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高考数学真题分项汇编三年（2021-2023）（全国通用）专题12+数列
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这是一份高考数学真题分项汇编三年（2021-2023）（全国通用）专题12+数列，文件包含专题12数列全国通用解析版docx、专题12数列全国通用原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。
专题12数列
知识点目录
知识点1：等差数列基本量运算
知识点2：等比数列基本量运算
知识点3：数列的实际应用
知识点4：数列的最值问题
知识点5：数列的递推问题（蛛网图问题）
知识点6：等差数列与等比数列的综合应用
知识点7：数列新定义问题
知识点8：数列通项与求和问题
知识点9：数列不等式
近三年高考真题
知识点1：等差数列基本量运算
1．（2023•甲卷（文））记为等差数列的前项和．若，，则
A．25 B．22 C．20 D．15
【答案】
【解析】等差数列中，，
所以，
，
故，
则，，
则．
故选：．
2．（2022•乙卷（文））记为等差数列的前项和．若，则公差 ．
【答案】2．
【解析】，
，
为等差数列，
，
，解得．
故答案为：2．
3．（2022•上海）已知等差数列的公差不为零，为其前项和，若，则，2，，中不同的数值有 个．
【答案】98．
【解析】等差数列的公差不为零，为其前项和，，
，解得，
，
，，1，，中，
，，
其余各项均不相等，
，，中不同的数值有：．
故答案为：98．
4．（2023•新高考Ⅰ）设等差数列的公差为，且．令，记，分别为数列，的前项和．
（1）若，，求的通项公式；
（2）若为等差数列，且，求．
【解析】（1），，
根据题意可得，
，
，又，
解得，，
，；
（2）为等差数列，为等差数列，且，
根据等差数列的通项公式的特点，可设，则，且；
或设，则，且，
①当，，时，
则，
，，又，
解得；
②当，，时，
则，
，，又，
此时无解，
综合可得．
5．（2021•新高考Ⅱ）记是公差不为0的等差数列的前项和，若，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求使成立的的最小值．
【解析】（Ⅰ）数列是公差不为0的等差数列的前项和，若，．
根据等差数列的性质，，故，
根据可得，
整理得，可得不合题意），
故．
（Ⅱ），，
，
，即，
整理可得，
当或时，成立，
由于为正整数，
故的最小正值为7．
6．（2021•甲卷（理））已知数列的各项均为正数，记为的前项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等差数列；②数列是等差数列；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【解析】选择①③为条件，②结论．
证明过程如下：
由题意可得：，，
数列的前项和：，
故，
据此可得数列 是等差数列．
选择①②为条件，③结论：
设数列的公差为，则：
，
数列 为等差数列，则：，
即：，整理可得：，．
选择③②为条件，①结论：
由题意可得：，，
则数列 的公差为，
通项公式为：，
据此可得，当时，，
当时上式也成立，故数列的通项公式为：，
由，可知数列是等差数列．
7．（2023•乙卷（文））记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【解析】（1）在等差数列中，，．
，即，
得，，
则．
（2），
即时，，
当时，，
当时，数列的前项和，
当时，数列的前项和．
8．（2021•甲卷（文））记为数列的前项和，已知，，且数列是等差数列，证明：是等差数列．
【解析】证明：设等差数列的公差为，
由题意得；，
则，所以，
所以①；
当时，有②．
由①②，得③，
经检验，当时也满足③．
所以，，
当时，，
所以数列是等差数列．
知识点2：等比数列基本量运算
9．（2022•乙卷（文））已知等比数列的前3项和为168，，则
A．14 B．12 C．6 D．3
【答案】
【解析】设等比数列的公比为，，由题意，．
前3项和为，，
，，
则，
故选：．
10．（2021•甲卷（文））记为等比数列的前项和．若，，则
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】
【解析】为等比数列的前项和，，，
由等比数列的性质，可知，，成等比数列，
，2，成等比数列，
，解得．
故选：．
11．（2023•甲卷（文））记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ．
【答案】．
【解析】等比数列中，，
则，
所以，
解得．
故答案为：．
12．（2021•上海）已知为无穷等比数列，，的各项和为9，，则数列的各项和为 ．
【答案】．
【解析】设的公比为，
由，的各项和为9，可得，
解得，
所以，
，
可得数列是首项为2，公比为的等比数列，
则数列的各项和为．
故答案为：．
