2023年甘肃省庆阳市九年级第一次模拟考试数学试题（含解析）

这是一份2023年甘肃省庆阳市九年级第一次模拟考试数学试题（含解析），共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年甘肃省庆阳市九年级第一次模拟考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．在实数中，最小的数是（    ）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（    ）
A． B．
C． D．
3．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（    ）
A． B． C． D．
4．已知是方程组的解，则a﹣b的值是（    ）
A． B． C． D．
5．下列命题正确的是（    ）
A．矩形对角线互相垂直
B．方程的解为
C．六边形内角和为540°
D．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
6．如图，在中，点D在边上，，交于点E，若线段，则（    ）

A．7.5 B．10 C．12 D．15
7．把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在中，为弦，于点，，过点作的切线，交的延长线于点，则(    )

A． B． C． D．
9．如图，这是一农村民居侧面截图，屋坡，分别架在墙体的点B，C处，且，侧面四边形为矩形．若测得，则（    ）

A． B． C． D．
10．如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，在正方形的边上，分别按，的方向，都以的速度运动，到达点运动终止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致表示与的函数关系的是（　　）

A． B．
C． D．

二、填空题
11．计算的结果是 ．
12．分解因式： ．
13．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当时， ．

14．某公司10名职工的3月份工资统计如下，该公司10名职工3月份工资的中位数是 元．
工资/元
5000
5200
5400
5600
人数/人
1
3
4
2
15．若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 ．
16．已知点，，都在反比例函数（为常数，且）的图象上，则的大小关系是 ．
17．如图是某风景区的一个圆拱形门，路面宽为，净高，则圆形拱门所在圆的半径为 ．

18．如图，在菱形中，对角线相交于点O，，，则线段的长为 ．


三、解答题
19．解方程：x(2x﹣5)＝2x﹣5．
20．化简：．
21．如图，在中，．

(1)尺规作图：在边上求一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)求证：．
22．如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在其南偏西方向上，航行2小时后到达N处，观测到灯塔P在其南偏西方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近的位置(由科学计算器得到，，，．
  
23．为了响应国家开展“中小学生课后服务”的政策，某学校在课后服务活动中开设了A．书法，B．剪纸，C． 足球，D．乒乓球，共四门课程供学生选修，每门课程被选到的机会均等．
(1)小军选修的课程是篮球这一事件是________.（填序号）
①不可能事件    ②必然事件    ③随机事件
(2)若小军和小彬两位同学各计划选修一门课程，请用列表或画树状图的方法求两人恰好同时选修球类课程的概率．
24．为了解同学们每月零花钱的数额，校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果统计表：
组别
分组（单位：元）
人数
A

4
B

16
C

a
D

b
E

2
  请根据以上图表，解答下列问题：
(1)这次被调查的同学共有 　 　人， 　 　， 　 　；
(2)求扇形统计图中扇形C的圆心角的度数；
(3)若该校共有学生1000人，请估计每月零花钱的数额x在范围的人数．
25．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，与y轴的负半轴交于点B，且．
  
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)请直接写出不等式的解集．
26．如图，在△ABC中，AB＝AC．以AB为直径的⊙O分别与BC、AC相交于点D、E，连接AD．过点D作DF⊥AC，垂足为点F，
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为4，∠CDF＝22.5°，求图中阴影部分的面积．

27．如图，在中，，于点，过点作于点，交于点．点在边上，且，连接，延长到点，使，连接．

(1)求证：；
(2)试判断的形状，并说明理由；
(3)若，，则________．
28．如图，过点的抛物线的对称轴是直线，点B是抛物线与x轴的一个交点，点C在y轴上，点D是抛物线的顶点，设点P在直线下方且在抛物线上，过点P作y轴的平行线交于点Q．

