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第11讲 平方根与立方根（5种题型）-2023年新八年级数学暑假精品课（苏科版）
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这是一份第11讲 平方根与立方根（5种题型）-2023年新八年级数学暑假精品课（苏科版），文件包含第11讲平方根与立方根5种题型解析版docx、第11讲平方根与立方根5种题型原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共58页， 欢迎下载使用。
第11讲 平方根与立方根（5种题型）
1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．
2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．
3. 了解立方根的含义；
4. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根.
一．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
二．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
三．非负数的性质：算术平方根
（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．
（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．
四．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号a3中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
五．计算器—数的开方
正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是：
当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍．
一．平方根（共6小题）
1．（2022秋•泗阳县期末）16的平方根是（ ）
A．4 B．±4 C．2 D．±2
【分析】根据平方根的定义解答即可．
【解答】解：∵（±4）2＝16，
∴16的平方根是±4．
故选：B．
【点评】本题考查的是平方根，熟知如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根是解题的关键．
2．（2023•沛县三模）64的平方根是 ±8 ．
【分析】一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x即为a的平方根，据此即可求得答案．
【解答】解：∵82＝64，（﹣8）2＝64，
∴64的平方根为±8，
故答案为：±8．
【点评】本题考查平方根的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
3．（2022秋•高邮市期末）若﹣m是a的平方根，则（ ）
A．m＝a2 B．m2＝a C．m＝﹣a2 D．﹣m2＝a
【分析】根据平方根的定义，即可解答．
【解答】解：﹣m是a的平方根，则（﹣m）2＝a，即m2＝a，
故选：B．
【点评】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的意义是解题的关键．
4．（2022秋•常州期末）已知2（x﹣1）2＝18，求x的值．
【分析】方程整理后，利用平方根的定义开方，即可求出x的值．
【解答】解：∵（x﹣1）2＝9，
∴x﹣1＝±3．
∴x1＝4，x2＝﹣2．
【点评】本题考查了利用平方根定义解方程，解题的关键是熟练掌握平方根定义．
5．（2022秋•苏州期末）求方程中x的值：（x﹣2）2＝3．
【分析】直接利用平方根的定义开平方求解即可．
【解答】解：（x﹣2）2＝3，
开方，得：，
整理，得：，
解得：．
【点评】本题考查了利用平方根解方程，掌握平方根的定义是解题关键．
6．（2021秋•常熟市校级月考）求下列各式中x的取值：
（1）2x2﹣8＝0．
（2）4（2x﹣1）2＝9．
【分析】（1）根据平方根的定义，即可解答；
（2）先把方程进行整理，再利用平方根定义开平方即可求出x的值．
【解答】解：（1）2x2﹣8＝0，
2x2＝8，
x2＝4，
x＝±2，
∴x1＝2，x2＝﹣2；
（2）4（2x﹣1）2＝9，
（2x﹣1）2＝，
2x﹣1＝，
∴x1＝，x2＝﹣．
【点评】本题考查了平方根，解决本题的关键是熟记平方根的定义．
二．算术平方根（共10小题）
7．（2022秋•南京期末）4的平方根是（ ）
A． B．± C．2 D．±2
【分析】4的平方根是两个，正负2．
【解答】解：22＝2，（﹣2）2＝4，
∴4的平方根为：±2，
故选：D．
【点评】本题考查的是平方根，解题的关键是4的平方根有两个，不要漏解．
8．（2018秋•秦淮区期末）3的算术平方根是（ ）
A．± B． C．﹣ D．9
【分析】利用算术平方根定义计算即可求出值．
【解答】解：3的算术平方根是，
故选：B．
【点评】此题考查了算术平方根，以及平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
9．（2022秋•玄武区期末）13的平方根是 ± ；9的算术平方根是 3 ．
【分析】分别根据平方根及算术平方根的定义解答即可．
【解答】解：13的平方根是±，9的算术平方根是3．
故答案为：±，3．
【点评】本题考查的是算术平方根，一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
10．（2022秋•太仓市期末）面积为2cm2的正方形的边长为 cm．
【分析】根据算术平方根，即可解答．
【解答】解：设正方形的边长为acm，
则a2＝2，
a＝cm，
故答案为：．
【点评】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义．
11．（2022秋•秦淮区月考）实数4的平方根是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．±2
【分析】根据算术平方根的定义解答即可．
【解答】解：∵（±2）2＝4，
∴4的平方根是±2，
即±＝±2．
故选：D．
【点评】本题考查了算术平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
12．（2023•淮阴区模拟）计算：＝ 2 ．
【分析】如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为，由此即可得到答案．
【解答】解：＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查算术平方根，关键是掌握算术平方根的定义．
13．（2022秋•吴江区校级月考）已知2a﹣1的算术平方根为3，3a+b﹣1的算术平方根为4，求a+2的平方根．
【分析】根据算术平方根的平方运算是被开方数，可得二元一次方程组，根据解二元一次方程组，可得答案．
【解答】解：2a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，
∴，
解得．
∴．
答：a+2的平方根为．
【点评】本题考查了算术平方根，先平方求被开方数，再解二元一次方程组．
14．（2022秋•高新区校级期中）已知±是2a﹣1的平方根，3是3a+2b﹣3的算术平方根，求a+2b的平方根．
【分析】根据题意求出2a﹣1＝5，3a+2b﹣3＝9，解出a，b的值代入a+2b中即可求解．
【解答】解：∵±是2a﹣1的平方根，
∴2a﹣1＝（）2，
∴2a﹣1＝5，
解得：a＝3，
∵3是3a+2b﹣3的算术平方根，
∴3a+2b﹣3＝9，
解得：b＝，
当a＝3，b＝时，
∴a+2b＝6，
∴a+2b的平方根为±．
【点评】本题考查的是平方根及算术平方根的定义，熟知一个数的平方根有两个，这两个数互为相反数是解答此题的关键．
15．（2022秋•建湖县期中）小明的爸爸打算用如图一块面积为900cm2的正方形木板，沿着边的方向裁出一个长方形面积为768cm2的桌面．
（1）求正方形工料的边长；
（2）若要求裁出的桌面的长宽之比为4：3，你认为小明的爸爸能做到吗？如果能，计算出桌面的长和宽；如果不能，说明理由．
【分析】（1）根据正方形的面积公式，结合算术平方根进行计算即可解答；
（2）设要求裁出的桌面的长为4xcm，宽为3xcm，根据题意可得：4x•3x＝768，从而可得x＝8，进而求出裁出的桌面的长为32cm，然后比较即可解答．
【解答】解：（1）∵正方形木板的面积为900cm2，
∴正方形工料的边长为＝30cm；
（2）我认为小明的爸爸不能做到，
理由：设要求裁出的桌面的长为4xcm，宽为3xcm，
由题意得：4x•3x＝768，
x2＝64，
∵x＞0，
∴x＝8，
∴裁出的桌面的长为32cm，
∵32cm＞30cm，
∴不能裁出长宽之比为4：3的长方形桌面．
【点评】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键．
16．（2022秋•海陵区校级月考）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：﹣9，﹣4，﹣1这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以﹣1，﹣4，﹣9这三个数称为“完美组合数”．
（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由．
（2）若三个数﹣3，m，﹣12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值．
【分析】（1）对于三个互不相等的负整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”，由此定义分别计算可作判断；
（2）分两种情况讨论：①当＝12时，②当＝12时，分别计算即可．
【解答】解：（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”，理由如下：
∵＝12，＝6，＝4，
∴﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”；
（2）∵＝6，
∴分两种情况讨论：
①当＝12时，﹣3m＝144，
∴m＝﹣48；
②当＝12时，﹣12m＝144，
∴m＝﹣12（不符合题意，舍）；
综上，m的值是﹣48．
【点评】本题考查算术平方根，理解“完美组合数”的意义是正确解答的前提，求出“任意两个负数乘积的算术平方根”是解决问题的关键．
三．非负数的性质：算术平方根（共12小题）
17．（2022秋•崇川区校级月考）已知a，b满足（a﹣1）2+＝0，则a+b的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．0
【分析】先根据平方和算术平方根的非负性求出a，b的值，再将a，b的值代入a+b中即可求解．
【解答】解：∵（a﹣1）2+＝0，
（a﹣1）2≥0，≥0，
∴a﹣1＝0，b+2＝0，
∴a＝1，b＝﹣2，
则a+b＝1+（﹣2）＝﹣1．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平方和算术平方根的非负性以及有理数的加法，掌握平方和算术平方根的非负性以及有理数的加法法则是解题的关键．
18．（2021秋•仪征市期末）已知实数x，y满足（x﹣3）2++|z﹣5|＝0，则以x，y，z的值为边长的三角形的周长是（ ）
A．6 B．12
C．14 D．以上答案均不对
【分析】根据绝对值、偶次方、算术平方根的非负性解决此题．
【解答】解：∵（x﹣3）2≥0，≥0，|z﹣5|≥0，
∴当（x﹣3）2++|z﹣5|＝0，则（x﹣3）2＝0，＝0，|z﹣5|＝0．
∴x＝3，y＝4，z＝5．
∴以x，y，z的值为边长的三角形的周长是3+4+5＝12．
故选：B．
【点评】本题主要考查绝对值、偶次方、算术平方根，熟练掌握绝对值、偶次方、算术平方根的非负性是解决本题的关键．
19．（2022秋•高邮市期末）若与（ab+6）2互为相反数，则a﹣b的值为 5 ．
【分析】根据偶次方、算术平方根的非负性以及相反数的定义求出a、b的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵与（ab+6）2互为相反数，
∴，
∴a﹣2＝0，ab+6＝0，
解得a＝2，b＝﹣3，
∴a﹣b＝2﹣（﹣3）＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查偶次方、算术平方根的非负性，理解算术平方根、偶次方的非负性以及相反数的定义是正确解答的前提．
20．（2022秋•大丰区期末）若+（1﹣y）2＝0，则xy的平方根＝ ±2 ．
【分析】非负数之和等于0时，各项都等于0，由此即可计算．
【解答】解：∵+（1﹣y）2＝0，