13．（2023•乙卷（理））已知为等比数列，，，则 ．
【答案】．
【解析】等比数列，
，解得，
而，可得，
即，
．
故答案为：．
14．（2021•甲卷（理））等比数列的公比为，前项和为．设甲：，乙：是递增数列，则
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】
【解析】若，，则，则是递减数列，不满足充分性；
，
则，
，
若是递增数列，
，
则，，
满足必要性，
故甲是乙的必要条件但不是充分条件，
故选：．
15．（2023•天津）已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为
A．3 B．18 C．54 D．152
【答案】
【解析】因为为等比数列，，
所以，，
由等比数列的性质可得，，
即，
所以或（舍，
所以，，
则．
故选：．
16．（2023•甲卷（理））已知等比数列中，，为前项和，，则
A．7 B．9 C．15 D．30
【答案】
【解析】等比数列中，设公比为，
，为前项和，，显然，
（如果，可得矛盾，如果，可得矛盾），
可得，
解得，即或，
所以当时，．
当时，．没有选项．
故选：．
17．（2022•上海）已知等比数列的前项和为，前项积为，则下列选项判断正确的是
A．若，则数列是递增数列
B．若，则数列是递增数列
C．若数列是递增数列，则
D．若数列是递增数列，则
【答案】
【解析】如果数列，公比为，满足，但是数列不是递增数列，所以不正确；
如果数列，公比为，满足，但是数列不是递增数列，所以不正确；
如果数列，公比为，，数列是递增数列，但是，所以不正确；
数列是递增数列，可知，可得，所以，可得正确，所以正确；
故选：．
18．（2023•新高考Ⅱ）记为等比数列的前项和，若，，则
A．120 B．85 C． D．
【答案】
【解析】等比数列中，，，显然公比，
设首项为，则①，②，
化简②得，解得或（不合题意，舍去），
代入①得，
所以．
故选：．
知识点3：数列的实际应用
19．（2022•新高考Ⅱ）图1是中国古代建筑中的举架结构，，，，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中，，，是举，，，，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为，，，．已知，，成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
【答案】
【解析】设，则，，，
由题意得：，，
且，
解得，
故选：．
20．（2021•北京）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种．这五种规格党旗的长，，，， （单位： 成等差数列，对应的宽为，，，，（单位：，且长与宽之比都相等．已知，，，则
A．64 B．96 C．128 D．160
【答案】
【解析】和是两个等差数列，且是常值，由于，，
故，
由于
所以．
另，解得：
故：．
故选：．
知识点4：数列的最值问题
21．（2021•北京）已知是各项为整数的递增数列，且，若，则的最大值为
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】
【解析】数列是递增的整数数列，
要取最大，递增幅度尽可能为小的整数，
假设递增的幅度为1，
，
，
则，
当时，，，
，即可继续增大，非最大值，
当时，，，
，不满足题意，
即为最大值．
故选：．
22．（2021•上海）已知，2，，对任意的，或中有且仅有一个成立，，，则的最小值为 ．
【答案】31．
【解析】设，由题意可得，，恰有一个为1，
如果，那么，，，，
同样也有，，，，，
全部加起来至少是；
如果，那么，，，
同样也有，，，，，
全部加起来至少是，
综上所述，最小应该是31．
故答案为：31．
知识点5：数列的递推问题（蛛网图问题）
23．（2023•北京）数列满足，下列说法正确的是
A．若，则是递减数列，，使得时，
B．若，则是递增数列，，使得时，
C．若，则是递减数列，，使得时，
D．若，则是递增数列，，使得时，
【答案】
【解析】对原式进行变形，得，
当，则，，
设，则，所以是递减数列，
当，，错误，同理可证明错误，
当，则，即，又因为，所以，
假设，则，即，又因为，所以，
所以当，，正确，
对于，当，代入进去很明显不是递减数列，错误，
故选：．
24．（2022•浙江）已知数列满足，，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，
为递减数列，
又，且，
，
又，则，
，
，
，则，
；
由得，得，
累加可得，，
，
；
综上，．
故选：．
25．（2021•浙江）已知数列满足，．记数列的前项和为，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】因为，所以，所以，
，
，故，
由累加法可得当 时，
，
又因为当 时， 也成立，所以，
所以，
，故，
由累乘法可得当 时，，
所以．