(1)求a、b的值；
(2)求的最大值；
(3)当是直角三角形时，求的面积．

参考答案：
1．A
【分析】根据实数大小比较的法则即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵正数大于零，零大于负数，
∴，
∴最小的数是，
故选：．
【点睛】本题考查实数比较大小的法则，熟记实数比较大小的法则是解题的关键．
2．C
【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，整式的加减运算法则，积的乘方的运算法则对每项判断即可得到正确选项．
【详解】解：∵，∴错误，故项不符合题意；
∵，∴错误，故项不符合题意；
∵，∴正确，故项符合题意；
∵，∴错误，故项不符合题意．
故选：．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，整式的加减运算法则，积的乘方的运算法则，掌握同底数幂的乘运算法则和同底数幂的除法运算法则是解题的关键．
3．C
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【详解】解：A、不是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、是轴对称图形；
D、不是轴对称图形；
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
4．D
【分析】根据方程组解的定义将代入方程组，得到关于a，b的方程组．两方程相减即可得出答案．
【详解】∵是方程组的解，
∴．
两个方程相减，得a﹣b=4．
故选：D．
5．D
【分析】由矩形的对角线互相平分且相等得出选项A不正确；
由方程x2=14x的解为x=14或x=0得出选项B不正确；
由六边形内角和为（6-2）×180°=720°得出选项C不正确；
由直角三角形全等的判定方法得出选项D正确；即可得出结论．
【详解】A．矩形对角线互相垂直，不正确；
B．方程x2=14x的解为x=14，不正确；
C．六边形内角和为540°，不正确；
D．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，正确；
故选D.
【点睛】本题考查了命题与定理、矩形的性质、一元二次方程的解、六边形的内角和、直角三角形全等的判定；要熟练掌握．
6．C
【分析】由，可证得，然后由相似三角形的对应边成比例求得答案．
【详解】解：∵，
，
，
，
，
，
，
．
故选： C．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
7．B
【详解】分析：先求出不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴确定不等式组的解集．
详解：解不等式x+1≥3，得：x≥2，
解不等式﹣2x﹣6＞﹣4，得：x＜﹣1，
将两不等式解集表示在数轴上如下：

故选B．
点睛：本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了．
8．B
【分析】连接，根据等腰三角形的性质得到，由切线的性质得到，于是得到结论．
【详解】解：于，，
，
是的切线，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
9．B
【分析】先根据平角的定义求出的度数，再用三角形内角和定理可求得；
【详解】解：四边形为矩形，
，


，
，
，

．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、等腰三角形的性质，掌握这些定理和性质是解题的关键．
10．A
【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：①时，根据，列出函数关系式，从而得到函数图象；②时，根据列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解．
【详解】①当时，
∵正方形的边长为，
∴；
②当时，



，
所以，与之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合，
故选A．

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键．
11．2
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：．
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，注意：．
12．
【分析】先提公因式a，然后利用平方差公式分解即可．
【详解】
【点睛】本题考查了提公因式法与平方差公式因式分解，解题的关键是先提公因式．
13．/50度
【分析】根据平行线的性质，可以得到和的关系，从而可以得到的度数，然后根据，即可得到的度数．
【详解】解：如图，

∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．
14．5400
【分析】根据中位数的概念求解．
【详解】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：5000，5200，5200，5200，5400，5400，5400，5400，5600，5600，
则中位数为：．
故答案为：5400．
【点睛】本题考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
15．
【分析】根据根的判别式大于或等于零求解即可．
【详解】解：由题意得
1+4m≥0，
解得
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根．
16．
【分析】根据得到图象在第二、四象限并且函数值随自变量的增大而减小即可解答．
【详解】解：∵比例函数，
∴，
∴图象在第一、三象限，
当时，图象在第三象限，函数值随自变量的增大而减小，
∴在点，中，，
∴,
当时，图象在第一象限，函数值随自变量的增大而减小，
∴在点中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
17．
【分析】如图所示，连接，设⊙O的半径为r，则，利用垂径定理得到，再利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，设⊙O的半径为r，则，
∵，
∴，
由勾股定理，得：，即：，
解得，
∴圆拱形门所在圆的半径为，
故答案为：．

【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
18．5
【分析】根据菱形的性质得出，求出，解直角三角形求出，根据勾股定理求出即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，

∴，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理和解直角三角形，能熟记菱形的性质是解此题的关键．
19．x1＝，x2＝1
【分析】利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：（2x－5）（x－1）＝0
x1＝，x2＝1
【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，解题的关键是移项后利用提公因式进行因式分解．
20．
【分析】根据分式的混合运算进行化简即可．
【详解】解：原式．
【点睛】本题考查分式的化简，解题的关键是注意运算顺序和约分．
21．(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）作线段的垂直平分线交边即可；
（2）先证，，得，利用两角分别相等的两个三角形全等即可得证．
【详解】（1）解：如图．点P为所求作的点，

（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴∽．
【点睛】本题考查了尺规作线段的垂直平分线以及相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
22．41.682海里
【分析】如图所示，过点作于点，即该船继续向南航行至离灯塔最近的位置为点处，根据题意可算出的距离，是等腰三角形，在中根据三角函数的计算即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，即该船继续向南航行至离灯塔最近的位置为点处，（海里），
  
，，，
，
，
是等腰三角形，即海里，
，
（海里）．
答：此时轮船离灯塔的距离41.682海里．
【点睛】本题主要考查三角函数的应用，掌握方位角的知识，三角函数的计算方法是解题的关键．
23．(1)①
(2)