∴x﹣4＝0，1﹣y＝0，
∴x＝4，y＝1，
∴xy＝4，
∴xy的平方根是±2．
故答案为：±2．
【点评】本题考查非负数的性质，关键是掌握：非负数之和等于0时，各项都等于0．
21．（2022秋•江都区期末）已知a，b都是实数，若，则a﹣b＝ ﹣5 ．
【分析】先根据非负数的性质求出a，b的值，再代入代数式进行计算即可．
【解答】解：∵，
∴a+2＝0，b﹣3＝0，
∴a＝﹣2，b＝3，
∴a﹣b＝﹣2﹣3＝﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查的是非负数的性质，熟知当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．
22．（2022秋•江都区月考）如果，那么x+2y的算术平方根为 ．
【分析】先根据非负数的性质求出x，y的值，再代入x+2y求值，根据算术平方根的定义即可得出结论．
【解答】解：由题意得，x+5＝0，y﹣6＝0，
∴x＝﹣5，y＝6，
∴x+2y＝﹣5+12＝7，
∴x+2y的算术平方根为．
故答案为：．
【点评】本题考查的是算术平方根和非负数的性质，熟知任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．
23．（2022秋•姑苏区校级期中）已知实数x，y满足，则代数式（x+y）2022的值为 1 ．
【分析】由已知可求x＝﹣3，y＝2，则有x+y＝﹣1，即可求解．
【解答】解：∵|3+x|+＝0，
∴x＝﹣3，y＝2，
∴x+y＝﹣1，
∴（x+y）2022的值1，
故答案为：1．
【点评】本题考查实数；熟练掌握绝对值和算术平方根的性质是解题的关键．
24．（2022秋•盐都区期中）已知x，y满足，则x+y＝ 1 ．
【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：根据题意得：
x+1＝0，y﹣2＝0，
解得x＝﹣1，y＝2，
∴x+y＝﹣1+2＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了绝对值的非负数性质，算术平方根的非负数性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．
25．（2022秋•苏州期中）已知，则xy＝ ﹣2 ．
【分析】根据偶次方和算术平方根的非负数的性质列方程求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：∵，而（x﹣y+3）≥0，，
∴，
解得，
∴xy＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
26．（2022秋•工业园区校级月考）若m，n满足等式（m﹣2）2+＝0．
（1）求m，n的值；
（2）求4m﹣3n的平方根．
【分析】（1）直接利用算术平方根以及绝对值的性质分析得出答案；
（2）结合（1）中所求，结合平方根的定义分析得出答案．
【解答】解：（1）由题意得，m﹣2＝0，2n+6＝0，
解得：m＝4，n＝﹣3；
（2）4m﹣3n＝4×4﹣3×（﹣3）＝25．
∵25的平方根为±5，
∴4m﹣3n的平方根为±5．
【点评】此题主要考查了平方根以及绝对值，正确得出m，n的值是解题关键．
27．（2021秋•无锡期末）已知与（x﹣y+3）2互为相反数，求（x2+y）的平方根．
【分析】根据互为相反数两数之和为0列出关系式，利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到x与y的值．
【解答】解：∵与（x﹣y+3）2互为相反数，
∴+（x﹣y+3）2＝0，
又∵≥0，（x﹣y+3）2≥0，
∴，
解得，
∴x2+y＝＝，
∴（x2+y）的平方根为．
【点评】本题主要考查解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握相反数的性质、非负数的性质、解二元一次方程组的能力及平方根的定义．
28．（2022春•绥棱县校级期中）已知a、b满足+|b﹣|＝0，解关于x的方程（a+2）x+b2＝a﹣1．
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入方程得到关于x的方程，求解即可．
【解答】解：根据题意得，2a+8＝0，b﹣＝0，
解得a＝﹣4，b＝，
所以（﹣4+2）x+3＝﹣4﹣1，即﹣2x＝﹣8，
解得x＝4．
【点评】本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．
四．立方根（共5小题）
29．（2022秋•苏州期末）若a3＝1，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．±1 D．0
【分析】根据立方根的定义求解即可．
【解答】解：∵a3＝1，
∴a＝1．
故选：B．
【点评】本题考查求一个数的立方根．掌握如果x3＝a，那么x叫做a的立方根是解题关键．
30．（2022•射阳县校级二模）﹣8的立方根是（ ）
A．﹣2 B． C． D．2
【分析】根据立方根的定义求解即可．
【解答】解：∵（﹣2）3＝﹣8，
∴﹣8的立方根是﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查了立方根，掌握如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根是解题的关键．
31．（2023•淮阴区三模）8的立方根是 2 ．
【分析】如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，由此即可得到答案．
【解答】解：∵23＝8，
∴8的立方根是2．
故答案为：2．
【点评】本题考查立方根，关键是掌握立方根的定义．
32．（2022秋•无锡期末）已知一个正数的两个平方根分别为a和2a﹣6．
（1）求a的值，并求这个正数；
（2）求10a+7的立方根．
【分析】（1）根据平方根的性质列出算式，求出a的值即可；
（2）求出10a+7的值，根据立方根的概念求出答案．
【解答】解：（1）由平方根的性质得，a+2a﹣6＝0，
解得a＝2，
∴这个正数为22＝4；
（2）当a＝2时，10a+7＝27，
∵27的立方根3，
∴10a+7的立方根为3．
【点评】本题考查了平方根和立方根的概念，熟练掌握平方根和立方根的概念是解题的基础．
33．（2022秋•宿豫区期末）求下列各式中的x：
（1）4x2＝25；
（2）（x+1）3＝﹣8．
【分析】（1）根据平方根的定义进行解答；
（2）根据立方根的定义，把（x+1）看作一个整体计算．
【解答】解：（1）原式可化为：x2＝
∵（±）2＝，
∴x＝±；
（2）∵（﹣2）3＝﹣8，
∴x+1＝﹣2，
解得x＝﹣3．
【点评】本题考查了利用平方根、立方根的定义解方程，整体思想的利用比较关键．
五．计算器—数的开方（共4小题）
34．（2022•惠阳区校级开学）（1）用计算器计算：＝ 3
＝ 33
＝ 333
＝ 3333
（2）观察题（1）中各式的计算结果，你能发现什么规律？
（3）试运用发现的规律猜想：＝ 33333 ，并通过计算器验证你的猜想．
【分析】（1）用计算器分别计算出各题的答案；
（2）再根据得出的答案找出规律，根号内被开方数是2n个数字1和n个数字2的差，结果为n个数字3；
（3）利用（2）中规律得出答案，从而用计算器验证即可．
【解答】解：（1）＝3，
＝33，
＝333，
＝3333；
故答案为：3，33，333，3333；
（2）根据以上可以得出：根号内被开方数是2n个数字1和n个数字2的差，结果为n个数字3；
（3）试运用发现的规律可得：＝33333．
故答案为：33333．
【点评】此题考查了数的开方，解题的关键是根据用计算器计算得出规律即根号内被开方数是2n个数字1和n个数字2的差，结果为n个数字3．
35．（2016秋•灌云县月考）按要求填空：
（1）填表：
a
0.0004
0.04
4
400
0.02
0.2
2
20
（2）根据你发现规律填空：
已知：＝2.638，则＝ 26.38 ，＝ 0.02638 ；
已知：＝0.06164，＝61.64，则x＝ 3800 ．
【分析】（1）分别用计算器将0.0004、0.04、4、400开方即可得出答案．
（2）将720化为7.2×100，将0.00072化为7.2×10﹣4，继而可得出答案；再根据61.64化为0.06164×10﹣3可得出第二空的答案．
【解答】解：（1）＝0.02，＝0.2，＝2，＝20；
填表如下：
a
0.0004
0.04
4
400
0.02
0.2
2
20
（2）＝＝2.638×10＝26.38，
＝＝2.638×10﹣2＝0.02638；
∵＝0.06164，＝61.64，61.64＝0.06164×10﹣3
∴x＝3800．
故答案为：0.02、0.2、2、20；26.38、0.02638；3800．
【点评】此题考查了计算器数的开方，属于基础题，解答本题的关键是熟练计算机的运用，难度一般．
36．（2019春•济宁期中）用计算器探索．已知按一定规律排列的一组数：1，，，…，，，如果从中选择出若干个数，使它们的和大于3，那么至少要选几个数？
【分析】根据计算器，可得每个数的值，根据有理数的加法，可得答案．
【解答】解：左边第一个数是1，
第二个是 ＝≈0.7，
第三个数是 ＝≈0.57，
第四个数是 ＝＝0.5，
第五个数是＝≈0.44，
第六个数是 ＝≈0.41，
1++++＝1+0.7+0.56+0.5+0.44＝3.2，
所以可以把这些数加起来，得出至少要5个数和才大于3．
【点评】本题考查了计算器，利用计算器求出每个数的值是解题关键．
37．（2017秋•靖江市校级期中）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察表：
n
16
0.16
0.0016
1600
160000
…
4
0.4
0.04
40
400
…
（1）表中所给的信息中，你能发现什么规律？（请将规律用文字表达出来） 被开方数的小数点向左或向右移动2n位，算术平方根的小数点就向左或向右移动n位
（2）运用你发现的规律，探究下列问题：
已知≈1.435，求下列各数的算术平方根：①0.0206； ②2060000．
【分析】（1）从被开方数和算术平方根的小数点的移动位数考虑解答；
（2）根据（1）中的规律解答即可．
【解答】解：（1）被开方数扩大或缩小102n倍，非负数的算术平方根就相应的扩大或缩小10n倍；
或者说成被开方数的小数点向左或向右移动2n位，算术平方根的小数点就向左或向右移动n位，
故答案为：被开方数的小数点向左或向右移动2n位，算术平方根的小数点就向左或向右移动n位；
（2）＝0.1435；＝1435．
【点评】本题考查了算术平方根，解题的关键在于从小数点的移动位数考虑．
一、单选题
1．（2022秋·江苏淮安·八年级校考期末）的平方根为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平方根的定义即可解答．
【详解】解：∵，
∴的平方根是；
故选．
【点睛】本题考查了平方根的定义，理解平方根的定义是解题的关键．
2．（2023秋·江苏扬州·八年级统考期末）若是a的平方根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平方根的定义，即可解答．
【详解】解：是a的平方根，则，即，
故选：B．
【点睛】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的意义是解题的关键．
3．（2020春·江苏扬州·八年级扬州教育学院附中校考期中）化简的结果是( )
A． B． C．3 D．9
【答案】C
【分析】如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为，由此即可得到答案．
【详解】解：
故选：C．
【点睛】本题考查算术平方根，关键是掌握算术平方根的定义．
4．（2022秋·江苏盐城·八年级统考期中）36的算术平方根是（ ）
A．6 B． C．18 D．
【答案】A
【分析】根据算术平方根（若一个正数x的平方等于a，则这个正数x是a的算术平方根）的定义解决此题．
【详解】解：∵，
∴36的算术平方根是6．
故选：A．
【点睛】本题主要考查算术平方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义是解决本题的关键．
5．（2022秋·江苏盐城·八年级校考期中）一个正方形的面积为29，则它的边长应在（ ）
A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间
【答案】C
【分析】一个正方形的面积为29，那么它的边长为，可用“夹逼法”估计的近似值，从而解决问题．
【详解】解：∵正方形的面积为29，
∴它的边长为，
而＜＜，
5＜＜6．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力，解决本题的关键是得到最接近无理数的有理数的值．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