另设，，，可得在递增，接下来运用待定系数法估计的上下界，设，则探索也满足上界的条件．
．
在此条件下，有，
注意到，取，，从而，此时可得．
故选：．
知识点6：等差数列与等比数列的综合应用
26．（2023•新高考Ⅰ）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】
【解析】若是等差数列，设数列的首项为，公差为，
则，
即，
故为等差数列，
即甲是乙的充分条件．
反之，若为等差数列，则可设，
则，即，
当时，有，
上两式相减得：，
当时，上式成立，所以，
则（常数），
所以数列为等差数列．
即甲是乙的必要条件．
综上所述，甲是乙的充要条件．
故本题选：．
27．（2022•天津）设是等差数列，是等比数列，且．
（1）求与的通项公式；
（2）设的前项和为，求证：；
（3）求．
【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
，
，，
解得，
，．
（2）证明：，
要证明，
即证明，
即证明，
即证明，
由数列的通项公式和前项和的关系得：，
．
（3）
，
设．
则，①
，②
①②，得：
，
，
．
28．（2022•浙江）已知等差数列的首项，公差．记的前项和为．
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若对于每个，存在实数，使，，成等比数列，求的取值范围．
【解析】（Ⅰ）因为等差数列的首项，公差，
因为，可得，即，
，即，
整理可得：，解得，
所以，
即；
（Ⅱ）因为对于每个，存在实数，使，，成等比数列，
则，，
整理可得：，则△恒成立在，
整理可得，
当时，可得或，而，
所以的范围为；
时，不等式变为，解得，而，
所以此时，，
当时，，则符合要求，
综上所述，对于每个，的取值范围为，，使，，成等比数列．
29．（2022•新高考Ⅱ）已知是等差数列，是公比为2的等比数列，且．
（1）证明：；
（2）求集合，中元素的个数．
【解析】（1）证明：设等差数列的公差为，
由，得，则，
由，得，
即，
．
（2）由（1）知，，
由知，，
，即，
又，故，则，
故集合，中元素个数为9个．
30．（2022•甲卷（文））记为数列的前项和．已知．
（1）证明：是等差数列；
（2）若，，成等比数列，求的最小值．
【解析】（1）证明：由已知有：①，
把换成，②，
②①可得：，
整理得：，
由等差数列定义有为等差数列；
（2）由已知有，设等差数列的首项为，由（1）有其公差为1，
故，解得，故，
所以，
故可得：，，，
故在或者时取最小值，，
故的最小值为．
31．（2021•乙卷（文））设是首项为1的等比数列，数列满足，已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前项和．证明：．
【解析】（1），，成等差数列，，
是首项为1的等比数列，设其公比为，
则，，
，
．
（2）证明：由（1）知，，
，
，①
，②
①②得，，
，
，
．
知识点7：数列新定义问题
32．（多选题）（2021•新高考Ⅱ）设正整数，其中，，记，则
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】，，对；
当时，，（7）．
，（2），（7）（2），错；
，
．
，
．对；
，，对．
故选：．
知识点8：数列通项与求和问题
33．（2023•北京）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则 ，数列的所有项的和为 ．
【答案】48；384．
【解析】数列的后7项成等比数列，，
，
，
公比．
，
又该数列的前3项成等差数列，
数列的所有项的和为．
故答案为：48；384．
34．（2021•新高考Ⅰ）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推．则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ，如果对折次，那么
【答案】5；．
【解析】易知有，，共5种规格；
由题可知，对折次共有种规格，且面积为，故，
则，记，则，
，
，
．
故答案为：5；．
35．（2023•天津）已知是等差数列，，．
（Ⅰ）求的通项公式和；
（Ⅱ）已知为等比数列，对于任意，若，则．
当时，求证：；
求的通项公式及其前项和．
【解析】（Ⅰ）是等差数列，，．
，得，，
则的通项公式，
中的首项为，项数为，
则．
（Ⅱ），，，
即，
当时，．
，且，
即，
综上，
即成立．
成立，
为等比数列，设公比为，
当时，，，
则，
即，
即，
当，，，
，
时，，
，
即，
即，
当，，，
则，
则，即的通项公式为，
则的其前项和．
36．（2023•甲卷（理））已知数列中，，设为前项和，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【解析】（1）当时，，解得，
当时，，
，，
当时，可得，
，
当或时，，适合上式，
的通项公式为；
（2）由（1）可得，
，，
，
．
