、小红二人在《满江红》《流浪地球2》《中国乒乓》《熊出没》四部影片中各自随机选择了一部影片观看（假设两人选择每部影片的机会均等），则二人恰好选择同一部影片观看的概率为 ．
14．如图，在矩形中，，，以B为圆心，的长为半径画弧，交于点E．则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）

15．如图，一次函数=+的图象与轴和轴分别交于点A和点B，与反比例函数y的图象在第一象限内交于点C，CD⊥轴，CE⊥轴，垂足分别为点D、E，当矩形ODCE与△OAB的面积相等时，的值为 ．

16．如图，在正方形中，点E、F分别在边上，且，连接平分交于点G，若，则的度数为 ．
  
17．关于x的分式方程的解为非负数，且关于y的不等式组的解集为，则符合条件的整数a的值之和是 ．

三、解答题
18．“回文诗”即正念倒念都有意思，均成文章的诗，如：云边月影沙边雁，水外天光山外树．倒过来念即“树外山光天外水，雁边沙影月边云”，其意境与韵味读起来都是一种美的享受，在数学中也有这样一类数有这样的特征，即正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”．例如11，232，3443等．如果一个“回文数”m是另外一个正整数n的平方，则称m为“平方回数”．若x是一个千位数字为2的四位数的“回文数”，记．若是一个“平方回数”，则x的值为 ．
19．计算：
(1)；
(2)（﹣）．
20．为了解同学们对垃圾分类相关知识的掌握情况，增强同学们的环保意识，某校随机抽查七年级、八年级各100名学生进行了垃圾分类相关知识的问卷调查，学生对垃圾分类相关知识的综合评分记为x，将所得数据分为5组（A组：；B组：；C组：；D组：；E组：）学生处将数据进行分析后，得到如下部分信息：
①七年级综合评分情况扇形统计图：
  
②八年级100名学生综合评分频数分布统计表：
分组
A
B
C
D
E
频数
14
b
27
13
6
③七年级、八年级综合评分的平均数、中位数、众数如下表：
年级
平均数
中位数
众数
七年级


82
八年级

c
83
④八年级“B组”的分数从高到低排列，排在最后的10个数分别是：
82，82，81，81，81，81，80，80，80，80
请你根据以上信息，回答下列问题：
(1)a＝ ，b＝ ，c＝ ；
(2)根据以上数据，你认为哪个年级对垃圾分类相关知识的掌握情况更好？并说明理由（一条即可）；
(3)如果垃圾分类相关知识的综合评分在80分及以上才算合格，已知七年级有550名学生，八年级有500名学生，请你估计该校两个年级掌握垃圾分类相关知识合格的学生一共有多少人？
21．如图，已知点D．为的边上一点，请在边上确定一点E，（要求：尺规作图、保留作图痕迹、不写作法）；
  
下面是小东设计的尺规作图过程．
作法：
①以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点G、F；
②以点D为圆心，长为半径画弧，交于点M；
③以点M为圆心，长为半径画弧，交弧于点P；
④作射线交于点E，则；
⑤连接，则·
根据小东设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：
分别过点D和点E作，垂足分别为K、H，
∵，
∴ ；
∵，
∴ °；
∴ ，
∴四边形是矩形，
∴ ；
∵ ， ；
∴·
22．超速行驶是引发交通事故的主要原因．如图所示是一条直线路段，限速60公里/时，交警在该路段附近设立了观测点P．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为5秒，已知米．
  
(1)求A、B之间的路程；（参考数据：）
(2)请判断此车是否超速？请说明理由，
23．由于重庆独特的地貌，轨道交通成为了重庆人最信赖、最可靠的出行方式，而有些站台到进出口有不短的距离，所以电动扶梯大大方便了人们的出行，图1是地铁1号线进场口站的一段平地电梯，如图2所示电梯AB的长度为120米，小刚和小明两人不乘电梯在地面匀速行走，小刚每分钟行走的路程是小明的倍，且分钟后，小刚比小明多行走15米．
  
(1)求两人在地面上每分钟各行走多少米？
(2)若两人在平地电梯上行走，电梯向前行驶的同时两人仍保持原来在地面上匀速行走的速度在电梯上行走，当小刚到达B处时，小明还剩米才到达B处，求平地电梯每分钟行驶多少米？
24．如图，在长方形．中，，点P从点A出发，沿折线A→B→C→D运动，到点D停止；点P以每秒的速度运动5秒，之后以每秒的速度运动，设点P运动的时间是x（秒），的面积是，请回答下列问题：
  