6．（2023秋·江苏盐城·八年级校考期末）已知的三边a，b，c满足，那么是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．不能判断
【答案】A
【分析】先根据偶次方的非负性、算术平方根的非负性和绝对值的非负性可得的值，再根据勾股定理的逆定理即可得．
【详解】解：，
，
解得，
，
是直角三角形，
故选：A．
【点睛】本题考查了偶次方的非负性、算术平方根的非负性和绝对值的非负性、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．
二、填空题
7．（2022秋·江苏·八年级期末）在做浮力实验时，小华用一根细线将一圆柱体铁块拴住，完全浸入盛满水的溢水杯中，并用量筒量得从溢水杯中溢出的水的体积为60立方厘米，小华又将铁块从溢水杯中拿出来，量得溢水杯的水位下降了0.8厘米，则溢水杯内部的底面半径为______厘米（取3）．
【答案】5
【分析】由圆柱的体积公式求出底面半径即可．
【详解】解：设溢水杯内部的底面半径为xcm，
根据题意得：πx2•0.8=60，
解得：x=5或x=-5（舍），
答：溢水杯内部的底面半径约为5cm．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了平方根，弄清题意是解本题的关键．
8．（2022秋·江苏扬州·八年级校联考期中）一个正数的两个平方根为和，则这个数为______．
【答案】
【分析】根据正数的两个平方根互为相反数可得关于a的方程，解方程即可求出a，进而可得答案．
【详解】解：根据题意得：，解得：，
所以这个数是：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方根的定义，解一元一次方程，属于基础题目，熟知平方根的定义是解题的关键．
9．（2020秋·江苏南京·八年级统考期末）________
【答案】5
【分析】先计算平方，再开方即可．
【详解】解：，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了算术平方根，解题的关键是掌握求算术平方根的方法．
10．（2023秋·江苏连云港·八年级统考期末）计算______．
【答案】
【分析】根据，即可．
【详解】∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查立方根的知识，解题的关键是掌握．
11．（2022秋·江苏扬州·八年级校考期中）如果一个正数x的平方根为和，那么这个正数x的值是______．
【答案】
【分析】根据一个正数的平方根有两个且它们互为相反数，可求得，进而求出这个正数即可．
【详解】解：一个正数x的平方根为和，
，
，
；
故答案为：9．
【点睛】此题考查了平方根，熟练掌握一个正数的平方根有两个且它们互为相反数是解答此题的关键．
12．（2022秋·江苏盐城·八年级统考期末）若，则xy的平方根______．
【答案】
【分析】非负数之和等于0时，各项都等于0，由此即可计算．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴的平方根是．
故答案为：．
【点睛】本题考查非负数的性质，关键是掌握：非负数之和等于0时，各项都等于0．
13．（2023春·江苏南通·八年级校联考期中）若，均为实数，且，则=________.
【答案】
【分析】根据绝对值的非负性，算术平方根的非负性求得的值，进而即可求解．
【详解】解：∵，
∴
解得：
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，熟练掌握绝对值的非负性，算术平方根的非负性是解题的关键．
14．（2022秋·江苏扬州·八年级校联考期中）已知a、b、c满足，则的平方根为____________．
【答案】
【分析】利用非负数的性质求出a，b，c的值，根据开平方，可得答案．
【详解】解：由题意得，且，
∴且，
∴，
∴，
由非负数的性质，得，即，
解得，
，
∴的平方根是．
故答案为：
【点睛】本题考查了绝对值非负性，算术平方根的非负性，平方根，解题的关键是根据算术平方根的非负性和绝对值非负性求出a，b，c的值
三、解答题
15．（2022秋·江苏盐城·八年级校联考期中）计算下列各题，
(1)已知的平方根为，的算术平方根为4，求的立方根；
(2)已知，，求．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）利用平方根，以及算术平方根定义求出与的值，代入原式计算求出立方根即可；
（2）利用平方根定义求出的值，代入原式求出所求即可．
【详解】（1）解：∵的平方根为，
∴，即，
∵的算术平方根为4，
∴，且，
∴，
∴，
∴的立方根是．
（2）解：∵，
∴，且，
当时，；
当时，．
【点睛】此题考查了立方根，平方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
16．（2021秋·江苏宿迁·八年级统考期末）求式中x的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)或；
(2)．
【分析】（1）根据平方根的性质求解即可；
（2）根据立方根的性质求解即可．
【详解】（1）解：，
整理得，
∴，
∴或；
（2）解：，
整理得，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平方根，立方根的概念，关键是掌握平方根，立方根的定义．
17．（2022秋·江苏扬州·八年级统考期中）已知m是144的平方根，n是125的立方根．
(1)求m、n的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，
(2)的平方根为或者没有平方根
【分析】（1）根据平方根和立方根的定义即可求出m、n的值；
（2）将m、n的值求出，再根据平方根的定义求解即可．
【详解】（1）解：∵m是144的平方根，n是125的立方根，
∴，，
∴，；
（2）当，时，，
∴的平方根为：；
当，时，，
∴此时没有平方根；
综上：的平方根为或者没有平方根．
【点睛】本题考查了平方根，立方根，掌握一个正数的平方根有2个是解题的关键，不要漏解．
18．（2022秋·江苏盐城·八年级统考期中）小明的爸爸打算用如图一块面积为的正方形木板，沿着边的方向裁出一个长方形面积为的桌面．
(1)求正方形工料的边长；
(2)若要求裁出的桌面的长宽之比为，你认为小明的爸爸能做到吗？如果能，计算出桌面的长和宽；如果不能，说明理由．
【答案】(1)
(2)我认为小明的爸爸不能做到，理由见解析
【分析】（1）由正方形的面积公式求解即可；
（2）设要求裁出的桌面的长为，宽为，
【详解】（1）解：设正方形工料的边长为，，
由题意得：，
解得：，
正方形工料的边长为；
（2）解：我认为小明的爸爸不能做到，
理由：设要求裁出的桌面的长为，宽为，
由题意得：，
，
，
，
裁出的桌面的长为，
，
不能裁出长宽之比为的长方形桌面．
【点睛】本题考查了算术平方根的应用，本题的关键是：设要求裁出的桌面的长为，宽为，根据长方形面积为列出方程．
19．（2022秋·江苏·八年级期中）我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请你观察下表：
a
…
0.04
4
400
40000
…
…
x
2
y
z
…
(1)表格中的三个值分别为：x＝ ；y＝ ；z＝ ；
(2)用公式表示这一规律：当a＝4×100n（n为整数）时，＝ ；
(3)利用这一规律，解决下面的问题：
已知，则①≈ ；②≈ ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接利用算术平方根定义计算填表即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，然后求出的值即可；
（3）利用（2）得出的规律即可解答．
【详解】（1）解：根据算术平方根定义可得：．
故答案为．
（2）解：当（n为整数）时，．
故答案为．
（3）解：若，则①；②．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了算术平方根、数字规律等知识点，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
20．（2022秋·江苏泰州·八年级校考期中）已知a，b，c都是实数，且满足，且，求代数式的值．
【答案】212
【分析】利用非负性求出的值，利用整体思想代入代数式求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查非负性，代数式求值．熟练掌握非负数的和为0，每个非负数均为0，是解题的关键．
一、单选题
1．（2023秋·江苏扬州·八年级统考期末）若一个数的立方为，则这个数是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【分析】根据，即可求解．
【详解】∵
∴若一个数的立方为，则这个数是；
故选：A
【点睛】本题考查立方根的求法，解题的关键是掌握如何求一个数的立方根．
2．（2023秋·江苏苏州·八年级苏州中学校考期末）若，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．0
【答案】B
【分析】根据立方根的定义求解即可．
【详解】∵，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查求一个数的立方根．掌握如果，那么x叫做a的立方根是解题关键．
3．（2023春·江苏·八年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）面积为2的正方形的边长在（ ）
A．0和之间 B．和1之间 C．1和之间 D．和2之间
【答案】C
【分析】面积为2的正方形边长是2的算术平方根，估算的大小即可解答．
【详解】解：面积为2的正方形的边长是，
，，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是估算的大小．
4．（2023秋·江苏扬州·八年级统考期末）下列实数，，，，，中无理数的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】根据无理数的定义，“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可．
【详解】解：在，，，，，中，
，， ，是有理数，， ，是无理数，共3个，
故选：B
【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，无理数，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数．
5．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知，则的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性，得出，解之得出、、的值，再把、、的值代入计算，得出的值，再根据相反数的定义，即可得出答案．
【详解】解：在中，
∵，，，，
∴可得：，
解得：，
∴，
∴的相反数是．
故选：B
【点睛】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性、解三元一次方程组、求代数式的值、相反数，解本题的关键在得出、、的值．
6．（2023秋·江苏淮安·八年级统考期末）下列各式中计算正确的是：（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平方根、立方根的运算及性质逐个判断即可．
【详解】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D错误．
故答案为：C．
【点睛】本题考查了平方根、立方根的运算及性质，解题的关键是熟记运算性质．
7．（2023秋·江苏扬州·八年级统考期末）16的算术平方根是（ ）
A．±8 B．±4 C．4 D．－4
【答案】C
【分析】根据算术平方根的定义求解即可．
【详解】解：16的算术平方根是4．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了求一个数的算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题关键．
8．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知x，y为实数，且满足，则的值为（ ）
A．4 B．6 C．9 D．16
【答案】C
【分析】根据算术平方根非负求出，由此得到y的值，再进行计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】此题考查了算术平方根非负，幂的运算等知识，根据算术平方根非负求出，是解题的关键．
9．（2023春·江苏·八年级专题练习）若a、b、c为三角形的三条边，则+|b-a-c|=( ).