37．（2021•乙卷（理））记为数列的前项和，为数列的前项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）求的通项公式．
【解析】（1）证明：当时，，
由，解得，
当时，，代入，
消去，可得，所以，
所以是以为首项，为公差的等差数列．
（2）由题意，得，
由（1），可得，
由，可得，
当时，，显然不满足该式，
所以．
38．（2021•新高考Ⅰ）已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和．
【解析】（1）因为，，
所以，，，
所以，，
，，
所以数列是以为首项，以3为公差的等差数列，
所以．
另由题意可得，，
其中，，
于是，．
（2）由（1）可得，，
则，，
当时，也适合上式，
所以，，
所以数列的奇数项和偶数项分别为等差数列，
则的前20项和为．
知识点9：数列不等式
39．（2023•新高考Ⅱ）已知为等差数列，，记，为，的前项和，，．
（1）求的通项公式；
（2）证明：当时，．
【解析】（1）设等差数列的公差为，
，为的前项和，，，
则，即，解得，
故；
（2）证明：由（1）可知，，
，
当为偶数时，，
，
，
当为奇数时，，，
，
故原式得证．
40．（2022•新高考Ⅰ）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
【解析】（1）已知，是公差为的等差数列，
所以，整理得，①，
故当时，，②，
①②得：，
故，
化简得：，，，，；
所以，
故（首项符合通项）．
所以．
证明：（2）由于，
所以，
所以．
41．（2021•天津）已知数列是公差为2的等差数列，其前8项的和为64．数列是公比大于0的等比数列，，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）记，．
证明：是等比数列；
证明：．
【解析】证明：（1）由数列是公差为2的等差数列，其前8项的和为64，
可得，解得，
所以，；
由数列是公比大于0的等比数列，，，
可得，解得舍去），
所以，；
（2）证明：因为，，
所以，
则
，
所以，
又，
所以数列是以8为首项，4为公比的等比数列；
证明：设，
考虑，则，
所以，
则，
两式相减可得，，
所以，
则，
故．
42．（2021•浙江）已知数列的前项和为，，且．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足，记的前项和为，若对任意恒成立，
求实数的取值范围．
【解析】（Ⅰ）由 可得，
两式作差，可得：，
，
很明显，，
所以数列 是以为首项，为公比的等比数列，
其通项公式为：．
（Ⅱ）由，得，
，
，
两式作差可得：
，
则．
据此可得 恒成立，即 恒成立．
时不等式成立；
时，，由于时，故；
时，，而，故：；
综上可得，．
专题12数列
知识点目录
知识点1：等差数列基本量运算
知识点2：等比数列基本量运算
知识点3：数列的实际应用
知识点4：数列的最值问题
知识点5：数列的递推问题（蛛网图问题）
知识点6：等差数列与等比数列的综合应用
知识点7：数列新定义问题
知识点8：数列通项与求和问题
知识点9：数列不等式
近三年高考真题
知识点1：等差数列基本量运算
1．（2023•甲卷（文））记为等差数列的前项和．若，，则
A．25 B．22 C．20 D．15
【答案】
【解析】等差数列中，，
所以，
，
故，
则，，
则．
故选：．
2．（2022•乙卷（文））记为等差数列的前项和．若，则公差 ．
【答案】2．
【解析】，
，
为等差数列，
，
，解得．
故答案为：2．
3．（2022•上海）已知等差数列的公差不为零，为其前项和，若，则，2，，中不同的数值有 个．
【答案】98．
【解析】等差数列的公差不为零，为其前项和，，
，解得，
，
，，1，，中，
，，
其余各项均不相等，
，，中不同的数值有：．
故答案为：98．
4．（2023•新高考Ⅰ）设等差数列的公差为，且．令，记，分别为数列，的前项和．
（1）若，，求的通项公式；
（2）若为等差数列，且，求．
【解析】（1），，
根据题意可得，
，
，又，
解得，，
，；
（2）为等差数列，为等差数列，且，
根据等差数列的通项公式的特点，可设，则，且；
或设，则，且，
①当，，时，
则，
，，又，
解得；
②当，，时，
则，
，，又，
此时无解，
综合可得．
5．（2021•新高考Ⅱ）记是公差不为0的等差数列的前项和，若，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求使成立的的最小值．
【解析】（Ⅰ）数列是公差不为0的等差数列的前项和，若，．
根据等差数列的性质，，故，
根据可得，
整理得，可得不合题意），
故．
（Ⅱ），，
，
，即，
整理可得，
当或时，成立，
由于为正整数，
故的最小正值为7．
6．（2021•甲卷（理））已知数列的各项均为正数，记为的前项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等差数列；②数列是等差数列；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【解析】选择①③为条件，②结论．