(1)请直接写出y与x的函数表达式以及对应的自变量x的取值范围，并在指定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；
(2)请根据这个图象，写出该函数的一条性质；
(3)根据函数图象，直接写出当时x的值．
25．如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．

(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)若点D是第三象限抛物线上一动点，连接，求面积的最大值，并求出此时点D的坐标；
(3)若点E在抛物线的对称轴上，线段绕点E顺时针旋转后，点B的对应点恰好也落在此抛物线上，求点E的坐标（如果有多个答案只需写出其中一个答案的解答过程，其余答客直接写出结果）.
26．如图所示，和均为等腰直角三角形，其中，，以为边作平行四边形，以为边作平行四边形，点F，G分别是的中点．
    
(1)证明：；
(2)求的面积；
(3)当绕点C旋转时，直接写出的长度的最大值．

参考答案：
1．A
【分析】根据相反数的定义即可得出答案．
【详解】解：6的相反数是．
故选：A．
【点睛】本题考查了实数与相反数，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．
2．B
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】A不是轴对称图形，是中心对称图形；
B是中心对称图形，也是轴对称图形；
C是轴对称图形，但不是中心对称图形；
D既不是轴对称图形，也不是中心对称图形,
故选B．
【点睛】此题主要考查轴对称图形与中心对称图形的定义，熟知其定义是解题的关键．
3．B
【分析】根据三角形外角的性质求出，再利用两直线平行内错角相等即可求出．
【详解】∵
，
直线，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，熟练掌握和运用这些性质是解题关键．
4．D
【分析】根据函数的图象确定每个节气白昼时长即可得到正确选项．
【详解】由图象可知：
惊蛰白昼时在小时之间，故不符合题意；
立夏白昼时长超过小时之间，故不符合题意；
秋分白昼时长在小时左右，故不符合题意；
大寒白昼时长不足，故符合题意；
故选．
【点睛】本题考查了函数图象的知识，读懂函数图象是解题的关键．
5．B
【分析】先数出三个图形中阴影小正方形的个数，再总结规律并推广至一般情形，从而求出第个图案中涂有阴影的小正方形个数．
【详解】第一个图案有个：，
第二个图案有个：，
第三个图案有个：，
则第个图形有：个，
故第个图案中有(个)，
故选：．
【点睛】此题考查了图案的变化规律问题，解题的关键是找到正确的变化规律即可．
6．C
【分析】根据位似图形的概念得到，，进而得出，根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】解：与位似，
，，
，，
，
，
与的面积比为，
故选：C．
【点睛】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似图形是相似图形、位似图形的对应边平行是解题的关键．
7．A
【分析】先根据二次根式的除法计算，后运用无理数的估算，不等式的性质计算即可．
【详解】∵，且，
∴，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了二次根式的除法计算，无理数的估算，不等式的性质，熟练掌握根式运算和估算是解题的关键．
8．C
【分析】根据题意，可得等量关系为2019年快递业务量（1+增长率）2=2021年快递业务量，根据此等量关系列方程即可．
【详解】设我国2019年至2021年快递业务收入的年平均增长率为x，由题意得，
7500（1+x）2=10000，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为．
9．C
【分析】先利用三角形的内角和为求出，然后利用圆周角定理解题即可.
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选C.
【点睛】本题考查圆周角定理和三角形的内角和定理，掌握圆周角定理是解题的关键.
10．D
【分析】先根据两点之间的距离公式，把代数式转化为最短路径问题，再根据勾股定理求解.
【详解】解：∵
∴代数式表示点到和的距离的和,点是轴上的动点，作关于轴的对称点，连接，就是所求的最短路径，如图所示：

故选:.