A．2b-2c B．2a C．2 D．2a-2c
【答案】B
【分析】根据三角形的三边关系可知，，再利用算术平方根和绝对值非负性进行化简即可解答.
【详解】根据三角形的三边关系可知，
∴
∴
故选B
【点睛】本题考点涉及三角形的三边关系，算术平方根和绝对值的非负性以及化简，熟练掌握相关知识点是解题关键.
10．（2023春·江苏·八年级专题练习）在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】B
【分析】根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积．
【详解】∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等，
∴重叠部分也为正方形，
∵空白部分的面积为2﹣6，
∴一个空白长方形面积=，
∵大正方形面积为12，重叠部分面积为3，
∴大正方形边长=，重叠部分边长=，
∴空白部分的长=，
设空白部分宽为x，可得：，解得：x=，
∴小正方形的边长=空白部分的宽+阴影部分边长=，
∴小正方形面积==10，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键．
二、填空题
11．（2023秋·江苏南京·八年级统考期末）计算：______．
【答案】
【分析】根据算术平方根和立方根的性质，即可求解．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握算术平方根和立方根的性质是解题的关键．
12．（2023秋·江苏南京·八年级校联考期末）实数的算术平方根是_______________．
【答案】
【分析】根据算术平方根的意义可求．
【详解】解：∵，
∴的算术平方根为，
故答案为.
【点睛】本题主要考查了算术平方根的概念．如果x2＝a（a≥0），则x是a的平方根．若a＞0，则它有两个平方根，我们把正的平方根叫a的算术平方根；若a＝0，则它有一个平方根，即0的平方根是0，0的算术平方根也是0；负数没有平方根．
13．（2023秋·江苏宿迁·八年级统考期末）计算：＝_______
【答案】3
【分析】根据算术平方根的定义计算即可．
【详解】解：．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了算术平方根，掌握算术平方根的求法是解答本题的关键．
14．（2023秋·江苏泰州·八年级校考期中）已知实数、满足，则的值为______________．
【答案】16
【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：∵，
∴，，
解得，，
∴．
故答案为：16．
【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
15．（2023春·江苏·八年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）如图，矩形中，两个小正方形的面积分别为、，若，，则图中阴影部分面积为__________．
【答案】4
【分析】根据算术平方根的定义求出两个小正方形的边长，再根据平移求出两个部分阴影平移到一起的矩形的长和宽，然后列式计算即可得解．
【详解】解：∵，，
∴两个小正方形的边长分别为，
∴两个部分阴影平移到一起的矩形的长为2，宽为，
∴阴影部分的面积
故答案为：4
【点睛】本题考查了矩形的性质，算术平方根的定义，利用平移的思想求解是解题的关键．
16．（2023春·江苏扬州·八年级校考阶段练习）若，则的值为_____
【答案】1或
【分析】先根据完全平方公式得到，进而求出，由此即可得到答案．
【详解】解：∵
∴，
∴，
∴或，
故答案为：1或．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，求一个数的平方根，正确求出是解题的关键．
17．（2023秋·江苏徐州·八年级校考期末）若和是一个正数x的两个平方根，则________．
【答案】9
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程求出a的值，即可求得这个正数.
【详解】解：∵和是一个正数x的两个平方根，
∴=0，
解得： ，
∴，
∴，
故答案为：9
【点睛】本题考查的知识点：（1）一个正数的两个平方根互为相反数；（2）互为相反数的两个数的和为0.
18．（2023春·江苏·八年级开学考试）如图，将五个边长为1的小正方形组成的十字形纸板剪开，重新拼成一个大正方形，则大正方形的边长为______．
【答案】
【分析】依题意补全图形，利用剪拼前后的图形面积相等，得出大正方形的面积即可．
【详解】解：如下图，
由剪拼可知，5个小正方形的面积之和等于拼成的一个大正方形的面积，
∵5个小正方形的总面积为5，
∴大正方形的面积为5，
∴大正方形的边长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是根据题意补全图形．
19．（2023秋·江苏苏州·八年级期中）若，都为实数，且，则______．
【答案】
【分析】根据绝对值和算术平方根的非负数的性质，可求出x、y的值，然后代入代数式计算．
【详解】解：根据题意得： ，
解得，
则．
故答案是：．
【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
20．（2023春·江苏·八年级专题练习）观察下列各式：
＝＝＝2，即＝2
＝＝＝3，即＝3，那么＝_____．
【答案】n．
【分析】根据已知等式，可以得出规律，猜想出第n个等式，写出推导过程即可．
【详解】解：＝n．
故答案为：n．
【点睛】此题主要考查了平方根的性质，利用已知得出数字之间的规律是解决问题的关键．
三、解答题
21．（2023秋·江苏淮安·八年级统考期末）求下列各式中的x．
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)，
(2)，
(3)
【分析】（1）根据平方根的定义解方程即可；
（2）根据平方根的定义解方程即可；
（3）根据立方根的定义解方程即可
【详解】（1）解：方程变形得，
根据平方根的定义，得，
解得；
（2）解：根据平方根的定义，得
即或
∴；
（3）解：方程变形得，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平方根、立方根，理解平方根、立方根的定义，熟知一个正数的平方根有两个，且互为相反数是解答的关键．
22．（2023春·江苏·八年级专题练习）计算：．
【答案】
【分析】先化简算术平方根、零次幂及绝对值与负整数指数幂，然后计算加减法即可．
【详解】解：
．
【点睛】题目主要考查算术平方根、零次幂及绝对值与负整数指数幂的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
23．（2023春·江苏·八年级专题练习）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空物体自由下落到地面的时间（单位：s）和高度（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响，）．已知一幢大楼高，若一颗鸡蛋从楼顶自由落下，求落到地面所用时间．
【答案】4s
【分析】把代入公式，即可求解．
【详解】解：将代入公式，
得：
答：落到地面所用时间为．
【点睛】本题主要考查了利用算术平方根解决实际问题，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键．
24．（2023秋·江苏宿迁·八年级统考期末）已知某正数的两个不同的平方根是和；的立方根为－3．
(1)求a、b的值：
(2)求的平方根．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数即可求得的值；根据立方根的定义求得的值，
（2）将（1）的结果代入代数式，进而再求得代数式的平方根即可．
【详解】（1）某正数的两个不同的平方根是和；
+
解得
的立方根为－3
解得
（2）
的平方根是
【点睛】本题考查了求一个数的平方根，立方根的定义，代数式求值，掌握一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根．
25．（2023秋·江苏南通·八年级校联考期末）已知：为实数，且，化简：．
【答案】-1.
【分析】根据所给的已知式子，由二次根式有意义的条件，可求x取值范围，得到x，然后求出y的取值范围，然后根据二次根式的性质求解即可.
【详解】由题意可知: 且
26．（2023秋·江苏宿迁·八年级统考期末）概念生成
我们把两个具有公共底边的等腰三角形称为同底等腰三角形，公共的这条底边称为针准线，称这两个等腰三角形的顶角顶点关于针准线互为穿针点，互为穿针点的两个顶角顶点的连线称为穿针线，若再满足两个顶角的和为，则称这两个顶角顶点关于针准线互为补角穿针点．
例：如图1，四边形中，，，则与称为同底等腰三角形，公共底边称为针准线，顶角顶点与点关于互为穿针点；当时，则称点与点关于互为补角穿针点．
概念理解
（1）下列说法正确的有______．
①同底等腰三角形的穿针线垂直平分针准线．
②如果同底等腰三角形的两个顶角顶点关于针准线互为补角穿针点，则其中一个等腰三角形的腰必垂直于另一个等腰三角形中具有公共端点的腰．
③在图1中，与点C关于互为补角穿针点的点有无数个．
（2）如图2，，，，则点A与点______关于互为穿针点．
知识应用
（3）在长方形中，，．如图3，点在边上，点在边上，如果点和点关于针准线互为补角穿针点，求针准线的长．
思维探究
（4）如图4，中，，，点D是平面内一点，如果点C与点D关于针准线互为补角穿针点，求的长．
【答案】（1）①；（2）或点；（3）；（4）的长为或
【分析】（1）运用针准线和互为补角穿针点的定义，即可得出答案；
（2）根据“穿针点”的定义，即可得出答案；
（3）由矩形性质可得：，，，再由互为补角穿针点的定义可得，再运用勾股定理即可得出答案；
（4）连接交于点，利用勾股定理可得，当点与点在的异侧时，由，即，可得，利用勾股定理可得；当点与点在的同侧时，可求得．
【详解】解：（1）①同底等腰三角形的两个顶点均在底边的垂直平分线上，故同底等腰三角形的穿针线垂直平分针准线是正确的，
②如果同底等腰三角形的两个顶角顶点关于针准线互为补角穿针点，当这两个顶点位于针准线的同侧时，则其中一个等腰三角形的腰与另一个等腰三角形中具有公共端点的腰不垂直，故结论②不正确．
③在图1中，与点关于互为补角穿针点的点有2个，故结论③不正确；
故答案为：①．
（2）根据“穿针点”的定义可知：点与点、点与点均关于互为穿针点，
故答案为：或点；
（3）四边形是长方形，
，，，
如图，点和点关于针准线互为补角穿针点，
，
在中，，
，
在中，；
（4）连接交于点，
点与点关于针准线互为补角穿针点，
，，，
在中，，，
，
当点与点在的异侧时，如图，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，即，
，
设，且，则，
，
，
整理得：，
，
；
当点与点在的同侧时，如图，
，
；
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查了等腰三角形性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形面积等，理解新定义并运用新定义是解题关键．
第11讲 平方根与立方根（5种题型）
1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．
2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．
3. 了解立方根的含义；
4. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根.