证明过程如下：
由题意可得：，，
数列的前项和：，
故，
据此可得数列 是等差数列．
选择①②为条件，③结论：
设数列的公差为，则：
，
数列 为等差数列，则：，
即：，整理可得：，．
选择③②为条件，①结论：
由题意可得：，，
则数列 的公差为，
通项公式为：，
据此可得，当时，，
当时上式也成立，故数列的通项公式为：，
由，可知数列是等差数列．
7．（2023•乙卷（文））记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【解析】（1）在等差数列中，，．
，即，
得，，
则．
（2），
即时，，
当时，，
当时，数列的前项和，
当时，数列的前项和．
8．（2021•甲卷（文））记为数列的前项和，已知，，且数列是等差数列，证明：是等差数列．
【解析】证明：设等差数列的公差为，
由题意得；，
则，所以，
所以①；
当时，有②．
由①②，得③，
经检验，当时也满足③．
所以，，
当时，，
所以数列是等差数列．
知识点2：等比数列基本量运算
9．（2022•乙卷（文））已知等比数列的前3项和为168，，则
A．14 B．12 C．6 D．3
【答案】
【解析】设等比数列的公比为，，由题意，．
前3项和为，，
，，
则，
故选：．
10．（2021•甲卷（文））记为等比数列的前项和．若，，则
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】
【解析】为等比数列的前项和，，，
由等比数列的性质，可知，，成等比数列，
，2，成等比数列，
，解得．
故选：．
11．（2023•甲卷（文））记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ．
【答案】．
【解析】等比数列中，，
则，
所以，
解得．
故答案为：．
12．（2021•上海）已知为无穷等比数列，，的各项和为9，，则数列的各项和为 ．
【答案】．
【解析】设的公比为，
由，的各项和为9，可得，
解得，
所以，
，
可得数列是首项为2，公比为的等比数列，
则数列的各项和为．
故答案为：．
13．（2023•乙卷（理））已知为等比数列，，，则 ．
【答案】．
【解析】等比数列，
，解得，
而，可得，
即，
．
故答案为：．
14．（2021•甲卷（理））等比数列的公比为，前项和为．设甲：，乙：是递增数列，则
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】
【解析】若，，则，则是递减数列，不满足充分性；
，
则，
，
若是递增数列，
，
则，，
满足必要性，
故甲是乙的必要条件但不是充分条件，
故选：．
15．（2023•天津）已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为
A．3 B．18 C．54 D．152
【答案】
【解析】因为为等比数列，，
所以，，
由等比数列的性质可得，，
即，
所以或（舍，
所以，，
则．
故选：．
16．（2023•甲卷（理））已知等比数列中，，为前项和，，则
A．7 B．9 C．15 D．30
【答案】
【解析】等比数列中，设公比为，
，为前项和，，显然，
（如果，可得矛盾，如果，可得矛盾），
可得，
解得，即或，
所以当时，．
当时，．没有选项．
故选：．
17．（2022•上海）已知等比数列的前项和为，前项积为，则下列选项判断正确的是
A．若，则数列是递增数列
B．若，则数列是递增数列
C．若数列是递增数列，则
D．若数列是递增数列，则
【答案】
【解析】如果数列，公比为，满足，但是数列不是递增数列，所以不正确；
如果数列，公比为，满足，但是数列不是递增数列，所以不正确；
如果数列，公比为，，数列是递增数列，但是，所以不正确；
数列是递增数列，可知，可得，所以，可得正确，所以正确；
故选：．
18．（2023•新高考Ⅱ）记为等比数列的前项和，若，，则
A．120 B．85 C． D．
【答案】
【解析】等比数列中，，，显然公比，
设首项为，则①，②，
化简②得，解得或（不合题意，舍去），
代入①得，
所以．
故选：．
知识点3：数列的实际应用
19．（2022•新高考Ⅱ）图1是中国古代建筑中的举架结构，，，，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中，，，是举，，，，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为，，，．已知，，成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
【答案】
【解析】设，则，，，
由题意得：，，
且，
解得，
故选：．
20．（2021•北京）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种．这五种规格党旗的长，，，， （单位： 成等差数列，对应的宽为，，，，（单位：，且长与宽之比都相等．已知，，，则
A．64 B．96 C．128 D．160