【点睛】本题考查最短路径问题，理解转化思想是解题的关键.
11．3.6×104
【详解】试题分析：科学记数法是指：a×，1≤＜10，n为原数的整数位数减一．
考点：科学记数法．
12．0
【分析】根据算术平方根、零指数幂，化简绝对值进行计算即可求解．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握算术平方根、零指数幂，化简绝对值是解题的关键．
13．
【分析】画树状图，共有种等可能的结果，其中小明、小红二人恰好选择同一部影片观看的结果有种，再由概率公式求解即可.
【详解】把《满江红》《流浪地球2》《中国乒乓》《熊出没》四部影片分别记为A、B、C、D，画树状图如下：
  
共有种等可能的结果，其中小明、小红二人恰好选择同一部影片观看的结果有种，
∴小明、小红二人恰好选择同一部影片观看的概率为
故答案为：
【点睛】本题考查的是用树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验.用到的知识点为：概率为所求情况数与总情况数之比.
14．
【分析】先根据特殊角的锐角三角函数值，求出，进而求出，再根据扇形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵矩形，
，
以B为圆心，的长为半轻画弧，交于点E， ，
，
在中，，
，
，
，
S阴影 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了由特殊角的三角函数值求角度数，矩形的性质，扇形的面积的计算，综合掌握以上知识点并熟练运用是解题的关键．
15．
【分析】根据题意由反比例函数的几何意义得：再表示的坐标及，求解即可．
【详解】解：矩形，在上，

把代入：


把代入：



由题意得：
解得：（舍去）

故答案为：
【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的性质，掌握反比例函数中的几何意义，一次函数与坐标轴围成的三角形面积的计算是解题的关键．
16．/55度
【分析】根据正方形的性质可得，，，从而证明，得，再由角平分线的定义可得，再根据直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定证明是解题的关键．
17．
【分析】分别解分式方程和不等式组，从而得出a的范围，再确定整数a的值．
【详解】解分式方程得
∵
∴
∴
∵方程的解为非负数
∴
∴且
解不等式组得
∵不等式组的解集为

∴
∴且
∴符合条件的整数a为共有个
∴符合条件的整数a的值之和是
故答案为: ．
【点睛】本题主要考查分式方程的解和解一元一次不等式组，解题的关键是根据分式方程的解的情况及不等式组解集的情况得出a的取值范围．
18．
【分析】抓住“回文数”， “平方回数”两个新定义.先设，再讨论求得.
【详解】根据题意，设 n为正整数, ;
.且，
∴,
当时,不是“平方回数”，不符合题意.
当 时, , 符合题意.
故答案为: .
【点睛】本题通过新定义考查正整数、平方数的概念，有一定的综合性，掌握平方数是解题的关键.
19．(1)
(2)

【分析】（1）先计算单项式乘多项式，再利用平方差公式计算，然后合并即可；
（2）先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再把分子分母因式分解，然后约分即可．
【详解】（1）


；
（2）



＝．
【点睛】本题考查了分式的混合运算：先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．也考查了完全平方公式．
20．(1)10；40，
(2)八年级的更好， 理由八年级的中位数比七年级的中位数大
(3)545人

【分析】（1）根据，，中位数计算即可．
（2）比较中位数，众数大小，作出决策即可．
（3）运用样本估计总体的思想分年级计算求和即可．
【详解】（1）根据题意，得，
故；
（人），
根据中位数是第50个，51个数据的平均数，计算 得，
故答案为：10；40，．
（2）∵八年级的中位数比七年级的中位数大，
∴八年级的成绩更好．
（3）根据题意，得（人），
答：该校两个年级掌握垃圾分类相关知识合格的学生一共有545人．
【点睛】本题考查了中位数，众数，样本估计总体，扇形统计图，熟练掌握统计图，中位数的计算，估计总体的计算是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)；；；；

【分析】（1）根据题中步骤作图；
（2）根据同底等高证明即可.
【详解】（1）解：如图，
  
（2）证明：
分别过点D和点E作，垂足分别为K、H，
∵，
∴；
∵，
∴；
∴，
∴四边形是矩形，
∴；
∵，；
∴·
故答案为：；；；；．
【点睛】本题考查了复杂作图，掌握三角形的面积公式是解题的关键.
22．(1)米
(2)超速，理由见解析

【分析】(1)通过作高构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求出即可；
(2)计算出汽车通过时的速度即可.
【详解】（1）如图，过点P作于C,

在中, 米,,
(米), (米),
在中, 米,,
(米),
∴(米),
答: A、B之间的路程约为米;
（2）∵A、B之间的路程为米, 汽车所用的时间为，
∴汽车经过的时间为(米/秒)(千米/小时) ,
由于,
因此超速了.
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提.
23．(1)小明每分钟走50米，小刚每分钟走60米
(2)每分钟行驶30米