一．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
二．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
三．非负数的性质：算术平方根
（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．
（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．
四．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号a3中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
五．计算器—数的开方
正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是：
当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍．
一．平方根（共6小题）
1．（2022秋•泗阳县期末）16的平方根是（ ）
A．4 B．±4 C．2 D．±2
【分析】根据平方根的定义解答即可．
【解答】解：∵（±4）2＝16，
∴16的平方根是±4．
故选：B．
【点评】本题考查的是平方根，熟知如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根是解题的关键．
2．（2023•沛县三模）64的平方根是 ±8 ．
【分析】一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x即为a的平方根，据此即可求得答案．
【解答】解：∵82＝64，（﹣8）2＝64，
∴64的平方根为±8，
故答案为：±8．
【点评】本题考查平方根的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
3．（2022秋•高邮市期末）若﹣m是a的平方根，则（ ）
A．m＝a2 B．m2＝a C．m＝﹣a2 D．﹣m2＝a
【分析】根据平方根的定义，即可解答．
【解答】解：﹣m是a的平方根，则（﹣m）2＝a，即m2＝a，
故选：B．
【点评】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的意义是解题的关键．
4．（2022秋•常州期末）已知2（x﹣1）2＝18，求x的值．
【分析】方程整理后，利用平方根的定义开方，即可求出x的值．
【解答】解：∵（x﹣1）2＝9，
∴x﹣1＝±3．
∴x1＝4，x2＝﹣2．
【点评】本题考查了利用平方根定义解方程，解题的关键是熟练掌握平方根定义．
5．（2022秋•苏州期末）求方程中x的值：（x﹣2）2＝3．
【分析】直接利用平方根的定义开平方求解即可．
【解答】解：（x﹣2）2＝3，
开方，得：，
整理，得：，
解得：．
【点评】本题考查了利用平方根解方程，掌握平方根的定义是解题关键．
6．（2021秋•常熟市校级月考）求下列各式中x的取值：
（1）2x2﹣8＝0．
（2）4（2x﹣1）2＝9．
【分析】（1）根据平方根的定义，即可解答；
（2）先把方程进行整理，再利用平方根定义开平方即可求出x的值．
【解答】解：（1）2x2﹣8＝0，
2x2＝8，
x2＝4，
x＝±2，
∴x1＝2，x2＝﹣2；
（2）4（2x﹣1）2＝9，
（2x﹣1）2＝，
2x﹣1＝，
∴x1＝，x2＝﹣．
【点评】本题考查了平方根，解决本题的关键是熟记平方根的定义．
二．算术平方根（共10小题）
7．（2022秋•南京期末）4的平方根是（ ）
A． B．± C．2 D．±2
【分析】4的平方根是两个，正负2．
【解答】解：22＝2，（﹣2）2＝4，
∴4的平方根为：±2，
故选：D．
【点评】本题考查的是平方根，解题的关键是4的平方根有两个，不要漏解．
8．（2018秋•秦淮区期末）3的算术平方根是（ ）
A．± B． C．﹣ D．9
【分析】利用算术平方根定义计算即可求出值．
【解答】解：3的算术平方根是，
故选：B．
【点评】此题考查了算术平方根，以及平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
9．（2022秋•玄武区期末）13的平方根是 ± ；9的算术平方根是 3 ．
【分析】分别根据平方根及算术平方根的定义解答即可．
【解答】解：13的平方根是±，9的算术平方根是3．
故答案为：±，3．
【点评】本题考查的是算术平方根，一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
10．（2022秋•太仓市期末）面积为2cm2的正方形的边长为 cm．
【分析】根据算术平方根，即可解答．
【解答】解：设正方形的边长为acm，
则a2＝2，
a＝cm，
故答案为：．
【点评】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义．
11．（2022秋•秦淮区月考）实数4的平方根是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．±2
【分析】根据算术平方根的定义解答即可．
【解答】解：∵（±2）2＝4，
∴4的平方根是±2，
即±＝±2．
故选：D．
【点评】本题考查了算术平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
12．（2023•淮阴区模拟）计算：＝ 2 ．
【分析】如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为，由此即可得到答案．
【解答】解：＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查算术平方根，关键是掌握算术平方根的定义．
13．（2022秋•吴江区校级月考）已知2a﹣1的算术平方根为3，3a+b﹣1的算术平方根为4，求a+2的平方根．
【分析】根据算术平方根的平方运算是被开方数，可得二元一次方程组，根据解二元一次方程组，可得答案．
【解答】解：2a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，
∴，
解得．
∴．
答：a+2的平方根为．
【点评】本题考查了算术平方根，先平方求被开方数，再解二元一次方程组．
14．（2022秋•高新区校级期中）已知±是2a﹣1的平方根，3是3a+2b﹣3的算术平方根，求a+2b的平方根．
【分析】根据题意求出2a﹣1＝5，3a+2b﹣3＝9，解出a，b的值代入a+2b中即可求解．
【解答】解：∵±是2a﹣1的平方根，
∴2a﹣1＝（）2，
∴2a﹣1＝5，
解得：a＝3，
∵3是3a+2b﹣3的算术平方根，
∴3a+2b﹣3＝9，
解得：b＝，
当a＝3，b＝时，
∴a+2b＝6，
∴a+2b的平方根为±．
【点评】本题考查的是平方根及算术平方根的定义，熟知一个数的平方根有两个，这两个数互为相反数是解答此题的关键．
15．（2022秋•建湖县期中）小明的爸爸打算用如图一块面积为900cm2的正方形木板，沿着边的方向裁出一个长方形面积为768cm2的桌面．
（1）求正方形工料的边长；
（2）若要求裁出的桌面的长宽之比为4：3，你认为小明的爸爸能做到吗？如果能，计算出桌面的长和宽；如果不能，说明理由．
【分析】（1）根据正方形的面积公式，结合算术平方根进行计算即可解答；
（2）设要求裁出的桌面的长为4xcm，宽为3xcm，根据题意可得：4x•3x＝768，从而可得x＝8，进而求出裁出的桌面的长为32cm，然后比较即可解答．
【解答】解：（1）∵正方形木板的面积为900cm2，
∴正方形工料的边长为＝30cm；
（2）我认为小明的爸爸不能做到，
理由：设要求裁出的桌面的长为4xcm，宽为3xcm，
由题意得：4x•3x＝768，
x2＝64，
∵x＞0，
∴x＝8，
∴裁出的桌面的长为32cm，
∵32cm＞30cm，
∴不能裁出长宽之比为4：3的长方形桌面．
【点评】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键．
16．（2022秋•海陵区校级月考）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：﹣9，﹣4，﹣1这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以﹣1，﹣4，﹣9这三个数称为“完美组合数”．
（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由．
（2）若三个数﹣3，m，﹣12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值．
【分析】（1）对于三个互不相等的负整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”，由此定义分别计算可作判断；
（2）分两种情况讨论：①当＝12时，②当＝12时，分别计算即可．
【解答】解：（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”，理由如下：
∵＝12，＝6，＝4，
∴﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”；
（2）∵＝6，
∴分两种情况讨论：
①当＝12时，﹣3m＝144，
∴m＝﹣48；
②当＝12时，﹣12m＝144，
∴m＝﹣12（不符合题意，舍）；
综上，m的值是﹣48．
【点评】本题考查算术平方根，理解“完美组合数”的意义是正确解答的前提，求出“任意两个负数乘积的算术平方根”是解决问题的关键．
三．非负数的性质：算术平方根（共12小题）
17．（2022秋•崇川区校级月考）已知a，b满足（a﹣1）2+＝0，则a+b的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．0
【分析】先根据平方和算术平方根的非负性求出a，b的值，再将a，b的值代入a+b中即可求解．
【解答】解：∵（a﹣1）2+＝0，
（a﹣1）2≥0，≥0，
∴a﹣1＝0，b+2＝0，
∴a＝1，b＝﹣2，
则a+b＝1+（﹣2）＝﹣1．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平方和算术平方根的非负性以及有理数的加法，掌握平方和算术平方根的非负性以及有理数的加法法则是解题的关键．
18．（2021秋•仪征市期末）已知实数x，y满足（x﹣3）2++|z﹣5|＝0，则以x，y，z的值为边长的三角形的周长是（ ）
A．6 B．12
C．14 D．以上答案均不对
【分析】根据绝对值、偶次方、算术平方根的非负性解决此题．
【解答】解：∵（x﹣3）2≥0，≥0，|z﹣5|≥0，
∴当（x﹣3）2++|z﹣5|＝0，则（x﹣3）2＝0，＝0，|z﹣5|＝0．
∴x＝3，y＝4，z＝5．
∴以x，y，z的值为边长的三角形的周长是3+4+5＝12．
故选：B．
【点评】本题主要考查绝对值、偶次方、算术平方根，熟练掌握绝对值、偶次方、算术平方根的非负性是解决本题的关键．
19．（2022秋•高邮市期末）若与（ab+6）2互为相反数，则a﹣b的值为 5 ．
【分析】根据偶次方、算术平方根的非负性以及相反数的定义求出a、b的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵与（ab+6）2互为相反数，
∴，
∴a﹣2＝0，ab+6＝0，
解得a＝2，b＝﹣3，
∴a﹣b＝2﹣（﹣3）＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查偶次方、算术平方根的非负性，理解算术平方根、偶次方的非负性以及相反数的定义是正确解答的前提．
20．（2022秋•大丰区期末）若+（1﹣y）2＝0，则xy的平方根＝ ±2 ．
【分析】非负数之和等于0时，各项都等于0，由此即可计算．
【解答】解：∵+（1﹣y）2＝0，
∴x﹣4＝0，1﹣y＝0，
∴x＝4，y＝1，
∴xy＝4，
∴xy的平方根是±2．
故答案为：±2．
【点评】本题考查非负数的性质，关键是掌握：非负数之和等于0时，各项都等于0．
21．（2022秋•江都区期末）已知a，b都是实数，若，则a﹣b＝ ﹣5 ．
【分析】先根据非负数的性质求出a，b的值，再代入代数式进行计算即可．
【解答】解：∵，
∴a+2＝0，b﹣3＝0，
∴a＝﹣2，b＝3，
∴a﹣b＝﹣2﹣3＝﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查的是非负数的性质，熟知当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．