【答案】
【解析】和是两个等差数列，且是常值，由于，，
故，
由于
所以．
另，解得：
故：．
故选：．
知识点4：数列的最值问题
21．（2021•北京）已知是各项为整数的递增数列，且，若，则的最大值为
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】
【解析】数列是递增的整数数列，
要取最大，递增幅度尽可能为小的整数，
假设递增的幅度为1，
，
，
则，
当时，，，
，即可继续增大，非最大值，
当时，，，
，不满足题意，
即为最大值．
故选：．
22．（2021•上海）已知，2，，对任意的，或中有且仅有一个成立，，，则的最小值为 ．
【答案】31．
【解析】设，由题意可得，，恰有一个为1，
如果，那么，，，，
同样也有，，，，，
全部加起来至少是；
如果，那么，，，
同样也有，，，，，
全部加起来至少是，
综上所述，最小应该是31．
故答案为：31．
知识点5：数列的递推问题（蛛网图问题）
23．（2023•北京）数列满足，下列说法正确的是
A．若，则是递减数列，，使得时，
B．若，则是递增数列，，使得时，
C．若，则是递减数列，，使得时，
D．若，则是递增数列，，使得时，
【答案】
【解析】对原式进行变形，得，
当，则，，
设，则，所以是递减数列，
当，，错误，同理可证明错误，
当，则，即，又因为，所以，
假设，则，即，又因为，所以，
所以当，，正确，
对于，当，代入进去很明显不是递减数列，错误，
故选：．
24．（2022•浙江）已知数列满足，，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，
为递减数列，
又，且，
，
又，则，
，
，
，则，
；
由得，得，
累加可得，，
，
；
综上，．
故选：．
25．（2021•浙江）已知数列满足，．记数列的前项和为，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】因为，所以，所以，
，
，故，
由累加法可得当 时，
，
又因为当 时， 也成立，所以，
所以，
，故，
由累乘法可得当 时，，
所以．
另设，，，可得在递增，接下来运用待定系数法估计的上下界，设，则探索也满足上界的条件．
．
在此条件下，有，
注意到，取，，从而，此时可得．
故选：．
知识点6：等差数列与等比数列的综合应用
26．（2023•新高考Ⅰ）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】
【解析】若是等差数列，设数列的首项为，公差为，
则，
即，
故为等差数列，
即甲是乙的充分条件．
反之，若为等差数列，则可设，
则，即，
当时，有，
上两式相减得：，
当时，上式成立，所以，
则（常数），
所以数列为等差数列．
即甲是乙的必要条件．
综上所述，甲是乙的充要条件．
故本题选：．
27．（2022•天津）设是等差数列，是等比数列，且．
（1）求与的通项公式；
（2）设的前项和为，求证：；
（3）求．
【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
，
，，
解得，
，．
（2）证明：，
要证明，
即证明，
即证明，
即证明，
由数列的通项公式和前项和的关系得：，
．
（3）
，
设．
则，①
，②
①②，得：
，
，
．
28．（2022•浙江）已知等差数列的首项，公差．记的前项和为．
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若对于每个，存在实数，使，，成等比数列，求的取值范围．
【解析】（Ⅰ）因为等差数列的首项，公差，
因为，可得，即，
，即，
整理可得：，解得，
所以，
即；
（Ⅱ）因为对于每个，存在实数，使，，成等比数列，
则，，
整理可得：，则△恒成立在，
整理可得，
当时，可得或，而，
所以的范围为；
时，不等式变为，解得，而，
所以此时，，
当时，，则符合要求，
综上所述，对于每个，的取值范围为，，使，，成等比数列．
29．（2022•新高考Ⅱ）已知是等差数列，是公比为2的等比数列，且．
（1）证明：；
（2）求集合，中元素的个数．
【解析】（1）证明：设等差数列的公差为，
由，得，则，
由，得，
即，
．
（2）由（1）知，，
由知，，
，即，
又，故，则，
故集合，中元素个数为9个．
30．（2022•甲卷（文））记为数列的前项和．已知．
（1）证明：是等差数列；
（2）若，，成等比数列，求的最小值．
【解析】（1）证明：由已知有：①，
把换成，②，
②①可得：，
整理得：，
由等差数列定义有为等差数列；
（2）由已知有，设等差数列的首项为，由（1）有其公差为1，
故，解得，故，
所以，
故可得：，，，
故在或者时取最小值，，
故的最小值为．
31．（2021•乙卷（文））设是首项为1的等比数列，数列满足，已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前项和．证明：．
【解析】（1），，成等差数列，，
是首项为1的等比数列，设其公比为，
则，，
，
．
（2）证明：由（1）知，，
，
，①