【分析】（1）设小明每分钟走x米，则小刚每分钟走米，根据题意，列出一元一次方程求解即可．
（2）设平地电梯每分钟行驶y米，则小刚每分钟走米，小明每分钟走米，根据小刚走120米用时间与小明走米用时间相等，列出分式方程求解即可．
【详解】（1）设小明每分钟走x米，则小刚每分钟走米，根据题意，得
，
解得，
答：小明每分钟走50米，小刚每分钟走60米．
（2）设平地电梯每分钟行驶y米，则小刚每分钟走米，小明每分钟走米，
根据题意，得
，
解得，
答：平地电梯每分钟行驶30米．
【点睛】本题考查了一元一次方程，分式方程的应用，正确列出方程并规范求解是解题的关键．
24．(1)
(2)y的最大值为
(3)或

【分析】分三种情况讨论，由三角形的面积公式可求解；
由函数图象可求解；
将代入解析式可求解.
【详解】（1）当,；
当,；
当,  ；
综上所述：
函数图象如图所示：

（2）由图象可得y的最大值为；
（3）当点P在上时,
∴,
当点P在上时, ,
∴,
综上所述: 当或时, .
【点睛】本题是四边形综合题，考查矩形的性质，三角形的面积公式，函数图象的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.
25．(1)
(2)
(3)或

【分析】（1）利用待定系数法抛物线与x轴交于点和点，代入坐标列方程组，然后解方程组即可；
（2）先求出直线的解析式为，过点D作轴交于点F，，设  ，则点，即可利用求出面积最大值时点的坐标
（3）先求出抛物线的对称轴为，设．线段绕点E时顺针旋转后，点B的对应点恰好也落在此抛物线上，分两种情况：①当时，要使，由图可知点与点A重合．②当时，由题意，得，．证明即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点和点，
∴，
解方程组，得，
∴抛物线的表达式为
（2）解：当时，，
∴点C的坐标为，
设直线的解析式为：，把和代入得：
，解得
∴

如图，过点D作轴交于点F，设  ．
∴点，
∴
∴当时，最大，且最大值为．
此时，点D的坐标为．
（3）（3）∵
∴抛物线的对称轴为
∵点E在抛物线的对称轴上，
∴设．
∵线段绕点E时顺针旋转后，点B的对应点恰好也落在此抛物线上，
∴分两种情况：
①当时，要使，由图可知点与点A重合．
设抛物线对称轴与x轴相交于点M．
∵，
∴．
∴．
②当时，
由题意，得，．
如图，过作对称轴于点N．

∴．
∴．
在与中，
，
∴．
∴，．
∴．
代入得，
解得，（舍去）．
∴．
∴满足条件的点E的坐标为或．
【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式及性质，旋转性质，分类讨论思想的运用，三角形全等判定与性质，一元二次方程，掌握待定系数法求抛物线解析式及性质，旋转性质，分类讨论思想的运用，三角形全等判定与性质是解题关键．
26．(1)见解析
(2)
(3)

【分析】由“”可证;
由“”可证,可得 , 由勾股定理分别求出的长, 即可求解;
由“”可证, 可得, 可证是以为斜边的等腰直角三角形，可得 即可求解.
【详解】（1）证明: ∵四边形是平行四边形,
∴,
∴,
∵,
∴
∴,
∵,
∴,
∴.
（2）如图1, 过点A作于点K, 延长交于点,
  
则,
∵,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,,
设,
∵,,
，
，
，
∵点F、G分别是的中点,
,
∴
，
∴的面积为
（3）如图2, 连接交于点O, 连接, 取的中点P, 连接 设与的交点为点Q,
∵点F是平行四边形的对角线的中点，
∴经过点F, 即A、F、E三点在同一条直线上，且F是的中点，
∵,
∴
∴,
∴,
∴,

∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴,
∵点P是的中点, F是的中点, G是的中点,
∴是的中位线, 是的中位线，

∵,
∵,
∴,
∴是以为斜边的等腰直角三角形,
，
∴当的长度最大时，的长度有最大值，
∵,
∴的最大值是,
此时，的长度有最大值为
【点睛】本题四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线，解题的关键是熟练应用勾股定理表示线段的长度.