【分析】（1）直接根据随机事件的概念：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件进行解答即可；
（2）画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出小明和小刚两人恰好选球类的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）解：小军选修的课程是篮球这一事件是不可能事件，
故答案为：①；
（2）解：
解：画树状图如图：

共有16个等可能的结果数，其中两人恰好同时选修球类的有4种，
则两人恰好同时选修球类的概率是．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．也考查了随机事件．
24．(1)50；28；8

(2)
(3)720人

【分析】（1）根据B组频数及其所占百分比可得总人数，总人数减去其他三个组人数即可求得的值，再用A组人数除以总人数可得m的值；
（2）用乘以C组人数所占比例即可求出圆心角；
（3）总人数乘以样本中B、C组人数之和所占比例即可求解．
【详解】（1）解：调查的总人数是（人），
则（人），
，
则，
故答案为：50；28；8．
（2）解：D组的人数有（人），
则C组的人数有（人），
扇形统计图中扇形C的圆心角度数是；
（3）解：每月零花钱的数额x在范围的人数是（人）．
【点睛】本题主要考查了频数统计表和扇形统计图的综合运用，解题关键是读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
25．(1)，
(2)

【分析】（1）根据点坐标求出反比例函数解析式，和点的坐标，待定系数法求出一次函数的解析式；
（2）图象法解出不等式即可．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数解析式为；
∵，，点B在y轴负半轴上，
∴点．
把点、代入中，
得，
解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）不等式，即：反比例函数在第一象限内，反比例函数值大于一次函数值，
∵，
令，则，
∴点；
由图象知：反比例函数图象在一次函数图象的上方在点的左侧，直线与x轴交点的右侧，
  
∴不等式的解集为：．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用．解题的关键是正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解．
26．（1）见解析；（2）4π﹣8
【分析】(1)连接AD、OD，则AD⊥BC，D为BC中点．OD为中位线，则OD∥AC，根据DF⊥AC可得OD⊥DF得证；
(2)连接OE，利用(1)的结论得∠ABC＝∠ACB＝67.5°，易得∠BAC＝45°，得出∠AOE＝90°，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式得出结论．
【详解】(1)证明：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
又AB＝AC，
∴D是BC的中点，
连接OD，
由中位线定理，知DO∥AC，
又DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∴DF是⊙O的切线；

(2)连接OE，
∵DF⊥AC，∠CDF＝22.5°，
∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°，
∴∠BAC＝45°，
∵OA＝OE，
∴∠AOE＝90°，
∵⊙O的半径为4，
∴S扇形AOE＝4π，S△AOE＝8，
∴S阴影＝S扇形AOE﹣S△AOE＝4π﹣8，
故答案为4π﹣8．

【点睛】本题考考查了圆的综合知识，圆的切线的证明，等腰三角形的性质和面积计算，扇形的面积计算，平行的性质应用，掌握圆的知识概念是解题的关键．
27．(1)见解析
(2)是等腰直角三角形，理由见解析
(3)

【分析】（1）根据等角的余角相等得出，根据等腰直角三角形的性质得出，证明，根据全等三角形的性质即可得证；
（2）根据平行四边形的性质得出，，进而证明，得出，进而得出是等腰直角三角形；
（3）根据等腰直角三角形的性质可得，则，根据（2）可得，则，进而代入数据即可求解．
【详解】（1）解：证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
（2）是等腰直角三角形．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形．
（3）∵是等腰直角三角形．
∴，
即，
由（2）知，
∴
∴．
即，
解得
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
28．(1)
(2)
(3)或

【分析】（1）用待定系数法即可求得；
（2）求出直线的解析式，设，则，则可得关于x的二次函数，即可求得的最大值；
（3）设D点的坐标为，求出，分三种情况考虑，利用勾股定理建立方程求出m的值，即可求得的面积．
【详解】（1）解：∵过点的抛物线的对称轴是直线，
∴，解得,
故．
（2）解：设直线过点，可得直线．
由（1）可得抛物线，
设，则，
∴，
∴当时，最大，最大值为．
（3）解：设点C的坐标是．由（1）可得抛物线，
∴抛物线的顶点D的坐标是，点B的坐标是．
则，，，
①当时，有．
∴，解得，
∴．
②当时，有．
∴，解得，
∴．
③当时，有．
∴，此方程无解．
综上所述，当为直角三角形时，的面积是或．
【点睛】本题是二次函数与几何的综合，考查了二次函数的图象与性质，勾股定理，涉及分类讨论的思想，综合运用这些知识是解题的关键．