，②
①②得，，
，
，
．
知识点7：数列新定义问题
32．（多选题）（2021•新高考Ⅱ）设正整数，其中，，记，则
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】，，对；
当时，，（7）．
，（2），（7）（2），错；
，
．
，
．对；
，，对．
故选：．
知识点8：数列通项与求和问题
33．（2023•北京）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则 ，数列的所有项的和为 ．
【答案】48；384．
【解析】数列的后7项成等比数列，，
，
，
公比．
，
又该数列的前3项成等差数列，
数列的所有项的和为．
故答案为：48；384．
34．（2021•新高考Ⅰ）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推．则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ，如果对折次，那么
【答案】5；．
【解析】易知有，，共5种规格；
由题可知，对折次共有种规格，且面积为，故，
则，记，则，
，
，
．
故答案为：5；．
35．（2023•天津）已知是等差数列，，．
（Ⅰ）求的通项公式和；
（Ⅱ）已知为等比数列，对于任意，若，则．
当时，求证：；
求的通项公式及其前项和．
【解析】（Ⅰ）是等差数列，，．
，得，，
则的通项公式，
中的首项为，项数为，
则．
（Ⅱ），，，
即，
当时，．
，且，
即，
综上，
即成立．
成立，
为等比数列，设公比为，
当时，，，
则，
即，
即，
当，，，
，
时，，
，
即，
即，
当，，，
则，
则，即的通项公式为，
则的其前项和．
36．（2023•甲卷（理））已知数列中，，设为前项和，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【解析】（1）当时，，解得，
当时，，
，，
当时，可得，
，
当或时，，适合上式，
的通项公式为；
（2）由（1）可得，
，，
，
．
37．（2021•乙卷（理））记为数列的前项和，为数列的前项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）求的通项公式．
【解析】（1）证明：当时，，
由，解得，
当时，，代入，
消去，可得，所以，
所以是以为首项，为公差的等差数列．
（2）由题意，得，
由（1），可得，
由，可得，
当时，，显然不满足该式，
所以．
38．（2021•新高考Ⅰ）已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和．
【解析】（1）因为，，
所以，，，
所以，，
，，
所以数列是以为首项，以3为公差的等差数列，
所以．
另由题意可得，，
其中，，
于是，．
（2）由（1）可得，，
则，，
当时，也适合上式，
所以，，
所以数列的奇数项和偶数项分别为等差数列，
则的前20项和为．
知识点9：数列不等式
39．（2023•新高考Ⅱ）已知为等差数列，，记，为，的前项和，，．
（1）求的通项公式；
（2）证明：当时，．
【解析】（1）设等差数列的公差为，
，为的前项和，，，
则，即，解得，
故；
（2）证明：由（1）可知，，
，
当为偶数时，，
，
，
当为奇数时，，，
，
故原式得证．
40．（2022•新高考Ⅰ）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
【解析】（1）已知，是公差为的等差数列，
所以，整理得，①，
故当时，，②，
①②得：，
故，
化简得：，，，，；
所以，
故（首项符合通项）．
所以．
证明：（2）由于，
所以，
所以．
41．（2021•天津）已知数列是公差为2的等差数列，其前8项的和为64．数列是公比大于0的等比数列，，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）记，．
证明：是等比数列；
证明：．
【解析】证明：（1）由数列是公差为2的等差数列，其前8项的和为64，
可得，解得，
所以，；
由数列是公比大于0的等比数列，，，
可得，解得舍去），
所以，；
（2）证明：因为，，
所以，
则
，
所以，
又，
所以数列是以8为首项，4为公比的等比数列；
证明：设，
考虑，则，
所以，
则，
两式相减可得，，
所以，
则，
故．
42．（2021•浙江）已知数列的前项和为，，且．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足，记的前项和为，若对任意恒成立，
求实数的取值范围．
【解析】（Ⅰ）由 可得，
两式作差，可得：，
，
很明显，，
所以数列 是以为首项，为公比的等比数列，
其通项公式为：．
（Ⅱ）由，得，
，
，
两式作差可得：
，
则．
据此可得 恒成立，即 恒成立．
时不等式成立；
时，，由于时，故；
时，，而，故：；
综上可得，．
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