22．（2022秋•江都区月考）如果，那么x+2y的算术平方根为 ．
【分析】先根据非负数的性质求出x，y的值，再代入x+2y求值，根据算术平方根的定义即可得出结论．
【解答】解：由题意得，x+5＝0，y﹣6＝0，
∴x＝﹣5，y＝6，
∴x+2y＝﹣5+12＝7，
∴x+2y的算术平方根为．
故答案为：．
【点评】本题考查的是算术平方根和非负数的性质，熟知任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．
23．（2022秋•姑苏区校级期中）已知实数x，y满足，则代数式（x+y）2022的值为 1 ．
【分析】由已知可求x＝﹣3，y＝2，则有x+y＝﹣1，即可求解．
【解答】解：∵|3+x|+＝0，
∴x＝﹣3，y＝2，
∴x+y＝﹣1，
∴（x+y）2022的值1，
故答案为：1．
【点评】本题考查实数；熟练掌握绝对值和算术平方根的性质是解题的关键．
24．（2022秋•盐都区期中）已知x，y满足，则x+y＝ 1 ．
【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：根据题意得：
x+1＝0，y﹣2＝0，
解得x＝﹣1，y＝2，
∴x+y＝﹣1+2＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了绝对值的非负数性质，算术平方根的非负数性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．
25．（2022秋•苏州期中）已知，则xy＝ ﹣2 ．
【分析】根据偶次方和算术平方根的非负数的性质列方程求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：∵，而（x﹣y+3）≥0，，
∴，
解得，
∴xy＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
26．（2022秋•工业园区校级月考）若m，n满足等式（m﹣2）2+＝0．
（1）求m，n的值；
（2）求4m﹣3n的平方根．
【分析】（1）直接利用算术平方根以及绝对值的性质分析得出答案；
（2）结合（1）中所求，结合平方根的定义分析得出答案．
【解答】解：（1）由题意得，m﹣2＝0，2n+6＝0，
解得：m＝4，n＝﹣3；
（2）4m﹣3n＝4×4﹣3×（﹣3）＝25．
∵25的平方根为±5，
∴4m﹣3n的平方根为±5．
【点评】此题主要考查了平方根以及绝对值，正确得出m，n的值是解题关键．
27．（2021秋•无锡期末）已知与（x﹣y+3）2互为相反数，求（x2+y）的平方根．
【分析】根据互为相反数两数之和为0列出关系式，利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到x与y的值．
【解答】解：∵与（x﹣y+3）2互为相反数，
∴+（x﹣y+3）2＝0，
又∵≥0，（x﹣y+3）2≥0，
∴，
解得，
∴x2+y＝＝，
∴（x2+y）的平方根为．
【点评】本题主要考查解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握相反数的性质、非负数的性质、解二元一次方程组的能力及平方根的定义．
28．（2022春•绥棱县校级期中）已知a、b满足+|b﹣|＝0，解关于x的方程（a+2）x+b2＝a﹣1．
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入方程得到关于x的方程，求解即可．
【解答】解：根据题意得，2a+8＝0，b﹣＝0，
解得a＝﹣4，b＝，
所以（﹣4+2）x+3＝﹣4﹣1，即﹣2x＝﹣8，
解得x＝4．
【点评】本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．
四．立方根（共5小题）
29．（2022秋•苏州期末）若a3＝1，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．±1 D．0
【分析】根据立方根的定义求解即可．
【解答】解：∵a3＝1，
∴a＝1．
故选：B．
【点评】本题考查求一个数的立方根．掌握如果x3＝a，那么x叫做a的立方根是解题关键．
30．（2022•射阳县校级二模）﹣8的立方根是（ ）
A．﹣2 B． C． D．2
【分析】根据立方根的定义求解即可．
【解答】解：∵（﹣2）3＝﹣8，
∴﹣8的立方根是﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查了立方根，掌握如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根是解题的关键．
31．（2023•淮阴区三模）8的立方根是 2 ．
【分析】如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，由此即可得到答案．
【解答】解：∵23＝8，
∴8的立方根是2．
故答案为：2．
【点评】本题考查立方根，关键是掌握立方根的定义．
32．（2022秋•无锡期末）已知一个正数的两个平方根分别为a和2a﹣6．
（1）求a的值，并求这个正数；
（2）求10a+7的立方根．
【分析】（1）根据平方根的性质列出算式，求出a的值即可；
（2）求出10a+7的值，根据立方根的概念求出答案．
【解答】解：（1）由平方根的性质得，a+2a﹣6＝0，
解得a＝2，
∴这个正数为22＝4；
（2）当a＝2时，10a+7＝27，
∵27的立方根3，
∴10a+7的立方根为3．
【点评】本题考查了平方根和立方根的概念，熟练掌握平方根和立方根的概念是解题的基础．
33．（2022秋•宿豫区期末）求下列各式中的x：
（1）4x2＝25；
（2）（x+1）3＝﹣8．
【分析】（1）根据平方根的定义进行解答；
（2）根据立方根的定义，把（x+1）看作一个整体计算．
【解答】解：（1）原式可化为：x2＝
∵（±）2＝，
∴x＝±；
（2）∵（﹣2）3＝﹣8，
∴x+1＝﹣2，
解得x＝﹣3．
【点评】本题考查了利用平方根、立方根的定义解方程，整体思想的利用比较关键．
五．计算器—数的开方（共4小题）
34．（2022•惠阳区校级开学）（1）用计算器计算：＝ 3
＝ 33
＝ 333
＝ 3333
（2）观察题（1）中各式的计算结果，你能发现什么规律？
（3）试运用发现的规律猜想：＝ 33333 ，并通过计算器验证你的猜想．
【分析】（1）用计算器分别计算出各题的答案；
（2）再根据得出的答案找出规律，根号内被开方数是2n个数字1和n个数字2的差，结果为n个数字3；
（3）利用（2）中规律得出答案，从而用计算器验证即可．
【解答】解：（1）＝3，
＝33，
＝333，
＝3333；
故答案为：3，33，333，3333；
（2）根据以上可以得出：根号内被开方数是2n个数字1和n个数字2的差，结果为n个数字3；
（3）试运用发现的规律可得：＝33333．
故答案为：33333．
【点评】此题考查了数的开方，解题的关键是根据用计算器计算得出规律即根号内被开方数是2n个数字1和n个数字2的差，结果为n个数字3．
35．（2016秋•灌云县月考）按要求填空：
（1）填表：
a
0.0004
0.04
4
400
0.02
0.2
2
20
（2）根据你发现规律填空：
已知：＝2.638，则＝ 26.38 ，＝ 0.02638 ；
已知：＝0.06164，＝61.64，则x＝ 3800 ．
【分析】（1）分别用计算器将0.0004、0.04、4、400开方即可得出答案．
（2）将720化为7.2×100，将0.00072化为7.2×10﹣4，继而可得出答案；再根据61.64化为0.06164×10﹣3可得出第二空的答案．
【解答】解：（1）＝0.02，＝0.2，＝2，＝20；
填表如下：
a
0.0004
0.04
4
400
0.02
0.2
2
20
（2）＝＝2.638×10＝26.38，
＝＝2.638×10﹣2＝0.02638；
∵＝0.06164，＝61.64，61.64＝0.06164×10﹣3
∴x＝3800．
故答案为：0.02、0.2、2、20；26.38、0.02638；3800．
【点评】此题考查了计算器数的开方，属于基础题，解答本题的关键是熟练计算机的运用，难度一般．
36．（2019春•济宁期中）用计算器探索．已知按一定规律排列的一组数：1，，，…，，，如果从中选择出若干个数，使它们的和大于3，那么至少要选几个数？
【分析】根据计算器，可得每个数的值，根据有理数的加法，可得答案．
【解答】解：左边第一个数是1，
第二个是 ＝≈0.7，
第三个数是 ＝≈0.57，
第四个数是 ＝＝0.5，
第五个数是＝≈0.44，
第六个数是 ＝≈0.41，
1++++＝1+0.7+0.56+0.5+0.44＝3.2，
所以可以把这些数加起来，得出至少要5个数和才大于3．
【点评】本题考查了计算器，利用计算器求出每个数的值是解题关键．
37．（2017秋•靖江市校级期中）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察表：
n
16
0.16
0.0016
1600
160000
…
4
0.4
0.04
40
400
…
（1）表中所给的信息中，你能发现什么规律？（请将规律用文字表达出来） 被开方数的小数点向左或向右移动2n位，算术平方根的小数点就向左或向右移动n位
（2）运用你发现的规律，探究下列问题：
已知≈1.435，求下列各数的算术平方根：①0.0206； ②2060000．
【分析】（1）从被开方数和算术平方根的小数点的移动位数考虑解答；
（2）根据（1）中的规律解答即可．
【解答】解：（1）被开方数扩大或缩小102n倍，非负数的算术平方根就相应的扩大或缩小10n倍；
或者说成被开方数的小数点向左或向右移动2n位，算术平方根的小数点就向左或向右移动n位，
故答案为：被开方数的小数点向左或向右移动2n位，算术平方根的小数点就向左或向右移动n位；
（2）＝0.1435；＝1435．
【点评】本题考查了算术平方根，解题的关键在于从小数点的移动位数考虑．
一、单选题
1．（2022秋·江苏淮安·八年级校考期末）的平方根为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平方根的定义即可解答．
【详解】解：∵，
∴的平方根是；
故选．
【点睛】本题考查了平方根的定义，理解平方根的定义是解题的关键．
2．（2023秋·江苏扬州·八年级统考期末）若是a的平方根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平方根的定义，即可解答．
【详解】解：是a的平方根，则，即，
故选：B．
【点睛】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的意义是解题的关键．
3．（2020春·江苏扬州·八年级扬州教育学院附中校考期中）化简的结果是( )
A． B． C．3 D．9
【答案】C
【分析】如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为，由此即可得到答案．
【详解】解：
故选：C．
【点睛】本题考查算术平方根，关键是掌握算术平方根的定义．
4．（2022秋·江苏盐城·八年级统考期中）36的算术平方根是（ ）
A．6 B． C．18 D．
【答案】A
【分析】根据算术平方根（若一个正数x的平方等于a，则这个正数x是a的算术平方根）的定义解决此题．
【详解】解：∵，
∴36的算术平方根是6．
故选：A．
【点睛】本题主要考查算术平方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义是解决本题的关键．
5．（2022秋·江苏盐城·八年级校考期中）一个正方形的面积为29，则它的边长应在（ ）
A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间
【答案】C
【分析】一个正方形的面积为29，那么它的边长为，可用“夹逼法”估计的近似值，从而解决问题．
【详解】解：∵正方形的面积为29，
∴它的边长为，
而＜＜，
5＜＜6．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力，解决本题的关键是得到最接近无理数的有理数的值．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
6．（2023秋·江苏盐城·八年级校考期末）已知的三边a，b，c满足，那么是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．不能判断
【答案】A
【分析】先根据偶次方的非负性、算术平方根的非负性和绝对值的非负性可得的值，再根据勾股定理的逆定理即可得．
【详解】解：，
，
解得，
，
是直角三角形，
故选：A．
【点睛】本题考查了偶次方的非负性、算术平方根的非负性和绝对值的非负性、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．
二、填空题
7．（2022秋·江苏·八年级期末）在做浮力实验时，小华用一根细线将一圆柱体铁块拴住，完全浸入盛满水的溢水杯中，并用量筒量得从溢水杯中溢出的水的体积为60立方厘米，小华又将铁块从溢水杯中拿出来，量得溢水杯的水位下降了0.8厘米，则溢水杯内部的底面半径为______厘米（取3）．
【答案】5
【分析】由圆柱的体积公式求出底面半径即可．
【详解】解：设溢水杯内部的底面半径为xcm，
根据题意得：πx2•0.8=60，
解得：x=5或x=-5（舍），
答：溢水杯内部的底面半径约为5cm．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了平方根，弄清题意是解本题的关键．
8．（2022秋·江苏扬州·八年级校联考期中）一个正数的两个平方根为和，则这个数为______．
【答案】
【分析】根据正数的两个平方根互为相反数可得关于a的方程，解方程即可求出a，进而可得答案．
【详解】解：根据题意得：，解得：，
所以这个数是：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方根的定义，解一元一次方程，属于基础题目，熟知平方根的定义是解题的关键．
9．（2020秋·江苏南京·八年级统考期末）________
【答案】5
【分析】先计算平方，再开方即可．
【详解】解：，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了算术平方根，解题的关键是掌握求算术平方根的方法．
10．（2023秋·江苏连云港·八年级统考期末）计算______．
【答案】
【分析】根据，即可．
【详解】∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查立方根的知识，解题的关键是掌握．
11．（2022秋·江苏扬州·八年级校考期中）如果一个正数x的平方根为和，那么这个正数x的值是______．
【答案】
【分析】根据一个正数的平方根有两个且它们互为相反数，可求得，进而求出这个正数即可．
【详解】解：一个正数x的平方根为和，
，
，
；
故答案为：9．
【点睛】此题考查了平方根，熟练掌握一个正数的平方根有两个且它们互为相反数是解答此题的关键．
12．（2022秋·江苏盐城·八年级统考期末）若，则xy的平方根______．
【答案】
【分析】非负数之和等于0时，各项都等于0，由此即可计算．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴的平方根是．
故答案为：．
【点睛】本题考查非负数的性质，关键是掌握：非负数之和等于0时，各项都等于0．
13．（2023春·江苏南通·八年级校联考期中）若，均为实数，且，则=________.
【答案】
【分析】根据绝对值的非负性，算术平方根的非负性求得的值，进而即可求解．
【详解】解：∵，
∴
解得：
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，熟练掌握绝对值的非负性，算术平方根的非负性是解题的关键．
14．（2022秋·江苏扬州·八年级校联考期中）已知a、b、c满足，则的平方根为____________．
【答案】
【分析】利用非负数的性质求出a，b，c的值，根据开平方，可得答案．
【详解】解：由题意得，且，
∴且，
∴，
∴，
由非负数的性质，得，即，
解得，
，
∴的平方根是．
故答案为：
【点睛】本题考查了绝对值非负性，算术平方根的非负性，平方根，解题的关键是根据算术平方根的非负性和绝对值非负性求出a，b，c的值
三、解答题
15．（2022秋·江苏盐城·八年级校联考期中）计算下列各题，
(1)已知的平方根为，的算术平方根为4，求的立方根；
(2)已知，，求．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）利用平方根，以及算术平方根定义求出与的值，代入原式计算求出立方根即可；
（2）利用平方根定义求出的值，代入原式求出所求即可．
【详解】（1）解：∵的平方根为，
∴，即，
∵的算术平方根为4，
∴，且，
∴，
∴，
∴的立方根是．
（2）解：∵，
∴，且，
当时，；
当时，．
【点睛】此题考查了立方根，平方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
16．（2021秋·江苏宿迁·八年级统考期末）求式中x的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)或；
(2)．
【分析】（1）根据平方根的性质求解即可；
（2）根据立方根的性质求解即可．
【详解】（1）解：，
整理得，
∴，
∴或；
（2）解：，
整理得，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平方根，立方根的概念，关键是掌握平方根，立方根的定义．
17．（2022秋·江苏扬州·八年级统考期中）已知m是144的平方根，n是125的立方根．
(1)求m、n的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，
(2)的平方根为或者没有平方根
【分析】（1）根据平方根和立方根的定义即可求出m、n的值；
（2）将m、n的值求出，再根据平方根的定义求解即可．
【详解】（1）解：∵m是144的平方根，n是125的立方根，
∴，，
∴，；
（2）当，时，，
∴的平方根为：；
当，时，，
∴此时没有平方根；
综上：的平方根为或者没有平方根．
【点睛】本题考查了平方根，立方根，掌握一个正数的平方根有2个是解题的关键，不要漏解．
18．（2022秋·江苏盐城·八年级统考期中）小明的爸爸打算用如图一块面积为的正方形木板，沿着边的方向裁出一个长方形面积为的桌面．
(1)求正方形工料的边长；
(2)若要求裁出的桌面的长宽之比为，你认为小明的爸爸能做到吗？如果能，计算出桌面的长和宽；如果不能，说明理由．
【答案】(1)
(2)我认为小明的爸爸不能做到，理由见解析
【分析】（1）由正方形的面积公式求解即可；
（2）设要求裁出的桌面的长为，宽为，
【详解】（1）解：设正方形工料的边长为，，
由题意得：，
解得：，
正方形工料的边长为；
（2）解：我认为小明的爸爸不能做到，
理由：设要求裁出的桌面的长为，宽为，
由题意得：，
，
，
，
裁出的桌面的长为，
，
不能裁出长宽之比为的长方形桌面．
【点睛】本题考查了算术平方根的应用，本题的关键是：设要求裁出的桌面的长为，宽为，根据长方形面积为列出方程．
19．（2022秋·江苏·八年级期中）我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请你观察下表：
a
…
0.04
4
400
40000
…
…
x
2
y
z
…
(1)表格中的三个值分别为：x＝ ；y＝ ；z＝ ；
(2)用公式表示这一规律：当a＝4×100n（n为整数）时，＝ ；
(3)利用这一规律，解决下面的问题：
已知，则①≈ ；②≈ ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接利用算术平方根定义计算填表即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，然后求出的值即可；
（3）利用（2）得出的规律即可解答．
【详解】（1）解：根据算术平方根定义可得：．
故答案为．
（2）解：当（n为整数）时，．
故答案为．
（3）解：若，则①；②．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了算术平方根、数字规律等知识点，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
20．（2022秋·江苏泰州·八年级校考期中）已知a，b，c都是实数，且满足，且，求代数式的值．
【答案】212
【分析】利用非负性求出的值，利用整体思想代入代数式求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查非负性，代数式求值．熟练掌握非负数的和为0，每个非负数均为0，是解题的关键．
一、单选题
1．（2023秋·江苏扬州·八年级统考期末）若一个数的立方为，则这个数是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【分析】根据，即可求解．
【详解】∵
∴若一个数的立方为，则这个数是；
故选：A
【点睛】本题考查立方根的求法，解题的关键是掌握如何求一个数的立方根．
2．（2023秋·江苏苏州·八年级苏州中学校考期末）若，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．0
【答案】B
【分析】根据立方根的定义求解即可．
【详解】∵，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查求一个数的立方根．掌握如果，那么x叫做a的立方根是解题关键．
3．（2023春·江苏·八年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）面积为2的正方形的边长在（ ）
A．0和之间 B．和1之间 C．1和之间 D．和2之间
【答案】C
【分析】面积为2的正方形边长是2的算术平方根，估算的大小即可解答．
【详解】解：面积为2的正方形的边长是，
，，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是估算的大小．
4．（2023秋·江苏扬州·八年级统考期末）下列实数，，，，，中无理数的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】根据无理数的定义，“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可．
【详解】解：在，，，，，中，
，， ，是有理数，， ，是无理数，共3个，
故选：B
【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，无理数，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数．
5．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知，则的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性，得出，解之得出、、的值，再把、、的值代入计算，得出的值，再根据相反数的定义，即可得出答案．
【详解】解：在中，
∵，，，，
∴可得：，
解得：，
∴，
∴的相反数是．
故选：B
【点睛】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性、解三元一次方程组、求代数式的值、相反数，解本题的关键在得出、、的值．
6．（2023秋·江苏淮安·八年级统考期末）下列各式中计算正确的是：（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平方根、立方根的运算及性质逐个判断即可．
【详解】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D错误．
故答案为：C．
【点睛】本题考查了平方根、立方根的运算及性质，解题的关键是熟记运算性质．
7．（2023秋·江苏扬州·八年级统考期末）16的算术平方根是（ ）
A．±8 B．±4 C．4 D．－4
【答案】C
【分析】根据算术平方根的定义求解即可．
【详解】解：16的算术平方根是4．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了求一个数的算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题关键．
8．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知x，y为实数，且满足，则的值为（ ）
A．4 B．6 C．9 D．16
【答案】C
【分析】根据算术平方根非负求出，由此得到y的值，再进行计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】此题考查了算术平方根非负，幂的运算等知识，根据算术平方根非负求出，是解题的关键．
9．（2023春·江苏·八年级专题练习）若a、b、c为三角形的三条边，则+|b-a-c|=( ).
A．2b-2c B．2a C．2 D．2a-2c
【答案】B
【分析】根据三角形的三边关系可知，，再利用算术平方根和绝对值非负性进行化简即可解答.
【详解】根据三角形的三边关系可知，
∴
∴
故选B
【点睛】本题考点涉及三角形的三边关系，算术平方根和绝对值的非负性以及化简，熟练掌握相关知识点是解题关键.
10．（2023春·江苏·八年级专题练习）在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】B
【分析】根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积．
【详解】∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等，
∴重叠部分也为正方形，
∵空白部分的面积为2﹣6，
∴一个空白长方形面积=，
∵大正方形面积为12，重叠部分面积为3，
∴大正方形边长=，重叠部分边长=，
∴空白部分的长=，
设空白部分宽为x，可得：，解得：x=，
∴小正方形的边长=空白部分的宽+阴影部分边长=，
∴小正方形面积==10，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键．
二、填空题
11．（2023秋·江苏南京·八年级统考期末）计算：______．
【答案】
【分析】根据算术平方根和立方根的性质，即可求解．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握算术平方根和立方根的性质是解题的关键．
12．（2023秋·江苏南京·八年级校联考期末）实数的算术平方根是_______________．
【答案】
【分析】根据算术平方根的意义可求．
【详解】解：∵，
∴的算术平方根为，
故答案为.
【点睛】本题主要考查了算术平方根的概念．如果x2＝a（a≥0），则x是a的平方根．若a＞0，则它有两个平方根，我们把正的平方根叫a的算术平方根；若a＝0，则它有一个平方根，即0的平方根是0，0的算术平方根也是0；负数没有平方根．
13．（2023秋·江苏宿迁·八年级统考期末）计算：＝_______
【答案】3
【分析】根据算术平方根的定义计算即可．
【详解】解：．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了算术平方根，掌握算术平方根的求法是解答本题的关键．
14．（2023秋·江苏泰州·八年级校考期中）已知实数、满足，则的值为______________．
【答案】16
【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：∵，
∴，，
解得，，
∴．
故答案为：16．
【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
15．（2023春·江苏·八年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）如图，矩形中，两个小正方形的面积分别为、，若，，则图中阴影部分面积为__________．
【答案】4
【分析】根据算术平方根的定义求出两个小正方形的边长，再根据平移求出两个部分阴影平移到一起的矩形的长和宽，然后列式计算即可得解．
【详解】解：∵，，
∴两个小正方形的边长分别为，
∴两个部分阴影平移到一起的矩形的长为2，宽为，
∴阴影部分的面积
故答案为：4
【点睛】本题考查了矩形的性质，算术平方根的定义，利用平移的思想求解是解题的关键．
16．（2023春·江苏扬州·八年级校考阶段练习）若，则的值为_____
【答案】1或
【分析】先根据完全平方公式得到，进而求出，由此即可得到答案．
【详解】解：∵
∴，
∴，
∴或，
故答案为：1或．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，求一个数的平方根，正确求出是解题的关键．
17．（2023秋·江苏徐州·八年级校考期末）若和是一个正数x的两个平方根，则________．
【答案】9
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程求出a的值，即可求得这个正数.
【详解】解：∵和是一个正数x的两个平方根，
∴=0，
解得： ，
∴，
∴，
故答案为：9
【点睛】本题考查的知识点：（1）一个正数的两个平方根互为相反数；（2）互为相反数的两个数的和为0.
18．（2023春·江苏·八年级开学考试）如图，将五个边长为1的小正方形组成的十字形纸板剪开，重新拼成一个大正方形，则大正方形的边长为______．
【答案】
【分析】依题意补全图形，利用剪拼前后的图形面积相等，得出大正方形的面积即可．
【详解】解：如下图，
由剪拼可知，5个小正方形的面积之和等于拼成的一个大正方形的面积，
∵5个小正方形的总面积为5，
∴大正方形的面积为5，
∴大正方形的边长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是根据题意补全图形．
19．（2023秋·江苏苏州·八年级期中）若，都为实数，且，则______．
【答案】
【分析】根据绝对值和算术平方根的非负数的性质，可求出x、y的值，然后代入代数式计算．
【详解】解：根据题意得： ，
解得，
则．
故答案是：．
【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
20．（2023春·江苏·八年级专题练习）观察下列各式：
＝＝＝2，即＝2
＝＝＝3，即＝3，那么＝_____．
【答案】n．
【分析】根据已知等式，可以得出规律，猜想出第n个等式，写出推导过程即可．
【详解】解：＝n．
故答案为：n．
【点睛】此题主要考查了平方根的性质，利用已知得出数字之间的规律是解决问题的关键．
三、解答题
21．（2023秋·江苏淮安·八年级统考期末）求下列各式中的x．
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)，
(2)，
(3)
【分析】（1）根据平方根的定义解方程即可；
（2）根据平方根的定义解方程即可；
（3）根据立方根的定义解方程即可
【详解】（1）解：方程变形得，
根据平方根的定义，得，
解得；
（2）解：根据平方根的定义，得
即或
∴；
（3）解：方程变形得，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平方根、立方根，理解平方根、立方根的定义，熟知一个正数的平方根有两个，且互为相反数是解答的关键．
22．（2023春·江苏·八年级专题练习）计算：．
【答案】
【分析】先化简算术平方根、零次幂及绝对值与负整数指数幂，然后计算加减法即可．
【详解】解：
．
【点睛】题目主要考查算术平方根、零次幂及绝对值与负整数指数幂的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
23．（2023春·江苏·八年级专题练习）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空物体自由下落到地面的时间（单位：s）和高度（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响，）．已知一幢大楼高，若一颗鸡蛋从楼顶自由落下，求落到地面所用时间．
【答案】4s
【分析】把代入公式，即可求解．
【详解】解：将代入公式，
得：
答：落到地面所用时间为．
【点睛】本题主要考查了利用算术平方根解决实际问题，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键．
24．（2023秋·江苏宿迁·八年级统考期末）已知某正数的两个不同的平方根是和；的立方根为－3．
(1)求a、b的值：
(2)求的平方根．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数即可求得的值；根据立方根的定义求得的值，
（2）将（1）的结果代入代数式，进而再求得代数式的平方根即可．
【详解】（1）某正数的两个不同的平方根是和；
+
解得
的立方根为－3
解得
（2）
的平方根是
【点睛】本题考查了求一个数的平方根，立方根的定义，代数式求值，掌握一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根．
25．（2023秋·江苏南通·八年级校联考期末）已知：为实数，且，化简：．
【答案】-1.
【分析】根据所给的已知式子，由二次根式有意义的条件，可求x取值范围，得到x，然后求出y的取值范围，然后根据二次根式的性质求解即可.
【详解】由题意可知: 且
26．（2023秋·江苏宿迁·八年级统考期末）概念生成
我们把两个具有公共底边的等腰三角形称为同底等腰三角形，公共的这条底边称为针准线，称这两个等腰三角形的顶角顶点关于针准线互为穿针点，互为穿针点的两个顶角顶点的连线称为穿针线，若再满足两个顶角的和为，则称这两个顶角顶点关于针准线互为补角穿针点．
例：如图1，四边形中，，，则与称为同底等腰三角形，公共底边称为针准线，顶角顶点与点关于互为穿针点；当时，则称点与点关于互为补角穿针点．
概念理解
（1）下列说法正确的有______．
①同底等腰三角形的穿针线垂直平分针准线．
②如果同底等腰三角形的两个顶角顶点关于针准线互为补角穿针点，则其中一个等腰三角形的腰必垂直于另一个等腰三角形中具有公共端点的腰．
③在图1中，与点C关于互为补角穿针点的点有无数个．
（2）如图2，，，，则点A与点______关于互为穿针点．
知识应用
（3）在长方形中，，．如图3，点在边上，点在边上，如果点和点关于针准线互为补角穿针点，求针准线的长．
思维探究
（4）如图4，中，，，点D是平面内一点，如果点C与点D关于针准线互为补角穿针点，求的长．
【答案】（1）①；（2）或点；（3）；（4）的长为或
【分析】（1）运用针准线和互为补角穿针点的定义，即可得出答案；
（2）根据“穿针点”的定义，即可得出答案；
（3）由矩形性质可得：，，，再由互为补角穿针点的定义可得，再运用勾股定理即可得出答案；
（4）连接交于点，利用勾股定理可得，当点与点在的异侧时，由，即，可得，利用勾股定理可得；当点与点在的同侧时，可求得．
【详解】解：（1）①同底等腰三角形的两个顶点均在底边的垂直平分线上，故同底等腰三角形的穿针线垂直平分针准线是正确的，
②如果同底等腰三角形的两个顶角顶点关于针准线互为补角穿针点，当这两个顶点位于针准线的同侧时，则其中一个等腰三角形的腰与另一个等腰三角形中具有公共端点的腰不垂直，故结论②不正确．
③在图1中，与点关于互为补角穿针点的点有2个，故结论③不正确；
故答案为：①．
（2）根据“穿针点”的定义可知：点与点、点与点均关于互为穿针点，
故答案为：或点；
（3）四边形是长方形，
，，，
如图，点和点关于针准线互为补角穿针点，
，
在中，，
，
在中，；
（4）连接交于点，
点与点关于针准线互为补角穿针点，
，，，
在中，，，
，
当点与点在的异侧时，如图，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，即，
，
设，且，则，
，
，
整理得：，
，
；
当点与点在的同侧时，如图，
，
；
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查了等腰三角形性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形面积等，理解新定义并运用新定义是解题关键．
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